第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合(一).集合的相关概念1.集合：集合是数学中一个不加定义的原始概念，一般是这样描述的：描述性定义：具有某种特定性质的事物的总体称为集合,用大写字母A ，B ，C ，┄ 表示；组 成集合的事物称为元素，用小写字母a ，b ，c ，┄ 表示.2.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ .3.几何与元素的关系：元素a 属于集合A , 记作A a ∈；元素a 不属于集合A , 记作A a ∈或A a ∉.4.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：不是有限集的集合.5.集合的表示法：(1).列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合n i i n a a a a A 121}{},,,{=== .(2).描述法：x x M {=所具有的特征}. 例：}01{2=-=x x M 表示方程012=-x 的解集.6.几种常用的数集：自然数集：}{},,,2,1,0{n n N == ；正整数集：},,,2,1{ n N =+； 整数集：}/{ N x N x x Z +∈-∈=； 有理数集：,N q ,p p Q +∈∈⎨⎧=Z p 与 q 互质⎬⎫；实数集合：x R {=x 为有理数或无理数}.(二).集合之间的关系及运算1.集合之间的关系包含关系： 设有集合A 和B ，若A x ∈必有B x ∈，则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,记作B A ⊂ 或A •B ⊃. 相等关系：若B A ⊂且A B ⊂，则称 A 与 B 相等，记作B A =.例如, Z N ⊂，Q Z ⊂，R Q ⊂.下列关系成立 :(1). A A ⊂；A A =；A ⊂Φ.(2). B A ⊂且C B ⊂⇒C A ⊂.2.集合之间的运算：对集合A 与 B ，有下列几种基本运算并集：A x B A ∈={ 或B x ∈}；交集：A x B A ∈={ 且B x ∈}；差集：A x B A ∈={\且B x ∉}；余集(补集)：I x A I A c ∈=={\且A x ∉}，其中I 称为全集，I A ⊂； 直积：{}B y A x y x B A ∈∈=⨯,),( (笛卡尔直积).特例：2R R R =⨯为平面上的全体点集.(三).区间和邻域1.有限区间{} b x a x b a <<=),(; {} b x a x b a ≤<=],(；{} b x a x b a <≤=),[; {} b x a x b a ≤≤=],[.2.无限区间：{} a x x a ≥=∞+),[； {} b x x b ≤=-∞],(； {}R x x ∈=∞+-∞),(.3. 邻域点a 的δ 邻域: {}{}δδδδ<-=+<<-=a x x a x a x a U ),(；点a 的去心δ 邻域: {}δδ<-<=a x x a U 0),( ；点a 的左δ 邻域: ),(a a δ-；点a 的右δ 邻域: ),(δ+a a .其中, a 称为邻域中心, δ 称为邻域半径.4. 区间的直积：{}],[],,[),(],[],[d c y b a x y x d c b a ∈∈=⨯.二、实数集及其完备性1. 实数集的性质：(1). 封闭性：任意两个实数进行加、减、乘、除 (分母不为零) 运算后，其结果仍然是实数.(2). 有序性：任意两个实数a 和b ，必满足且仅满足下列三种关系之一：a < b ，a > b ，a = b .且若a < b ，b < c ，则a < c .(3). 稠密性：任意两个不相等的实数之间仍有实数.(4). 完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系，即任意一个实数都对应数轴上唯一的一个点；反之, 数轴上任意一点也对应唯一的一个实数.2. 实数集的确界存在定理(1). 定义1. 设R A ⊂，且Φ≠A ，若R L ∈∃，使得A x ∈∀，都有L x ≤(或L x ≥)，则称数集A 有上界（或下界），并称L 是A 的一个上界（或下界）.若数集A 既有上界又有下界，则称A 有界，否则称A 无界.(2). 定义2. 设R A ⊂，且Φ≠A ，若R ∈∃β（或R ∈α）满足下列条件：①. A x ∈∀，有β≤x (或)α≥x ;②. 0>∀ε，A x ∈∃0, 使 εβ->0x (或εα+<0x )，则称β为数集A 的上确界(或α为数集A 的下确界)，记为A sup =β(或A inf =α)注：1°.上确界是集合的上界中最小的，下确界是集合的下界中最大的.2°.数集的确界和它的最值是区别的，最值属于集合，而确界不一定属于集合.(3). 确界存在定理: 有上界(或下界)的非空实数集必有上确界(或下确界).三、映射1. 映射：设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应法则f ,使得X x ∈∀，有唯一确定的Y y ∈与之对应，则称f 为从 X 到 Y 的映射， .:Y X f →元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作).(x f y =元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像.集合 X 称为映射 f 的定义域，记作f D ，即X D f =;集合 X 中的元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作f R 或)(X f ，即Y X x x f X f R f ⊂∈==}|)({)(.注：1°.映射的三要素：定义域, 对应法则, 值域.2°.元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.2. 映射的分类：满射：若Y X f =)(，则称 f 为满射.单射：若2121,,x x X x x ≠∈∀，有)()(21x f x f ≠，则称 f 为单射.双射：若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射或一一映射.注：映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的惯用名称， 例如:映射f ：X (≠ ∅ ) →Y (数集)称为X 上的泛函;映射f ：X (≠ ∅ ) →X (数集)称为X 上的变换;映射f ：X (数集或其子集) →R 称为X 上的函数.3. 逆映射：对单射f ：X →Y ，称映射g ：R f → X 为f 的逆映射，记作-f ，其定义域f f R D =-， 值域为X R f =-.4.复合映射：称映射g ：X → Y 1，f ：Y 2 → Z (21Y Y ⊂)确定的从X 到Z 的映射为映射g 和 f 构成的复合映射，记作Z X g f →: ，即)]([)(x g f x g f = .注：g 的值域g R 必须包含在f 的定义域f D ，即f g D R ⊂.四、函数1. 函数的概念: 设数集R D ⊂，称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为↓↓↓↓∈=.),(D x x f y因 映 自 定 值域：{}D x x f y y D f R f ∈===),()(变 变 义 函数图形: {}D x x f y y x C ∈==),(),(.量 射 量 域对应规律的表示方法: 解析法（公式法）、图象法、列表法.注：记号f 和法则f (x )的含义不同，f 表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则，而f (x )表示与自变量x 对应的函数值，在不至于混淆的情况下，习惯上仍用f (x )表示函数.2. 函数的几种数学表达式:(1). 显函数：)(x f y =. 