勾股定理 第一课时 教学案

初中几何勾股定理1教案1. 知识与技能目标：理解勾股定理的内容，能够运用勾股定理解决一些简单的实际问题。

2. 过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

3. 情感、态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

二、教学内容1. 教学内容：勾股定理的内容及其应用。

2. 教学重点：理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的应用。

3. 教学难点：勾股定理的证明和应用。

三、教学过程1. 导入新课通过复习三角形的基本概念，引出勾股定理。

提问：直角三角形有哪些特殊的性质？让学生回顾直角三角形的定义和性质，为学习勾股定理做好铺垫。

2. 讲解新知（1）介绍勾股定理的定义：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

（2）讲解勾股定理的证明：通过画图、操作，让学生直观地理解勾股定理的证明过程。

可以采用几何画板或者实物模型，让学生动手操作，加深对勾股定理的理解。

（3）举例说明勾股定理的应用：解决一些实际问题，如计算直角三角形的边长等。

3. 巩固练习布置一些有关勾股定理的练习题，让学生独立完成。

题目可以包括计算直角三角形边长、判断一个四边形是否为矩形等。

通过练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

4. 课堂小结在本节课结束时，总结勾股定理的内容和应用，强调勾股定理在几何学中的重要性。

同时，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，发现数学的美妙。

四、课后作业布置一些有关勾股定理的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

可以布置一些计算题、证明题，让学生在课后独立完成。

同时，鼓励学生查找一些有关勾股定理的历史背景和文化故事，增加对数学的兴趣。

五、教学反思在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问。

针对学生的不同需求，可以适当调整教学进度和难度，让每个学生都能在课堂上得到充分的锻炼和发展。

同时，要注重培养学生的空间观念和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

库车县伊西哈拉镇中学集体备课教案问题1：请同学们认真观察课本封面本章章前彩图说一说封面彩图中的图形表示什么意识？他们之间有联系吗？（1）观察图2-1正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积。

（2）正方形B的面积是个单位面积。

（3）正方形C的面积是个单位面积。

Sa +Sb=Sca2+b2 =c2可以发现以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。

即等腰直角三角形的三个边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两①实际生活中直角三角形三条边之间的关系有关的例子较多比如说：学校国旗杆的高与地面上垂直国旗杆的一条线之间的角是直角从那么杆顶点到地面直线的端点形成的三角形与三条边之间有什么样的关系？还有②相传2500多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的莫种数量关系。

我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系。

个直角边的平方和。

探究：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？上册图中每一个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A， B，C 的面积，看看能得出什么结论（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于莫个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。

）由上面的几个例子我们猜想可以得到下命题：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2证明命题1的方法很多种，下面介绍我国古人赵爽的证明法。

赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：如图把边长为a,b的两个正方形连在一起，他的面积是a2+b2;另一方面，这个图形可以分割成四个全等的直角三角形和一个正方形把图中左右两个三角形移到图中所示的位置就会形成一个以c以边长的正方形因为两个图都由四个。

勾股定理教案第一课时
一、教学目标
1. 理解勾股定理的基本概念，知道勾股定理的定义。

2. 能够熟练地运用勾股定理解决实际问题。

3. 通过实例分析，提高学生的数学思维能力。

二、教学重点与难点
1. 教学重点：勾股定理的定义与运用。

2. 教学难点：勾股定理的运用与解释。

三、教学过程
1. 导入新课：通过提问的方式，引导学生思考勾股定理的实际应用，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲授：
a. 讲解勾股定理的定义，让学生理解什么是勾股定理。

