第二节 应变分析物体受作用力→内部质点相对位置改变(产生了位移) →形状的变化→变形。
应变是表示变形大小的一个物理量。
物体变形时各质点在各方向上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态”的概念。
点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相似的性质。
应变分析主要是几何学和运动学的问题，它与物体中的位移场或速度场有密切的联系，位移场一经确定，则变形体内的应变场也就确定。
研究应变问题往往从小变形 (数量级不超过3210~10--的弹—塑性变形) 着手，但金属塑性加工是大变形。
这里除了采用应变增量或应变速率外，还对有限应变作一定的分析。
一、位移和应变 (一)位移及其分量根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数，即或式(3—41)表示变形物体内的位移场。
设受力物体内任一点M ，其坐标为(x ．y ，z)，小变形后移至M 1，其位移分量为u i (x ，y ，z)。
与M 点无限接近的一点M ’点，其坐标为(x+dx ，y+dy ，z+dz)，小变形后移至'1M ，其位移分量为'i u (x+dx ，y+dy ，z+dz)。
将函数'i u 按泰勒级数展开，并略去二阶以上的高阶微量，并利用求和约定，则得式中 i i j ju u dx x δ∂=∂称为M ’点相对于M 点的位移增量。
i u δ可写成若无限接近两点的连线MM ’平行于某坐标轴，例如MM ’//x 轴，则式(3—43)中，dx ≠0，dy=dz=0，此时，式(3—43)变为式(3—42)说明，若已知变形物体内一点M 的位移分量，则与其邻近一点M ’的位移分量可以用M 点的位移分量及其增量来表示。
(二)应变及其分量1. 名义应变及其分量名义应变又称相对应变或工程应变，适用于小应变分析。
而棱边PA在x轴方向上的线应变为将单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量称为相对切应变，也称工程切应变，即这样，变形单元体有三个线应变和三组切应变，即图3—25a 所示情况相当于单元体的线元PA 和PC 同时偏转xy r 和yx r (图3—25b)，然后整个单元体绕z 轴转动一个角度z w (图3—25c)。
由几何关系有z w 称为绕z 轴的刚体转动角。
显然，xy α和yx α中包含了刚体转动的成分，在研究应变时，应把刚体转动部分去掉，而xy γ和yxγ则是排除刚休转动之后的纯切应变。
2. 对数应变假设物体内两质点相距为l ，经变形后距离为n l ，则相对线应变为n l l l ε-=这种相对线应变一般用于小应变情况。
在大的塑性变形过程中，相对线应变不足以反映实际的变形情况。
因n l l l ε-=中的基长l 是不变的，而在实际变形过程中，长度l系经过无穷多个中间的数值逐渐变成n l ，如l ，1l ，2l ，3l ……1n l -，n l ，其中相邻两长度相差均极微小，总变形程度可以近似地看作是各个阶段相对应变之和，即或用微分概念，设dl 是每一变形阶段的长度增量，则物体的总的变形程度为∈反映了物体变形的实际情况，故称为自然应变或对数应变。
式(3—52)是在应变主轴方向不变的情况下才能进行的。
因此，对数应变可定义为：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下各应变增量的总和。
对数应变能真实地反映变形的积累过程，所以也称真实应变，简称为真应变。
因此，在大的塑性变形问题中，只有用对数应变才能得出合理的结果。
真实应变与工程应变的比较：1)相对应变不能表示变形的实际情况，而且变形程度愈大，误差也愈大。
如将对数应变以相对应变表示，并按台劳级数展开，则有由此可见，只有当变形程度很小时，ε才能近似等于∈。
变形程度愈大，误差也愈大。
图3—26所示，当变形程度小于10%时，ε与∈的数值比较接近，但当变形程度大于10%以后，误差逐渐增加。
2)对数应变为可叠加应变，而相对应变为不可加应变。
假设某物体的原长为l，经历1l、2l变为3l，总的相对应变为3)对数应变为可比应变，相对应变为不可比应变。
假设某物体由0l 拉长一倍后．尺寸为20l ，其相对应变为如果缩短一倍，尺寸变为0.50l ，则其相对应变为当物体拉长一倍与缩短一倍时，物体的变形程度应该是一样的。
然而如用相对应变表示拉、压的变形程度则数值相差悬殊，失去可以比较的性质。
而用对数应变表示拉、压两种不同性质的变形程度时，并不失去可以比较的性质。
例如在上例中，物体拉长一倍的对数应变为缩短一倍时的对数应变为二、点的应变状态和应变张量1. 点的应变状态现设变形体内任一点a(x，y，z)，其应变分量为ε。
由a引一任ij意方向线元ab，其长度为r，方向余弦为l、m、n，小变形前，b点可视为a点无限接近的一点，其坐标为(x+dx，y+dy，z+dz)，则ab 在三个坐标轴上的投影为dx、dy、dz，方向余弦及r分别为Array小变形后，线元ab移至a1b1，其长度为r1=r+dr，同时偏转角度为α，r如图3—27所示。
现求ab 方向上的线应变r ε。
为求得r 1，可将ab 平移至a 1N 外，构成三角形a 1Nb 1。
由解析几何可知，三角形一边在三个坐标轴上的投影将分别等于另外两边在坐标轴上的投影之和。
在这里，Na 1的三个投影即为dx 、dy 、dz ，而Nb 1的投影(即为b 点相对a 点的位移增量)为du 、dv 、dw ，因此线元a 1b 1的三个投影为下面求线元ab 变形后的偏转角，即图3—27中的r α。
为了推导方便，可设r=1。