如： ]1,1[,12-∈-=x x y .(2). 隐函数：0),(=y x f . 如： 0,122≥=+y y x .(3). 参数方程表示的函数：I t t y t x ∈⎩⎨⎧==),(),(ψϕ.如],0[,sin ,cos π∈⎩⎨⎧==t t y t x . (4). 分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式.例1. 符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y ，定义域:),(∞+-∞=D ，值域:}1,0,1{-=f R ，对任何x ，有||sgn x x x ⋅=.例2. 绝对值函数⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y .例3. 取整函数n x y ==][，当1+<≤n x n ，Z n ∈.例如：075=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，1]2[=，3][=π，4]5.3[-=-. 例4. 狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(. 3.函数的几种特性: 设函数D x x f y ∈=,)(，且有区间D I ⊂.(1).有界性：I x ∈∀，若0>∃L ，使得 L x f ≤)((或L x f ≥)()，则称)(x f 在I 上有上界(或下界)，并称L 为)(x f 在I 上的一个上界(或下界).I x ∈∀，若0>∃M ，使得M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 在I 上有界.(2).单调性：I x x ∈∀21,，当21x x <，总有)()(21x f x f <))()((21x f x f <，则称)(x f 在I 上是单调增加 (单调减少) 的.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.(3).奇偶性：设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称， D x ∈-∀，若)()(x f x f =-恒成立，则称)(x f 为偶函数，若)()(x f x f -=-恒成立，则称)(x f 为奇函数.注：奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y 轴对称.(4).周期性：D x ∈∀，若0>∃l ，使得D l x ∈+，都有)()(x f l x f =±，则称)(x f 为周期函数，称 l 为周期(一般指最小正周期).注: 周期函数不一定存在最小正周期.例如：常量函数C x f =)(； 狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(. 4.反函数与复合函数：相对于逆映射和复合映射的概念，有反函数和复合函数的概念.(1).反函数的概念及性质定义：若函数)(:D f D f →为单射,则存在一新映射D D f f →-)(:1使)(D f y ∈∀，有 x y f =-)(1，其中y x f =)(，称此映射1-f 为f 的反函数.习惯上, 函数D x x f y ∈=,)(的反函数记成)(,)(1D f x x f y ∈=-.性质:①. y ＝f (x ) 单调递增(或递减)，其反函数)(1x f y -=存在,且也单调递增(或递减). ②.函数y ＝f (x )与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.(2). 复合函数 ：设有函数链,),(f D u u f y ∈=与,),(D x x g u ∈=且f g D R ⊂，则称函数)()]([D x x g f y ∈=为由)(x g u =与)(u f y =确定的复合函数，记作))((][x g f )x (g f =, 其中u 称为中间变量，有时也称)(x g u =为内函数，)(u f y =为外函数.注：构成复合函数的条件f g D R ⊂不可少.5. 初等函数(1). 基本初等函数: 反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数.(2). 初等函数: 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成, 并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 否则称为非初等函数.注：符号函数、取整函数以及狄利克雷函数都是非初等函数.第二节 数列的极限一、数列极限的定义1. 数列：称自变量取正整数的函数为数列,记作)(n f x n =或}{n x ，n x 称为通项(一般项).2. 数列极限(1).引例(刘徽割圆术)： 对给定的圆，用其内接内接正126-⨯n 边形的面积n A 逼近其面积.容易得到内接内接正126-⨯n 边形的面积序列： ,,,,21n A A A ，当n 无限增大时, n A 无限接近S . S 称为数列}{n A 的极限.对于数列，我们关心的主要问题是：当n 无限增大时，n x 的变化趋势如何？例如：①．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1随着n 的无限增大而无限接近常数1. ②．数列})1{(n -随着n 的无限增大没有确定的变化趋势.③．数列}2{n 随着n 的无限增大而无限增大.但是，仅仅凭直觉观察得到极限和用“无限增大” 、“无限接近”来描述极限是远远不够的，例如：我们不能根据观察而判断出数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11的极限，因此，需要用精确、定量的数学语言来定义极限.下面以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1为例来介绍数列极限.我们知道点n x 与点a 之间的距离a x n -是刻画数n x 与a 接近程度的一个度量.当n 无限增大时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1无限接近1，也就是说当n 无限增大时，nn x n n 11)1(11=--+=-可以无限的变小，例如 如果要求10111<=-n x n ，那么只要10>n ，即从数列第11项起，后面的所有项与1的距离都小于1/10; 如果要求310111<=-n x n ，那么只要1000>n ，即从数列第1001项起，后面的所有项与1的距离都小于1/103;上述过程实际上说明了如下事实：无论要求n x 与1多么接近，即1-n x 多么小，只要n 足够大，就可以使1-n x 变得那么小，n 足够大的程度由1-n x 小的程度来决定. 为了刻画n x 与1的接近程度，我们引入任意给定的正数ε，那么上述事实可描述成：不论给了多么小的的正数ε，总存在一个正整数N (比如上述过程中的[]ε1=N )，当N n >时，总有ε<-1n x ，数1就叫做数列}{n x 当∞→n 时的极限.将这个例子中的思想方法和表述方式用于一般数列，就得到了如下数列极限的定义：(2). 数列极限：若数列}{n x 与常数a 满足：0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀时，总有ε<-a x n ，则称该数列}{n x 以a 为极限，或称数列}{n x 收敛于a ，记作a x n n =∞→lim 或)(∞→→n a x n . 数列收敛：a x n n =∞→lim ⇔0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀时，总有ε<-a x n . 数列发散：对任意常数a ，若00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，使得00ε≥-a x n ，则数列}{n x 发散.