【高考数学】2018-2019学年数学高考(文)二轮专题复习习题：第5部分高考大题规范练5-2-2-含答案

小题提速练(九)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |2－x ＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选D.∵A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x ＞2}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩(∁R B )＝{0,1,2}，故选D.2．在复平面内，复数z ＝－1＋i2－i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选C.∵z ＝－1＋i2－i ＝－1＋＋－＋＝－3＋i 5＝－35＋i 5，∴z ＝－35－i 5，故z 对应的点在第三象限．3．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg解析：选D.因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．4．执行如图所示的程序框图，若输入的x ＝2 017，则输出的i ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.执行框图得a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016≠2 017，∴i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11＋12 016＝2 0162 017≠2 017， ∴i ＝3，a ＝2 0162 017，b ＝11－2 0162 017＝2 017＝x ，∴输出的i ＝3.5．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：选A.依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1，故选A.6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为()A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.7．在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( )A ．－7B ．0 C.7D ．7解析：选B.以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB →＋13AD →，AN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13(AD →2－916AB →2)＝13×(9－9)＝0，故选B. 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D.A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )＜0，与题图不符，故不成立．故选D.10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B.根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：图1可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2所示：图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞时，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF →与FB →反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B ． 3 C. 5 D ．52解析：选C.如图，设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan∠AOB ＝－tan 2α＝AB OA，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列， ∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ， ∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝AB OA ＝m 34m ＝43， 解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝ 4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5.12．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：选C.a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒1tan C ＋1tan B＝2⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tanB tanC (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B ·tan C，即tan A ＋tan B ＋tanC ＝tan A ·tan B ·tan C )⇒tan A ＋2tan B tan C ＝tan A tan B tan C ⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，由△ABC 为锐角三角形知m2m －2＞0，∴m －2＞0令m －2＝t (t ＞0)⇒t ＋2t＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0平分，且与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，则l 的方程为________．解析：依题意可知，直线l 过圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1且斜率k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －y ＋2＝0.答案：2x －y ＋2＝014．已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________． 解析：4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371,6011,7610,1417,7140， ∴所求概率P ＝1－520＝1520＝0.75.答案：0.7515．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前9项和为________．解析：由S n ≤S 5得⎩⎪⎨⎪⎧a 5≥0a 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥0a 1＋5d ≤0，得－94≤d ≤－95，又a 2为整数，∴d ＝－2，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝11－2n ， 1a n ·a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1，∴T 9＝－12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤19－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝－19.答案：－1916．在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，∵DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面ADC ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②。

2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷文科数学(五)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为实数集，集合，，则集合为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合B，再根据集合并集以及补集概念求结果.【详解】由，，所以，所以，故选D．【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2.在复平面内，复数的对应点坐标为，则复数为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则求结果.【详解】易知，，故选B．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.函数的零点是A.或B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】先解二次方程得值，再根据对数方程得结果.【详解】，由得或，而函数零点指的是曲线与坐标横轴交点的横坐标，故选D.【点睛】本题考查函数零点概念，考查基本求解能力.4.已知实数、，满足，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式得范围，再根据绝对值定义得结果.【详解】由，知，故选D.【点睛】本题考查基本不等式应用，考查基本求解能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】执行循环，根据条件对应计算S，直至时结束循环,输出结果.【详解】进入循环，当时，，为奇数，；当时，，为偶数，；当时，，为奇数，；当时，，为偶数，；当时，，结束循环，输出.故选B．【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先作可行域，再根据三角形面积公式求结果.【详解】满足约束条件，如图所示：可知范围扩大，实际只有，其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为故选B．【点睛】本题考查平面区域含义，考查基本求解能力.7.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】等价于，作判断.【详解】由，得，得，，，但反之是，即或，故“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．8.如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将转化为，再根据离心率求比值.【详解】由，得而，所以，故选B．【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本求解能力.9.、、、四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则的小孩坐妈妈或妈妈的车概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用枚举法确定总事件数，再从中确定的小孩坐妈妈或妈妈的车事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】设、、、的小孩分别是、、、，共有坐车方式有、、、、、、、、，则的小孩坐妈妈或妈妈的车有六种情况，其概率为；另解，的小孩等概率坐妈妈或妈妈或妈妈车，故选D．【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.10.已知数列中第项，数列满足，且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数加法法则得，根据关系式得，联立方程解得.【详解】由，得，又，即，有，故．选C.【点睛】本题考查对数四则运算法则，考查基本求解能力.11.如图，的一内角，,,边上中垂线交、分别于、两点，则值为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量垂直确定E坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由条件知、、，，设，得，由垂直知，得，即，，故选C．【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12.已知函数，若存在实数，使得，则A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】先化简方程，分组研究以及最小值，确定等于号取法，解得.【详解】由已知即而，故，设，容易求得当时的最小值为2，当“=”成立的时候，故选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值以及利用导数求函数最值，考查基本分析与求解能力.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数，则__________．【答案】4【解析】【分析】根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.【详解】．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14.已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点弦性质得，对照比较与所求式子之间关系，即得结果.【详解】由知，由焦点弦性质，而．【点睛】本题考查抛物线焦点弦性质，考查基本求解能力.15.网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】2【解析】【分析】先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果.【详解】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，所以．【点睛】先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图，再在具体几何体中求体积.16.数列是公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意恒有成立，则的值为__________．【答案】或【解析】【分析】先根据和项与通项关系得，再根据等差数列公差与零关系分类讨论，最后解得的值.【详解】设的公差为，当时,所以，当时，对有①，当时，②，由①-②得：，得，即对、恒成立．当，此时，，舍去当时，，赋值可得，此时，是以为首项，为公差的等差数列．综上或．【点睛】本题考查等差数列基本量以及通项与和项关系，考查基本求解能力.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知（），其图象在取得最大值．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当，且，求值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据两角和正弦公式展开，再根据最值取法得a，最后根据配角公式化为基本三角函数，（2）先根据条件得，再根据两角和正弦公式求值.【详解】（Ⅰ）由在取得最大值，，即，经检验符合题意．（Ⅱ）由，，又，，得，．【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．18.如图：直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，，，、分别是与的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线性质得，，再根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面，最后根据面面平行性质得结论，（2）先根据线面垂直得面面垂直：平面平面，，再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据等体积法以及锥体体积公式求结果.【详解】（Ⅰ）连接，底面为平行四边形∵是的中点，是的中点，∵是的中点，是的中点，而，，平面平面平面，平面；（Ⅱ）由平面，平行四边形平面底面，，，底面四边形为矩形，即四边形为直角梯形，平面平面，过作交于,平面，即平面由，，，知，，得．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。

阶段滚动练5(对应1～12练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.已知集合P ＝{x |log 2x ＜－1}，Q ＝{x ||x |＜1}，则P ∩Q 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(0，1) D.⎝⎛⎭⎫－1，12 答案 A解析 由题意得，P ＝{x |log 2x ＜－1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0＜x ＜12，Q ＝{x ||x |＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，所以P ∩Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，故选A.2.复数2＋i 1－2i 的共轭复数的虚部是( )A.－35B.35 C.1 D.－1答案 D解析 由题意得2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i 5＝i ，所以其共轭复数的虚部为－1.3.已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∨綈q . 则其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 因为Δ＝(－2a )2－4×(－1)＝4a 2＋4＞0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，所以命题p 是真命题；当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋4x 的取值为负值，所以命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧綈q ，綈p ∨綈q 是真命题，故选C.4.已知点A (2，m )，B (1，2)，C (3，1)，若AB →·CB →＝|AC →|，则实数m 等于( ) A.1 B.53 C.2 D.73答案 D解析 AC →＝(1，1－m )，CB →＝(－2，1)，AB →＝(－1，2－m )，由于AB →·CB →＝|AC →|，可得4－m ＝2－2m ＋m 2，解得m ＝73，故选D.5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧5·⎝⎛⎭⎫122x ，－1≤x ＜1，1＋4x 2，x ≥1，设m ＞n ≥－1，且f (m )＝f (n )，则m ·f (2m )的最小值为( )A.4B.2C. 2D.2 2 答案 D解析 由于m ＞n ≥－1，且f (m )＝f (n )，所以可得1≤m ＜4，从而m ·f (2m )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋2m 2＝m ＋2m ≥22，当且仅当m ＝2时取等号，故选D. 6.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )答案 B解析 由题意得，f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x1＋e x ·cos x ，所以f (－x )＝1－e －x1＋e －x ·cos(－x )＝e x－11＋e x ·cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1，则f (1)＝⎝⎛⎭⎫21＋e 1－1cos 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 1＋e cos 1＜0，故选B. 7.