混沌优化算法及其在组合优化问题中的应用

混沌遗传算法及其应用第一章节混沌遗传算法及其应用混沌遗传算法（Chaos Genetic Algorithm，CGA）是一种混合优化算法，它结合了遗传算法（Genetic Algorithm，GA）和混沌理论，采用混沌迭代技术作为遗传算法的搜索过程，从而构建出一种新的全局优化技术。

CGA通过利用混沌的性质，使得遗传算法能够更好地探索搜索空间，从而改进遗传算法的优化能力。

因此，CGA已经广泛应用于优化问题的求解中，取得了良好的效果。

混沌遗传算法的基本原理是将混沌迭代技术和遗传算法相结合，以混沌迭代技术作为遗传算法的搜索过程，把混沌序列用作遗传运算的种群变异率，从而改变遗传算法的搜索属性。

混沌迭代技术用来控制种群变异率，使得搜索过程更加全局化、更加稳定。

因此，可以更好地搜索最优解，较快地收敛，并且抗局部最优解的能力也得到提高。

混沌遗传算法的应用十分广泛，常被用于求解优化问题。

在工程领域，CGA可以用于结构优化、项目调度、网络优化等；在控制领域，可以用于模式识别、模糊控制、鲁棒控制等；在信息处理领域，可以用于图像处理、语音处理、文本处理等。

