线性方程组解的结构

实验报告2 线性方程组的直接解法

班级专业 统计2 姓名 毛雅婷 学号 201230980214 成绩

一、实验目的

掌握高斯消去法思想，会用高斯消去法、列主元的高斯消去法、矩阵的三角分解法求解线性方程组。

二、实验内容、计算过程与结果

题目 1、（P73 第1题） 用高斯消去法解方程组

1231231221314254 2 7xxxxxxxx.

程序 clear; A=input('Please input the augmented matrix:');

[m,l]=size(A);

for i=1:m-1

if A(i,i)==0

if A(k,i)==0

k=(i+1);

else k<=m

k=(i+1);

b=A(i,:);A(i,:)=A(k,:);A(k,:)=b;

end

end

end

for j=i+1:m

A(j,:)=A(j,:)-A(j,i)/A(i,i).*A(i,:);

end

end

A,

x(m)=A(m,m+1)/A(m,m);

for i=m-1:-1:1

b=0;

for j=m:-1:i+1

b=b+x(j)*A(i,j);

end

x(i)=(A(i,m+1)-b)/A(i,i);

end

x,

结果 A =

2.0000 -1.0000 3.0000 1.0000

0 4.0000 -1.0000 2.0000

0 0 -0.8750 5.2500

第２４卷第６期　２０１１年１１月　唐山学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．２４　ＮＯ．６　ＮＯＶ．２Ｏｌ１　

线性方程组解的结构形式剖析　

曹玉平　（连云港职业技术学院基础部，江苏连云港２２２００６）　摘要：借助矩阵范数和矩阵广义逆的概念，结合线性空间的有关结论，给出了线性方程组常见的解　的结构形式。　关键词：线性方程组；解；结构形式　中图分类号：Ｏ１５１．２　文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—３４９Ｘ（２Ｏｌ１）０６—０００４一Ｏ２　

Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　Ｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｇｒｏｕｐｓ　ＣＡＯ　Ｙｕ－ｐｉｎｇ　（Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ　２２２００６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ｃｏｍｍｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｇｒｏｕｐｓ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｗｏｒｋｅｄ　ｏｕｔ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ　ｐａｔｔｅｒｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｃｏｎｖｅｒｓｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ　ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｃｏｎ——　ｃｌｕｓｉｏｎ　ｃｏｖｅｒｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｐａｃｅ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｇｒｏｕｐｓ；ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｆｏｒｍ　ａｎａｌｙｓｉｓ　