由N 点引NM ⊥a 1b 1，按直角三角形NMb 1有如果没有刚体转动，则求得的r α就是切应变r γ。
为了除去刚体转动的影响，即只考虑纯剪切变形，可将式(3—43)改写为显然，上式后面的第二项是由于刚性转动引起的位移增量分量，而第一项才是由纯剪切变形引起的相对位移增量分量，若以'idu 表示，则如将式(g)代入式(f)，即可求得切应变的表达式为式(3—52)和式(3—53)说明，若已知一点互相垂直的三个方向上的九个应变分量，则可求出过该点任意方向上的应变分量，则该点的应变状态即可确定。
所以，一点的应变状态可用该点三个互相垂直方向上的九个应变分量来表示。
这与一点的应力状态可用过该点三个互相垂直微分面上的九个应力分量来表示完全相似，因求r ε及r γ的公式(3—52)、(3—53)与求斜微分面上的应力σ及τ的表达式(3—7)、(3—8)在形式上是一样的。
2. 应变张量上面已说明，一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。
与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即符合下列线性关系所以一点的应变状态是张量，且为二阶张量。
由于xyyxγγ=、yzzyγγ=、zx xz γγ=，所以．应变张量又是一个对称张量，记为因此，点的应变状态需要用九个应变分量或应变张量来描述，若已知应变张量的分量，则该点的应变状态就完全被确定。
三、塑性变形时的体积不变条件由基本假设，塑性变形时，变形物体变形前后的体积保持不变，可用数学式子表示。
设单元体初始边长为dx、dy、dz，则变形前的体积为考虑到小变形，切应变引起的边长变化及体积的变化都是高阶微量，可以忽略，则体积的变化只是由线应变引起，如图3—28所示。
在x 方向上的线应变为变形后单元体的体积为将上式展开，并略去二阶以上的高阶微量，于是得单元体单位体积的变化(单位体积变化率)在塑性变形时，由于材料内部质点连续且致密，体积变化很微小。
所以由体积不变假设，得式中x ε、yε、z ε为塑性变形时的三个线应变分量。
式(3—55)称为塑性变形时的体积不变条件。
体积不变条件用对数应变表示更为准确。
设变形体的原始长、宽、高分别为l 0，b 0、h 0，变形后为l 1、b 1、h 1，则体积不变条件可表示为由式(3—55)可以看出，塑性变形时，三个线应变分虽不可能全部同号，绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。
在金属塑性成形过程中，体积不变条件是一项很重要的原则，有些问题可根据几何关系直接利用体积不变条件来求解。
此外，体积不变条件还用于塑性成形过程的坯料或工件半成品的形状和尺寸的计算。
例如，一块长、宽、厚为120mm×36mm×0.5mm的平板，拉伸后在长度方向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求乎板的最终尺寸。
根据变形条件可求很长、宽、厚方向k的主应变(用对数应变表示)为四、点的应变状态与应力状态相比较比较式(3—54)与式(3—11)说明，点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性也相似。
因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接由与应力张且相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和切应变分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即可。
1. 主应变、应变张量不变量、主切应变和最大切应变、主应变简图(1)主应变 过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向(也称应变主轴)，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变，用1ε，2ε，3ε表示。
对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力主方向重合。
若取应变主轴为坐标轴，则应变张量为(2)应变张量不变量 若已知一点的应变张量来求过该点的三个主应变，也存在一个应变状态的特征方程对于一个确定了的应变状态，三个主应变具有单值性，故在求主应变大小的应变状态特征方程式(3—57)中的系数1I 、2I ，3I 也应具有单值性，即为应变张量不变量。
其计算公式为已知三个主应变，同样可画出三向应变莫尔圆。
为了方便，应变莫尔因与应力莫尔回配合使用时，应变莫尔因的纵轴向下为正，如图3—四所示。
(3)主切应变和最大切应变 在与应变主方向成*450A 的方向上存在三对各自相互垂直的线元，它们的切应变有极值，称为主切应变。
参照式(3—x)，主切应变的计算公式为三对主切应变中，绝对值最大的主切应变称为最大切应变。
若6j 妻e 2宣53，则最大切应(4)主应变简图 用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变团。
三个主应变中绝对值最大的主应变，反映了该工序变形的特征，称为特征应变。
如用主应变简图来表示应变状态，根据体积不变条件和特征应变，则塑性变形只能有三种变形类型，如图3—30所示。
1)压缩类变形。
如图3—30a 所示，特征应变为负应变(即eI ‘0)另两个应变为正应变，cz ‘23；—‘I 。
2)剪切类变形(平面变形) 如图3—3Db 所示，一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反，‘z ＝o ，6I ＝—e1。
3)神长类变形。