此外，CGA还可以应用于生物信息学、金融工程、金融分析等领域。

为了更好地利用混沌遗传算法，在应用过程中，可以通过设置正确的参数来提高算法的性能。

首先，可以根据优化问题的特性确定种群规模。

其次，可以根据问题的特性确定个体的变异率，以及个体之间的交叉率。

最后，可以根据问题的特性确定混沌迭代技术的参数，以便更好地搜索全局最优解。

总之，混沌遗传算法是一种新型的全局优化技术，可以有效地求解优化问题。

CGA利用混沌迭代技术和遗传算法相结合，使得搜索过程更加全局化、更加稳定，从而更好地搜索最优解，较快地收敛，并且抗局部最优解的能力也得到提高。

在应用过程中，可以通过设置正确的参数，来提高算法的性能。

因此，CGA已经广泛应用于优化问题的求解中，取得了良好的效果。

混沌优化算法1. 简介混沌优化算法（Chaos Optimization Algorithm，简称COA）是一种基于混沌理论的全局优化算法。

它通过模拟混沌系统中的非线性动力学过程，实现对目标函数的最小化或最大化。

COA算法具有快速收敛、全局搜索能力强等特点，在解决复杂优化问题方面具有很大的潜力。

2. 混沌理论基础混沌理论是描述非线性系统动力学行为的数学理论。

在混沌系统中，微小的初始条件差异会导致系统演化出完全不同的结果，这种现象被称为“蝴蝶效应”。

混沌系统具有无序、不可预测、灵敏依赖于初始条件等特点。

3. COA算法原理COA算法基于混沌系统中的非线性动力学过程，通过引入粒子群搜索和随机扰动机制来实现全局优化。

3.1 粒子群搜索COA算法中，将待求解问题看作一个目标函数在多维空间中的最小值寻找问题。

每个个体（粒子）代表一个潜在解，并通过自身的经验和群体的协作来搜索全局最优解。

粒子群搜索算法的核心思想是模拟鸟群觅食的行为，每个粒子根据自身经验和邻居的信息更新自己的位置。

3.2 随机扰动COA算法引入随机扰动机制，通过在搜索过程中引入一定程度的随机性，增加算法的多样性，从而避免陷入局部最优解。

随机扰动可以通过改变粒子个体位置、速度等方式实现。

3.3 算法流程COA算法流程如下：1.初始化种群：随机生成一定数量的粒子，并初始化其位置和速度。

2.计算适应度：根据目标函数计算每个粒子的适应度。

3.更新全局最优解：根据适应度更新全局最优解。

4.更新个体最优解：根据适应度更新每个粒子自身的最优解。

5.更新速度和位置：根据粒子群搜索和随机扰动更新粒子的速度和位置。

6.判断终止条件：如果满足终止条件，则输出全局最优解；否则，返回步骤3。

4. COA算法特点COA算法具有以下特点：•全局搜索能力强：COA算法通过引入粒子群搜索和随机扰动机制，能够在解空间中进行全局搜索，避免陷入局部最优解。

•快速收敛：COA算法通过模拟混沌系统的非线性动力学过程，具有快速收敛的特点，能够在较短时间内找到较优解。

混沌映射优化算法混沌映射优化算法是一种基于混沌理论的全局优化方法，它利用混沌映射的随机性和无序性，对目标函数进行搜索，以找到全局最优解。

该算法具有收敛速度快、全局搜索能力强等特点，在工程领域中得到了广泛应用。

算法原理混沌映射优化算法的核心思想是通过混沌映射函数对搜索空间进行分割和扰动，以实现全局搜索。

具体步骤如下：1. 初始化：设定初始种群大小、迭代次数、混沌映射函数等参数。

2. 种群初始化：根据设定的初始种群大小，在搜索空间内随机生成一组初始解。

3. 混沌扰动：利用混沌映射函数对初始解进行扰动，得到新的一组解。

4. 适应度评估：计算每个解的适应度值，即目标函数在该解下的取值。

5. 繁殖操作：根据适应度值对解进行排序，并选择较优的一部分作为父代，通过交叉和变异操作产生新的子代。

6. 更新种群：将父代和子代合并更新种群，并进入下一轮迭代。

7. 终止条件：当达到设定的迭代次数或满足停止条件时，停止迭代并输出最优解。

算法优点混沌映射优化算法具有以下优点：1. 收敛速度快：由于混沌映射函数的随机性和无序性，搜索过程中可以充分利用搜索空间的信息，从而加快收敛速度。

2. 全局搜索能力强：该算法可以避免陷入局部最优解，从而实现全局最优解的搜索。

3. 适用范围广：混沌映射优化算法不依赖于目标函数的具体形式和搜索空间的维度，适用于各种类型的优化问题。

应用领域混沌映射优化算法在工程领域中得到了广泛应用，主要包括以下方面：1. 机器学习：该算法可以应用于神经网络、支持向量机等机器学习模型的参数调节和特征选择等问题。

2. 控制系统设计：混沌映射优化算法可以应用于控制系统参数调节、控制器设计等方面。

3. 信号处理：该算法可用于信号降噪、图像处理等领域中的优化问题。

4. 金融风险管理：混沌映射优化算法可以应用于投资组合优化、风险控制等方面。

总结混沌映射优化算法是一种基于混沌理论的全局优化方法，具有收敛速度快、全局搜索能力强等特点，在工程领域中得到了广泛应用。

组合优化问题的算法研究和应用组合优化问题是一类运筹学中非常重要的问题，它的研究与应用涉及到很多领域，如经济学、管理学、计算机科学等。

组合优化问题比较复杂，通常需要寻找一些高效的算法来求解。

在这篇文章中，我们将探讨组合优化问题的算法研究和应用。

一、组合优化问题的定义和分类组合优化问题是在有限个元素中选择满足特定条件的子集的一类问题。

组合优化问题可以分为三类：最优化问题、计数问题和结构问题。

最优化问题需要找到达到最大(小)值的解，比如背包问题、旅行商问题等；计数问题需要确定满足某种条件的子集的数量，比如子集和问题、图同构问题等；结构问题则是研究满足特定条件的子集的结构，比如哈密顿回路、二分图匹配等。