数列收敛的几何意义：对于点a 的任意ε邻域),(εa U ，总存在一个项数N ，使得数列}{n x 中自第1+N 项开始后面的一切项都落在点a 的ε邻域),(εa U 内，在这个邻域之外至多只能有}{n x 的有限项N x x x ,,,11 .(数列的收敛性及其极限值与它前面的有限项无关，改变数列中的有限项的值，并不能改变其收敛性及其极限值.)注：在数列极限定义中，1°.正数ε必须是任意给定的，ε可以充分小，只有这样，不等式ε<-a x n 才能体现出n x 无限接近a 的要求,因此在讨论极限问题时常常要限定ε的范围，例如：为了使]/1[ε是正整数，需要限定1<ε，此时1]/1[>ε.此外，εc ，ε， ,2ε也都是任意给定的正数，它们只是形式不同，没有本质的区别，今后证明极限问题时经常要用到.2°.正整数N 是依赖于ε的给定而确定的(常记为)(εN )，它给出了一个项号，只要n 增大到这一项之后，就有ε<-a x n .3°.对应于给定的一个ε，N 并不是唯一的.4°.一般地，为了比较简便地得到一个N ，可适当放大a x n -，使之小于某一个以n 为变量的简单且趋于零的表达式，令它小于ε后求出N .例1. 证明：1)1(lim =-+∞→nn nn . 证明：对于0>∀ε，要使不等式ε<=--+=-n n n a x n n 11)1(成立，只要ε1>n ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N .于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<=--+nn n n 11)1(，即1)1(lim =-+∞→n n n n . 例2. 证明：0)1()1(lim 2=+-∞→n nn . 证明：对于0>∀ε(假定1<ε)，要使不等式ε<+<+=-+-=-11)1(10)1()1(22n n n a x n n 成立，只要11->εn ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN . 于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<+=-+-22)1(10)1()1(n n n ，即0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 对1||<q ，证明：0lim 1=-∞→n n q . 证明：对于0>∀ε(假定1<ε)，要使不等式ε<=-=---110n n n qq a x 成立，只需εln ln )1(<-q n ，(注意到0ln <q .) 即q n ln ln 1ε+>，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=q N ln ln 1ε.于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<=---110n n qq ，即0lim 1=-∞→n n q . 二、收敛数列的性质1.极限的唯一性： 定理1. 若数列}{n x 收敛，则它的极限是唯一的(收敛数列的极限是唯一). 证法(一):用反证法.证明:假设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim 同时成立，且b a <.取2a b -=ε，由极限定义， 对0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃++εεb x N n N N a x N n N N n n ,,,,2211，取},max{21N N N =，N n >∀，有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-εεb x a x n n 同时成立，即2b a a x a x n n +=+<⇒<-εε，2b a b x b x n n +=->⇒<-εε同时成立，出现矛盾，定理得证.证法(二): 直接证明.证明:假设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim 同时成立，往证b a =.由极限定义，对0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃++εεb x N n N N a x N n N N n n ,,,,2211，取},m a x {21N N N =，N n >∀， 有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-εεb x a x n n 同时成立，于是， b a a x b x a x b x b a n n n n =⇒<-+-≤---=-ε2)()(，即收敛数列的极限是唯一的.例4.证明数列),2,1()1(1 =-=+n x n n 是发散的.证法一：直接证明，只需证明R a ∈∀都不是数列})1{(1+-n 的极限. 证明：10=∃ε，分两种情形：1. 当0≥a 时，+∈∀N N ，N k n n >=∃)2(00，有011|1||)1(|ε≥+=--=--+a a a n .2. 当0<a 时，+∈∀N N ，N k n n >+=∃)12(00，有01)(1|1||)1(|ε≥-+=-=--+a a a n . 综上说明数列})1{(1+-n 发散. 证法二：用反证法.证明：假设数列})1{(1+-n 收敛，由定理1知，数列})1{(1+-n 有唯一极限，不妨设a n n =-+∞→1)1(lim ，由数列极限定义，对21=ε，+∈∃N N ，当N n >时，21|)1(|1<--+a n 成立，即当N n >时，21)1(211+<-<-+a a n ，又∞→n 时，})1{(1+-n 交替取值 1 与－1，而这两个数不能同时位于长度为1的区间()21,21+-a a 内，出现矛盾，故数列})1{(1+-n 发散.2. 收敛数列的有界性：定理2. 若数列}{n x 收敛，则}{n x 一定有界.证明：设a x n n =∞→lim ，取1=ε，则+∈∃N N ，当N n >时，有1<-a x n ，从而有||1|||||)(|||a a a x a a x x n n n +<+-≤+-=，取{}||1,||,,||,||max 21a x x x M N += ，则有),2,1( =≤n M x n ，由此证明收敛数列必有界. 注：1°.数列无界必发散.(逆否命题)2°.数列有界未必收敛，例如),2,1()1(1 =-=+n x n n 有界，即1≥∀n ，1||≤n x ，但该数列却发散.3. 收敛数列的保号性：定理3. 若a x n n =∞→lim ，且0>a (或0<a )，则+∈∃N N ，当N n >时，都有0>n x (或0<n x ).证明：对 a > 0，取2/a =ε，则+∈∃N N ，当N n >时，02/2/>->⇒<-a a x a a x n n . 推论：若数列}{n x 从某项起0≥n x (或0≤n x )，且a x n n =∞→lim ，则0≥a (或0≤a ).4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限：子数列：在数列}{n x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列}{k n x 为原数列}{n x 的一个子数列(简称子列). 注：1°. 对N k ∈∀，k n k ≥，当∞→k 时，∞→k n .2°. 当12-=k n k 时，称}{k n x 为奇子列；当k n k 2=时，称}{k n x 为偶子列. 定理4. a x n n =∞→lim ⇔对数列}{n x 的任何子列}{k n x ，都有a x k n k =∞→lim .证明：必要性：由a x n n =∞→lim ，有0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，ε<-a x n .