圆锥曲线中的向量同构

2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。

圆锥曲线同构齐次化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线在数学中是一类非常经典的曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线等。

圆锥曲线同构齐次化是在研究圆锥曲线的过程中常用的一种方法，它可以简化问题的处理，并帮助我们更好地理解曲线的性质。

本文将介绍圆锥曲线同构齐次化的基本概念和应用，希望能帮助读者更好地理解这一重要的数学工具。

一、圆锥曲线的定义和分类在介绍圆锥曲线同构齐次化之前，我们先来简单了解一下圆锥曲线的定义和分类。

圆锥曲线是平面上的一类曲线，它们可以用数学方程表示。

在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线的一般方程可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F为常数，且至少有一个系数不为零。

通过选择不同的系数，我们可以得到不同类型的圆锥曲线。

根据方程中系数的不同取值，圆锥曲线可以分为四类：圆、椭圆、抛物线和双曲线。

它们的特点如下：- 圆：A = C，B = 0，A、B、C均为正数或均为负数。

- 椭圆：A > 0，B^2 - 4AC < 0。

- 抛物线：B^2 - 4AC = 0。

- 双曲线：B^2 - 4AC > 0。

圆锥曲线同构齐次化是一种数学方法，通过将圆锥曲线的方程进行特定的变换，使得曲线的表达更加简洁、清晰，方便研究和分析。

具体来说，圆锥曲线同构齐次化的定义如下：设u = ax + by，v = cx + dy其中a、b、c、d为待定系数，使得曲线的方程变为：三、圆锥曲线同构齐次化的应用圆锥曲线同构齐次化在数学研究中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 研究圆锥曲线的性质通过同构齐次化，我们可以将圆锥曲线的方程化简为一个更加简单的形式，从而更容易研究其性质。

可以求得曲线的焦点、方程的焦点、方程的直线等信息。

2. 解决圆锥曲线相关问题在数学问题中，有时需要对圆锥曲线进行分析和求解。

通过同构齐次化，可以简化问题的处理，让求解过程更加直观、便捷。

同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例杨科荣
【期刊名称】《数理天地(高中版)》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】本文从同构方程的视角出发,通过实例分析说明同构方程在高中数学解析几何试题中的应用.首先介绍了同构方程的概念和关键性质,并探讨同构方程的基本应用.接着详细讲解解析几何的基本概念和定理,并利用同构方程的相关知识阐述解析几何中的关键问题.最后,总结同构方程视角下的高中数学解题方法的优势和实践,为高中数学教学提供宝贵的经验.
【总页数】3页(P48-50)
【作者】杨科荣
【作者单位】浏阳市艺术学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.关于"解析几何"问题解题方法选取的思考与做法——以2014年高考江苏卷第17题高考题为例
2.基于运算素养视角下的高中数学解题教学策略研究--以某一圆锥曲线综合问题为例
3.同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例
4.同构方程视角下的高中数学解题研究
5.同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例
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圆锥曲线常考七大题型汇总，一文全学透！都说数学中的圆锥曲线高考难题排名第二名，大部分同学抱怨无从下手，计算能力跟不上，算错一次没有勇气从头再来，今天小浙老师教大家如何学好！1、牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。

