北京市海淀去2011-2012高三上学期期中数学理科试卷及答案

北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习

数 学（理科）

2011.11

选择题(共4O 分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设集合{}|(21)(3)0A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤，则A B =

A. [1,3)

B. (2,3)

C. (

1

2

,4] D.(l,4]

2. 若2

()lg(1)

f x x =

-，则()f x 的定义域是

A. (1, +∞)

B.（0,1）(1,)+∞

C. (,1)

(1,0)-∞-- D. (,0)(0,1)-∞

3. 已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-，则12345a a a a a ----= A. 15

B. 17

C. -15

D. 16

4. 已知非零向量，a b ，那么“⋅>0a b ”是“向量，a b 方向相同”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 下列四个函数中，以π为最小正周期,且在区间(,)2π

π上为减函数的是

A. sin 2y x =

B.. 2|cos |y x =

C. cos 2

x

y = D. tan()y x =-

6. 函数||

()1x f x e =-的图象大致是

7. 要得到函数sin cos y x x =-的图象,只需将函数cos sin y x x =-的图象

A.向左平移

4π个单位长度 B.向右平移2

π

个难位长度 C.向右平移π个单位长度 D.向左平移34

π

个单位长度

8.已知定义域为(O ，+∞）的单调函数()f x ,若对任意(0,)x ∈+∞，都有12

(()log )3f f x x +=，则方程

()2f x x =+的解的个数是

A.3

B. 2

C.1

D. O

非选择题(共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小題5分，共30分. 9. 曲线1

y x

=

在x =2处的切线的斜率为__________. 10. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若22a =，则132a a +的最小值是_________

11.点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点（如图所示）.若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，那么边AB 的长等于_________.

12. 已知点A(1，1)，B(5，3)，向量AB 绕点A 逆时针 旋转

32

π

到AC 的位置，那么点C 的坐标是________ 13. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，a =8, b = 10,ΔAB C 的面积为203，则△

ABC 中最大角的正切值是_________. 14. 已知数列123:,,,

,(3)n A a a a a n ≥,令{|,1}A i j T x x a a i j n ==+≤<≤ ,

()A card T 表示集合A T 中元素的个数.

①若A:2，4，8，16，则()A card T =_________；

②若1i i a a c +-=（c 为常数. 11i n ≤≤-），则()A card T =_________.

三、解答题：本大题共6小題，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题共13分)

已知函数2

()sin 2cos 23sin 2f x x x x =-.

(I )求()f x 的最小正周期； (I I )求()f x 在区间[0,

]4

π上的取值范围.

已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列, 23a =，且5a 是4a , 8a 的等比中项. (I)求数列{}n a 的通项公式；

(I I )设n S 为数列{}n a 的前n 项和,求使n n a S =成立的所有n 的值.

17. (本小题共13分）

某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元）与日产量x (单位:吨）满足函数关系式 C=10000+20x ，每日的销售额R (单位:元）与日产量x 满足函数关系式

已知每日的利润y = R - C ，且当x =30时y =-100. (I )求a 的值；

(II )当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大,并求出最大值

18. (本小题共13分）

已知函数2

2

()ln ()f x x ax a x a R =+-∈. (I )若x =1是函数()y f x =的极值点,求a 的值； (II )求函数()f x 的单调区间.

设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（λ为常数，1,2,3,

n =).

(I )若2

32a a =，求λ的值；

(I I )是否存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列？若存在,求出λ的值；若不存在.请说明理由 1,2,3,

)，且1

b =

{}n c 的前n 项和n T

20. (本小题共14分） 已知函数2

||,()2,x x P

f x x x x M

∈⎧=⎨

-+∈⎩其中P,M 是非空数集，且P M =∅，

设(){|(),}f P y y f x x P ==∈,(){|(),}f M y y f x x M ==∈. (I )若(,0)P =-∞，[0,4]M =,求 ()()f P f M ；

(I I )是否存在实数3a >-，使得[3,]P

M a =-，且()

()[3,23]f P f M a =--

若存在，请求出满足条件的实数a ;若不存在,请说明理由； (I I I )若P M R =，且0M ∈,1P ∈,()f x 是单调递增函数，求集合P,M