b. 通过实例分析，让学生掌握勾股定理的运用方法。

c. 通过实际问题解决，让学生熟练掌握勾股定理的运用。

3. 课堂练习：通过课堂练习，让学生巩固勾股定理的运用方法。

4. 课堂总结：总结本节课的主要内容，强调勾股定理的重要性和运用方法。

四、教学评价
通过课堂表现、课堂练习等方式，对学生的学习情况进行评价。

五、教学反思
通过本节课的教学，学生是否能够理解勾股定理的定义，是否能够熟练运用勾股定理解决实际问题，是否有足够的课堂参与度等，都是需要进行教学反思的内容。

勾股定理（第一课时）教学目标1．知识与技能：（1）了解勾股定理的发现过程。

（2）掌握勾股定理的内容。

（3）会用面积法证明勾股定理。

（4）会应用勾股定理进行简单的计算。

2．过程与方法：（1）经历利用等腰直角三角形探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

（2）探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

3．情感、态度与价值观：（1）介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

（2）培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力。

教学重难点勾股定理的内容及证明。

教学过程一、引入新课。

教师活动：目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，更是非常了不起的成就。

二、进行新课。

1．勾股定理的内容及其证明。

教师活动：引导学生阅读课本相关的内容。

相传2500年前，毕达哥拉斯又一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。

我们也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？思考：你能发现下面图中的直角三角形有什么性质吗？可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。

即我们惊奇的发现，等腰三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。

探究：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？上图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，'A，'B，'C 的面积，看看能得出什么结论。

（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于以某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。

§18.1勾股定理（第1课时）教学目标：知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

过程与方法：经历探索与发现直角三角形三边关系的过程，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。

情感态度与价值观：初步了解勾股定理的文化内涵.教学重点：探索并发现勾股定理的过程。

教学难点：勾股定理的面积法证明教学过程一、创设情境引入利用与外星文明交流的设想引入新课二、学习新知探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什么数量关系吗？1、正方形A的面积是：；正方形B的面积是：；正方形C的面积是：。

结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S A+S B=S C探究二：S A+S B=S C在图2中还成立吗？正方形A的面积是个单位面积．正方形B的面积是个单位面积．正方形C的面积是个单位面积．你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S A+S B=S C至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S A+S B=S C。

探究三:借助几何画板进一步探究S A +S B =S C三、猜想：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b,斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.四、证明(拼图证明)１、利用事先准备好的四块全等的直角三角形尝试拼成一个正方形学生们可能拼成的是以下两种情况：师生结合图形共同完成证明2.得出勾股定理：两直角边长分别为a 、b,斜边长为c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

3.勾股定理文化介绍六、感悟收获学了本节课后我们有哪些收获？七、课后作业1.必做题：（1）课本第57页，习题18.1 第1、2、3、4题；（2）同步练习：18.1（一）。