已知锐角△ABC 的三边长a ， b ， c 成等差数列，且a 2＋b 2＋c 2＝21，则实数b 的取值范围为( ) A.(6，7] B.(0，7] C.⎝⎛⎦⎤2425，7 D.(6，7]答案 C解析 设公差为d ，则有a ＝b －d ，c ＝b ＋d ， 代入a 2＋b 2＋c 2＝21化简可得3b 2＋2d 2＝21， 当d ＝0时，b 有最大值为7，三角形为锐角三角形， 由余弦定理可知，(b －d )2＋b 2－(b ＋d )22b (b －d )>0，解得 b >4d ，∴3b 2＋2⎝⎛⎭⎫b 42>21，解得 b >2425，则实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤2425，7. 8.等比数列{a n }的前n 项和S n ＝12·3n +1＋c (c 为常数)，若λa n ≤3＋S 2n 恒成立，则实数λ的最大值是( )A.3B.4C.5D.6 答案 C解析 由题意可知，c ＝－32且a n ＝3n ，可得λ≤3＋12·32n +1－323n， 化简为λ≤32⎝⎛⎭⎫3n ＋13n ， 由于基本不等式等号不成立，所以由对勾函数可知， 当n ＝1时， λmax ＝5.故选C.9.记min{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最小值，若x ，y 为任意正实数，则M ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ，1y ，y ＋1x 的最大值是( )A.1＋ 2B.2C.2＋ 2D. 3 答案 D解析 设a ＝2x ，b ＝1y ，c ＝y ＋1x ＝1b ＋2a ，不妨设a ≤b ，则1a ≥1b，有2a ＋1b －a ≥2b ＋1b －b ＝3b －b ＝3－b 2b ， 又1b ＋2a －a ≤1a ＋2a －a ＝3a －a ＝3－a 2a ， 则3－b 2b ≤c －a ≤3－a 2a，当a ≥3时，c ≤a ，此时c 最小；当0＜a ＜3时，c －a ≥0，此时a 最小，则M ≤ 3.故选D.10.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ值为( ) A.π4 B.3π8 C.3π4 D.5π8 答案 C解析 平移后有y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π4，它关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.11.在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A.－2 018B.－2 016C.－2 019D.－2 017答案 A解析 由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.故选A.12.设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( ) A.[－1，2] B.(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 答案 D解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， 因为e x ＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0，1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2，2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23，故选D.二、填空题13.(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________. 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 14.设m ＞1，变量x ，y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m＝________. 答案 1＋ 2解析 因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域，如图所示，直线y ＝mx 与直线x ＋y＝1交于⎝⎛⎭⎫1m ＋1，mm ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m 2m ＋1＝2，且m ＞1，解得m ＝1＋ 2.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋b sin C ＝2a ，b ＝2，则△ABC的面积是________. 答案 1解析 ∵c sin B ＋bsin C ＝2a ，可得sin C sin B ＋sin B sin C ＝2sin A ，∴sin 2C ＋sin 2B sin B sin C＝2sin A ，∴sin 2C ＋sin 2B ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )sin B sin C ＝2sin 2B sin C cos C ＋2sin 2C sin B cos B ， ∴sin 2C (1－2sin B cos B )＋sin 2B (1－2sin C cos C )＝0， ∴sin 2C (sin B －cos B )2＋sin 2B (sin C －cos C )2＝0， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，可得B ＝C ＝45°， 又∵b ＝2，∴S △ABC ＝12×(2)2＝1.16.(2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数.又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e－x＝－⎝⎛⎭⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数. 由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1) ＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，12. 三、解答题17.已知f (x )＝(log m x )2＋2log m x －3(m ＞0，且m ≠1). (1)当m ＝2时，解不等式f (x )＜0；(2)若f (x )＜0在[2，4]上恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)当m ＝2时，解不等式f (x )＜0，得 (log 2x )2＋2log 2x －3＜0， 即－3＜log 2x ＜1，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18＜x ＜2.(2)由f (x )＜0在[2，4]上恒成立，得－3＜log m x ＜1在[2，4]上恒成立，①当m ＞1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜log m 2，log m4＜1，得m ＞4，②当0＜m ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜log m 4，log m 2＜1得0＜m ＜134，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，134∪(4，＋∞).18.(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.19.已知各项均为正数的等差数列{a n }满足：a 4＝2a 2，且a 1，4，a 4成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ·2n 的前n 项和为T n ，求证：T n ＜3.(1)解 根据题意，在等差数列{a n }中，设公差为d ，a 4＝2a 2，且a 1，4，a 4成等比数列，a 1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝2(a 1＋d )，a 1·(a 1＋3d )＝16，解得a 1＝2，d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)证明 由(1)知，a 1＝d ＝2， 则S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ，∴S n n ·2n ＝n ＋12n . ∴T n ＝221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，(*) 12T n ＝222＋323＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，(**)两式相减得12T n ＝221＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1，∴T n ＝2＋121＋122＋…＋12n －1－n ＋12n ＝2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＝3－12n －1－n ＋12n ＜3.∴T n ＜3.20.设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a ). (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即当x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22， 当且仅当x ＝2x ，即当x ＝－2时等号成立.所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22).。

2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i2．设集合U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x|x2﹣3x≥0}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x＜1}3．已知点M（1，1），N（4，﹣3），则与向量共线的单位向量为（）A．（，﹣）B．（﹣，）C．（，﹣）或（﹣，）D．（，﹣）或（﹣，）4．已知命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．则下列结论正确的是（）A．p∧q为真B．（¬p）∨q为真C．p∧（¬q）为真D．¬p 为真5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣16．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i 值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．38．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1．直径为6的球的体积为V2，则V1：V2=（）A．1：2 B．2：27 C．1：3 D．4：279．已知点F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F 2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．10．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3] 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3， (55)机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，则a+b= ．12．函数f（x）=log2（4﹣x2）的值域为．13．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，则ω= ．14．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为．15．定义f（x）={x}（{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{1.2}=2，{4}=4．“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）．①f（2x）=2f（x）；②若f（x）=f（y）则x﹣y＜1；③任意x，y∈R，f（x+y）≤f（x）+f（y）；④；⑤函数f（x）为奇函数．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求△ABC的面积．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥DC，平面DEC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）若AF∥DE，AF=DE，点M在线段BD上，且DM=BD，求证：AM∥平面BEF．19．已知等差数列{a n}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{b n}的前n和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n和T n．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，且离心率为e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点．试问是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=x+﹣alnx．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线2x+y﹣1=0平行，求a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下方程f（x）=b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：复数z满足z===3+4i，z的共轭复数=3﹣4i．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．2．设集合U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x|x2﹣3x≥0}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中y=ln（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴A={x|x＜1}，由B中不等式变形得：x（x﹣3）≥0，解得：x≤0或x≥3，即B={x|x≤0或x≥3}，∴∁U B={x|0＜x＜3}，则A∩∁U B={x|0＜x＜1}，故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知点M（1，1），N（4，﹣3），则与向量共线的单位向量为（）A．（，﹣）B．（﹣，）C．（，﹣）或（﹣，）D．（，﹣）或（﹣，）考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=（3，﹣4），可得||=5，单位化即可．解答：解：∵M（1，1），N（4，﹣3），∴=（4，﹣3）﹣（1，1）=（3，﹣4），∴||==5，∴与向量共线的单位向量为（3，﹣4）=（，﹣），或﹣（3，﹣4）=（﹣，），故选：C．点评：本题考查平行向量和共线向量，涉及模长公式，属基础题．4．已知命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．则下列结论正确的是（）A．p∧q为真B．（¬p）∨q为真C．p∧（¬q）为真D．¬p 为真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：判断两个命题的真假，判断推出结果即可．解答：解：命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，显然是真命题；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．例如y=，函数是奇函数，但是不经过原点，所以是假命题，¬q是真命题，所以p∧（¬q）为真是正确的．故选：C．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，基本知识的考查．5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的周期以及函数的奇偶性，通过函数的解析式求解即可．解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣（）=1．故选：B．点评：本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力．6．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i 值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当，S=时不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=2，i=1，S=1满足条件S≤2，i=2，S=满足条件S≤2，i=3，S=满足条件S≤2，i=4，S=＞2不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．解答：解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P（，），∴=，∴α=．故选：B点评：本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1．直径为6的球的体积为V2，则V1：V2=（）A．1：2 B．2：27 C．1：3 D．4：27考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断几何体是；圆柱内部挖空了一个圆锥，运用给出的数据求解几何体的条件，再根据球的体积公式求解，即可得出比例值．解答：解：∵根据三视图可判断几何体是；圆柱内部挖空了一个圆锥，r=2，l=h=2，∴该几何体的体积为V 1=π×22×2﹣=，∵直径为6的球的体积为V 2=×π×33=36π，∴V 1：V2==故选：D点评：本题考查了空间几何体的三视图，运用给出的数据，形状恢复直观图，求解体积，属于中档题．9．已知点F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F 2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入双曲线方程结合a2+b2=c2，由离心率公式解出e即得．解答：解：过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x ﹣c），联立渐近线方程y=x与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得﹣=1，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．10．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]考点：函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；导数的综合应用．