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排列与逆序

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线性代数第一节排列及其逆序数

线性代数第一节排列及其逆序数

第一章行列式第一节 排列及其逆序数�引言�排列与逆序数一、引言我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组⎩⎨⎧=+=+2221212111c x b x a c x b x a （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 2121b b a a ≠时，我们有.b a b ac a c a x ,b a b ac b c b x 122112212122121121−−=−−=（2）为方便记忆，我们引入二阶行列式bc ad db ca −=（3）则（2）可以表示为.b a b ac a c a x ,b a b a b c b c x 221122112221122111==（4）即当（1）的系数行列式0b a b a 2211≠时， （1）的解可以用二阶行列式表示为（4）。

用高斯消元法，对三元一次线性方程组,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （5）我们也可以得到类似的结果。

即如果引入三阶行列式,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 322311332112312213322113312312332211333231232221131211−−−++=（6）则当（5）的系数行列式0a a a a a a a a a D 333231232221131211≠=（7）时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为.a a a a a a a a a b a a b a a b a a x ,a a a a a a a a a a b a a b a a b a x ,a a a a a a a a a a a b a a b a a b x 333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211===（8）对于n 元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题。

线性代数第一章课件,数学

线性代数第一章课件,数学

n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11

第一章 行列式

第一章 行列式

第一章 行 列 式I 考试大纲要求1、考试内容：行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理。

2、考试要求：1）了解阶行列式的概念，掌握行列式的性质；2）会用行列式的性质和展开定理计算行列式。

II 重要知识点一、排列与逆序1、级排列：由个数组成的一个有序数组称为一个级排列或称元排列，级排列共有个。

2、逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小次序相反，即排在前面的数比后面的数大，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列中逆序的个数称为此排列的逆序数．用表示排列的逆序数。

排列的逆序数由其中每一个数所引起的逆序个数相加而得到。

若排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；逆序数为偶数，则称之为偶排列。

3、对换：把一个排列的某两个数的位置相互调换，其余各数不动，得到一个新的排列，这种调换称为一次对换。

4、有关排列和逆序的几个重要结论1）对换改变排列的奇偶性。

2）在全部的级排列中，奇排列和偶排列各占一半，各为个。

3）任意一个级排列经过若干次对换可变为自然顺序排列，且所作的对换次数与排列的奇偶性相同。

二、阶行列式1．行列式的定义二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：阶行列式的定义：这里，是对所有级排列求和．故行列式等于取自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和．每一项的正负号取决于组成该项的个元素的列标的逆序数(当其行标按自然顺序排列时)．即当是偶排列时，取正号，当是奇排列时，取负号．由于级排列共有项，所以阶行列式共有项．2、行列式的性质性质1 行列式的行和列互换，其值不变。

即行列式与它的转置行列式相等，。

性质2 用一个数乘以行列式的某一行(列)的各元素，等于该数乘以此行列式。

或者说行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式的前面。

推论 若行列式的某行(列)的元素全为零，则该行列式等于零。

性质3 如果行列式中某行(列)中各元素均为两项之和，则这个行列式等于两个行列式的和。

即：性质4 交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式的正负号改变。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

一、行列式1.排列：由个不同数码1,2，……，组成的有序数组12……n。

2.逆序：在一个级排列12……n中，如果有较大的数t排在较小的数s前面，则称与构成一个逆序。

一个级排列中逆序的总数称为它的逆序数，逆序数是奇数称为奇排列，是偶数或0称为偶排列。

3.定理1：任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。

定理2：个数码（>1）共有！个级排列，其中奇偶排列各占一半。

4.用2个元素(=1,2, ……)组成的记号称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。

称为第行第列的元素，阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的个元素乘积的代数和，一般项可以写为其中12…n 构成一个级排列，当12…n取遍所有的级排列时，则得到阶行列式表示的代数和中所有的项。

5.主对角线：行列式中从左上角到右下角的对角线。

6.主对角线右上方元素全为0的行列式为下三角行列式，左下方元素全为0为上三角行列式，主对角线左上方和右上方元素全为0，主对角线上元素不全为0的行列式为对角行列式，它们的值均等于主对角线上元素的乘积。