2.选做题：阅读课本“数学史话”栏目并上网查阅了解勾股定理的有关知识。

第十七章勾股定理17．1勾股定理第1课时勾股定理教学设计课题二次根式的混合运算授课人素养目标1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理．2.述勾股定理，并能应用它进行简单的计算．3.过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.教学重点运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算．教学难点“数形结合”思想方法的理解和应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图介绍我国古代数学成就，激发学生的学习兴趣.【情境导入】国际数学家大会是全球性的数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开过第24届国际数学家大会，如图是该届大会会徽的图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？【教学建议】简单介绍“赵爽弦图”的背景与组成图形.活动二：问题引入，自主探究设计意图引导学生探索、发现、证明勾股定理.探究点勾股定理的认识与证明1．特殊直角三角形中勾股定理的探究毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，如图①所示．(1)你能说出图①中正方形A ，B ，C 的面积之间的关系吗？答：正方形A ，B 的面积之和等于正方形C 的面积．(S A ＋S B ＝S C )(2)正方形A ，B ，C 所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？答：等腰直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．2．一般直角三角形中勾股定理的探究等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？观察图②，其中每个小方格的面积均为1.(1)请你分别计算出图②中正方形A ，B ，C ，A′，B′，C′的面积．答：A 的面积＝4，B 的面积＝9，C 的面积＝13，A′的面积＝9，B′的【教学建议】(1)可提示学生通过数等腰直角三角形的个数得到图①中正方形A，B，C 的面积的数量关系，再引导学生由正方形的面积等于边长的平方得出等腰直角三角形的三边之间的关系；(2)可提示学生利用割补法计算图②中正方形C，C′的面积教学步骤师生活动面积＝25，C′的面积＝34.(2)正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？答：A的面积＋B的面积＝C的面积，A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．(S A＋S B＝S C，S A′＋S B′＝S C′)(3)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎么表述？答：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.3．勾股定理的证明阅读教材P23，24，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，我国把这个命题称为勾股定理，感兴趣的同学可以自己用拼图试一试．(等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)，再引导学生得到命题；(3)可以让学生拿一张长方活动三：知识运用，典例讲练设计意图帮助学生巩固对勾股定理的认识.例1请你补全下列证明勾股定理的一种方法．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c.求证：a2＋b2＝c2.证明：整个图形可以看作是边长为c的大正方形，它的面积为c2；也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b－a的小正方形组成，其面积为4×12ab＋(b－a)2.所以可以得到等式：4×12ab＋(b－a)2＝c2.化简，得a2＋b2＝c2.例2在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝17，b＝15，求a；(3)已知c＝14，a＝6，求b.解：(1)c＝a2＋b2＝32＋42＝25＝5.(2)a＝c2－b2＝172－152＝64＝8.(3)b＝c2－a2＝142－62＝160＝410.【对应训练】1～2.教材P24练习．3．如图是传说中毕达哥拉斯的证法，利用这两个图形证明勾股定理．提示：图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等．证明：从图上可以看到，这两个大正方形的边长都是a＋b，所以面积相等．所以a2＋b2＋4×12ab＝c2＋4×12ab，化简整理得a2＋b2＝c2.【教学建议】(1)告诉学生用拼图方法证明勾股定理通常有两种情况：①一个图形就利用它的两种不同面积表示方法列等式；②两个图形就利用它们的面积相等列等式．(2)提醒学生牢记直角所对的边是斜边，并要掌握勾股定理公式的其他变形(直角边为a，b，斜边为c时的情况)：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c＝a2＋b2，a＝c2－b2，b＝c2－a2.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是勾股定理？你知道几种证明它的方法？1．勾股定理的证明方法例1以a ，b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积都等于12ab ，把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A ，E ，B 三点在一条直线上．求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：∵Rt △EAD ≌Rt △CBE ，∴∠ADE ＝∠BEC.∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°.∴∠DEC ＝180°－90°＝90°.∴△DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于12c 2.又∠DAE ＋∠EBC ＝90°＋90°＝180°，∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于12(a ＋b)2.∴12(a ＋b)2＝2×12ab ＋12c 2.∴a 2＋b 2＝c 2.【知识结构】【作业布置】1．教材P 28习题17.1第1，3，7，13，14题．2．相应课时训练．板书设计17.1勾股定理第1课时勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．勾股定理的证明：“赵爽弦图”“毕达哥拉斯拼图”等.教学反思本节课以“情境导入－从特殊到一般－假设猜想－拼图验证”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，达到更好的学习效果．勾股定理的证明是本节课的难点，可以设计一些拼图活动，让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究，从而突破这一难点.