分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．解答：解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，=1+2×，令m=，其几何意义为区域中任意一点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3， (55)机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，则a+b= 56 ．考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出样本间隔即可得到结论．解答：解：∵样本容量为5，∴样本间隔为55÷5=11，∵编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，∴a=17，b=39，∴a+b=56，故答案为：56．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔即可，比较基础．12．函数f（x）=log2（4﹣x2）的值域为（﹣∞，2] ．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．∴函数的值域为（﹣∞，2]．故答案为（﹣∞，2]．点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．13．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，则ω= ．考点：正弦函数的图象．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，结合图象，推出OP=2，MN=4，求出函数的周期，利用周期公式求出ω．解答：解：，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，所以OP=2，MO=OM=2，所以T=8，因为T=，所以ω=故答案为：点评：本题是基础题，考查正弦函数的图象，函数的周期，向量的数量积与向量的垂直关系，考查逻辑推理能力，计算能力，好题．14．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1 ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；压轴题．分析：在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y ﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．解答：解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．点评：本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1上．15．定义f（x）={x}（{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{1.2}=2，{4}=4．“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是②③（请写出所有真命题的序号）．①f（2x）=2f（x）；②若f（x）=f（y）则x﹣y＜1；③任意x，y∈R，f（x+y）≤f（x）+f（y）；④；⑤函数f（x）为奇函数．考点：命题的真假判断与应用．专题：常规题型．分析：充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可．解答：解：当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2f（1.4）=4．所以f（2x）≠2f（x）；①错．若f（x）=f（y）．当x为整数时，f（x）=x，此时y＞x﹣1，即x﹣y＜1．当x不是整数时，f（x）=[x]+1．[x]表示不大于x的最大整数．y表示比x的整数部分大1的整数或者是和x保持相同整数的数，此时x﹣y＜1．故②正确．举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．f （﹣1）=0≠f（1）=1．所以函数f（x）不是奇函数．⑤错．故答案为：②③．点评：此题适合充分利用选择题的优势来解答填空题．用逆向思维处理题目会事半功倍．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求△ABC的面积．考点：正弦定理；等差数列的通项公式．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理可得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，由三角函数恒等变换化简可得sinA=2sinAcosB，由sinA＞0，可求cosB，结合B的范围即可得解．（Ⅱ）由题意a+c=2b=6，由余弦定理可求ac，从而由三角形面积公式即可得解．解答：（本题满足12分）解：（Ⅰ）∵由题意可得：sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB．∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，sin（B+C）=2sinAcosB．∴sinA=2sinAcosB，因为0＜A＜π，sinA＞0，所以cosB=，因为0＜B＜π，所以B=…6分（Ⅱ）∵由题意a+c=2b=6又∵32=a2+b2﹣2accos，可得ac=9，∴S △ABC=acsinB=…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换，属于基本知识的考查．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．专题：应用题；概率与统计．分析：（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．解答：解：（I）由茎叶图得：，（2分）（4分）解得，x=5，y=7（5分）（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3（6分）记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果（8分）记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种（10分）∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为（12分）点评：本题考查了利用茎叶图求平均数及中位数，考查分层抽样方法及古典概型的概率计算，要注意求至少有1人是“高精灵”的选法可用分类法，解答本题的关键是读懂茎叶图18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥DC，平面DEC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）若AF∥DE，AF=DE，点M在线段BD上，且DM=BD，求证：AM∥平面BEF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；数形结合；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由空间中的垂直关系以及菱形的对角线互相垂直，证出AC⊥平面BDE；（Ⅱ）证法一，延长EF，DA，交于点G，证明AM∥GB即可；证法二，在△EDB中，过点M作MN∥DE，MN∩BE=N，连接FN，证明四边形AMNF为平行四边形，得AM∥FN即可．解答：证明：（Ⅰ）因为平面DEC⊥平面ABCD，DE⊥DC，平面DEC∩平面ABCD=DC，DE⊂平面DEC，所以DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又BD∩DE=D，BD、DE⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE；（Ⅱ）如图所示，证法一，延长EF，DA，交于点G，因为AF∥DE，AF=DE，所以==，因为DM=BD，所以BM=BD，因此=，所以==，所以AM∥GB，又AM⊄平面BEF，GB⊂平面PEF，所以AM∥平面PEF．证法二，在△EDB中，过点M作MN∥DE，MN∩BE=N，连接FN，因为AF∥DE，所以MN∥AF，因为DM=BD，所以BM=BD，==，又=，所以MN=AF，所以四边形AMNF为平行四边形，所以AM∥FN，因为AM⊄平面BEF，所以AM∥平面BEF．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．19．已知等差数列{a n}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{b n}的前n和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差中项的性质及已知条件“a1+a2+a3=9、a2+a8=18”可得公差，进而可得数列{a n}的通项；利用“b n+1=S n+1﹣S n”及“b1=2b1﹣2”，可得公比和首项，进而可得数列{b n}的通项；（Ⅱ）利用=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=9，∴3a2=9，即a2=3，∵a2+a8=18，∴2a5=18，即a5=9，∴3d=a5﹣a2=9﹣3=6，即d=2，∴a1=a2﹣d=3﹣2=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵S n=2b n﹣2，∴b n+1=S n+1﹣S n=2b n+1﹣2b n，即b n+1=2b n，又b1=2b1﹣2，∴b1=2，∴数列{b n}是以首项和公比均为2的等比数列，∴b n=2•2n﹣1=2n；∴数列{a n}和{b n}的通项公式分别为：a n=2n﹣1、b n=2n；（Ⅱ）由（I）知=，∴T n=++…+，∴T n=++…++，两式相减，得T n=+++…+﹣=+﹣=﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，且离心率为e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点．试问是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a=2，再求出b，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x ﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由直线y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）抛物线x2=4y的焦点为（0，），则b=．=，b2=a2﹣c2=3解得a=2，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，|AB|2=（2b）2=4b2，|MN|=，∴=2a=4．…（6分）②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．直线y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|=•|x 1﹣x2|=．…（10分）由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x2=，设A（x3，y3），B（x4，y4），则|AB|=•|x 3﹣x4|=4，∴==4，综上所述，为定值4．…（13分）点评：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=x+﹣alnx．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线2x+y﹣1=0平行，求a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下方程f（x）=b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a=1；（Ⅱ）求出当a=1时，f（x）的导数，求得[1，e]上的单调区间和最小值，以及端点处的函数值，结合条件，即可得到b的范围；（Ⅲ）在[1，e]，f（x0）＜0⇔f（x）min＜0（1≤x≤e），对a 讨论，①当a+1≤1即a≤0时，②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e ﹣1，③当a+1≥e，即a≥e﹣1时，通过导数判断单调性，求得额最小值，解不等式即可得到a的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x+﹣alnx的导数f′（x）=1﹣﹣，y=f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=f′（1）=1﹣（1+a）﹣a=﹣2a，由题意可得﹣2a=﹣2，解得a=1；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x+﹣lnx，f′（x）=1﹣﹣=，在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）递减，在（2，e）上，f ′（x）＞0，f（x）递增．f（2）取得最小值，且为3﹣ln2，f（1）=3，f（e）=e﹣1+，即有f（1）＞f（e），方程f（x）=b在区间[1，e]上两个不同的实数根，则有f（2）＜b≤f（e），即为3﹣ln2＜b≤e﹣1+；（Ⅲ）在[1，e]，f（x0）＜0⇔f（x）min＜0（1≤x≤e），f′（x）=1﹣﹣=，①当a+1≤1即a≤0时，在[1，e]上f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）min=f（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2；②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1，在[1，a+1]上f′（x）＜0，f（x）递减，在{a+1，e]上，f′（x）＞0，f（x）递增．f（x）min=f（a+1）=2+a﹣aln（a+1），由0＜ln（1+a）＜1，即0＜aln（1+a）＜a，f（a+1）=2+a ﹣aln（a+1）＞2，此时f（a+1）＜0，不成立；③当a+1≥e，即a≥e﹣1时，在[1，e]上f′（x）＜0，f（x）递减，f（x）min=f（e）=e+﹣a＜0，即a＞，由＞e﹣1，则有a＞，综上可得，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，同时考查函数方程的转化思想和不等式存在问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．。

2019届高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式3x＞2的解为__________．2．设i是虚数单位，复数（a+3i）（1﹣i）是实数，则实数a=__________．3．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=__________．4．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=__________．5．已知展开式中二项式系数之和为1024，则含x2项的系数为__________．6．已知直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，则该圆的半径大小为__________．7．已知x，y满足，则x+y的最大值为__________．8．若对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是__________．9．已知球的表面积为64πcm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，则截面与球心的距离是__________cm．10．已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为__________．11．若函数﹣4的零点m∈（a，a+1），a为整数，则所以满足条件a的值为__________．12．若正项数列{a n}是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项a k的值都大于从a k+2开始的各项和，则公比q的取值范围是__________．13．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q是关于x的方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的实数解，若数列{a n}有且只有一个，则实数t的取值集合为__________．14．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域D上的任何实数x分别满足f （x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f （x）和g（x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.15．已知a，b都是实数，那么“0＜a＜b”是“”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或重合D．平行或相交17．若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．1或218．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19．已知函数为实数．（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2（1）求异面直线PC与BD所成角的大小；（2）求点A到平面PBD的距离．21．一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A′，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离．（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．22．（16分）已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x 轴，y轴分别交于D、E两点，且满足（1）已知直线l的方程为y=2x﹣4，抛物线C的方程为y2=4x，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：=1，求的取值范围；（3）已知双曲线C：，求点D的坐标．23．（18分）记无穷数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n的最大项为A n，第n项之后的各项a n+1，a n+2，…的最小项为B n，令b n=A n﹣B n．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣n+1，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{a n}递增，且{a n+1﹣a n}是等差数列，求证：{b n}为等差数列；（3）若数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，判断{a n+1﹣a n}是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由．高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式3x＞2的解为x＞log32．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可．解答：解：∵3x＞2＞0，∴，即x＞log32．