二、组合优化问题的算法对于组合优化问题的求解，有很多算法可以选择。

这些算法各有优缺点，选择不同的算法可以得到不同的运行结果。

以下是一些常用的算法：1、贪心算法贪心算法是一种局部最优解法，它基于局部最优解不断迭代求解全局最优解。

贪心算法通常比较简单，但是并不一定能得到最好的解。

2、回溯算法回溯算法是一种递归的算法，它通过穷举所有可能的解来找到最优解。

回溯算法也许能够得到最优解，但是常常会消耗很多时间和空间。

3、分支定界算法分支定界算法是一种常用于求解最优化问题的算法，它通过剪枝技术减少搜索空间的大小，从而提高算法的效率。

4、动态规划算法动态规划算法是一种高效的解决最优化问题的算法，它通过将问题分解为多个子问题，然后根据子问题的解推导出原问题的解。

5、遗传算法遗传算法是一种模拟自然界遗传进化的算法，可以用于求解优化问题。

遗传算法借鉴了进化论的思想，将经过选择、交叉、变异等操作后的个体不断进化，最终找到最优解。

三、组合优化问题的应用组合优化问题的应用非常广泛，可以涉及到各个领域。

以下是一些组合优化问题的应用案例：1、最优化问题背包问题：如何用有限的背包容量装下最多的物品？旅行商问题：如何走遍所有城市并返回起点的最短路径？最小路径覆盖：如何用最小的路径覆盖图中的所有节点？2、计数问题子集和问题：有一个含有n个正整数的集合，如何从中找出若干个元素，使它们的和等于k？划分问题：如何将一个集合划分成若干个互不相交的子集，使得每个子集的元素之和相等？图同构问题：如何判定两个图是否同构？3、结构问题哈密顿回路：如何找到一条经过所有节点的回路？二分图匹配：如何最大化匹配一个二分图中的节点？总之，组合优化问题是各个领域中都存在的一类问题，这些问题的解决可以帮助人们进行决策、规划和优化等工作。

