数学排列组合：计算排列和组合

排列组合的数学公式排列组合的数学公式1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示.p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定0!=1).2. 组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3. 其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）.k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）.排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）（n-m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm（n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

排列组合计算1. 介绍排列组合是组合数学中的重要概念，用于计算从一组元素中选择若干个元素的方式的数量。

在计算中，排列用来确定元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。

本文档将介绍排列和组合的概念以及它们的计算方法。

2. 排列排列是从给定的元素中选择一定数量的元素并按一定顺序排列的方式的数量。

2.1 排列公式设有n个元素，选取r个元素进行排列，排列的数量记作P(n, r)。

排列的计算公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，! 表示阶乘运算，即将所有小于等于n的正整数相乘。

2.2 示例假设有10个人，要从中选择3个人进行排列，计算P(10, 3)。

根据排列公式，P(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720。

因此，从10个人中选择3个人进行排列的方式有720种。

3. 组合组合是从给定的元素中选择一定数量的元素的方式的数量，不考虑元素的顺序。

3.1 组合公式设有n个元素，选取r个元素进行组合，组合的数量记作C(n, r)。

组合的计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)3.2 示例假设有6个人，要从中选择4个人进行组合，计算C(6, 4)。

根据组合公式，C(6, 4) = 6! / (4! * (6 - 4)!) = 6! / (4! * 2!) = 15。

因此，从6个人中选择4个人进行组合的方式有15种。

4. 应用场景排列组合的计算在很多领域都有着广泛的应用，尤其在概率和统计学中经常使用。

4.1 生肖排列中国传统的十二生肖有鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种，要从中选择3种生肖进行排列，计算P(12, 3)。

根据排列公式，P(12, 3) = 12! / (12 - 3)! = 12! / 9! = 12 * 11 * 10 = 1,320。

因此，从12种生肖中选择3种进行排列的方式有1,320种。

排列与组合是高等数学中的重要概念和计算方法，它们在各个领域的数学问题中扮演着关键角色。

排列与组合既有着共同点，又有着明显的区别，它们的应用领域也有所不同。

首先，我们来看看排列的计算。

排列是指从一组事物中选出几个事物进行排列，其次序有关，即排列中的元素是有区别的。

排列的计算方式可以使用阶乘来实现。

阶乘指的是从1到某个正整数n的所有正整数的乘积，用符号n!表示。

例如，5!表示1x2x3x4x5，其值为120。

那么对于n个不同的元素中，选出m个元素进行排列，数学上可以用P(n,m)表示，其计算方式为n!/(n-m)!。

排列的计算方式非常灵活，可以应用于考察事物排序的各种问题，比如从A、B、C、D四人中选出三人进行排队，那么可能的排列数为P(4,3)=4x3x2=24。

接下来，我们来看看组合的计算。

组合是指从一组事物中选出几个事物进行组合，其次序无关，即组合中的元素是没有区别的。

组合的计算方式可以使用阶乘和除法来实现。

对于n个不同的元素中，选出m个元素进行组合，数学上可以用C(n,m)表示，其计算方式为n!/[(n-m)!x m!]。

组合的计算方式可以应用于考察事物组合可能性的问题，比如从A、B、C、D四人中选出两人进行配对，那么可能的组合数为C(4,2)=4!/[2!(4-2)!]=6。

排列和组合的计算方式在高等数学中有着广泛的应用。

在概率统计中，排列和组合的计算可以帮助我们计算出不同事件发生的概率。

比如投掷一个骰子，计算出两次投掷中6点连续出现的概率可以使用排列和组合的计算方法。

在排列组合理论中，排列和组合的计算可以帮助我们解决各种复杂的问题，如求数学函数的展开式、证明数学定理等。

在图论中，排列和组合的计算可以帮助我们解决路径问题、圈问题等。

总的来说，排列和组合是高等数学中非常重要的计算方法，它们在各个领域的数学问题中都有广泛的应用。

排列和组合的计算方式简单灵活，但在应用中也需要注意灵活变通，结合实际问题进行具体分析，灵活选择适当的计算方式。

和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差性质：若 m、n、p、q∈N①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq②若m+n=2q，则am+an=2aq注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。

求和公式Sn=(a1+an)n/2Sn=a1n+n(n-1)d d=公差Sn=An2+Bn A=d/2,B=1-(d/2)排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P 12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P 13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P 33，得P 13P 33P 12＝36(个) 由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P 13=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610 B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。