2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。

后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。

当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。

3、思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。

老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。

大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。

一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。

二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。

走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。

例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。

4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。

利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。

例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。

首先联立方程组，得到两个交点的坐标。

然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。

最后利用XXX定理求解，得到a的值。

二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。

设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。

根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。

然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。

最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。

已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。

解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。

则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量的结合一、PB AP λ=【2004全国1理21】设双曲线C ：1x 222=-y a（a ＞0）与直线l ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ．设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=．求a 的值． 【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （0，1）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1x 1x 222y y a 整理得（1-2a ）2x +22a x-22a =0.又因为PB PA 125=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(125)1(125x 2121y y x 构造两根之和与两根之积得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•=+②x 125①1217x 2221221x x x x 由②①2消去x 2得21221)x x x x +（=60289，再由韦达定理得221a 2a -=60289，解得a=1317.【2014四川理】已知3x 22y -=1（x>1）设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点P ，与C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜|PR|，求PQPR 的取值范围．【解析】设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），联立⎩⎨⎧+-==--m x y y 203x 322整理得 2x +4mx-2m +3=0.因为直线与双曲线的右支相交，所以⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆00x 02121x x x 解得m>1.又因为x ≠1，所以m ≠2.则可设PQ PR=12x x =12x x =λ（λ>1），则⎩⎨⎧=•+=+②x ①)1(x 2221221λλx x x x ，利用②①2消去x 2得21221)x x x x +（=λλ21）（+，再利用韦达定理得21221)x x x x +（=316m 22+m ；316m 22+m =λλ21）（+，于是316m 22+m ）（），（16,7647644⋃∈，解得1<λ<7或7<λ<7+43，故PQPR 的取值范围是（1,7）⋃（7，7+43）【2012四川文21】 已知C:4x 22y -=1（x ≠1且x ≠-1）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围。

圆锥曲线中向量共线问题的处理套路【前言】首先要了解在圆锥曲线中向量的一些基本形式：（1）单一共线型AP PB =λ(2)混合共线型,PA PQ PB PQ =λ=μ(3)点在曲线上OM OA OB =λ+μ(当+=1λμ时，M 、A 、B 三点共线，形如32OM OA OB =+),接下来从圆锥曲线的套路出发，结合向量的一些基本形式，探讨一下圆锥曲线中向量的处理套路。

套路一 参数转化为两点的纵标之比或横标之比此策略主要解决单一共线型，用三角形相似结合韦达定理将参数转化为两点的纵标之比或横标之比 【例题1】如图所示，已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2AM AP =,0NP AM =,点N 的轨迹为曲线E （1）求曲线E 的方程（2）过定点()0,2F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FG FH =λ,求λ的取值范围。

【分析】求λ的取值范围，突破口在于将FG FH =λ转化为12=x x λ，可以直接用向量转化，也可以用三角相似转化。

下一步关键在于如何将λ和k联系，处理策略是()2121212x x x x +=γ++γ这样就建立了λ和k 联系，再利用k 的取值范围就能求出λ的范围。

【简析】（1）∵2AM AP =,0NP AM =.∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =又∵CN NM +=∴2CN AN +=>∴动点N 的轨迹是以点()0C -1，，()1,0A 为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a =，焦距222,1,1c a c b ====。

∴曲线E 的方程2212x y +=。

（3）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+，代入椭圆方程2212x y +=，得2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由0>∆得232k >。

圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法从近几年全国各地的高考题来看，圆锥曲线问题一直是以拉开差距的题目的身份出现，题目的综合性较强，计算能力要求较高，难度较大。

因此，对于那些想考上较好大学的学生而言，圆锥曲线问题就成了必争之地，而要突破它也并非难事，让我们来看看高考中这类问题是怎样出现的吧！一、新趋势——与圆结合随着课程改革的不断推广，新课标教材中降低了对圆锥曲线的要求，这让我们看到高考中圆锥曲线与圆相结合的问题逐渐增多（尤其是新课标考区），而且难度较小。

如：例1：（07年广东理）在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（I ）求圆C 的方程；（II ）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（I ）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；（II ）由条件可知a =5，椭圆方程为221259x y +=，∴F （4，0）.若存在这样的点Q ，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；直线CF 的方程为y -1=1(1)3x --,即340x y +-=.设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在满足条件的点Q ，其坐标为412(,)55.点评：圆与圆锥曲线相结合的问题主要是强调对圆锥曲线基本概念的理解，要充分利用圆的几何性质对题目条件进行合理的转化，以简化计算，解决问题。