取N K =，当N K k =>时，有N n n n N K k >=>，有ε<-a x k n ，即a x k n k =∞→lim .充分性显然.注： 若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散. 例如：数列),2,1()1(1 =-=+n x n n 发散，而1lim 12=-∞→k k x ，1lim 2-=∞→k k x .此例也说明发散的数列也可能有收敛的子列.第三节 函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 0x x →时函数)(x f 的极限(1).定义：设函数)(x f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 对常数A ，若0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(，则称 A 为函数)(x f 当0x x →时的极限,记作A x f x x =→)(lim 0或A x f →)(当)(0x x →.“δε-”定义：A x f x x =→)(lim 0⇔0>∀ε,0>∃δ,当),()(0δx U f D x⋂∈时，有ε<-A x f )(.注：A x f x x =→)(lim 0研究函数)(x f 当0x x →时的变化趋势，不考虑函数)(x f 在点0x 是否有定义.例如：函数24)(2--=x x x f 当2≠x 时，2)(+=x x f ，所以2→x 时4)(→x f .再如：函数⎩⎨⎧=≠==000,1|sgn |)(x x x x f ，当0→x 时对应的函数值趋于1.(2).几何意义：对于一个以直线ε+=A y 和ε-=A y 为两边的带型区域， 总存在一个0>δ，使得函数)(x f 在区间),(00x x δ-与),(00δ+x x 内的 图形都位于这个带型区域内. 例1. 证明C C x x =→0lim ，C 为常数.证明：对0>∀ε，ε<=-=-0)(C C A x f 总成立，于是，0>∀ε，0>∀δ，:x ∀δ<-<00x x ，总有ε<=-0C C ，即C C x x =→0lim .例2. 证明1)12(lim 1=-→x x .证明：对0>∀ε，要使ε<-=--=-121)12()(x x A x f 成立，只需21ε<-x ，取2εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀10:x x ，总有ε<-=-12)(x A x f ，即1)12(lim 1=-→x x .例3. 证明211lim21=--→x x x . 证明：对0>∀ε，要使ε<-=-+=---=-121211)(2x x x x A x f 成立,取εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀10:x x ，总有ε<-=-1)(x A x f ，即211lim21=--→x x x . 例4.证明:当00>x 时，00limx x x x =→.证明：对0>∀ε，要使ε<-≤+-=-=-000001)(x x x x x x x x x A x f 成立,只要ε00x x x <-.由于x 的定义域是),0[∞+，因此选取的0>δ要使),0[),(00∞+⊂+-δδx x ，取{}00,minx x εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，总有ε<-0x x ，即00limx x x x =→.（详细说明：由于000001x x x x x x x x x -≤+-=-，当εδ0x =时，即ε00x x x <-，代入上式有ε<-0x x ；当0x =δ时，有ε00x x <，即ε<0x ，将00x x x <-代入上式得ε<<-00x x x .）(在0x x →的过程中，0x x →的方式是任意的，x 既可以是0x 左侧的点，也可以是0x 右侧的点，但要限定x 只在0x 某一侧趋于0x ，则有下面的单侧极限，即左极限和有极限.) 2. 单侧极限左极限：⇔==-→-A x f x f x x )(lim )(000>∀ε，0>∃δ，),(00x x x δ-∈∀，有ε<-A x f )(. 右极限: ⇔==+→+A x f x f x x )(lim )(000>∀ε，0>∃δ，),(00δ+∈∀x x x ，有ε<-A x f )( 定理：⇔=→A x f x x )(lim 0A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00. 例5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 当0→x 时的极限是否存在. 解：因为1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，显然)0()0(+-≠f f ，所以)(lim 0x f x →不存在.3. 函数极限的性质 (1). 函数极限的唯一性定理1.若A x f x x =→)(lim 0存在，则该极限值唯一.(2). 函数极限的局部有界性定理2.若A x f x x =→)(lim 0，则0>∃M ，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有M x f ≤)(.证明：由A x f x x =→)(lim 0，可取1=ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有1)()(1)(+≤+-≤⇒≤-A A A x f x f A x f ，取1||+=A M ，则有M x f ≤)(. (3).函数极限的局部保号性定理3.若A x f x x =→)(lim 0,且0>A (或0<A )，则0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有0)(>x f (或0)(<x f ).证明：由0)(lim 0>=→A x f x x ，可取2A=ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有 022)(2)(>=->⇒≤-AA A x f A A x f .同理可证明0<A 的情形.定理3’. 若A x f x x =→)(lim 0,且0≠A ，则0>∃δ， δ<-<∀00:x x x ，有2)(Ax f >. (4).函数极限的局部保序性定理4.若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0，B A <，则0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有)()(x g x f <.证明：对02>-=AB ε， 由⇒=→A x f x x )(lim 001>∃δ，当100δ<-<x x 时，有22)(2)(BA AB A x f A B A x f +=-+<⇒-≤-.由⇒=→B x g x x )(lim 002>∃δ，当200δ<-<x x 时，有22)(2)(BA AB B x g A B B x g +=-->⇒-≤-. 取},min{21δδδ=，:x ∀δ<-<00x x ，由2)(B A x f +<和2)(BA x g +>得到)()(x g x f <. 推论：若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0，且0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有)()(x g x f ≤，则B A <.(5).函数极限的归并性(函数极限与数列极限之间的关系)定理5.(海涅定理) ⇔=→A x f x x )(lim 0对任何数列}{n x (0x x n ≠)，只要0lim x x n n =∞→，就有A x f n n =∞→)(l i m .