二元一次方程组求解的几何意义

实际问题与二元一次方程组

编稿：陈琳琳 审稿：张扬 责编：孙景艳

目标认知

学习目标：

1．了解应用题的几种基本题型；

2．掌握列方程组解应用题的一般步骤；

3．探索事物之间的数字关系，建立方程模型；

4．通过实践和探索，运用二元一次方程组解决有关实际问题.

重点：

在解答应用题时，能建立正确的方程模型.

难点：

二元一次方程组在应用题中的灵活运用.

知识要点梳理

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

要点诠释：

(1)寻找等量关系的方法有：①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等．

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称．

(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．

(4)最后的结果必须使实际问题有意义．

知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段

图便于理解、分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；

速度＝；时间＝。

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，

因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题:①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

实际问题与二元一次方程组（1）

（顺风逆风问题·劳力调配问题）

和雅激情：学习贵在坚持

学习目标：经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。

自学指导：用3分钟自学

文雅自修一

列方程解应用题的步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答

文雅自修二 探究：课本99页探究1

养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？

问题：1） 题中有哪些已知量？哪些未知量？

2） 题中等量关系有哪些？ 3）如何解这个应用题？

本题的等量关系是（1）（ ）

（2）（ ）

优雅展评 我会用

1.有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

2、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？

堂清雅行 一、顺风逆风问题：

1、A市至B市的航线长1200㎞,一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分，求飞机的平均速度与风速。

2、一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地，原路返回12小时才能到达，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度和两地之间的距离。 3、一条船顺流航行，每小时行20㎞；逆流航行，每小时行16㎞,求轮船在静水中的速度与水的流速。

二、劳力调配问题：

1、在甲处劳动的有29人，在乙处劳动的有17人，现要赶工期，总公司另调20人前来支援，使甲处的人数是乙处人数的2倍，应该分别调往甲、乙两处各多少人？

5.2 求解二元一次方程组（第2课时）

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、合并同类项、去括号等法则，能熟练的进行简单的整式的加、减法运算整式的运算，知道方程的解的意义，能熟练的求解一元一次方程，了解了二元一次方程以及解的意义、二元一次方程组及其解的意义，能通过代人消元法求解二元一次方程组.

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了列整式、列一元一次方程并求解，列二元一次方程组解决了一些简单的现实问题，感受到了方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，通过解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组获得了解二元一次方程的基本经验和基本技能；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.

二、教学任务分析

教科书基于学生对前面解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组基础之上，提出了本课的具体学习任务：会用加减消元法解二元一次方程组，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

《课程标准（2011年版）》把方程与方程组的重点放在解法和应用上，特别强调体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，如何解方程与方程组时方程与方程组教学的主体和重点.对于二元一次方程组来讲，强调“消元”的思想和方法，应是贯穿于始终的一条主线，通过“消元”，将二元一次方程转化为一元一次方程实现求解的目的，体现了化繁为简，以简驭繁的基本策略，对促进了学生理性思维的发展具有重要意义.通过第一课时是学习，学生已经能够解一般的二元一次方程组，但对于有些方程用代人消元法解可能比较繁杂，用加减消元法要简单一些，同时加减消元法在学生将来的矩阵运算中有广泛的应用。因此这个课时就进一步学习二元一次方程组的加减消元法.

加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有某一个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程两边同时乘以一个适当的不为0的数或式，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元.

1 二元一次方程组（BT）

例: 解下列方程组:

⑴41216xyxy ⑵41312223xyyxy

⑶2320235297xyxyy

典型例题分析

1. 解下列方程组:

⑴9185232032mnmmn ⑵7231xyxy

⑶199519975989199719955987xyxy ⑷323231112xyzxyzxyz ⑸23427xyyzzxxyz

2 2.如果21xy是方程组75axbybxcy的解,则ac与的关系是( )

A.49ac B. 29ac C. 49ac D. 29ac

3.关于xy、的二元一次方程组59xykxyk的解也是二元一次方程236xy的解,则k的值是 .

4. 若已知方程221153axaxaya,则当a= 时,方程为一元一次方程; 当a= 时,方程为二元一次方程.

5. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为31xy;乙看错了方程②中的b得到方程组的解为54xy,若按正确的ab、计算,求原方程组的解.

6. 若4360,2700,xyzxyzxyz求代数式222222522310xyzxyz的值.

7. 求二元一次方程3220xy的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解.

8.已知关于xy、的方程组210320mxyxy有整数解,即xy、都是整数,m是正整数,求m的值. a515