2001年5月系统工程理论与实践第5期　文章编号:100026788(2001)0520102204求解一类组合优化问题的混沌搜索法张国平1,王正欧1,袁国林2(1.天津大学系统工程研究所,天津300072.2.中国长江三峡工程开发总公司,湖北宜昌443002)摘要:　把混沌引入各种传统的优化计算模型中以避免系统落入局部最优陷阱,是一种行之有效的方法Λ本文提出一种利用混沌搜索一类组合优化问题最优解的模型,并对其进行了理论分析和数值模拟Λ与混沌神经网络模型相比,本模型避免了模型参数选择的难题,具有实现方便,寻优效果好的优点,为解决一类组合优化问题提供了新途径Λ关键词:　混沌;组合优化;混沌神经网络;中图分类号:　O224 文献标识码:　A αA Chao tic Search M ethod fo r a C lass ofCom b inato rial Op ti m izati on P rob lem sZHAN G Guo2p ing1,W AN G Zheng2ou1,YU AN Guo2lin2(1.In stitu te of System s Engineering,T ian jin U n iversity.T ian jin,300072,Ch ina;2.Ch ina Yangtze T h ree Go rges P ro ject D evelopm en t Co rpo rati on.Y ichang,443002,Ch ina)Abstract　It is a good idea to m erge chao s in to vari ou s conven ti onal op ti m alm ethods ino rder to escape from localm in i m a.T h is paper p ropo ses a chao tic op ti m izati on model fo rcom b inato rial op ti m izati on p rob lem s and theo retically expounds that the model isfeasib pared w ith chao tic neu ral netw o rk models,the p resen t model w ill avo idthe param eter settings of chao tic neu ral netw o rk models w h ich is often very difficu lt,soit is easy to operate.M o reover,it can get better resu lts acco rding to num ericalsi m u lati on.Keywords　chao s;com b inato rial op ti m izati on;chao tic neu ral netw o rk1　引言在科学、工程和经济领域中经常出现组合优化问题,其中许多组合优化都是N P困难的ΛT SP问题(即旅行销售者问题:有m个城市,选择一条经过各城市一次且仅一次的回路,使其路径长度最短Λ)就是一个典型的N P困难问题Λ求解N P困难问题的最优解的计算量随着问题规模的扩大而呈指数量级增长Λ这类问题尚无多项式时间算法Λ因此实现一种求解组合优化问题的有效算法是很有实践意义的Λ由于难以找到N P困难问题的全局最优解,人们转而构造了许多近似算法,它们包括贪婪法、局部搜索法、不完全枚举法等,这些方法在寻求较好解方面取得了不错的效果Λ近年来,一些新的、更有效的启发式算法在组合优化方面得到了广泛的应用,这些算法包括:模拟退火算法、禁忌搜寻、遗传算法和人工神经网络等Λ混沌具有内在确定性与外在随机性的统一,它的一个轨道可以在其吸引子中稠密Λ根据混沌吸引子的这种特性,当时间足够长,这根轨道就能以任意精度逼近吸引子中的任意点Λ因此,近年来人们开始尝试利用混沌吸引子的这种特性来求解最优化问题Λ传统的梯度下降法总是易于落入局部最优解,Hopfield网络α收稿日期:2000201221资助项目:国家自然科学基金(79970042)优化计算是基于能量函数的梯度下降法,因此利用Hopfield 网络进行优化计算也易于落入局部最优解Λ把混沌引入神经网络是使神经网络避免陷入局部陷阱的有效策略Λ1987年,F reem an 首先提出了混沌神经元的概念[1];1990年,A ihara 等人通过在传统神经元的活化函数中引入时间延迟构造了一个混沌神经网络[2];同时,Inoue 等人利用两个混沌振荡子耦合成一个神经元的方法构造出一个混沌神经计算机[3],这个模型在求解T SP 问题中取得了良好的效果Λ此后,人们通过各种各样的方法构造出了性能各异的混沌神经网络,包括通过在神经网络中引入噪声来产生混沌[4],在Hopfield 网络中加入自环(即W (i ,i )≠0)来产生混沌[5],在神经网络运动差分方程中加大时间步长来产生混沌[6]Λ最近,一个引人注目的混沌神经网络模型是混沌模拟退火神经网络[5]Λ由于混沌神经网络具有全局搜索能力[7],以上这些混沌神经网络在求解组合优化问题中都不同程度地取得了较好的效果,尤其是混沌模拟退火神经网络,不仅具有全局搜索能力,而且稳定性好,收敛速度快Λ图1是一个单一神经元模型的混沌模拟退火过程的输出结果[5]Λ从图1中看出,网络的输出经历了一个反倍周期分岔过程,一开始网络处于混沌状态,随着退火过程的发展,网络进入倍周期分岔阶段,最后网络输出稳定在最优解上Λ图1然而,对于一个非线性动力系统,它是否会产生混沌,要取决于系统参数的选择Λ事实上,对于一个非线性方程组,一组不同的参数,往往会产生一个性质不同的动力系统Λ一个非线性动力系统何时会产生混沌,产生混沌后如何控制混沌的发展,是一件很困难的事情Λ上述混沌神经网络模型在确定了合适的参数后有良好的寻优能力,然而如何确定系统的参数却是一件很费时的事情Λ虽然根据理论分析可以确定某些参数的取值范围[7],某个参数具体应该取什么值还只能通过试验确定,而且,这些参数没有普适性,只能针对具体问题具体确定Λ然而另一方面,从图1中可以看出,网络在输出稳定的最优解之前,系统实际上已经多次经历过最优解或近似最优解了,如图中虚线所示Λ只是网络当时尚处于混沌状态,系统在经历最优解或近似最优解后又漂移到了其它地方Λ这就提醒我们,只要把网络在混沌状态下经历过的最优解或近似最优解记录下来,就不必等到系统稳定后再输出最优解Λ基于这样的想法,本文提出直接利用混沌搜索问题的最优解Λ同时,这样做的另一个好处是避免了混沌模拟退火神经网络等模型的参数选择问题,使优化计算变得既简单又有效Λ2　模型的原理本文采用L ogistic 混沌模型[8]来产生搜索路径序列,L ogistic 映射的形式如下:f :x (t +1)=a ×x (t )×(1-x (t ))参数a ∈(2,4], f :[0,1]→[0,1]L