故答案为：x＞log32．点评：本题考查指数不等式的解法，将其转化为对数不等式是解题的关键，属于基础题．2．设i是虚数单位，复数（a+3i）（1﹣i）是实数，则实数a=3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．解答：解：复数（a+3i）（1﹣i）=a+3+（3﹣a）i是实数，∴3﹣a=0，解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．3．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=2．考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．解答：解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x=4，y=2，故答案为：2．点评：本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．4．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．考点：等差数列的前n项和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意知得，由此可知数列{a n}的通项公式a n．解答：解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a n=S n﹣S n﹣1求解数列的通项公式，属于基础题．5．已知展开式中二项式系数之和为1024，则含x2项的系数为210．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：依题意得，由二项式系数和2n=1024，求得n的值，再求展开式的第k+1项的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：依题意得，由二项式系数和2n=1024，解得n=10；由于展开式的第k+1项为，令20﹣3r=2，解得r=6，∴展开式中含x2项的系数为=210．故答案为：210．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．6．已知直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，则该圆的半径大小为1．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．解答：解：由（x﹣1）2+y2=r2，可知圆心坐标为（1，0），半径为r，∵直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，由圆心到直线的距离d=，可得圆的半径为1．故答案为：1．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．7．已知x，y满足，则x+y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求x+y的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+y得z=1+1=2．即目标函数z=x+y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．8．若对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是（﹣1，+∞）．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：问题转化为m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求t=sin2x﹣2sin2x的最大值即可．解答：解：∵对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，∴m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，∴只需求t=sin2x﹣2sin2x的最大值，∵t=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+）﹣1，∴当sin（2x+）=1时，t取最大值﹣1，∴m的取值范围为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）点评：本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．9．已知球的表面积为64πcm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，则截面与球心的距离是2cm．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先求出球的半径，再利用勾股定理，即可求出截面与球心的距离．解答：解：球的表面积为64πcm2，则球的半径为4cm，∵用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，∴截面与球心的距离是=2cm．故答案为：2．点评：本题考查截面与球心的距离，考查球的表面积，求出球的半径是关键．10．已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l 2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线l1⊥l2，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，即可得到结果．解答：解：设事件A为“直线l1⊥l2”，∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2）…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（5，6），…，（6，6）共36种，而l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，l1⊥l2⇔1•a﹣2b=0，∴a=2时，b=1；a=4时，b=2；a=6时，b=3；共3种情形．∴P（A）==．∴直线l 1⊥l2的概率为：．故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的垂直，关键在于掌握等可能事件的概率公式，属于中档题．11．若函数﹣4的零点m∈（a，a+1），a为整数，则所以满足条件a的值为a=1或a=﹣2．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先可判断函数﹣4是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数；再结合函数零点的判定定理求解即可．解答：解：易知函数﹣4是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数；又由f（1）=1+1﹣4=﹣2＜0，f（2）=4+﹣4=＞0；故f（1）f（2）＜0，故函数﹣4在（1，2）上有一个零点，故函数﹣4在（﹣2，﹣1）上也有一个零点；故a=1或a=﹣2．故答案为：a=1或a=﹣2．点评：本题考查了函数的性质的应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．12．若正项数列{a n}是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项a k的值都大于从a k+2开始的各项和，则公比q的取值范围是（0，）．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意，得公比1＞q＞0；列出不等式a k＞，求出公比q的取值范围．解答：解：正项等比数列{a n}中，公比为q，∴q＞0；又数列的每一项a k的值都大于从a k+2开始的各项和，∴a k＞，（q＜1）；即a k＞，∴1＞，∴q2+q﹣1＜0；解得＜x＜，∴公比q的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．点评：本题考查了等比数列的通项公式与前n和的应用问题，是基础题目．13．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q是关于x的方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的实数解，若数列{a n}有且只有一个，则实数t的取值集合为{0，，1，}．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，先讨论方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0是一次方程还是二次方程，再讨论二次方程的解的情况，从而确定答案．解答：解：∵数列{a n}有且只有一个，∴a1=q，若t﹣1=0，即t=1时，方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0是一次方程，x=，成立；若t﹣1≠0且2t﹣1=0，即t=时，方程（t﹣1）x2+2x+（2t ﹣1）=0的解为x=0或x=4，成立；若方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0有两个相同的解；则△=4﹣4（t﹣1）（2t﹣1）=0，解得，t=0或t=，当t=0时，方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的解为x=1，当t=时，方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的解为x=﹣2，成立；综上所述，实数t的取值集合为{0，，1，}；故答案为：{0，，1，}．点评：本题由等比数列的性质可得方程根的情况，考查了等比数列及二次方程，属于中档题．14．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域D上的任何实数x分别满足f （x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f （x）和g（x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是①③．考点：函数的值域．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：画出图象，数形结合即得答案．解答：解：①f（x）=+1与g（x）=sinx的公共定义域为R，显然f（x）＞1，而g（x）≤1，故满足题意；②f（x）=x3与g（x）=﹣的公共定义域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0＜g（x），当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0＜f（x），故不满足题意；③f（x）=x+与g（x）=lgx图象如右图，显然满足题意；④函数f（x）=2x﹣的图象如图，显然不满足题意；故答案为：①③．点评：本题主要考查函数的性质，数形结合是解题的关键，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.15．已知a，b都是实数，那么“0＜a＜b”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若，则，若0＜a＜b，则成立，当a＞0，b＜0时，满足，但0＜a＜b不成立，故“0＜a＜b”是“”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或重合 D．平行或相交考点：平面与平面之间的位置关系．分析：分两种情况加以讨论：当A、B、C三点在平面β同侧时，α∥β；当△ABC的中位线DE在平面β内时，满足A、B、C到平面β的距离相等，但此时α与β相交．由此得到正确答案．解答：解：如图所示①当A、B、C三点在平面β同侧时，因为它们到平面α的距离相等，所以α∥β；②当△ABC中AB、AC的中点D、E都在平面β内时，因为BC ∥DE，所以BC与平面β平行，故B、C两点到平面β的距离相等，设AA1⊥β于A1，CC1⊥β于C1，由△A1AE≌△C1CE可得AA1=CC1，故A、C两点到平面β的距离相等，即A、B、C到平面β的距离相等，但此时平面α与平面β相交．故选：D．点评：本题给出不共线的三个点到同一平面距离相等，求三点确定的平面与已知平面的位置关系，着重考查了空间直线与平面、平面与平面相交或平行的判断，属于基础题．17．若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．1或2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出a与b的关系式，得到a与b的绝对值的范围，再根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．解答：解：将直线ax+by﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（a2+b2）y2﹣6by+9﹣3a2=0．令△＜0得，a2+b2＜3．又a、b不同时为零，∴0＜a2+b2＜3．由0＜a2+b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，∵椭圆方程知长半轴a=2，短半轴b=，∴可知P（a，b）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆=1的公共点有2个．故选：C．点评：本题考查学生综合运用直线和圆方程的能力．以及直线与圆锥曲线的综合运用能力，属于中档题．18．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．解答：解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1，}．故选：D．点评：考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19．已知函数为实数．（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）=1+＞0可得；（2）a≤0时，x=时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）=x+时，利用基本不等式求出y=f（x）的最小值为2．解答：解：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增．∵f′（x）=1+＞0，∴y=f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上单调递增；（2）a＜0时，x=时，函数取得最小值0；a=0时函数无最小值；a＞0时，f（x）=x+≥2，当且仅当x=时，y=f（x）的最小值为2．点评：本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2（1）求异面直线PC与BD所成角的大小；（2）求点A到平面PBD的距离．考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE，则OE∥PC，则直线PC与BD所成角等于直线OE与BD 所成角，解三角形OEB，即可得到答案．（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD，求出AH，即可求点A到平面PBD的距离．解答：解：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：∵O为BD的中点，则EO=PC=，且OE∥PC，又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=2，BD=2．∴OB=BD=，BE=，∴|cos∠EOB|=||=0，即异面直线PC与BD所成角为90°；（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD．在直角三角形AOE中，AE=1，OA=，OE=，由等面积可得AH==．点评：本题考查异面直线及其所成的角，点A到平面PBD的距离，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题是解题的关键．21．一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A′，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离．（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）求出∠AOC，在△ACO中利用余弦定理，即可求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，所以，即可求此时天线方向AC与水平线的夹角．解答：解：（1）设∠AOC=θ，则=9°．在△ACO中，AC2=63702+80002﹣2×6370×8000×cos9°=3911704.327，所以AC≈1978（千米），所以人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离为1978千米；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，所以，所以sin（φ+90°）≈0.6327，所以cosφ≈0.6327，所以φ≈50°45′，所以此时天线方向AC与水平线的夹角为50°45′．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（16分）已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x 轴，y轴分别交于D、E两点，且满足（1）已知直线l的方程为y=2x﹣4，抛物线C的方程为y2=4x，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：=1，求的取值范围；（3）已知双曲线C：，求点D的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过直线l的方程可得D、E坐标，将y=2x﹣4代入y2=4x可得点A、B坐标，利用、，计算即可；（2）通过联立x=my+1（m＞1）与=1，利用韦达定理、、，计算即得结论；（3）通过设直线l的方程并与双曲线C方程联立，利用韦达定理、，，计算即可．解答：解：（1）将y=2x﹣4代入y2=4x，求得点A（1，﹣2），B（4，4），又∵D（2，0），E（0，﹣4），且，∴（1，2）=λ1（1，2）=（λ1，2λ1），即λ1=1，同理由，可得λ2=﹣2，∴λ1+λ2=﹣1；（2）联立x=my+1（m＞1）与=1，消去x可得：（2+m2）y2+2my﹣1=0，由韦达定理可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∵D（1，0），E（0，﹣），且，∴y 1+=﹣λ1y1，∴λ1=﹣（1+），同理由，可得y 2+=﹣λ2y2，∴λ2=﹣（1+），∴λ1+λ2=﹣（1+）﹣（1+）=﹣2﹣=﹣2﹣=﹣4，∴=﹣==，∵m＞1，∴点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可得λ1∈（，0），∴∈（﹣∞，﹣2）；（3）设直线l的方程为：x=my+t，代入双曲线C方程，消去x得：（﹣3+m2）y2+2mty+（t2﹣3）=0，由韦达定理可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴+=﹣，由，可得：﹣（λ1+λ2）=2+•（+），∵λ1+λ2=6，∴2+•（﹣）=﹣6，解得t=±2，∴点D（±2，0）；当直线l与x轴重合时，λ1=﹣，λ2=或者λ1=，λ2=﹣，∴都有λ1+λ2==6也满足要求，∴在x轴上存在定点D（±2，0）．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（18分）记无穷数列{a n }的前n 项a 1，a 2，…，a n 的最大项为A n ，第n 项之后的各项a n+1，a n+2，…的最小项为B n ，令b n =A n ﹣B n ．