证明：必要性：设A x f x x =→)(lim 0，由极限定义知，对0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(.由于0lim x x n n =∞→，0x x n ≠，故对上述0>δ，+∈∃N N ，当N n >时，有δ<-<00x x n .综上可得：0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，有ε<-A x f n )(，故A x f n n =∞→)(lim .充分性：用反证法.假设A x f x x ≠→)(lim 0，则00>∃ε，+∈∀N n ，:n x ∃nx x n 100<-<，但0)(ε≥-A x f n .由此得到一个数列}{n x ，由于nx x n 100<-<，故0x x n ≠，且0lim x x n n =∞→，但是A x f n n ≠→∞)(lim ，与已知条件矛盾，从而必有A x f x x =→)(lim 0.二、自变量趋于无穷大时函数的极限1. ∞→x 时函数)(x f 的极限(1). 定义1.设函数)(x f 当0||>>αx 时有定义, 对常数A ，若0>∀ε，0>∃X ，:x ∀X x >||， 有ε<-A x f )(，则称 A 为)(x f 当∞→x 时的极限,记作A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(当)(∞→x .“X -ε”定义：A x f x =∞→)(lim ⇔0>∀ε,0>∃X ,:x ∀X x >||，有ε<-A x f )(.(2). 几何意义：对于一个以直线ε+=A y ，ε-=A y 为两边的带型区 域，总存在一个0>X ，使得函数)(x f 在区间),(X --∞与),(∞+X 内 的图形都位于该带型区域内，直线A y =是曲线)(x f y =的水平渐近线. 例6. 证明01lim=∞→xx . 证明：对0>∀ε，要使不等式ε<=-xx 101成立，只需ε1>x ，取ε1=X ，于是，对0>∀ε，0>∃X ，:x ∀X x >||，有ε<-01x，即01lim =∞→x x .2. 单侧极限⇔=+∞→A x f x )(lim 0>∀ε,0>∃X ,X x >∀，有ε<-A x f )(.⇔=-∞→A x f x )(lim 0>∀ε,0>∃X ,X x -<∀，有ε<-A x f )(.思考与练习:1. 若极限)(lim 0x f x x →存在，是否一定有)()(lim 00x f x f x x =→？2. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1,121,)(2x x x x a x f ，且)(lim 1x f x →存在, 则3=a .第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量1. 定义：若0x x → (或∞→x )时,函数0)(→x f ，即0)(lim 0=→x f x x (或0)(lim =∞→x f x )，则称函数)(x f 为0x x → (或∞→x )时的无穷小量. 例如 :0)1(lim 1=-→x x ,函数1)(-=x x f 当1→x 时为无穷小量；01lim=∞→x x ，函数xx f 1)(=当∞→x 时为无穷小量； 011lim=-∞-→x x ，函数xx f -=11)(当-∞→x 时为无穷小量. 注：无穷小量不是很小的数，而是绝对值小于任意给定正常数ε的量，除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量，因为⇔=→0lim 0C x x 0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，ε<-0C ，显然C 只能是0 !2. 无穷小量与函数极限的关系定理1. ⇔=→A x f x x )(lim 0α+=A x f )(，其中α 为0x x →时的无穷小量,即0lim 0=→αx x .证明：必要性：⇒=→A x f x x )(lim 0,0,0>∃>∀δε:x ∀δ<-<00x x ，，有ε<-A x f )(，即α+=A x f )(，其中0lim 0=→αx x .充分性：⇒=→0lim 0αx x ,0,0>∃>∀δε:x ∀δ<-<00x x ，有εα<,又α+=A x f )(，则有ε<-A x f )(，即A x f x x =→)(lim 0.对自变量的其它变化过程类似可证.二、无穷大量定义： 若0>∀M ，0>∃δ(或0>∃X )，对:x ∀δ<-<00x x (或:x ∀X x >), 总有M x f >)(，则称函数)(x f 当0x x →)(∞→x 时为无穷大量,为了便于叙述函数的这一性态，也说函数的极限是无穷大量，记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).若将M x f >)(换成M x f >)((或M x f -<)()，则将无穷大量记作+∞=∞→→)(lim )(0x f x x x (或-∞=→∞→)(lim )(0x f x x x ).注：1°.无穷大量不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2°.函数为无穷大量, 必定无界 . 但反之不真! 例如： 函数),(,cos )(∞+-∞∈=x x x x f ，∞→=π2)π2(n n f ，当∞→n ，但0π2=⎪⎭⎫⎝⎛+n f π，所以∞→x 时，)(x f 不是无穷大量!3°.若∞=→)(lim 0x f x x ，则称直线0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线.若C x fx =→∞)(lim ，则称直线C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线.例2. 证明∞=-→11lim1x x . 证明：对0>∀M ，要使M x >-11，只需M x 11<-，取M 1=δ. 于是，0>∀M ，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有M x >-11，即∞=-→11lim1x x . 注：直线1=x 是曲线11-=x y 的铅直渐近线. 例3. 求曲线1)(22-==x x x f y 的水平、铅直两种渐近线.解：由111lim 1111lim 1lim 22222=-+=-+-=-∞→∞→∞→x x x x x x x x 知直线1=y 是已知曲线的一条水平渐近线.由∞=-→1lim 221x x x 知直线1=x 是已知曲线的一条铅直渐近线. 由∞=--→1lim 221x x x 知直线1-=x 也是已知曲线的一条铅直渐近线. 三、无穷小与无穷大的关系 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若)(x f 为无穷大量,则)(1x f 为无穷小量； 若)(x f 为无穷小量且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大量. 证明：设∞=→)(lim 0x f x x ，则0>∀ε，对于ε1=M ，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε1)(=>M x f ，即ε<)(1x f ，即)(1x f 为0x x →时的无穷小量. 反之，设0)(lim 0=→x f x x 且0)(≠x f ，则0>∀M ，对于M1=ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有M x f 1)(=<ε，又:x ∀δ<-<00x x ，0)(≠x f ，从而M x f >)(1，)(1x f 为0x x →时的无穷大量.类似可证∞→x 的情形.