7.行列式性质1 行列式转置，值不变，即D T=D8.性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即D1=D。

9.性质3 用数乘行列式的某一行（列），等于数乘此行列式 ,即D1=D。

10.性质4 若将行列式中某一行（列）的每一个元素写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即D=D1+D211.推论：①若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值为0。

②若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为0。

③若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。

④将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式值不变。

12.余子式M:在阶行列式D=||中去掉元素所在的第行第列后，余下的-1阶行列式。

排列与逆序行列式的定义

排列与逆序行列式的定义

主对角线上元素之积 － 副对角线上元素之积
因此，上述二元线性方程组的解可表示为
ba a b
1 22
12 2
x 1
a a a a 11 22
12 21
1
b 1
D b2
a 12
a22
x2
a11b2 b1a21
a a a a
11 22
12 21
1 a11 D a21
b1 b2
2020/5/9
线性代数教学课件
53214 53124 回忆：n个数的不同排列共有 n ! 个。
自然排列： 按数的大小次序，由小到大排列：
12345. . . n
思考： n级排列中，自然排列只有一种
除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码
2020/5/9 排在较小数码之线前性代的数教情学况课件。
10
定义2
1）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。
a a x 12 21 2 a a x 11 22 2
b1a21 a11b2
得
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
同理，得 (a a a a )x b a a b
11 22
12 21 1
1 22
12 2
于是，当 a a a a 0 时，方程组有唯一解
12
法 2： n 级排列 i , i , , i 的逆序数
12
n
(i1 , i2 , , in ) 数 i1 后面比 i1 小的数的个数
数 i2 后面比 i2 小的数的个数
法3：
数 in1 后面比 in1 小的数的个数
(i1 , i2 , , in ) 数 in 前面比 in 大的数的个数

1.2排列与逆序数

1.2排列与逆序数

τ (45321) = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
例 在n级排列1,2,…,n中，各数是按照由小到大的 自然顺序排列，这一排列称为n元自然序排列， n元自然序排列 由于其中任何一个数对都不构成逆序，因此
τ (12⋯n) = 0
另外
τ (n, n − 1,⋯,1)
= (n − 1) + (n − 2) + ⋯ + 1
二、逆序数
1、逆序和逆序数 在n级排列
j1 , j2 ,⋯ , jn 中， 如果有一个较大的数
js 排在较小的数 jt 的前面，即
j s > jt ( s < t )
构成一个逆序 逆序。 逆序
称这一对数
js , jt
一个排列中逆序中的总数，称为这个排列的逆序数 逆序数， 逆序数 记为： τ
( j1 , j 2 , ⋯ , j n )
2、例题 例 求排列45321的逆序数 解 在排列45321中， 4和后面的数形成的逆序有3个：43,42,41； 5和后面的数形成的逆序有3个：53,52,51； 3和后面的数形成的逆序有2个：32,31； 2和后面的数形成的逆序有1个：21； 1排在最后不产生逆序，故有0个逆序； 于是排列45321的逆序数为：
第一章 行列式
第一节、 第一节、二阶与三阶行列式 第二节、 第二节、排列与逆序数 第三节、线性相关与线性无关 第三节、 第四节、 第四节、行列式的性质 第五节、行列式按行（ 第五节、行列式按行（列）展开 第六节、 第六节、拉普拉斯定理 第七节、 第七节、克莱姆法则
第二节 排列与逆序数
一、排列
1、排列 由n个自然数1,2,…,n组成的一个有序数组：
n(n − 1) = 2