例2作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H ，C ，B 三点在一条直线上，连接BF ，CD.求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：如图，过点C 作CL ⊥DE 于点L ，交AB 于点M.∵∠FAC ＝∠BAD ＝90°，∴∠FAC ＋∠CAB ＝∠BAD ＋∠CAB ，即∠FAB ＝∠CAD.又AF ＝AC ，AB ＝AD ，∴△FAB ≌△CAD(SAS )，∴S △FAB ＝S △CAD .∵△FAB 的面积等于12AF·AC ＝12a 2，△CAD 的面积等于12AD·DL(即长方形ADLM 面积的一半)，∴长方形ADLM 的面积＝a 2.如图，连接AK ，CE ，同理易证△ABK ≌△EBC ，∴易得长方形MLEB 的面积＝b 2.∵正方形ADEB 的面积＝长方形ADLM 的面积＋长方形MLEB 的面积，∴c 2＝a 2＋b 2，即a 2＋b 2＝c 2.2．利用勾股定理求边长应用勾股定理求直角三角形的边长时，经常利用a 2＋b 2＝c 2和其变式：a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c ＝a 2＋b 2，a ＝c 2－b 2，b ＝c 2－a 2.例3在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于(C )A ．10B ．8C ．10或6D ．10或8分析：本题要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD 和CD ，从而可求出BC 的长．解析：如图①，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10.如图②，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为10或6.故选C .例4已知直角三角形的两边长x ，y 满足|x 2－4|＋（y －2）2－1＝0，则第三边长为(D )A .3B .13C .5或13D .3，5或13解析：∵|x 2－4|＋（y －2）2－1＝0，∴x 2－4＝0，(y －2)2－1＝0.∴x ＝2或－2(舍去)，y ＝3或1.①当直角三角形的两边长为2和3时，若两直角边的长分别是2，3，则第三边的长为22＋32＝13；若3为斜边长，则第三边的长为32－22＝ 5.②当直角三角形的两边长为2和1时，若两直角边的长分别是2，1，则第三边的长为22＋12＝5；若2为斜边长，则第三边的长为22－12＝ 3.综上所述，第三边的长为3，5或13.故选D .注意：解题时注意分类讨论思想的应用，考虑问题不全面就会导致漏解．例1如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，E 为AC 上一点，连接BE ，DE ，延长DE 交AB 于点F ，已知DE ＝AB ，∠CAD ＝45°.(1)求证：DF ⊥AB ；(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：(1)∵AC ⊥BD ，∠CAD ＝45°，∴AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，＝DE ，＝DC ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEC(HL ),∴∠BAC ＝∠EDC.∵∠BAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EDC ＋∠ABC ＝90°.∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB.(2)由(1)知Rt △ABC ≌Rt △DEC ，DF ⊥AB ，∴EC ＝BC ＝a ，DC ＝AC ＝b ，DE ＝AB ＝c.由阴影部分面积，得S △BCE ＋S △ACD ＝S △AED ＋S △BED .又AC ⊥BD ，DF ⊥AB ，∴12a 2＋12b 2＝12c·AF ＋12c·BF ＝12c·(AF ＋BF)＝12c·AB ＝12c·c ＝12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.例2勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．勾股定理具体内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.(1)关于勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图①②③中任选一种来证明该定理．(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)解答下列各题：①如图④⑤⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有3个．②在如图⑦所示的“勾股树”中，设大正方形M 的边长为m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，则a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝m 2.(结果用含m 的代数式表示)(3)如图⑧，分别以直角三角形的三边a ，b ，c 为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S 1，S 2，直角三角形面积为S 3，请判断S 1，S 2，S 3的关系并证明．解：(1)在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即c 2＝12ab·4＋(b －a)2，化简得a 2＋b 2＝c 2；在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即(a ＋b)2＝c 2＋12ab·4，化简得a 2＋b 2＝c 2；在图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab·2＋12c 2，化简得a 2＋b 2＝c 2.(2)①解析：在图④中，S 1＋S 2＝a 2＋b 2，S 3＝c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3；在图⑤中，S 1＋S 2＝12π·(12a)2＋12π·(12b)2＝18π(a 2＋b 2)，S 3＝12π·(12c)2＝18πc 2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3；在图⑥中，易得S 1＋S 2＝34(a 2＋b 2)，S 3＝34c 2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3.∴图④⑤⑥中面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的有3个．故答案为3.(3)结论：S 1＋S 2＝S 3.证明如下：∵S 1＋S 2＝12π·(a 2)2＋12π·(b 2)2＋S 3－12π·(c2)2，∴S 1＋S 2＝18π(a 2＋b 2－c 2)＋S 3.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3.。