（1）若数列{a n }的通项公式为a n =2n 2﹣n+1，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；（2）若数列{a n }递增，且{a n+1﹣a n }是等差数列，求证：{b n }为等差数列；（3）若数列{b n }的通项公式为b n =1﹣2n ，判断{a n+1﹣a n }是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定． 专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n }的通项公式为a n =2n 2﹣n+1，可得：a 1=2，a n ，n ≥1时为单调递增数列．可得A 1=a 1=2，B 1=a 2=7，b 1=﹣5．同理可得b 2=A 2﹣B 2=a 2﹣a 3．可得数列{b n }的通项公式b n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1．（2）由数列{a n }递增，可得A n =a n ，B n =a n+1，可得b n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=﹣（a n+1﹣a n ），即可证明．（3）设d 是非负整数，先证明：b n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列，即可得出． 解答： （1）解：数列{a n }的通项公式为a n =2n 2﹣n+1，a 1=2，+，n ≥1时为单调递增数列．∴A 1=2，B 1=a 2=2×22﹣2+1=7b 1=2﹣7=﹣5．同理可得b 2=A 2﹣B 2=a 2﹣a 3=﹣9．∴数列{b n }的通项公式b n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=2n 2﹣n+1﹣[2（n+1）2﹣（n+1）+1]=﹣4n ﹣1；（2）证明：∵数列{a n }递增，∴A n =a n ，B n =a n+1，∴b n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=﹣（a n+1﹣a n ），∵{a n+1﹣a n }是等差数列，∴{b n }为等差数列．（3）解：设d 是非负整数，先证明：b n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，∴A n =a n =a 1+（n ﹣1）d ，B n =a n+1=a 1+nd ，∴d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．必要性：若b n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k ﹣a k ﹣1＜0的项，则d k =A k ﹣B k =a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与d n =﹣d ≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列．∴d n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，故{a n}是公差为d的等差数列．而数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，b n+1﹣b n=﹣2，∴{a n+1﹣a n}是公差为2等差数列．点评：本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列的单调性、充要条件，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018年高三调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．B）=（）1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RA．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α②若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α③若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m④若l ∥α，m ∥α，则l ∥m ．其中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．2 9．已知直线x+y ﹣k=0（k ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知f （x ）=，g （x ）=|x ﹣k|+|x ﹣1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（﹣）∪（）B ．（﹣]∪[）C ．[]D ．（）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a ﹣1）y+a 2﹣1=0，若l 1⊥l 2，则a= ．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1﹣t ）．若•=0，则t= ．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是 ．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a 为15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a ，b ，则关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为 ．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下： 寿命（天）频数 频率 [100，200）20 0.10 [200，300）30 y [300，400）70 0.35 [400，500）x 0.15 [500，600）50 0.25 合计 200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品． （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= ，y= ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n （n ∈N *）个，如果这n 个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n 的最小值为 ．17．对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得=M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M ，已知f （x ）=x 3﹣x 2+1，x ∈[1，2]，则函数f （x ）=x 3﹣x 2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有S n =n 2+n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC=（2b ﹣c ）cosA ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC 面积的最大值．20．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=，E 是棱A 1A 的中点，F 为棱CC 1上的一动点．（Ⅰ）若C 1E ∥平面ABF ，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A 1C ⊥平面ABF ．21．已知f （x ）=alnx++3x ﹣4．（1）当a=﹣2时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥1时，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证： +++…+＞ln （2n+1）对一切正整数n 均成立．22．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN 过定点，并求出这个定点；（3）当AB 、CD 的斜率存在时，求△FMN 面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁B）=（）RA．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集为R，集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∁B={x|x≤﹣1或x＞5}RB）={x|﹣3＜x≤﹣1}则A∩（∁R故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数z满足（3﹣4i）z=25，可得z===3+4i．对应点为：（3，4），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=cos（﹣）=＞0，排除C，当cos（2x﹣）=0，得2x﹣=+kπ，即x=+，∵x∈[﹣，]，∴x=或﹣，排除A，B，故选：D【点评】本题主要考查三角函数图象的判断，根据三角函数的单调性是解决本题的关键．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，f（x）=x3是奇函数，在区间[﹣1，1]上是单调递增，不正确；对于B，f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不正确；对于C，f（﹣x）=ln=﹣f（x）是奇函数，∵ =﹣1+在区间[﹣1，1]上是单调递减，∴f（x）=ln在区间[﹣1，1]上是单调递减，正确；对于D，f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，在区间[﹣1，1]上不是单调递减，不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是关键．5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的底面的面积是=2，由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是2，∴三棱锥的体积是=故选C．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面位置关系可得：l与α平行相交或l⊂α，即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出；③利用线面平行的判定定理可得：l∥m或为异面直线，即可判断出正误；④利用线线与线面位置关系即可判断出：可得l∥m、相交或为异面直线，进而判断出正误．【解答】解：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α不成立（m没有给出是平面内的任意一条直线），例如可能l⊂α，l∥α，l与α相交但是不垂直等；②若l⊥α，l∥m，由线面垂直的判定定理可得m⊥α，正确；③若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；④若l∥α，m∥α，则l∥m、相交或为异面直线．其中，正确命题的个数是1．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c===a，则有e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y ﹣k=0（k ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，∴∴4＞∴4＞∵k ＞0，∴故选C ． 【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知f （x ）=，g （x ）=|x ﹣k|+|x ﹣1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（﹣）∪（）B ．（﹣]∪[）C ．[]D ．（）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的最值，不等式有f （x 1）≤g （x 2）等价为有f （x ）max ≤g （x ）min 即可．【解答】解：当x ≤1时，f （x ）=﹣x 2+x=﹣（x ﹣）2+≤，当x ＞1时，f （x ）=﹣log 3x ＜0，则函数f （x ）max =，g （x ）=|x ﹣k|+|x ﹣1|≥|k ﹣x+x ﹣1|=|k ﹣1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）≤g （x 2）成立，则|k ﹣1|≥，即k ﹣1≥或k ﹣1≤﹣，即k ≥或k ≤，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，求出函数的最值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a ﹣1）y+a 2﹣1=0，若l 1⊥l 2，则a= ． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a 的方程求得a 值．【解答】解：∵直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a ﹣1）y+a 2﹣1=0，且l 1⊥l 2，∴a ×1+2（a ﹣1）=0，即a+2a ﹣2=0，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1﹣t ）．若•=0，则t= 2 ． 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t +（1﹣t ）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴ =0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是50π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，则a2+b2=25，b2+c2=34，c2+a2=41，得a2+b2+c2=50．于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=50．故外接球的表面积为S=4πR2=50π．故答案为：50π．【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能．．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为﹣【考点】程序框图．【专题】规律型；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出a值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始a=3，i=1；第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a=﹣2，i=6；…；∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2015，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期是关键．15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意可得（a，b）的所有结果共有36种，每种结果等可能出现，再利用列举法求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，∵关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根，∴△=a2﹣4b＞0，a=1时，不成立；a=2时，不成立；a=3时，b可以取1，2；a=4时，b可以取1，2，3；a=5时，b 可以取1，2，3，4，5，6；a=6时，b 可以取1，2，3，4，5，6．满足条件的基本事件个数m=17，∴关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率：p==．故答案为：． 【点评】本题考查关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下： 寿命（天）频数 频率 [100，200）20 0.10 [200，300）30 y [300，400）70 0.35 [400，500）x 0.15 [500，600）50 0.25 合计 200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品． （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= 30 ，y= 0.15 ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n （n ∈N *）个，如果这n 个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n 的最小值为 4 ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率=，利用频率分布列能求出x ，y 的值．（2）由频率分布表先求出x ，再求出优等品、正品、次品的比例，从而能求出按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k ，（k ∈N *），由此能求出n 的最小值．【解答】解：（1）由频率分布表得：x=200×0.15=30，y==0.15．故答案为：30，0.15．（2）由已知得x=200×0.15=30，∴由频率分布表得到：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品、次品的比例为50：100：50=1：2：1，∴按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k ，（k ∈N *），∴n 的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查频率分布表中未知数的求法，考查按三个等级分层抽样所得的结果相同的n 的最小值的求法，是基础题，解题时要注意频率分布表和分层抽样的性质的合理运用．17．对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得=M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M ，已知f （x ）=x 3﹣x 2+1，x ∈[1，2]，则函数f （x ）=x 3﹣x 2+1在[1，2]上的几何平均数M= ． 【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据已知中对于函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得=M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由f （x ）=x 3﹣x 2+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数f （x ）在D 上的几何平均数为M 的定义，由于f （x ）的导数为f ′（x ）=3x 2﹣2x ，在{1，2]内f ′（x ）＞0，则f （x ）=x 3﹣x 2+1在区间[1，2]单调递增，则x 1=1时，存在唯一的x 2=2与之对应，且x=1时，f （x ）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：．