ogistic 映射有如下特性:1)当a ∈(2,3)时,映射f 有稳定的不动点;2)当a ∈[3,3.57]时,映射f 处于倍周期分岔阶段;3)当a ∈(3.57,4)时,映射f 失去稳定的周期轨道,出现混沌,但难以确定在那些点上其混沌集的一维L ebesgue 测度大于0;4)当a =4时,[0,1]是f 的混沌不变集Ζ在L ogistic 混沌不变集中,当时间足够长,f 的任一轨道在其中稠密,即对于ΠΕ>0,以及Πx ∈[0,1],开球B (x ,Ε)中必包含f 的一条轨道中的点Ζ反过来看,就是f 的任一轨道能以任意精度逼近[0,1]中的所有点Ζ301第5期求解一类组合优化问题的混沌搜索法本文就是利用a=4时的L ogistic映射混沌不变集的上述特性搜索问题的最优解Ζ对于求解m维最优化问题,相当于在m维空间中确定一个使目标函数值最小的点Ζ为此需要用m个独立的L ogistic映射来产生该空间中点的m个坐标分量Ζ因为每一坐标分量都能在[0,1]中稠密,所以这样产生的点将能在m维单位超立方体中稠密Ζ也就是说,这些点的序列能够以任意精度逼近超立方体中所有点,当然也能以任意精度逼近超立方体中的全局最优解Ζ根据这样的分析,L ogistic混沌模型可以用于求解连续最优化问题Ζ而组合最优化是离散最优化,把L ogistic混沌模型用于本文的组合最优化问题还需要作变换Ζ本模型的搜索原理与过程如下:m维空间中一个点有m个坐标分量,让点的第i个坐标分量对应于第i个城市C i(i=1,2,…,m)Ζ对点的m个坐标分量排序(升序或降序),相应地会得到m个城市的一种排列,即一条路径Ζ这样,一个m维单位超立方体(设为A)中的任一点代表一条T S P问题的合法路径Ζ在这个超立方体A中规定如下等价关系E:A中点x与点y等价,当且仅当点x与点y的m个坐标分量的大小排列顺序相同(升序或降序)Ζ则超立方体A关于上述等价关系E的商集的每一个元素代表了这样一类点,这些点的m个坐标分量的大小排列顺序相同Ζ也就是说,商集的每一个元素代表T S P问题的一条合法路径Ζ换一个角度看,就是等价关系E形成了A的一个划分,划分的每一个子集是一个等价类,它是一条T S P问题合法路径的吸引域Ζ这里把T S P问题的合法路径看成有m!条,例如,对于5城市来说,把C1C2C3C4C5与C2C3C4C5C1看作两条不同的路径Ζ只有这样处理才能使商集与所有合法路径一一对应起来Ζ3　模型的描述表1　10城市坐标城市横坐标纵坐标11.01.0 22.00.5 35.03.0 46.01.0 58.03.0 67.57.0 75.09.0 82.57.0 91.06.0 101.25.0 对于给定的m城市T SP问题,要确定一条合法回路,就是要确定这m城市的一种排列顺序Ζ根据上节模型的原理,本模型的m城市排列顺序按如下方式产生:首先在(0,1)区间中产生m个随机数X (1:m)作为解空间中一个点的坐标,第i个随机数对应于城市C i(i= 1,2,…,m)Ζ将这m个随机数按升序(或降序)排列,这些随机数所对应的城市也同时获得一个排列,就把这个排列作为第一条路径Ζ后面新的路径将通过L ogistic映射来产生Ζ把上阶段的m个随机数X(1:m)作为初值,按式X(t+1)=4X(t)(1-X(t))得到新的m个值,再对这新的m个值排序,得到新的路径Ζ依此类推Ζ除第一个路径随机产生外,后面的路径全部由L ogistic映射产生Ζ本模型相当于利用m个单元产生m个城市的合法路径,如按Hopfield利用m×m个单元来产生合法路径[9]计算量则要大得多Ζ目标函数是使路径长度d最小化:m in6m i=1d(c i,c i+1)其中规定:c m+1=c1,d(c i,c i+1)为城市c i与c i+1间的距离Ζ计算步骤如下:1)对X(i)赋随机初值,i=1,2,…,m,最优路径长度op t_d赋较大初值,对控制参数k赋一个恰当的初值;2)把X(i)的排序结果赋给Y(i),对照X(i),Y(i)求得一个合法路径;3)计算路径长度d;4)记忆最短路径长度op t_d:if d<op t_d then op t_d=d,f lag=0;5)判断是否结束迭代:if f lag=k then stop;6)用L ogistic映射产生下一组X(1:m):X(t+1)=4X(t)(1-X(t));f lag=f lag+1;401系统工程理论与实践2001年5月 7)回到第2步Ζ4　计算实例为检验上述模型的有效性,进行仿真计算是有必要的Λ为了能够与现有混沌神经网络模型的计算结果进行比较,我们选择了文献[3]中一个10城市T SP 问题作为算例Λ这10城市的坐标参见表1Λ由于可行路径的产生与城市坐标值无关,因此城市坐标可以任意选取,而不影响本模型的计算性能Λ根据文献[3],本T SP 问题的最短路径长度是27.35Λ100组试验的计算结果表明,有17组寻找到最短路径27.35,所搜索的路径长度最大值为30.78,100组路径长度的平均值为28.49Λ本模型计算结果的质量接近用混沌模拟退火神经网络模型计算结果的质量[5],而与Inoue 混沌神经网络[3]相比,效果则要好得多Λ5　结论对于耗散系统,只要各变量有界,一个混沌动力系统必然存在奇怪吸引子[10]Λ系统的单个轨道可以在吸引子中稠密Λ利用奇怪吸引子的这种特性进行优化计算,在时间足够长的条件下,能以任意精度逼近全局最优解Λ在建立模型时,根据具体问题的性质可以选择适当的混沌动力系统,包括L ogistic 映射、H enon 映射、L o renz 方程组、Ro ssler 方程组等典型混沌模型Λ选择这些混沌动力系统来进行优化搜索,具有模型结构简单,避免了艰巨的模型参数选择和易于实现的优点Λ这种方法既可以应用于求解连续对象的优化问题,也可应用于求解组合优化问题,是解某些优化问题的新途径Λ计算实例表明,直接利用混沌搜索最优解,计算效果良好Λ参考文献:[1]　F reem an W J .Si m u lati on of chao tic EEG pattern s w ith a dynam ic model of the o lfacto ry system [J ].B i o l Cybern 1987,56(2-3):139-150.[2]　A ihara K ,T akabe T ,ToyodaM .Chao tic neu ral netw o rk s [J ].Phys L ett A .1990,144(6-7):333-340.[3]　Inoue M ,N agayo sh iA .A Chao s neu ro 2compu ter [J ].Phys L ett A ,1991,158(8):373-376.[4]　A ayakaw a Y ,M 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多目标混沌优化算法
多目标优化问题是指在实际问题中，有多个优化目标需要同时考虑。