第五节 极限运算法则一、无穷小量的运算法则定理1. 有限多个无穷小量的和还是无穷小量.证明:考虑两个无穷小量的和. 设0lim 0=→αx x ，0lim 0=→βx x ，而βαγ+=.0>∀ε,⎪⎩⎪⎨⎧<<-<∀>∃<<-<∀>∃2/,0:,02/,0:,0202101εβδδεαδδx x x x x x ,取{}21,min δδδ=，于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εβαβαγ<+≤+=，即0lim 0=→γx x .类似可证: 有限个无穷小量之和仍为无穷小量. 但无穷多个无穷小量之和未必是无穷小量，例如: 1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n n .(后面再证明)定理2 .有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证明：设函数u 在0x 的某一去心邻域内有界，即0>∃M ，01>∃δ，),(10δx U x∈∀，有M u ≤||. 又设0lim 0=→αx x ，即0>∀ε,M x x x /,0:,0202εαδδ<<-<∀>∃.取{}21,min δδδ=.于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εεαα=⋅<=M M u u /，即0lim 0=→αu x x .推论1. 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论2. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 例1. 求xxx sin lim∞→.解：由于1sin ≤x ，而01lim=∞→x x ，故0sin lim =∞→x xx . 注：直线0=y 是曲线xxy sin =的水平渐近线.二、极限的四则运算法则定理 3 . 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则有B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[. 证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 于是, )()()()()()(βαβα±+±=+±+=±B A B A x g x f ，即B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[.推论: 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，且)()(x g x f ≥，则B A ≥. 证明：令)()()(x g x f x -=ϕ，则0)(≥x ϕ，从而0)(lim ≥x ϕ，由于B A x g x f x -=-=)]()(lim[)(lim ϕ，于是B A ≥.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.定理4.若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则有AB x g x f x g x f =⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[.证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 于是, αβαββα+++=++=B A AB B A x g x f ))(()()(，由于0lim lim lim ===αβαβB A ，从而)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==. 说明: 定理4可推广到有限个函数相乘的情形. 推论1. )(lim )](lim[x f C x f C = ( C 为常数). 推论2. n n x f x f ])(lim [)](lim[= ( n 为正整数).例2. 设 n 次多项式n n n x a x a a x P +++= 10)(，试证)()(lim 00x P x P n n x x =→.证明: )(lim lim )(lim 010100x P x a x a a x a x a a x P n n n n x x n x x n x x =+++=+++=→→→ .定理5. 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，且0≠B ，则有BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim. 证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 设 )()(1)()(βαββαγA B B B B A B A B A x g x f -+=-++=-=，因此 γ 为无穷小量, 即γ+=BA x g x f )()(， 由极限与无穷小关系定理, 得)(lim )(lim )()(limx g x f B A x g x f ==. 因为数列是一种特殊的函数,下面定理给出数列的极限的运算法则： 定理6 . 若A x n n =∞→lim ，B y n n =∞→lim ，则有(1). B A y x n n n ±=±→∞)(lim ；(2). B A y x n n n ⋅=→∞lim ；(3). 当0≠n y 且0≠B 时，BA y x n n n =∞→lim. 例3. 对分式函数)()()(x Q x P x R =，其中)(x P 、)(x Q 是多项式，若0)(0≠x Q ，试证: )()(lim 00x R x R x x =→.证明：)()()()(lim )(lim )(lim 000000x R x Q x P x Q x P x R x x x x x x ===→→→. 例4. 3162)3(lim )1(lim 31lim )3)(3()1)(3(lim 934lim3333223==+-=+-=+---=-+-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x .例5. 求4532lim21+--→x x x x .解：由于031241513245lim221=-⋅+⋅-=-+-→x x x x ，于是∞=+--→4532lim 21x x x x . 例6. 737243lim 357243lim 332323=-+++=-+++→∞→∞x x x x x x x x x x .（分子分母同除以3x ） 例7. 020522123lim 52123lim 332232==+---=+---∞→∞→xx x x x x x x x x x .（分子分母同除以3x ） 例8. 12352lim 223--+-→∞x x x x x .解：由例7知052123lim 232=+---→∞x x x x x ，故例7知 ∞=+---→∞52123lim 232x x x x x . 一般有如下结果：n n n m m mx b x b x b a x a x a ++++++--→∞ 110110lim ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>==mn m n mn a ,,0,00. ( n m b a ,,000≠为非负常数)三、复合函数的极限运算法则定理7. 设函数)]([x g f y =是由函数)(x g u =与)(u f y =复合而成，)]([x g f 在点0x 的某去心邻域),(00δx内有定义，若0)(lim 0u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0，且0)(u x g ≠，则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.