【点评】此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有S n =n 2+n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系：当n=1时，a 1=S 1，当n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1，计算即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n =（﹣），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=2；当n ＞1时，由S n =n 2+n ，可得S n ﹣1=（n ﹣1）2+n ﹣1=n2﹣n ，两式相减，可得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ，综上可得a n =2n ；（Ⅱ）b n ==（﹣），前n 项和为T n =（1﹣++﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+），由于（+）＞0，则T n ＜成立．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意保留和消掉的项，属于中档题．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC=（2b ﹣c ）cosA ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC 面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A ；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ，即bc ≤4，当且仅当b=c=2时取等号，运用三角形的面积公式可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）acosC=（2b ﹣c ）cosA ，即为acosC+ccosA=2bcosA ，由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA ，sin （A+C ）=2sinBcosA 即sinB=2sinBcosA ，∵B ∈（0，π）∴sinB ≠0∴cosA=，∵A ∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ，∴bc ≤4，当且仅当b=c=2时取等号，∴△ABC 的面积S=bcsinA=bc ≥，∴当且仅当b=c=2时，S 取得最大值，且为． 【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=，E 是棱A 1A 的中点，F 为棱CC 1上的一动点．（Ⅰ）若C 1E ∥平面ABF ，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A 1C ⊥平面ABF ．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题意可得C 1E ∥FA ，又E 是棱A 1A 的中点，可得F 为棱CC 1的中点，即可得解． （Ⅱ）由题意可证∠FAC=∠A 1CC 1，从而可求A 1C ⊥AF ，证明AB ⊥平面A 1ACC 1．即可证明A 1C ⊥AB ，从而得证A 1C ⊥平面ABF ．【解答】解：（Ⅰ）∵C 1E ∥平面ABF ，C 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面ABF ∩平面A 1ACC 1=AF ，∴C 1E ∥FA ，∵E 是棱A 1A 的中点，∴F 为棱CC 1的中点，∴=；…6分（Ⅱ）设AB=AC=a ，则AA 1=，∵，∴∠FAC=∠A 1CC 1，∵∠A 1CC 1+∠A 1CA=90°，∴∠FAC+∠A 1CA=90°，∴A 1C ⊥AF ，∵A 1A ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥AB ，∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1．∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴AB ⊥A 1C ．∴A 1C ⊥AB ，A 1C ⊥AF ，∴A 1C ⊥平面ABF ．…13分．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证： +++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n 均成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（2）由（1）知，x＞0时，不等恒成立，则x＞0时，恒成立．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．【解答】解：（1）当a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+=f'（x）=0，解得x=或x=1因为x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）f'（x）=△=a2+12＞0，则方程3x2+ax﹣1=0有两个异号的实根，设这两个实根为x1，x2，且x1＜0＜x2．∴0＜x＜x2时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x2]上为减函数，f（x2）＜f（0）=0．∴a＜﹣2不符合要求．∴a的取值范围为[﹣2，+∞）．（3）证明：由（1）知，x＞0时，不等式﹣2lnx+恒成立，∴x＞0时，恒成立，令，得整理得：∴令k=1，2，3…，n，得…，将上述n个不等式的左右两边分别相加得，∴对一切正整数n均成立．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由于椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB 的方程为x=my+1，m ≠0，则直线CD 的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M ，N 的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H ，检验m=0也成立；（3）由（2）可得，△FMN 面积为S=|FH|•|y M ﹣y N |，化简整理，再令m+=t （t ≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．【解答】（1）解：∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，∴b=，c=a ，a 2﹣b 2=c 2，∴解得a 2=3，b 2=2，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线AB 的方程为x=my+1，m ≠0，则直线CD 的方程为x=﹣y+1，联立椭圆方程，消去x ，得（2m 2+3）y 2+4my ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=，∴x 1+x 2=（my 1+1）+（my 2+1）=m （y 1+y 2）+2=，由中点坐标公式得M （，﹣），将M 的坐标中的m 用﹣代换，得CD 的中点N （，），k MN =，直线MN 的方程为y+=（x ﹣），即为y=（x ﹣1），令x ﹣1=0，可得x=，即有y=0，则直线MN 过定点H ，且为H （，0）当m=0，即有x=1，可得直线MN 也过定点H ；（3）解：由（2）可得，△FMN 面积为S=|FH|•|y M ﹣y N |=（1﹣）•|﹣﹣|=2||=2||可令m+=t （t ≥2），由于6t+的导数为6﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S==在[2，+∞）递减，即有t=2即m=1时，S 取得最大值，且为．则△FMN 面积的最大值为． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用．。

2019年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]3．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．函数（e=2.71828…为自然对数的底数）的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．下列说法不正确的是（ ）A ．若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≥0”C ．“φ=”是“y=sin （2x+φ）为偶函数”的充要条件D ．a ＜0时，幂函数y=x a 在（0，+∞）上单调递减6．执行如图所示的程序框图，输出的T=（ ）A ．29B ．44C ．52D ．627．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（ ）A．B．C．D．8．变量x y、满足线性约束条件，则目标函数z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3 B．k＞1 C．﹣3＜k＜1 D．﹣1＜k＜19．函数y=2sinπx﹣（﹣2≤x≤4）的所有零点之和为（）A．2 B．4 C．6 D．810．对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点{x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（）A．7554 B．7549 C．7546 D．7539二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是．12．已知双曲线的左焦点，右焦点，离心率e=．若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|﹣|PF2|= ．13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．14．已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y=，则+的最小值为．15．在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，已知，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c 的值．17．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．18．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）证明：AD⊥BE．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设集合A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=2a n，n∈N*}，等差数列{c n}的任一项c n∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，110＜c10＜115，求数列{c n}的通项公式．20．已知以C为圆心的动圆过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x ﹣3）2+y2=64（B为圆心）相切，点C的轨迹为曲线T．设Q 为曲线T上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ（O为坐标原点）的平行线交曲线T于M，N两点．（I）求曲线T的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，使总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2≥．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数===，∴复数对应的点的坐标是（）∴复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中．2．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可．解答：解：集合M={x|x2﹣4x＜0}=（0，4），N={x||x|≤2}=[﹣2.2]．∴M∪N=[﹣2，4），故选：B点评：本题考查了集合得并集运算，属于基础题．3．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n，由751≤a n≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．解答：解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．函数（e=2.71828…为自然对数的底数）的部分图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．解答：解：∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．点评：本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题．5．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确．B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误．D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确．故选：C点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础．6．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．62考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．解答：解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．7．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．解答：解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+kπ，即+2kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．8．变量x y、满足线性约束条件，则目标函数z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3 B．k＞1 C．﹣3＜k＜1 D．﹣1＜k＜1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数y=kx﹣z仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的下方，∴目标函数的斜率k满足﹣3＜k＜1，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．9．函数y=2sinπx﹣（﹣2≤x≤4）的所有零点之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意函数y=2sinπx﹣（﹣2≤x≤4）的零点即2sin πx=的根；作函数y=2sinπx与y=的图象可知有8个零点；又y=2sinπt﹣在[﹣3，3]上是奇函数，从而求值．解答：解：函数y=2sinπx﹣（﹣2≤x≤4）的零点即2sinπx=；作函数y=2sinπx与y=的图象如下，又∵y=2sinπx﹣=2sinπ（1﹣x）﹣；故y=2sinπt﹣在[﹣3，3]上是奇函数，故零点之和为0；故函数y=2sinπx﹣（﹣2≤x≤4）的零点之和为×2=8；故选D．点评：本题考查了函数图象的变换及函数的零点与方程及函数图象的关系，属于基础题．10．对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点{x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（）A．7554 B．7549 C．7546 D．7539考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值计算可得．解答：解：∵数列{x n }满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，∴x n+1=f（x n），∴由图表可得x1=1，x2=f（x1）=3，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=6，x5=f（x4）=1，∴数列是周期为4的周期数列，∴x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×15+9=7554故选：A点评：本题考查函数和数列的关系，涉及周期性，属基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是．考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据对数的运算法则可求出f（4）的值，从而可将f（f （4））从内向外去除括号，求出所求．解答：解：由题意可得：函数f（x）=，∴f（）=log 2=﹣2∴f（f（））=f（﹣2）=3﹣2+1=．故答案为：．点评：本题主要考查了函数求值，解决此类问题的关键是熟练掌握对数的有关公式，并且加以正确的运算，属于基础题．12．已知双曲线的左焦点，右焦点，离心率e=．若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|﹣|PF2|= 8 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的焦点坐标以及离心率求出实半轴a，然后利用双曲线的定义求解即可．解答：解：由题意c=2，∵e=．∴a=4，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=8．故答案为：8．点评：本题考查双曲线的定义以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2×=．故答案为：．点评：本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y=，则+的最小值为3+2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令x﹣y=t，x+3y=s（s＞0，t＞0），解得x，y，再由条件可得s+t=1，则+=+=（s+t）（+），运用基本不等式即可得到最小值．解答：解：令x﹣y=t，x+3y=s（s＞0，t＞0），则x=（s+3t），y=（s﹣t），由x+y=，可得s+t=1，则+=+=（s+t）（+）=3+（+）≥3+2．当且仅当s=t=2﹣时，取得等号．则+的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用换元法和乘1法，以及等号成立的条件，属于中档题和易错题．15．在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r= ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r解答：解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．点评：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，已知，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c 的值．