组合数学中的排列组合方法组合数学是数学中的一个分支学科，研究的是集合的排列和组合问题。

在实际生活和理论研究中，人们常常会遇到需要计算排列和组合的情况。

在组合数学中，有一些常用的排列组合方法可以帮助我们解决这类问题。

一、排列排列是指从给定的元素集合中选取若干元素，按照一定的顺序排列成一列。

在组合数学中，排列的计算可以使用以下方法：1. 乘法原理：假设有n个元素，则第一个位置可以选择任意一个元素，有n种可能；第二个位置可以选择剩下的n-1个元素中的一个，有n-1种可能；以此类推，总共有n乘以(n-1)乘以(n-2)直到1个位置的排列方式。

因此，n个元素的排列总数为n的阶乘，记作n！。

2. 带限制条件的排列：在一些情况下，我们需要满足一定的条件才能进行排列。

例如，有n个元素中选取m个元素排列，则使用带限制条件的排列公式P(n,m) = n! / (n-m)!。

其中，n!表示n的阶乘，n-m表示从n个元素中剩下的元素个数。

二、组合组合是指从给定的元素集合中选取若干元素，不考虑其顺序排列，将它们组合成一个集合。

在组合数学中，组合的计算可以使用以下方法：1. 组合公式：从n个元素中选取m个元素的组合数可以表示为C(n,m)，可以使用如下公式进行计算：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)。

其中，n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘，(n-m)!表示n-m的阶乘。

2. 杨辉三角：杨辉三角是一个由数字排列成三角形的数表，它展示了组合数的规律。

第n行的第m个数字等于C(n-1,m-1)。

通过使用杨辉三角，我们可以很容易地找到组合数的数值。

三、应用举例下面以实际应用的方式，简要介绍一些排列组合在实际问题中的应用：1. 抽奖问题：假设有n个人参加抽奖活动，中奖序号为m，我们可以使用排列公式P(n,m)来计算获奖的方案数。

这个问题中不存在先后顺序，我们可以使用组合公式C(n,m)来计算中奖的方案数。

2. 选课问题：假设有n门课程供学生选择，一个学生需要选择m门课程，我们可以使用组合公式C(n,m)来计算不同选课方案的数目。

排列组合数字和算式在数学领域中，排列组合是一种重要的概念。

排列指的是从一组数字或对象中按照一定的顺序选择若干个进行组合，而组合则指的是从一组数字或对象中选择若干个，不考虑顺序。

在实际问题中，排列组合常被用于解决各种排列和选择的情况，如考试题目、密码破解等。

排列和组合可以通过数学公式进行计算，这些公式的应用能够大大简化问题的求解过程。

下面将介绍排列和组合的基本概念以及计算方法，并通过实例加以说明。

1. 排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行组合。

排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n表示总共有几个元素可选，m表示选取的元素个数，n!表示n的阶乘。

举例说明：假设有5个人，要从这5个人中选出3个人，按照不同的顺序进行排列。

根据排列的计算公式，可得到排列的结果为：P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 5!/(2!) = 60因此，从5个人中选取3个人进行排列的结果共有60种。

2. 组合组合是指从一组元素中选择若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。

组合的计算公式为：C(n, m) = n!/((n-m)! * m!)其中，n表示总共有几个元素可选，m表示选取的元素个数。

举例说明：假设有5个人，要从这5个人中选出3个人进行组合。

根据组合的计算公式，可得到组合的结果为：C(5, 3) = 5!/((5-3)! * 3!) = 5!/(2! * 3!) = 10因此，从5个人中选取3个人进行组合的结果共有10种。

除了计算排列和组合的数量，我们还可以通过算式的形式进行排列组合。

比如，在一个四则运算的计算表达式中，我们可以通过排列组合的方式选择运算符和运算数的排列，从而得到不同的算式。

下面是一个示例：从数字1、2、3中选择两个数进行加减运算，共有多少种排列组合的算式？根据排列的计算公式，可得到排列的结果为：P(3, 2) = 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6因此，从数字1、2、3中选择两个数进行加减运算的算式共有6种，分别为：1 +2 = 32 + 1 = 31 -2 = -12 - 1 = 11 + 3 = 43 + 1 = 41 - 3 = -23 - 1 = 22 +3 = 53 + 2 = 52 -3 = -13 - 2 = 1通过排列组合的方法，我们可以得到不同的排列和组合结果，进而解决各种实际问题。

初中数学知识归纳排列组合的基本概念与计算排列组合是初中数学中重要的概念之一，它涉及到对对象的排列和选择的计算。

在这篇文章中，我们将对排列和组合的基本概念进行归纳，并介绍如何进行简单的计算。

一、排列的基本概念与计算排列是指从一组对象中选出若干个进行排列，排列的顺序是重要的。

对于n个不同的对象中，如果取出r个不同的对象进行排列，那么排列的总数可以用符号P表示。

排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

例如，有8个不同的字母A、B、C、D、E、F、G、H，如果选出3个字母进行排列，那么排列的总数为P(8,3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = 8 *7 * 6 = 336。