证明：由⇒=→A u f u u )(lim 00>∀ε，0>∃η，当η<-<00u u 时，有ε<-A u f )(.由⇒=→0)(lim 0u x g x x 对上述的0>η，01>∃δ，当100δ<-<x x 时，有η<-0)(u x g .取{}10,min δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有η<-<0)(0u x g ，从而有ε<-=-A u f A x g f )()]([,即A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.注：若定理中若∞=→)(lim 0x g x x ,A u f u =∞→)(lim ,则有A u f x g f u x x ==→∞→)(lim )]([lim 0;若∞=→∞)(lim x g x ,A u f u =∞→)(lim ,则有A u f x g f u x ==→∞→∞)(lim )]([lim .例8.求93lim23--→x x x .解：令932--=x x u ，则6131lim lim 33=+=→→x u x x ，所以6661lim 93lim 6123===--→→u x x u x . 例9.2)1(lim 1)1)(1(lim 11lim111=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x .(分母有理化)另解：令x u =，有111112+=--=--u u u x x ，于是2)1(lim 11lim11=+=--→→u x x u x . 本节的最后，我们应用极限的运算法则来得到曲线的渐近线的具体表达式. 四、曲线的斜渐近线定理8. 曲线)(x f y =在右(或左，或左右)方以直线b kx y +=为渐近线的充分必要条件是x x f k x )(lim+∞→=(或x x f k x )(lim -∞→=，或xx f k x )(lim ∞→=)；))((lim kx x f b x -=+∞→(或))((lim kx x f b x -=→∞，或))((lim kx x f b x -=→∞).证明：必要性:设曲线)(x f =在右方以b kx y +=为渐近线，点))(,(x f x 到直线b kx y +=的距离为)(x d ，则由渐近线的定义知，0)(lim =+∞→x d x ，即01)(lim2=+--+∞→kb kx x f x ，等价于0))((l i m =--+∞→b kx x f x ，从而有))((lim kx x f b x -=+∞→.由此得0)(lim )(lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→x kx x f k x x f x x ，即x x f k x )(lim +∞→=. 充分性：由))((lim kx x f b x -=+∞→得0))((lim =--+∞→b kx x f x ，从而0)(lim =+∞→x d x .练习：试确定常数 a 使0)1(lim 33=--∞→x a x x .解：令x t 1=，则t a t t a t t t --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→→3303301lim 11lim 0，所以必有[]01lim 330=--→a t t ，故01=--a ，即1-=a .第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则定理1.(夹逼准则)若函数h g f ,,满足(1). 在0x 的某一去心邻域),(0δx U内，有)()()(x h x f x g ≤≤,(2). A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 则A x f x x =→)(lim 0.证明：由A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0知0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-⇒<-<-<∀>∃+≤≤-⇒<-<-<∀>∃εεεδδεεεδδA x h A A x h x x x A x g A A x g x x x )()(,0:,0)()(,0:,0202101,取{}21,min δδδ=， 于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εε+≤≤≤≤-A x h x f x g A )()()(，即ε<-A x f )(，因此A x f x x =→)(lim 0.推论：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足 (1). N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z x y ≤≤, (2). a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ,则a x n n =→∞lim .例1.求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n 22212111lim . 解：由于11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n ，而1111limlim2=+=+→∞→∞nnn nn n ，1111lim1lim22=+=+→∞→∞n n nn n ，于是由夹逼准则知112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n . 例2.证明：1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n . 证明：由于ππ1π21π1π2222222+≤⎪⎭⎫⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n n ，而1πlim 22=+∞→n n n n ，1πlim 22=+∞→n n n ，由夹逼准则知1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n . 定理2.(单调有界准则)单调有界数列必收敛，即若数列}{n x 单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)，则n n x →∞lim 必存在.证明：仅就}{n x 单调增加且有上界的情形证明,}{n x 单调减少且有下界的情形类似可证.因为}{n x 单调增加且有上界，由确界存在定理知，}{n x 必有上确界}sup{n x =β.由上确界定义知+∈∀N n ，β≤n x ；0>∀ε，}{n N x x ∈∃，使εβ->N x ，于是，0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，有εββ->>≥N n x x ，即εβ<-≤n x 0，因而εβ<-||n x ，所以n n x →∞lim 存在，且β=∞→n n x lim .注：单调增加有上界的数列的极限就是其上确界；单调减少有下界的数列的极限就是其下确界.例3.设0>x ，x x =1，,,2 x x x +=,, x x x x n +++=证明数列}{n x 极限存在，并求出其极限.证明：由数列}{n x 的定义知，1≥∀n ，0>n x 且n n x x x +=+1.现用数学归纳法证明}{n x 单调增加有上界.首先，21x x <，设n n x x <-1，则n n n n x x x x x x >+>+=-+11，所以}{n x 单调增加. 其次，11+<=x x x ，设1+<x x n ，则11211+=++<++<+=+x x x x x x x x n n ，综上可知}{n x 单调增加有上界.