线性方程组解的结构

1 / 13 线性方程组解的结构

线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。

一、基本概念

（1） 齐次线性方程组：，形如000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）的方程组称为数域上的n元齐次线性方程组，它的系数矩阵是nmijaA)(，未知量可以表示为nxxxX21，则0X (1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。

（2）非齐次线性方程组：形如.22112222212111212111,,mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的方程组成为数域上的n元非齐次线性方程组，它的系数矩阵为mnijaA)(,增广矩阵为),,,,(),(~21nAA，未知量可以表示为nxxxX21，则X= (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。称齐次线性方程组0X是线性方程组的导出组。

二、 线性方程组有解的判定定理

我们将线性方程组.22112222212111212111,,mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（2.1）写成向量形式：1122.nnxxx （2.2） 2 / 13 其中j1,2,,jn是系数矩阵的第j个列向量，是常数向量。

如果线性方程组（2.1）有解，则它等价于1122.nnxxx有解，此时，是1,2n，的线性组合。因而RAR，则的极大无关组就是的极大无关组，所以是1,2n，的线性组合，故方程组（2.1）有解，线性组合的系数就是它的一组解。于是我们有下述定理成立。

定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是增广矩阵与系数矩阵的秩相等。

定理2 如果与的秩都相等，且都等于n,线性方程组（1）有且只有唯一解。

证明：由定理1知道，线性方程组（2.1）的解存在，由于=RARn，则显然有mn。所以可以适当的交换线性方程组（2.1）中方程式的次序，使得的前n个行向量线性无关，其余的行向量是前n个行向量的线性组合，因此去掉后面的mn个方程后不影响方程组（2.1）的解，这样我们就得到了一个新的线性方程组，它含有n个未知量n个方程，并且它的系数矩阵的秩是n，所以系数矩阵的行列式不为零。故由克莱姆法则知道它有唯一解。所以线性方程组（2.1）有唯一解。证毕。

定理3 如果RARn，则线性方程组（2.1）有无穷多解。

证明：设=rRARn。适当的交换线性方程组（2.1）中的方程式，使得前r个行向量线性无关，并去掉其余的方程式后，得到一个与线性方程组（2.1）同解的线性方程组

11111,111111,11,,.rrrrnnrrrrrrrrnnrcxcxcxcxbcxcxcxcxb (2.3)

由于RAr，所以线性方程组（2.1）系数矩阵C的秩也是r，则C必有一个r阶子式不等于零。

不妨设11cccc

三、线性方程组解的求法

1、克莱姆法则

2、利用矩阵的初等变换进行求解 3 / 13 例：（1）解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.xxxxxxxxxxxxxxxx

解：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵

12472315071014312143001641367124726000743A

显然有()4rAn，则方程组仅有零解，即12340xxxx.

解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵

11111321130122654331A1412(5)(3)rrrr11111012260122601226

2123242(1)(1)rrrrrrr10115012260000000000

可得()2rAn，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

134523455,226.xxxxxxxx（其中3x，4x，5x为自由未知量）

令31x，40x，50x，得121,2xx；令30x，41x，50x，得121,2xx；令30x，40x，51x，得125,6xx，于是得到原方程组的一个基础解系为 4 / 13 112100，212010，356001.

所以，原方程组的通解为

112233Xkkk（1k，2k，3kR）.

例3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.xxxxxxxxxxxx的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解.

解：将系数矩阵A化成简化阶梯形矩阵

121112111215A 1312(1)(1)rrrr121100020004

12232(1)()rrr121000010000

可得()2rAn，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

12342,0,xxxx（其中2x,3x为自由未知量）

令21x，30x，得142,0xx；令20x，31x，得141,0xx，于是得到原方程组的一个基础解系为

12100,21010

所以，原方程组的通解为

1122Xkk（其中1k,2k为任意实数）.

一、 齐次线性方程组解的结构 5 / 13 齐次线性方程组的矩阵形式为 AX=0 (1)

其中nmijaA)(,nxxxX21。

齐次线性方程组(1)的解有下列性质：

性质1：如果21,XX是齐次线性方程组(1)的两个解，则21XX也是它的解。

证：因为21,XX是齐次线性方程组(1)的两个解，因此有：

01AX, 02AX

得：000)(2121AXAXXXA

所以21XX也是齐次线性方程组(1)的解。

性质2： 如果1是齐次线性方程组(1)的解，k是一个任意常数，则1k也是它的解。

证：已知1是齐次线性方程组(1)的解，所以有1=0,从而

1kX=1kX=0,即1k也是齐次线性方程组(1)的解。

说明:性质1与性质2告诉我们：齐次线性方程组的解的线性组合仍是它的解，齐次线性方程组（1）所有解的集合非空，因为它至少含有零解，又由性质1与性质2，全体解的集合就构成了n维向量空间的一个子空间。这个子空间称为齐次线性方程组（1）的解空间。下面来讨论这个解空间。

定义1：齐次线性方程组0AX的一组解解t,,,21，满足：

(1) t,,,21线性无关；

(2) 0AX的任意一个解均可由t,,,21线性表示。

则称t,,,21是齐次线性方程组0AX 的一个基础解系。

定理1如果齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa ，系数矩阵nmijaA)(，nrAr)(，则齐次线性方程组有非零解，且它的解空间的维数6 / 13 是nr.

证：因为nrAr)(，所以齐次线性方程组有无穷多解，且齐次线性方程组的一般解为：

nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxKxKxKxxKxKxKxxKxKxKx22112222112212211111 （1）

其中nrrxxx,,,21为自由未知量。对n-r个自由未知量分别取100,,010,001

代入(1)可得齐次线性方程组的n-r个解：

100,,010,00121222212112111rnnnrnrrrrrrrrKKKKKKKKK

下面证明rn,,,21是齐次线性方程组的一个基础解系，首先证明rn,,,21线性无关。因为向量组100,,010,001是线性无关，则由上节所证明的性质得rn,,,21线性无关。

再证齐次线性方程组的任意一个解ndddX21都可由rn,,,21线性表示。 7 / 13 因为ndddX21是齐次线性方程组的解，所以满足(1)式：

nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrdKdKdKddKdKdKddKdKdKd22112222112212211111

从而

nrrnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrddddKdKdKdKdKdKdKdKdKX21221122221121221111

10001000121222212112111rnnnnrrrrrrrrrrKKKdKKKdKKKdrnnrrddd2211