线性方程组　一６有解，而当系数矩阵Ａ为奇异方阵或　不是方阵时，其通解如何？是否具有唯一解？甚至当　＝ｂ　无解时是否具有实际问题的解呢？本文借助矩阵范数等概　念给出了它们的一般结构形式。　ｌ　预备知识　定义１设矩阵Ａ∈　，定义一个实值函数ＩＩ　Ａ　Ｉｆ，满　足如下条件：①非负性。当Ａ≠０时，ＩＩ　Ａ　ｌｌ＞０；当Ａ＝０时　ＩＩ　Ａ　ｌｌ＝０；②齐次性。ＩＩ以ｌ＿一Ｉ　ａ…Ａ　ｌｌ，ｎ∈Ｃ；③三角不　等式。ｌ１　Ａ＋口１１≤Ｉｌ　Ａ　＋ｌ１口ＩＩ，Ｂ∈　，则称『１　Ａ　ｉＩ为Ａ　的广义矩阵范数。④相容性。若对　，　及ｃ　上的同　类广义矩阵范数ｌＪ・ＩＩ，有Ｉｌ　Ａ・层ｌ】≤ｌ』Ａ　Ｉｌ・ｌＩ　Ｂ　ＩＩ，Ｂ∈　，则称｛１　Ａ　ｌｌ为Ａ的矩阵范数。『】　定义２如果方程组舭＝６有解，则满足ｒｎ　ｉｎ．ｆｌ　ｚ　ｌｊ的－Ｔ　＾ｚ　ｂ　称为方程组Ａｘ一６的最小范数解。［２］　定义３如果方程组　一６无解，则满足ｒｍｎ　ＩＩ　一６｝ｉ的　－．　；∈　．ｚ称为方程组Ａｘ＝６的最ｄｘ－－乘解。　定义４设矩阵Ａ∈　，若矩阵口∈Ｃ，｜　满足如下４　个Ｐｅｎｒｏｓｅ方程：ＡＢＡ＝Ａ（１）；］［ＩＡＢ＝Ｂ（２）；（ＡＢ）　一ＡＢ（３）；　（ＢＡ）“＝ＢＡ（４），则称Ｂ为Ａ的Ｍｏｏｒ￣Ｐｅｎｒｏｓｅ逆，记为Ａ　。　显然若Ａ为非奇异矩阵，则Ａ　＝Ａ一。ｌ＿３］　定义５设矩阵Ａ∈　，矩阵口∈　，若对任意给定　的ｍ维向量ｂ，只要　＝６有解，ｚ＝髓也一定有解，则Ｂ称　为Ａ的一个｛１｝＿广义逆矩阵，记为Ａ。Ｈ　２　Ａｘ－＇－ｂ解的结构形式　引理１矩阵ＡＥ　，Ｂ∈ｃ，，　。Ｂ为Ａ的－－　个（１｝一ＪＩ‘　义逆矩阵的充分必要条件为ＡＢＡ—Ａ。　证明先证必要性。对任意的ｚ∈　，ｂ＝Ａｚ是ｍ维向　量，且２为Ａｘ＝６的解，因而　＝历也是一个解，即ＡＢｂ＝ｂ，　于是ＡＢＡｚ＝Ａｚ，由　的任意性可得ＡＢＡ－－Ａ。　再证充分性。若ＡｌＩＡ—Ａ，设Ａｚ＝６有解，则ＡＢｂ—　ＡＢＡｘ一　＝６，所以　＝Ｂｂ也是一个解，由定义５知Ｂ为Ａ　的一个｛１｝一广义逆矩阵。　引理２设ＡＥ　，Ｂ∈　，Ｘ∈　，则ｌｌ　ＡＸ—Ｂ　取极小值的充要条件为ＡＸ一　，Ｂ。　证明　因为ＡＸ—Ｂ一（Ａｘ—ＰＲ（＾，曰）＋（Ｐ　（　Ｂ—Ｂ），　且ＡＸ—ｊ　（＾）Ｂ∈Ｒ（Ａ），ＰＲ（＾）Ｂ…Ｂ　一（Ｅ～ＰＲＩＡ】）Ｂ一一　Ｊ　』（　）Ｂ∈Ｒ　（Ａ），所以ｌｌ　ＡＸ—Ｂ　ｌＩ。＝＝ＩＩ　ＡＸ—ｆ　（　Ｂ　ＩＩ　十　Ｉｌ　Ｐ　ｔ　Ｂ～Ｂ　ＩＩ　，因此，当且仅当ＡＸ＝ＰＲ　Ｂ时，Ｉ｛ＡＸ—Ｂ　ｉ｛　取极小值Ｉｌ　ＰＲ　Ｂ一日　。　引理３　是方程组Ａｘ一６的最小二乘解的充要条件为　ｚ是方程Ａ“　一Ａ“６的解。　证明　因为ｂ＝ｂ＋ＰＲ（＾）ｂ－－ＰＲ（＾）６＝ＰＲｆＡ）＋肪一ｆ　（＾）ｂ—　Ｉ　『Ａ】ｂ十（Ｅ—Ｉ　（＾））６＝ＰＲ（＾）ｂ＋ＰＮ（ＡＨ）ｂ，　

第６卷第１２期　２００７年１２月　南阳师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．６　ＮＯ．１２　Ｄｅｃ．２００７　

线性方程组解的结构探讨　

李伟超，马淑云　（南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳４７３０６１）　摘要：并ｌ】用分块矩阵的性质来研究一般线性方程组解的结构，给出了一般线性方程组ＡＸ＝ｂ的解存在的充分必要条　

其中，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ａ。．）＝ｒ，Ａ。．为Ａ的ｒ　ｘ　ｒ阶子块，Ａ：　为Ａ的（　。・　

中图分类号：Ｏ　１５１．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６１３２（２００７）１２—００１５—０３　

１　预备知识　设Ｆ是一个数域，（１．１）是Ｆ上含ｍ个方程ｎ　个未知量的线性方程组　ａｌｌ　ｌ＋ａ１２　２＋…＋ａｉ　ｎＵ；ｎ＝ｂｌ，　ａ２１　ｌ＋ａ２２ｘ２＋…＋ａ２ｎＸｎ＝ｂ２，　：　ａｍｌ　ｌ＋（ｚｍ２　２＋…十ａｍｎｘｎ＝ｂｍ．　（１．１）　