数字的顺序与逆序排列

数字的顺序与逆序排列数字在我们的日常生活中无处不在，它们用于计量、记数和表达数量。

而数字的排列方式则有多种形式，其中最常见的就是顺序排列和逆序排列。

本文将探讨这两种排列方式的概念、用途以及在不同领域中的应用。

一、顺序排列顺序排列是指数字按照从小到大的顺序排列。

在数学中，顺序是数字大小的基本规则，它们按照从小到大的次序排列，便于比较和计算。

例如，我们学习数轴时，会发现数轴上的数字是按照从左到右逐渐增大的顺序排列。

此外，在计算中，顺序排列的数字也有助于求和、计算平均值等数学运算。

在现实生活中，顺序排列的数字也有广泛的应用。

举例来说，在商品销售中，商家可以按照价格的从低到高顺序排列商品，方便顾客进行选择和比较。

在交通规划中，道路上的交通信号灯以从红灯到绿灯的顺序排列，用于指示车辆行进的优先级。

此外，在排队购票、排队就餐等场景中，人们也常常按照顺序排列进行等待。

二、逆序排列逆序排列是指数字按照从大到小的顺序排列。

与顺序排列相反，逆序排列在某些情况下更加实用。

在数学中，逆序排列的数字经常用于排列组合、概率统计等问题的计算。

例如，在计算排列数和组合数时，逆序排列的数字可以帮助我们确定可能的组合数目。

此外，在统计学中，逆序排列的数字也可以用于计算累积频率和累积概率等指标。

在实际应用中，逆序排列的数字也有许多重要用途。

以财务规划为例，人们经常按照从大到小的顺序排列财务收入和支出，以便更好地掌握自己的经济状况。

在工程设计中，设计师会按照从大到小的顺序排列重要性、紧急程度等因素，以确定任务的优先级。

此外，在商业决策中，逆序排列的数字也经常用于确定市场需求、销售量等因素的优先级。

结论通过本文的讨论，我们可以看到顺序排列和逆序排列在数字排列中的重要性和应用价值。

顺序排列的数字有助于比较、计算和选择，而逆序排列的数字则更适用于组合、概率和优先级等计算。

无论是在学术领域还是实际应用中，数字的排列方式都扮演着重要的角色，对于我们的生活和工作有着深远的影响。

§12n阶行列式


n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.

排列和逆序数

一、课程内容
绪
论
线性代数是是中学代数的继续和发展。
“线性”即一次，一次函数、方程、不等式 均称为线性的。本课程一重要内容——解含n个 未知数、m个方程的任一线性方程组。课程给出 了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些 新知识，如矩阵、向量及相关概念。 行列式与矩阵概念是人们从求解线性方程 组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性 方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在 众多数学分支以及自然科学、现代经济学、
工程技术等方面也有广泛应用。教材在Ch4进一 步研究线性方程组问题。
二、课程应用 线性问题广泛存在于自然科学、管理科学 和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一 定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不 等式又可以通过引进新变量转化为等式(“线性 规划”课程)——即线性方程。 因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤 其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、 准确求解。
三、课程特点
学习方法
代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好. 适当 笔记 适时 复习 独立 、独立完成; 格式; 上交时间.
第一章
行列式
1.1 排列的逆序数 (1)排列: 自然数1,2,…, n组成的一个有序数组 i1i2„in称为一个n级(元)排列. 例 123、231、312、… 三级排列,共3!＝6种； …五级排列. 1242 不是排列. 51243、41352、 自然排列: 按自然数顺序排列(左数码<右数码) 一般排列：不按自然数顺序排列. (2)逆序: 大数码排在小数码前面, 称两者构成一 个逆序. 排列中的逆序总数称作逆序数, 记 () 例 (3241) 2+1+1=4; (51243) =5; (12345) =0; n( n 1) (n(n 1)(n 2) 21) = n-1+n-2+„+2+1 = 2