考点：正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．解答：解：（1）∵，∴，又∵0＜A＜π，∴．∵，且0＜B＜π，∴．（2）由正弦定理得，∴，另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c，解得c=8或c=﹣3（舍去），∴b=7，c=8．点评：本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．17．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：（1）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于14秒且小于16秒的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数．（2）按照（1）的方法求出成绩在[13，14）及在[17，18]的人数；通过列举得到m，n都在[13，14）间或都在[17，18]间或一个在[13，14）间一个在[17，18]间的方法数，三种情况的和为总基本事件的个数；分布在两段的情况数是事件“|m﹣n|＞1”包含的基本事件数；利用古典概型的概率公式求出事件“|m ﹣n|＞1”的概率．解答：解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），所以该班成绩良好的人数为27人、（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，设为为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，设为A、B、C、D．若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；若m，n分别在[13，14）和[17，18]内时，A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD有12种情况、所以，基本事件总数为3+6+12=21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种、∴（12分）点评：本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式．18．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）证明：AD⊥BE．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）取AB的中点F，连接DF，CF，由已知可证DF EC，可得四边形DEFC为平行四边形，可得DE∥FC，由DE⊄平面ABC，从而可证DE∥平面ABC．（2）以FA，FC，FD为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，求出向量，的坐标，由•=0，即可证明AD⊥BE．解答：证明：（1）取AB的中点F，连接DF，CF，∵△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，∴DF⊥CF，∵DF=BC=2又∵EC⊥平面ABC，既有：EC⊥FC，EC=2．∴DF EC，故四边形DEFC为平行四边形，∴DE∥FC∴DE⊄平面ABC，可得DE∥平面ABC．（2）以FA，FC，FD为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，则有：A（2，0，0），D（0，0，2），B（﹣2，0，0），E（0，2，2）=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，2）由于•=0，故AD⊥BE．点评： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+2n ，（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设集合A={x|x=2n+2，n ∈N *}，B={x|x=2a n ，n ∈N *}，等差数列{c n }的任一项c n ∈A ∩B ，其中c 1是A ∩B 中的最小数，110＜c 10＜115，求数列{c n }的通项公式．考点： 数列的求和；交集及其运算．专题： 点列、递归数列与数学归纳法；集合． 分析： （Ⅰ）利用a n =S n ﹣S n ﹣1计算并验证即可； （Ⅱ）通过A 、B 间的包含关系可得c 1=6，从而可得，利用110＜c10＜115，可得c 10=114，根据等差数列的性质计算即可． 解答： 解：（Ⅰ）∵．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n+1， 当n=1时，a 1=S 1=3满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n =2n+1；（Ⅱ）∵A={x|x=2n+2，n ∈N *}，B={x|x=4n+2，n ∈N *}，∴A ∩B=B ．又∵c n∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，∴c1=6，∵{c n}的公差是4的倍数，∴．又∵110＜c10＜115，解得m=27，所以c10=114，设等差数列的公差为d，则，∴c n=6+（n﹣1）12=12n﹣6，所以{c n}的通项公式为c n=12n﹣6．点评：本题考查数列的基本性质，通项公式，集合的交集及其运算，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知以C为圆心的动圆过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x ﹣3）2+y2=64（B为圆心）相切，点C的轨迹为曲线T．设Q 为曲线T上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ（O为坐标原点）的平行线交曲线T于M，N两点．（I）求曲线T的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，使总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）判断两圆相内切，求出|CA|+|CB|=8，说明C 点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求出长轴长，短轴长，即可得到曲线T的方程．（Ⅱ）当直线MN斜率不存在时，求出MN的方程为：x=0，然后求出λ；当直线MN斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：y=k（x+3），则OQ：y=kx，联立，利用韦达定理，推出的表达式，通过求出，利用可解得λ．解答：解：（Ⅰ）∵A（﹣3，0）在圆B的内部，∴两圆相内切，所以|CA|+|CB|=8＞6，∴C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a=8，a=4；2c=6，∴c=3，b==∴曲线T的方程为：．…（4分）（Ⅱ）当直线MN斜率不存在时，MN的方程为：x=0，∴．∴，则；…（5分）当直线MN斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：y=k（x+3），则OQ：y=kx，由得（7+16k2）x2+96k2x+144k2﹣112=0，则，，…（8分）∴y1y2=k2[（x1+3）（x2+3）]=k2[x1x2+3（x1+x2）+9]=．=yy2+[（x1+3）（x2+3）]═…（10分）由得7x2+16k2x2=112，则x2=，∴，由可解得．综上，存在常数，使总成立．…（13分）点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的轨迹方程的求法，向量与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2≥．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）先求出a的值，然后求原函数的极值即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．解答：解：（Ⅰ）因为f（1）=，所以a=2．此时f（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，，由f'（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0．（Ⅱ），所以．当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，，令g′（x）=0，得．所以当时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在是增函数，在是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是，递减区间是．（Ⅲ）当x1＞0，x2＞0时，x1＞0，x2＞0．由x1＞0，x2＞0，即x1＞0，x2＞0．从而x1＞0，x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，．t＞0可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以，解得或．又因为x1＞0，x2＞0，因此成立．点评：本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型．。

第3讲 立体几何中的计算 课时讲义1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．有时还需能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．2. 高考中常见的题型为：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题；(4) 几何体的内切和外接．1. 棱长都是2的三棱锥的表面积为________． 答案：43解析： 因为四个面是全等的正三角形，则S 表面积＝4×34×4＝43.2. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C的体积为________．答案：13解析：四棱锥PAA 1C 1C 的体积为13×22×2×1＝13.3. (2018·南京学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm 3，则该圆柱的侧面积为________cm 2.答案：18π解析：设正方形的边长为a cm ，则πa 2·a ＝27π，解得a ＝3，所以侧面积2π×3×3＝18π.4. (2018·海安质量测试)已知正三棱锥的体积为36 3 cm 3，高为4 cm ，则底面边长为________cm.答案：63解析： 设正三棱锥的底面边长为a ，则其面积为S ＝34a 2.由题意13·34a 2×4＝363，解得a ＝63., 一) 表面积与体积, 1) 如图，在以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的六面体中，△ABC 和△ABD 均为等边三角形，且平面ABC ⊥平面ABD ，EC ⊥平面ABC ，EC ＝3，AB ＝2.(1) 求证：DE ∥平面ABC ； (2) 求此六面体的体积．(1) 证明：作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，连结CF. 因为平面ABC ⊥平面ABD ， 且平面ABC ∩平面ABD ＝AB ， 所以DF ⊥平面ABC.因为EC ⊥平面ABC ，所以DF ∥EC. 因为△ABD 是边长为2的等边三角形， 所以DF ＝3，因此DF ＝EC ，所以四边形DECF 为平行四边形，所以DE ∥CF.因为DE ⊄平面ABC ，CF ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC.(2) 解：因为△ABD 是等边三角形，所以点F 是AB 的中点． 又△ABC 是等边三角形，所以CF ⊥AB. 由DF ⊥平面ABC 知，DF ⊥CF ， 所以CF ⊥平面ABD.因为DE ∥CF ，所以DE ⊥平面ABD ， 因此四面体ABDE 的体积为13S △ABD ·DE ＝1；四面体ABCE 的体积为13S △ABC ·CE ＝1，而六面体ABCED 的体积＝四面体ABDE 的体积＋四面体ABCE 的体积， 故所求六面体的体积为2.(2018·苏州暑假测试)如图，正四棱锥P ABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为83 cm 2，则它的体积为________cm 3.答案：4解析：记正四棱锥P ABCD 的底面中心为点O ，棱AB 的中点为H, 连结PO ，HO ，PH ，则PO ⊥平面ABCD .因为正四棱锥的侧面积为83 cm 2，所以83＝4×12×23×PH ，解得PH ＝2.在直角△PHO 中，PH ＝2，HO ＝3，所以PO ＝1，所以V PABCD ＝13×S 四边形ABCD ×PO ＝13×23×23×1＝4(cm 3)．, 二) 翻折与切割问题, 2) 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，BD ∩AC ＝O ，现将其沿菱形对角线BD 折起得到空间四边形EBCD ，使EC ＝2.(1) 求证：EO ⊥CD ；(2) 求点O 到平面EDC 的距离．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD . ∵ BD ∩AC ＝O ，∴ AO ⊥BD ，即EO ⊥BD .∵ 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∴ AD ＝CD ＝BC ＝2，AO ＝OC ＝1. ∵ EC ＝2，CO ＝EO ＝1，∴ EO 2＋OC 2＝EC 2，∴ EO ⊥OC . 又BD ∩OC ＝O ，∴ EO ⊥平面BCD ，∴ EO ⊥CD .(2) 解：设点O 到平面ECD 的距离为h ，由(1)知EO ⊥平面OCD .V 三棱锥O CDE ＝V 三棱锥E OCD ，即13S △OCD ·EO ＝13S △ECD ·h . 在Rt △OCD 中，OC ＝1，OD ＝3，∠DOC ＝90°，∴ S △OCD ＝12OC ·OD ＝32.在△CDE 中，ED ＝DC ＝2，EC ＝2，∴ S △CDE ＝12×2×22－（22）2＝72， ∴ h ＝S △OCD ·EO S △ECD ＝217，即点O 到平面EDC 的距离为217.如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，点E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .(1) 求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2) 当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．,①) ,②)(1) 证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，点E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC . 又A 1O ∩OC ＝O ，所以BE ⊥平面A 1OC . 在图①中，BC ∥ED ，且BC ＝ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以BE ∥CD ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2) 解：因为平面A 1BE ⊥平面BCDE ，所以A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高． 根据图①可得A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 所以VA 1BCDE ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，解得a ＝6., 三) 立体几何中的以算代证问题, 3) (2018·泰州中学学情调研)在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是AA 1，CC 1上一点，且AE ＝CF ＝2a.(1) 求证：B 1F ⊥平面ADF ； (2) 求三棱锥B 1ADF 的体积．(1) 证明：∵ AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴ AD ⊥BC.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴ AD ⊥B 1B.∵ BC ∩B 1B ＝B ，∴ AD ⊥平面B 1BCC 1. ∵ B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴ AD ⊥B 1F.在矩形B 1BCC 1中，C 1F ＝CD ＝a ，B 1C 1＝CF ＝2a ， ∴ Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1，∴ ∠CFD ＝∠C 1B 1F ， ∴ ∠B 1FD ＝90°，∴ B 1F ⊥FD . ∵ AD ∩FD ＝D ，∴ B 1F ⊥平面AFD . (2) 解： ∵ B 1F ⊥平面AFD ，∴ VB 1－ADF ＝13·S △ADF ·B 1F ＝13×12×AD ×DF ×B 1F ＝52a 33.如图①，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图②.(1) 求证：BC ⊥平面ACD ； (2) 求几何体DABC 的体积．(1) 证明：(证法1)在图①中，由题意知，AC ＝BC ＝22，∴ AC 2＋BC 2＝AB 2，∴ AC ⊥BC .取AC 的中点O ，连结DO ，由AD ＝CD ，得DO ⊥AC .又平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ACD ， ∴ OD ⊥平面ABC ，∴ OD ⊥BC . 又AC ⊥BC ，AC ∩OD ＝O ， ∴ BC ⊥平面ACD .(证法2)在图①中，由题意得AC ＝BC ＝22，∴ AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴ AC ⊥BC .∵ 平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ BC ⊥平面ACD .(2) 解：由(1)知，BC 为三棱锥BACD 的高， 且BC ＝22，S △ACD ＝12×2×2＝2，∴ 三棱锥BACD 的体积V BACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，即几何体DABC 的体积为423.1. (2018·天津卷)如图，已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为________．答案：13解析：如图，连结A 1C 1，交B 1D 1于点O ，很明显A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，则A 1O 是四棱锥的高，且A 1O ＝12A 1C 1＝12×12＋12＝22，S 四边形BDD 1B 1＝BD ×DD 1＝2×1＝2，结合四棱锥体积公式可得其体积为V ＝13Sh ＝13×2×22＝13.2. (2018·江苏卷)如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案：43解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2＝43.3. (2017·北京卷)如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，点D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．