二、组合的基本概念与计算组合是指从一组对象中选出若干个进行组合，组合的顺序是不重要的。

对于n个不同的对象中，如果取出r个不同的对象进行组合，那么组合的总数可以用符号C表示。

组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)。

例如，同样有8个字母A、B、C、D、E、F、G、H，如果选出3个字母进行组合，那么组合的总数为C(8,3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3!* 5!) = 8 * 7 * 6 / (3 * 2 * 1) = 56。

三、排列组合的应用举例排列组合在实际问题中有很多应用，下面举两个例子来说明。

例1：小明的钥匙串上有5把钥匙，其中有3把钥匙可以打开门，每次开门时，小明只随机拿一把钥匙。

那么小明打开门的可能性有多少种？解析：根据题目描述，我们可以知道这是一个排列问题，因为每次开门的顺序是重要的。

所以需要计算P(3,1)，即从3把钥匙中选择1把进行排列。

根据排列的计算公式，P(3,1) = 3! / (3-1)! = 3! / 2! = 3 * 2 = 6。

所以小明打开门的可能性有6种。

例2：在一张扑克牌中，红心（红桃）有13张，黑桃有13张，方块有13张，梅花有13张，共计52张。

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

排列组合常见的5个公式：
排列组合是数学中非常基础且常用的概念，在各种应用中都有广泛的运用。

以下是五个常见的排列组合公式：
1.排列公式：从n个不同元素中取r个，有P(n,r)种不同的排列方式。

排列公式的计算
公式为：P(n,r) = n!/(n-r)!
2.组合公式：从n个不同元素中取r个，有C(n,r)种不同的组合方式。

组合公式的计算
公式为：C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]
3.重复排列公式：从n个不同元素中取r个，允许重复，有P'(n,r)种不同的排列方式。

重复排列公式的计算公式为：P'(n,r) = n^r
4.重复组合公式：从n个不同元素中取r个，允许重复，有C'(n,r)种不同的组合方式。

重复组合公式的计算公式为：C'(n,r) = C(n+r-1,r)
5.二项式定理：(a+b)^n的展开式中，a和b的系数可以通过二项式定理计算得到。

二
项式定理的公式为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n 这些公式在概率论、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用，对于学习和掌握这些领域的知识非常重要。

数学中的组合数学与排列组合计算方法在数学中，组合数学与排列组合计算方法是一种重要的数学分支，它涉及到数个对象的选择和排列。

通过运用排列组合计算方法，我们可以解决许多与选择、排列相关的问题。

本文将介绍组合数学与排列组合计算方法的基本概念和常见应用，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、组合数学的基本概念在介绍组合数学与排列组合计算方法之前，我们首先需要了解一些基本概念。

1. 组合数：组合数指的是从总数n个不同元素中选择r个元素的方式数。

用C(n, r)表示，其计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)，其中n！表示n的阶乘。

2. 排列数：排列数指的是将总数n个不同元素进行排列的方式数。

用P(n)表示，其计算公式为：P(n) = n!。

3. 公式推导：组合数和排列数的计算方法可以通过公式推导来得到，具体推导过程略。

4. 二项式定理：二项式定理是组合数学中的重要定理之一，它可以用于展开任意次数的二项式。

二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。

二、排列组合计算方法的应用排列组合计算方法在实际应用中有许多用途，下面我们将介绍几个常见的应用场景。

1. 排列组合问题：排列组合问题指的是在给定一组元素的情况下，计算出满足一定条件的排列或组合的个数。

例如，在一个班级中选择两名同学进行项目合作，我们可以使用组合数的计算方法得到合作的可能性。

2. 装箱问题：装箱问题是组合数学中的经典问题之一，它涉及到如何将不同大小的物品放置在不同大小的箱子中，且每个箱子都要装满。

通过排列组合计算方法，我们可以找到满足条件的不同装箱方式的数量。

3. 二项分布：二项分布是概率统计学中的重要分布之一，它是由n个独立的、相同分布的二项试验构成的。

通过使用组合数，我们可以计算出二项分布中某个特定值出现的概率。

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法 "组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

计算排列组合计算排列组合是在数学中非常重要的概念，它在多个领域中都有广泛的应用。

排列组合是指从给定的一组元素中选择出若干个元素，按照一定的顺序进行排列或组合的方式。

在本文中，我们将介绍什么是排列和组合，以及它们的计算方法和应用领域。

一、排列排列是指从一组元素中选择出若干个元素，按照一定的顺序进行排列的方式。

排列可以用来解决“有多少种不同的方式可以从一组元素中选取若干个元素进行排序”的问题。

1. 全排列全排列是指将一组元素全部进行排列的方式。

在全排列中，每个元素都必须出现且只能出现一次。

例如，对于元素集合{A, B, C}，其全排列为ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA共计6种不同的排列方式。