二、向量参与圆锥曲线问题的两种方式我们经常在圆锥曲线问题中看到向量，比较简单的是用向量语言表述几何关系。

如用0=⋅表示OA 和OB 互相垂直，用()+=21表示M 是线段AB 的中点等等。

圆锥曲线动弦过定点问题□周如俊（灌南中等专业学校，江苏灌南222500）摘要：在圆锥曲线动弦过定点问题的解题教学中，教师可以“同构”思维为突破口，通过三种不同层次解法思维的比较研究，寻找数学问题与已知条件之间的联系，发现解题过程推理与运算中的共同结构特征，快速把握命题的本质与最优求解策略.关键词：圆锥曲线；动弦过定点问题；“同构”思维圆锥曲线动弦过定点问题是近几年高考命题的热点问题，选择不同的推理、论证和运算的思维方式，决定着解题的繁简与成败.而“同构”思维之美，在于从不同解法中寻觅相似的结构，并将其复杂的外衣剥离，化繁为简，发现问题的本质与核心.本文以一道高考解析几何试题为例，通过“同构”运算的“过渡桥”、解法的“中转站”、命题的“背影源”的思维层次比较研究，寻根溯源，探寻命题的本质与求解“最优”策略.例题（2020年全国卷Ⅰ理科第20题）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 上顶点，AG ·GB 8.P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.第（1）问易求，椭圆E 的方程为x29+y 2=1.本文着重对第（2）问进行“同构”思维探究.一、“同构”运算思维的“过渡桥”“同构”运算思维的“过渡桥”，主要是指探寻圆锥曲线动弦过定点问题的条件与结论之间的问题同构、逻辑重组、等价化归，追究解法的自然与具有普遍指导意义的通性、通法，从而提炼一类问题解决的基本思想.数学运算“同构”是解决高考问题、获得数学结果不可缺失的学习环节.对于直线CD 过定点问题，自然的思路是把直线CD 方程化为y -y 0=k (x -x 0)的形式，则定点为(x 0,y 0).其解法因坐标设点而异，选择不同运算方向、不同运算方法，解题过程繁简不一，但是曲径通幽.方法一方法一：：直求法.设P 点坐标(6,m )，通过直线PA 、PD 与椭圆两个交点特征，由韦达定理分别求出两点坐标，写出直线方程CD ，即y =4m (3-m 2)(x -32)，从而完成定点(32,0)证明.此法解法自然，但对学生运算素养要求较高.方法二方法二：：特值法.从特殊情况同构，如点P (6,6)，易求出直线CD 方程为y =-23x +1，猜想定点坐标T (32,0)结论，再论证猜想，体现解题思维的严谨性.此法结论明确，但论证教学探微中求解坐标计算运算量偏大，仍是考生此法越不过的“算”坎.方法三方法三：：代换法.设直线CD 方程x =my +t 及C ，D 坐标，借助(y C +y D )，y C ⋅y D 整体代换，利用韦达定理找到m ，t 满足的关系式(m 2+3)⋅t 2-9m 2+9+m (t -3)-2mtm 2+9+(t -3)2=0，进而求出定点坐标定点(32,0).此法解法同构的突破口是将椭圆上非对称的韦达定理转换为对称的韦达定理.方法四方法四：：斜率法.利用椭圆上点与任意关于原点对称的两条连线的斜率乘积为定值的常用结论k BC ⋅k BD =-13，即y C x C -3.y Dx D -3=-13，故有-3y C y D =(x C -3)(x D -3)（以下解法同代换法），从而避免非对称式中因无法使用韦达定理解题被“卡住”的尴尬局面，体现了“对称转化”的同构简化策略.方法五方法五：：三角法.利用椭圆的参数方程，引参设点P (6,m )，C (3cos α,sin α)，D (3cos β,sin β)求出直线CD 方程y -sin αx -3cos α=sin α-sin β3cos α-3cos β，借助A ，C ，P 三点共线条件tan α=m 3，D ，B ，P 三点共线条件tan β2=-1m ，利用三角恒等变换x =3sin (β-α)sin β-sin α=3(1+tanα2tan β2)1-tan α2tan β2=3[1+m 3⋅(-1m )]1-m 3⋅(-1m )=32（此时y =0）证得定点(32,0)，体现“多想少算”的优化策略，但是三角恒等变换也考验学生化繁为简的应变能力.方法六方法六：：齐次法.依据“大道至简”、“移中不变”（斜率值不变）原理实施齐次化变换，利用过原点两条张弦斜率之积为定值的简洁特性，快速求出直线mx'+ny'=1中m ，n 之间关系，从而锁定定点坐标，有效降低运算的难度.具体解法是：坐标平移{x'=x +3,y'=y ,则在新坐标系x'Ay'下椭圆方程变为x'2+9y'2-6x'=0，CD 直线方程变为mx'+ny'=1，则有x'2+9y'2-6x'(mx'+ny')=0，整理得：9(y'x')2-6n (y'x')+(1-6m )=0.由韦达定理得，k AC ⋅k AD =1-6m 9=-127（参见斜率法），m =29，于是新坐标系x'Ay'下直线CD （29x'+ny'=1）过定点(92,0)，故原坐标系下直线CD 过定点(32,0).此外，还有仿射法[1]，即“伸缩变换”（化“椭”为“圆”）、“简化运算”的“同构”思维策略，有关文献已阐述，不再赘述.二、“同构”解法思维的“中转站”“同构”解法思维的“中转站”主要是指探寻圆锥曲线动弦过定点问题的条件与结论之间的异题同解、解法归一、模式同构，追寻解法的“化归”与“改头换面”形异质同的试题的识别、破解，从而抓住一类问题解决的本质思想.借鉴齐次法解法，通过数学抽象与数学建模，可将例题化归为“常态二次圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）F (x ,y )=Ax 2+By 2+Cx +Dy +E =0(A 2+B 2≠0)上给定的P 点与异于P 点的动弦MN 两端点之间斜率之和（之积）为定值时，求解（证）动弦过定点的问题”，借助数学语言表征出相关“通法”引理与定理，能凸显解题的数学本质.