例如，在工厂的生产排程中，需要考虑同时完成生产任务和最小化生产成本；在交通规划中，需要考虑同时减少交通拥堵和缩短行驶时间等多个目标。

混沌优化算法是一种基于混沌理论的全局优化算法，具有无初始点、快速收敛等优点。

将混沌优化算法应用于多目标优化问题则称为多目标混沌优化算法。

多目标混沌优化算法主要有两种实现方法：一种是同时优化多个目标函数的加权平均值，另一种是使优化目标之间相互平衡，寻找Pareto前沿。

第一种方法将多个目标函数看成权重不同的单个目标函数，通过调整权重的大小，获得多目标最优解。

该方法的优点是简单易用，但权重调整是一个难点。

目前已有的绝大多数多目标混沌优化算法都采用了这种实现方法。

第二种方法则充分利用了多目标优化问题背后的优化理念，即通过在解空间中寻找一组非劣解，使得任何单目标优化结果都无法同时超越这组非劣解，从而达到多目标优化的目的。

这种方法可以通过混沌搜索策略，在解空间内不断探寻新的非劣解，并将其添加到Pareto 前沿中。

多目标混沌优化算法在实际问题中应用广泛，特别是在复杂的实际问题中，其优越性更加明显。

例如，将其应用于电子元器件的设计中，可以同时优化电气性能、热稳定性和可靠性等多个目标，从而获得更加优秀的设计方案。

总之，多目标混沌优化算法是一种非常成功的优化算法，特别是对于那些复杂的多目标实际问题。

它的实现方法是多种多样的，应根据具体情况选择最适合的实现方法。

在未来，我们可以期待这种算法在更加广泛的领域中取得更加显著的进展。