排列、逆序与对换

偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214。
任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变
定理1
证 分两种情况讨论:
(1)对换相邻两个数的情况
若该排列为a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn。将相邻两个数i 与j 作一次对换，则
排列变为a1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn。
定义2 在一个n 级排列p1p2 …pn 中，如果较大的数pt 排在较
小的数ps 的前面(ps<pt)，则称pt 与ps 构成一个逆序。一个n
级排列中逆序的总数称为逆序数，记作(p1p2…pn)。
对于任意一个排列，可以按照以下方法来求逆序数：设p1p2…pn 是
1，2，…，n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
显然，对数1，a2，…，al，b1，b2，…，bm 和c1，c2，…，cn 来说，并不
改变它们的逆序数。但当i<j 时，经过i与j 的对换后，排列的逆序数增加1个；
当i>j 时，经过i与j 的对换后，排列的逆序数减少1个。所以，对换相邻两数后，
排列改变了奇偶性。
(2)一般情况
设排列为a1a2…alib1b2 …bmjc1c2 …cn。将i 与j 作一次对换，则排列变为
列的奇偶性相同。
定理2
n(n>1)个数共有n! 个n 级排列，其中奇、偶排列各占!Biblioteka 一半，分别有 个定理3
线 性 代 数
τ=t1 +t2 +…+t7 =0+1+0+3+2+2+6=14
(2)对于所给排列，前n 个元素：1，3，5，…，(2n-1)不构成逆序；2前
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人们通常按照定义1-3′给出n级排列，并且具体写n 级排列时，在不发生混淆的情况下，只是将数字并排放在 一起.例如，23541即为一个5级排列.
由中学排列组合的知识可知，n级排列的总个数为 n·(n－1)·(n－2)·…·2·1=n!
排列与逆序
【例1-1】
试写出所有的3级排列. 解由上面的讨论可知，总共有3!=6个不同的3级排列，它们 分别是 123,132,213,231,312,321 注意在【例1-1】的3级排列里，除了123中的数是按从小到 大的递增顺序排列以外，其余的排列中，都有较大的数排在较小 的数前面.例如，213中，2比1大，但是2排在1的前面.同样，在n 级排列中，也只有排列12…n中的数是按从小到大的递增顺序排列 的，其他的排列都或多或少地破坏了这种顺序.
排列与逆序
定义1-5在一个n级排列中，如果把这个排列里的任意两个 数i和j交换一下位置，而其余的数保持不动，那么就得到了一个 新的n级排列.对排列施行这样的一个变化称为n级排列的一次对 换，用符号(i,j)表示.
例如，经过对换(2,3)，可以将排列23541变成32541，将 52431变成53421.容易验证，对一个排列连续实施两次相同的 对换，就将这个排列还原，变回原来的排列了.由此可知，一个 对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这 个对换下互变.
排列与逆序
定义1-4在一个n级排列中，如果某两个数 的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于 后面的数，那么就称它们为一个逆序，一个排 列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.通常， 将j1j2…jn的逆序数记成τ( j1j2…jn)，并且我们将 逆序数为奇数的排列称为奇排列，将逆序数为 偶数的排列称为偶排列.
排列与逆序
一般地，可以利用如下方法计算一个n级排列的逆序数：设 j1j2…jn是一个n级排列，如果把排在ji（i=1,2,…,n）前面且比ji大 的数的个数记为si，则j1j2…jn的逆序数为
τ( j1j2…jn)=s1+s2+…+sn 例如，τ(23541)=0+0+0+1+4=5， τ(32541)=0+1+0+1+4=6，因此，23541是一个5级奇排列， 而32541是一个5级偶排列.更一般地，τ(12…n)= 0+0+…+0=0，从而12…n是一个n级偶排列. 一般地，在n!个n级排列中，偶排列和奇排列各占一半.为 了说明这个事实，还需要进一步研究排列的奇偶性.
排列与逆序
排列与逆序
定义1-3
将由n个不同的自然数 m1,m2,…,mn组成的一个有序数组称为 一个n级排列.
由于这里主要考虑这n个数的前后 次序关系，不妨设这n个数就为1,2,…,n. 于是，上面的定义可以写成如下定义.
排列与逆序
定义1-3′将由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称 为一个n级排列.
以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数n( j1j2…jn)的奇偶
性与τ( j1 12 n
=(－1)τ(
j j …j ) 12 n
谢谢聆听
排列与逆序
关于排列的奇偶性，可以不加证明地给出如下定理.
定理1-1任何一个对换都可以改变排列的奇偶性，也就是说，
经过一次对换，偶排列变成奇排列，奇排列变成偶排列.
这个定理说明了：当n≥2时，n级排列的奇排列和偶排列个
数相等，各为 n!2 .
定理1-2设j1j2…jn是任意一个n级排列，则j1j2…jn与12…n可