首先给出如下引理（证明过程略）.【引理】M 、N 常态二次圆锥曲线F (x ,y )=Ax 2+By 2+Cx +Dy +E =0(A 2+B 2≠0)上异教学探微于给点P(x0,y0)的动弦MN两端点.已知直线PM，PN的斜率存在，分别记为k PM，k PN.将原点平移到点P(x0,y0)，设平移后的直线M'N'方程为mx'+ny'=1，并记F1=2Ax0+C，F2= 2By0+D，F3=Ax20+By20+Cx0+Dy0+E，则有：（1）K PM+K PN=-nF1+mF2+2mnF3 B+nF2+n2F3；（2）K PM K PN=A+mF1+m2F3 B+nF2+n2F3.利用引理，给出如下定理（证明过程略，有兴趣的读者可参阅笔者拙文[2]）.【定理】常态二次圆锥曲线F(x,y)= Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠0)上有一定点P(x0,y0)与异于P点的动弦MN两端点.已知直线PM，PN的斜率存在，分别记为k PM，k PN.并记F1=2Ax0+C，F2=2By0+D.1.若k PM+k PN=λ，则有：（1）若λB=0，则直线MN有定向，即k MN= F1+λF2F2（当F2=2By0+D=0时，则直线MN⊥x轴）；（2）若λB≠0，则直线MN恒过定点T（x0-F2λB，y0-F1+λF2λB）.2.若k PM k PN=λ，则有：（1）若A=λB，则直线MN有定向，即k MN= -λF2F1（当F1=2Ax0+C=0时，则直线MN⊥x轴）.（2）若A≠λB，则直线MN恒过定点T（x0-F1A-λB，y0+λF2A-λB）.对于例题归析，由斜率法知：λ=k BC⋅k BD=-13.因定理中A=19,B=1,C=D=0,E=-1, F1=23,F2=0，则直线CD过定点T(3-2319-(-13)⋅1,0)，即T(32,0).上述定理“同构”常态二次圆锥曲线动弦过定点（定向）问题，形成一类简捷、易记、便用的通法，克服了相关结论推导过程繁杂、表达式形式不一、相互间关联度低、识记难等缺陷.依托高考试题数据分析，是探索与“同构”数学本质、关联和规律的重要研究手段，有利于增强学生基于数据表达现实问题的意识.文献大数据分析表明，2018年全国卷（理）Ⅰ第19题、2017年全国卷（理）Ⅰ第20题、2016年浙江高中竞赛第17题、2013年江西卷（理）第20题、2011年全国高中联赛第11题、2010年江苏卷第18题、2009年辽宁卷（理）第22题、2005年江西卷（理）第20题、2004年北京卷（理）第17题等高考（竞赛）试题都属于圆锥曲线动弦过定点类问题.三、“同构”命题思维的“背景源”“同构”命题思维的“背景源”主要是指探寻圆锥曲线动弦过定点问题的条件与结论之间的异题同源、命题同质、解答同法，探寻解法的“共源”与“命题盖头”的揭秘、规律的破译，从而领悟一类问题解决的核心思想.极点与极线是高考圆锥曲线有关直线过定点的试题命题的隐含的一种背景知识.“一点一线一世界”，通过数学抽象与数据分析“同构”，可以“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，并将使高考试题解法建构为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的思维系统，从而有效把握命题的规律．借助范方兵、王芝平的研究[3]所得，笔者给出如下极点与极线的主要性质：【极点和极线的几何定义】如图1，P不是圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于点E，F，G，H，连接EG，FH交于点M，连接EH，FG交于点N，则MN为点P对应的极教学探微线，直线MP为点N对应的极线，直线PN为点M对应的极线，MNP称为“自极三点形”.图1【极点和极线的代数定义】已知圆锥曲线Γ为Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+12D(x+x0)+ 12E(y+y0)+F=0为圆锥曲线Γ的一对极点和极线.【极点和极线的调和共轭】如图2，设极点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过极点P任作一割线交Γ于A，B，交极线l于Q，则| |PA| |PB=| |QA| |QB .反之，若有||PA||PB=||QA||QB，则称点P，Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭．图2以极点极线作为背景命制的试题屡见不鲜［如2019年全国Ⅲ卷（理）第21题、2008年安徽卷（理）第22题、2011年四川卷（理）第21题等］，这既是高考考查潜能的需要，也是命题者学术背景使然[4].圆锥曲线的极点极线性质，与“普法”思维联合与“同构”，既能“秒杀”试题的答案，也能增加试题解答的“珠联璧合”.对于例题溯源，第（2）问：如图3，极点图3P(6,m)的极线6x9+my=1过定点T(32,0)；同样，极点T(32,0)的极线为x=6.运用极点极线知识求解可瞬间锁定答案.□◢参考文献：［1］魏欣.2020年高考全国Ⅰ卷解析几何题的探究与推广［J］.中学数学研究（高中版），2020（9）：24-25.［2］周如俊.一道高考题的“昨天·今天·明天”——关于常态二次圆锥曲线定点（定向）问题解法的“融合”与应用［J］.中学数学研究（高中版），2019（5）：13-14.［3］范方兵，王芝平.代数几何转化相映成辉是一家——对一道高考圆锥曲线问题的变式探究［J］.数学通报，2018（7）：56-58.［4］于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题［J］.中学数学研究（高中版），2019（1）：13-15.教学探微。