计算全排列的数量可以使用以下公式：P(n) = n!其中，n表示元素的个数，n!表示n的阶乘。

2. 部分排列部分排列是指从一组元素中选择出若干个元素进行排列的方式。

在部分排列中，选择的元素可以重复出现。

例如，对于元素集合{A, B, C}，选择2个元素进行排列的部分排列为AA、AB、AC、BA、BB、BC、CA、CB、CC共计9种不同的排列方式。

计算部分排列的数量可以使用以下公式：P(n, k) = n^k其中，n表示元素的个数，k表示选择的元素个数，n^k表示n的k次方。

二、组合组合是指从一组元素中选择出若干个元素，不考虑其顺序的方式。

组合可以用来解决“有多少种不同的方式可以从一组元素中选取若干个元素进行组合”的问题。

例如，对于元素集合{A, B, C}，选择2个元素进行组合的方式为AB、AC、BC共计3种不同的组合方式。

计算组合的数量可以使用以下公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)! )其中，n表示元素的个数，k表示选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

三、应用领域排列组合在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 计算概率排列组合可以用来计算概率，特别是在计算事件发生的可能性时非常有用。

排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式2008-07-08 13:30公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵，，∴原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有A12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有A13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有A33，得A13A33A12＝36(个)由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3A13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为6数是-2 0.(五)综合例题赏析例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种 D.24种解分医生的方法有A22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

组合数学中的排列与组合计数法在我们的日常生活和各种学术领域中，组合数学的身影无处不在。

其中，排列与组合计数法作为组合数学的重要组成部分，为解决许多实际问题提供了强大的工具。

先来说说排列。

排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。

比如说，从5 个不同的字母A、B、C、D、E 中选取 3 个进行排列，那么就有 60 种不同的排列方式。

我们可以通过计算来得出这个结果，即 5×4×3 ＝ 60。

这是因为第一次选择有 5 种可能，第二次选择剩下 4 种可能，第三次选择剩下 3 种可能。

排列可以分为全排列和部分排列。

全排列就是从 n 个不同元素中取出 n 个元素的排列。

比如，3 个不同元素 A、B、C 的全排列有 6 种，分别是 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

而部分排列则是从 n个不同元素中取出 m 个元素（m ＜ n）的排列。

例如，从 5 个不同元素中取出 3 个元素的排列，就如前面提到的有 60 种可能。

再看看组合。

组合是指从给定的元素集合中，选取若干个元素组成一组，不考虑元素的顺序。

还是用刚才 5 个不同字母 A、B、C、D、E 的例子，如果是选取 3 个字母组成一组，不考虑顺序，那么就有 10 种不同的组合方式。

计算方法是 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10。

组合与排列的主要区别就在于是否考虑顺序。

对于排列，ABC 和ACB 是两种不同的排列；但对于组合，它们被视为同一种组合。

排列和组合计数法在实际生活中有非常广泛的应用。

比如在抽奖活动中，计算中奖的可能性就需要用到排列组合的知识。

假设一个抽奖活动，从 100 个号码中抽取 5 个作为中奖号码，不考虑号码的顺序，那么这就是一个组合问题。

计算出总共有多少种可能的组合，就能知道中奖的概率有多小。

在密码学中，排列组合也发挥着重要作用。

密码的设置和破解都离不开对字符排列组合可能性的分析。

组合数与排列数的计算组合数（Combination）和排列数（Permutation）是概率与统计等相关学科中经常用到的概念。

它们在计算样本空间、计算事件发生的概率等问题中起着重要的作用。

本文将介绍组合数和排列数的计算方法及应用。

一、组合数的计算组合数是从n个不同元素中，取出m个元素（m<=n）的组合方式的数量。

组合数用符号C(n,m)或者(n choose m)表示。

计算组合数的方法有两种：公式法和递推法。

1. 公式法组合数的计算公式为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*...*3*2*1。

例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = 5!/(2!(5-2)!）= 5!/(2!3!) = 5*4/(2*1) = 102. 递推法通过使用组合数的递推关系，可以简化组合数的计算过程。

组合数的递推关系为：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)其中，C(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的组合数，C(n-1,m)表示从前n-1个元素中选择m个元素的组合数。

例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) = 4 + 6 = 10二、排列数的计算排列数是从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m个元素的排列方式的数量。

排列数用符号P(n,m)或者(nPm)表示。

计算排列数的方法有两种：公式法和递推法。

1. 公式法排列数的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5*4 = 202. 递推法通过使用排列数的递推关系，可以简化排列数的计算过程。

排列数的递推关系为：P(n,m) = n*P(n-1,m-1)其中，P(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的排列数。

例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5*P(4,1) = 5*4 = 20三、组合数与排列数的应用1. 组合数的应用组合数在组合数学、概率与统计等领域有广泛的应用。