令Ａ＝（０　）　，ｂ＝（ｂ１　ｂ２…ｂ　）　，Ｘ＝（　ｌ　２…　）　这个方程组可写为ＡＸ＝ｂ．　（１．２）　称　ＡＸ＝０　（１．３）　叫做方程组（１．２）的导出组．　引理１…　设ｎ阶行列式ＩＤ　Ｉ＝Ｉ　ｄ　Ｉ≠０，则当　ｒ＜ｎ时，齐次线性方程组　ｒｄＩｌ　ｌ＋ｄｌ２　２＋…＋ｄｌｎ　＝０，　ｌｄ２ｌ　ｌ＋ｄ２２　２＋…＋ｄ２ｎ　ｎ＝０，　１　；　Ｌｄ　ｌ　１＋ｄｒ２　２＋…＋ｄ　ｒ．　＝０　有一个基础解系Ｄ　＝（Ｄ　，…，Ｄ　）　，　＝ｒ＋１，　ｒ＋２，…，ｎ．其中Ｄ　（　＝１，２，…，ｎ）是Ｄ中元素　的代数余子式．　引理２『２　线性方程组（１．２）有解甘ＪＲ（Ａ）＝　Ｒ（Ａ，ｂ）＝ｒ，这里（Ａ，ｂ）为方程组（１．２）的增广　矩阵．　１）当ｒ＝ｎ时，方程组（１．２）有唯一的解；　２）当ｒ＜ｎ时，方程组（１．２）有无穷多个解，其　解的一般形式为　＝　ｏ＋ｋｌ　ｌ＋尼２　２＋…＋ｋ…　一　，　

Ｏｎｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｖｅｃｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂｙ　ｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ＪＩＡ　Ｐｅｎｇ，ＣＨＥＮ　Ｄｏｎｇ＝ｌｉ，ＭＡ　Ｃｈｕｎ－ｈｕｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ　７　１　００５５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｄｅｆｉｎｅ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｉａｌ　ｏｆ　ｖｅｃｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂｙ　ｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｎｌａｒｇｅｍｅｎｔ　ｍｏｄｅｌ　ｕｓｅｄ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｏｆ　ｖｅｃｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｂｙ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｌｉｎｅｒ　ｍａｐ．Ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｏｆ　ｖｅｃｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ，ａｎｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｉｔ，ｖｅｃｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ　ａｔ　ａ　ｐｏｉｎｔ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｖｅｃｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｌｏｃａｌｌｙ　ｌｉｎｅｒ　ｍａｐ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｉａｌ；ｊａｃｏｂｉａｎ　ｍａｔｒｉｘ　收稿日期：２００７—１Ｏ—Ｏ９　作者简介：李伟超（１９８２一），开封尉氏人，２００３级学生。　厂●●●ｌ　＋　＿　、广

1 / 12 3.4 线性方程组解的结构

当线性方程组有无穷多解时,能否用有限个解把无穷多个解全部表示出来，这就是我们将要讨论的线性方程组解的结构问题.

一 齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组(6)表示为

如果为齐次线性方程组(6)的解,则

=

称为方程组(6)的解向量,它也是矩阵方程的(7)的解.

根据矩阵方程（7），我们来讨论解向量的性质。

性质1 若，为（7）的解，则也是（7）的解。

证 只要验证满足方程（7）：

.

即也是方程组(7)的解. 证毕 2 / 12 性质2 若为（7）的解，为实数，则也是（7）的解.

证 .

即 也是方程组(7)的解. 证毕

性质3 若为（7）的解,对于的任意一组常数,则其线性组合也是（7）的解.

证 =

=

即线性组合也是方程组(7)的解. 证毕

从第二节齐次线性方程组的例题中可知,对于元齐次线性方程组,若,则有个自由未知量,这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数,它也可以表示为个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合,这时我们称其为齐次线性方程组的全部解.

当然,我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方法，利用增广矩阵的初等行变换把增广矩阵转化为行最简型，可得同解方程组.对于,我们可得用向量表示的一般解形式,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的解向量组.

在上一节的例6中, 系数矩阵的秩,而未知量的个数,则自由未知量的个数为,这时方程组无穷解的一般表达式中含2个任意常数,方程组解向量的一般表达式为: 3 / 12 =

其中, ,,如果在解向量的一般表达式中令和

可得解向量,则是线性无关的解向量组.

依据上面的讨论,对于齐次线性方程组给出一个重要的概念.

定义3.1 已知齐次线性方程组有无穷多解,并且含有个自由未知量,若解向量的一般表达式为

(为任意常数)

则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系.

根据齐次线性方程组解的性质以及求解过程,我们可以判定齐次线性方程组解的基础解系不唯一,有无穷多组,但是它们含有解向量的个数不变,并且都等于自由未知量的个数.构成基础解系的解向量是线性无关的. 从而可得齐次线性方程组解的重要定理.