利用同构求解圆锥曲线问题
圆锥曲线问题是一类常见的几何问题，它涉及到在三维空间中确定合适的圆锥曲线方程，使得该曲线能够将两个二维平面上的点连接起来。

因此，解决圆锥曲线问题的关键就是找出一条满足条件的曲线。

而利用同构求解圆锥曲线问题就是采用一种特殊的技术来解决这个问题。

同构求解圆锥曲线问题涉及到两个基本步骤：(1) 从给定的数据中构造出一个凸包；(2) 在凸包上找出一条满足条件的曲线，使之成为圆锥曲线。

首先，利用凸包技术从给定的数据中构造出一个凸包，即将所有给定的数据点连接起来，形成一个“凸”的多边形。

这里的“凸”是指所有的连接线段都不能被其他给定的点“挡住”，也就是说，任意两个给定的点都可以直接看到凸包外的其他点。

然后，在凸包上找出一条满足条件的曲线，使之成为圆锥曲线。

这里的“满足条件”指的是曲线必须满足一定的要求，比如曲线的曲率、曲线的开口角度、曲线的半径等等，这些要求在构造出凸包后就可以明确确定。

最后，根据满足要求的曲线，可以确定出圆锥曲线的方程，从而完成对圆锥曲线问题的求解。

总之，利用同构求解圆锥曲线问题是一种在凸包上求解曲线的技术，它主要依赖于从给定的数据中构造出凸包的过程，并在凸包上找出一条满足要求的曲线，最后根据满足要求的曲线确定出圆锥曲线的方程，从而完成对圆锥曲线问题的求解。