根据单调有界准则，数列}{n x 收敛，设A x n n =∞→lim ，在等式n n x x x +=+21两边令∞→n ，取极限得A x A +=2，解得2411xA +±=，但由极限的保号性知0≥A ，故 2411lim xx n n ++=→∞. 例4.证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11收敛.证明: 利用二项式公式, 有nn n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=11n n n n n n n n n n n n n n n n 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132⋅+--++⋅--+⋅-+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n n n n n n 112111!12111!3111!2111 ， ⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+11121111)!1(1121111!31111!21111n n n n n n n n x n ，比较可知),2,1(1 =<+n x x n n ，即数列}{n x 单调增加. 由于n k ≤≤2时，)1(1!1112111!1-<<⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k n k n n k ，有 !1!31!2111n x n +++++< nn ⋅-++⋅+⋅++<)1(132121111 nn n n 1111121312121111--+---++-+-++= n13-= 3<，即}{n x 有上界.根据单调有界准则知数列}{n x 收敛，将其极限记为e ，即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+→∞11lim ，e 为自然对数的底，为无理数，其值为 590457182818284.2e =. 定理3.(柯西收敛准则)数列}{n x 收敛的充分必要条件是0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n m >∀,，有ε<-m n x x . 证明略.注：1°.柯西收敛准则的等价形式：数列}{n x 收敛的充分必要条件是0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀，+∈∀N p 有ε<-+n p n x x . 2°.数列发散的充要条件：数列}{n x 收敛的充分必要条件是00>∃ε，+∈∀N N ，N n m >∃,，使0ε>-m n x x . 例5.设222131211n x n ++++= ，证明数列}{n x 收敛. 证明：+∈∀N p n ,，要使222)(1)2(1)1(1p n n n x x n p n ++++++=-+ ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<p n p n n n n n +--++++-+++-<1112111111 ε<<+-=np n n 111 成立，只需ε1>n ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N . 于是，0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀，+∈∀N p 有ε<-+n p n x x ，由柯西收敛准则知，数列}{n x 收敛. 例6. 设nx n 131211++++= ，证明数列}{n x 发散. 证明：对210=ε，+∈∀N N ，取N n >，N n m >=2，有 212212111=≥+++++=-n n n n n x x n m ，由柯西收敛准则知数列}{n x 发散. 二、两个重要极限1.重要极限一：1sin lim 0=→xxx .证明：先设20π<<x ，作一单位圆，圆心角x AOB =∠，点A 处的切线与OB 的延长线相交与D ，又OA BC ⊥，则CB x =sin ，B A x=，AD x =tan ，由图易知，AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积<AOD ∆的面积，即有x x x tan 2121sin 21<<，或x x x tan sin <<，两边各项同除以x sin ，得xx x cos 1sin 1<<，或1sin cos <<x xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πx ，因为x cos 与x x sin 都是偶函数，所以当02<<-x π时，不等式1sin cos <<xxx 也成立，即有1sin cos <<x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2||0πx ， 从而2222sin 2cos 1sin 10222x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<=-<-< ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2||0πx . 令0→x ，由夹逼准则得0sin 1lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x ，从而 1sin 11lim sin lim00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→→x x x xx x . 注：上述证明过程中，得到|||sin |x x <，2cos 102x x <-<，于是有0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x .例7.1cos 1lim sin lim cos 1sin lim tan lim0000=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=→→→→x x x x x x x x x x x x . 例8.2112122sin lim 212sin 2limcos 1lim222022020=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-→→→x xx x x xx x x . 例9.xx x arcsin lim0→t x sin =1sin 1lim sin lim 00===→→tt t t x x .2.重要极限二：e 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x .证明：1≥∀x ，有1][][+<≤x x x 或][111][1x x x <≤+，记][x n =，则当+∞→x 时，∞→n ，且 11111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xnn x n ，而 e 111lim 111lim 111lim 111lim 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→∞+→∞-+→∞→∞n n n n n n n n n n n ， e 11lim 11lim 11lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→∞+→∞n n n n nn n n ， 故由夹逼准则知e 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→xx x .。
期末复习重点](https://img.taocdn.com/s1/m/5594ae27f18583d0496459dc.png)