(1) 求证：PA ⊥BD ；(2) 求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3) 当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥EBCD 的体积．(1) 证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，所以PA ⊥平面ABC. 因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD.(2) 证明：因为AB ＝BC ，点D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC. 由(1)知，PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC. 又BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面PAC.(3) 解：因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE. 因为点D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 所以三棱锥EBCD 的体积为V ＝13×12×BD ×DC ×DE ＝13.4. (2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1) 求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥PABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．(1) 证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD .又PA ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2) 解：如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为点E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，由AB ∩AD ＝A ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ，故四棱锥PABCD 的体积V PABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，解得x ＝2. 从而PA ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，所以△PBC 为等边三角形，可得四棱锥PABCD 的侧面积为 12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.5. (2017·全国卷Ⅲ)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1) 求证：AC ⊥BD ；(2) 已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．(1) 证明：如图，取AC 的中点O ，连结DO ，BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 又DO ∩BO ＝O ，所以AC ⊥平面DOB . 因为BD ⊂平面DOB ，所以AC ⊥BD . (2) 解：连结EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD ，故点E 为BD 的中点．所以点E 到平面ABC 的距离为点D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.(本题模拟高考评分标准，满分14分) (2018·长春模拟)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1) 求证：平面AEC ⊥平面BED ；(2) 若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥EACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1) 证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BE .(2分) 因为BD ∩BE ＝B ，故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(6分)(2) 解：设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD＝x2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .(8分)由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得三棱锥EACD 的体积为63，即13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，解得x ＝2.(9分)从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥EACD 的侧面积为3＋25.(14分)1. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________． 答案：2π解析： 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有2πr ＝2，即r ＝1π，故圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2×2＝2π.2. 如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝AF ＝CD ＝2，AB ＝4.(1) 求证：AF ∥平面BCE ； (2) 求证：AC ⊥平面BCE ； (3) 求三棱锥EBCF 的体积．(1) 证明：∵ 四边形ABEF 为矩形，∴ AF ∥BE .又BE ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， ∴ AF ∥平面BCE .(2) 证明：如图，过点C 作CM ⊥AB ，垂足为点M . ∵ AD ⊥DC ，∴ 四边形ADCM 为矩形， ∴ AM ＝DC ＝MB ＝AD ＝2.∴ AC ＝22，CM ＝2，BC ＝22，∴ AC 2＋BC 2＝AB 2，∴ AC ⊥BC . ∵ AF ⊥平面ABCD ，AF ∥BE ， ∴ BE ⊥平面ABCD ，∴ BE ⊥AC .∵ BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ， ∴ AC ⊥平面BCE .(3) 解：∵ AF ⊥平面ABCD ，∴ AF ⊥CM .∵ CM ⊥AB ，AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，AF ∩AB ＝A ，∴ CM ⊥平面ABEF ，∴ V 三棱锥EBCF ＝V 三棱锥CBEF ＝13×12×BE ×EF ×CM ＝16×2×4×2＝83.3. (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？解：(1) ∵ PO 1＝2 m ，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，∴ O 1O ＝8 m ，∴ 仓库的容积V ＝13×62×2＋62×8＝312(m 3)． (2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，设PO 1＝x m ，则O 1O ＝4x m ，A 1O 1＝36－x 2 m ，A 1B 1＝2·36－x 2 m ， 则仓库的容积V (x )＝13×(2·36－x 2)2·x ＋(2·36－x 2)2·4x ＝－263x 3＋312x (0＜x＜6)， V ′(x )＝－26x 2＋312(0＜x ＜6)．当0＜x ＜23时，V ′(x )＞0，V (x )单调递增； 当23＜x ＜6时，V ′(x )＜0，V (x )单调递减． 故当x ＝23时，V (x )取最大值． 即当PO 1＝23 m 时，仓库的容积最大．请使用“课后训练·第19讲”活页练习，及时查漏补缺！。

2018届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x|（x+3）（x﹣2）＜0，x∈R}，N={0，1，2}，则M∩N=( )A．{0，1，2} B．{0，1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜2}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为( )A．﹣3 B．0 C．3 D．123．已知φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=sin（2x+φ）为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．30 B．45 C．63 D．845．若直线y=x+4与圆（x+a）2+（y﹣a）2=4a（0＜a≤4）相交于A，B两点，则弦AB长的最大值为( )A．2B．4C．D．26．若直线2x+y﹣2=0过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的方程为( )A．B．x2﹣C．D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则( )A．f（x）为偶函数B．f（x）在[﹣，]上单调递增C．x=为f（x）的图象的一条对称轴D．（，0）为f（x）的图象的一个对称中心8．定义在R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，且满足f （3﹣x）=f（x），当x≠时总有（x﹣）f′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），若x1＜x2，且x1+x2＞3，则( )A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）＜f（x2）C．f（x1）=f（x2）D．f（x2）与f（x2）的大小无法确定二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．i是虚数单位，若（2+ai）（1﹣i）=4．则实数a=__________．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为__________．11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD 交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为__________．12．若x＞0，y＞0，x+3y=1，则+的最小值为__________．13．已知函数f（x）=|x+a|﹣2x（a＜0），若f（x）≤0的解集M⊆{x|x≥2}，则实数a的取值范围是__________．14．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上的点，=3，O在线段CD上且不与端点重合，若=x+（1﹣x），则x 的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．某网站对中国好歌曲的参赛选手A、B、C三人进行网上投票，结果如下观众年龄支持A 支持B 支持C25岁以下（含25岁）180 240 36025岁以上120 120 180在所有参与该活动的人中，按照观众的年龄和所支持选手不同用分层抽样的方法抽取n人，其中有5人支持A（1）求n的值（2）记抽取n人中，且年龄在25岁以上，支持选手B的为B1（i=1，2…），支持选手C的为C1（i=1，2，…），从B1，C1中随机选择两人进行采访，求两人均支持选手C的概率．16．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，2cos2﹣cos（B+C）=0（1）求角A的值（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．17．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M为AB的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2 （1）求证：BC⊥平面ACD（2）求直线MD与平面ADC所成的角．18．在等比数列{a n}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若数列{b n}满足b1++…+（n∈N+），{b n}的前n项和为S n，求证S n≤n•a n（n∈N+）19．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）（1）若曲线f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求函数f （x）的单调区间（2）若函数f（x）既有极大值又有极小值，求a的取值范围．（﹣，20．已知椭圆C经过点P（，），两焦点分别为F0），F 2（，0）（1）求椭圆C的标准方程（2）已知点A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于两点M，N，若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l方程．高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x|（x+3）（x﹣2）＜0，x∈R}，N={0，1，2}，则M∩N=( )A．{0，1，2} B．{0，1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣3＜x ＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中不等式解得：﹣3＜x＜2，即M=（﹣3，2），∵N={0，1，2}，∴M∩N={0，1}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为( )A．﹣3 B．0 C．3 D．12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+3y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣6，3），代入目标函数得z=﹣6+3×3=﹣6+9=3．即z=x+3y的最小值为3．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．已知φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=sin（2x+φ）为奇函数”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：由f（x）=sin（2x+φ）为奇函数，可得φ=kπ+π，k∈Z，即可判断出．解答：解：f（x）=sin（2x+φ）为奇函数，则φ=kπ+π，k∈Z，∴“φ=0”是“f（x）=sin（2x+φ）为奇函数”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法、三角函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．30 B．45 C．63 D．84考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为63．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=3，不满足条件i＞5，i=2，S=9不满足条件i＞5，i=3，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=30不满足条件i＞5，i=5，S=45不满足条件i＞5，i=6，S=63满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为63．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．若直线y=x+4与圆（x+a）2+（y﹣a）2=4a（0＜a≤4）相交于A，B两点，则弦AB长的最大值为( )A．2B．4C．D．2考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：圆的圆心坐标为（﹣a，a），代入直线y=x+4，可得a=2，求出圆的半径，即可求出AB长的最大值．解答：解：圆的圆心坐标为（﹣a，a），代入直线y=x+4，可得a=2，所以圆的半径为2，所以弦AB长的最大值为4，故选：B．点评：本题考查直线与圆的相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．若直线2x+y﹣2=0过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的方程为( )A．B．x2﹣ C．D．考点：双曲线的简单性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：令y=0可得双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，利用直线2x+y﹣2=0与双曲线的一条渐近线垂直，可得=，即可求出a，b，从而可得双曲线的方程．解答：解：令y=0可得，x=，∵直线2x+y﹣2=0过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，∴c=，∵直线2x+y﹣2=0与双曲线的一条渐近线垂直，∴=，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为，故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知函数f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则( )A．f（x）为偶函数B．f（x）在[﹣，]上单调递增C．x=为f（x）的图象的一条对称轴D．（，0）为f（x）的图象的一个对称中心考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正弦公式将函数f（x）进行化简，利用函数的周期求出ω即可得到结论．解答：解：f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）=f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx+﹣）=sin（ωx+）﹣cosωx+）=2sin（ωx+﹣）=2sinωx．∵f（x）的最小正周期为π，∴T=，解得ω=2，即f（x）=2sin2x．∵f（）=2sin（2×）=2sinπ=0，∴（，0）为f（x）的图象的一个对称中心．故选：D点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式求出ω是解决本题的关键．8．定义在R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，且满足f （3﹣x）=f（x），当x≠时总有（x﹣）f′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），若x1＜x2，且x1+x2＞3，则( )A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）＜f（x2）C．f（x1）=f（x2） D．f（x2）与f（x2）的大小无法确定考点：利用导数研究函数的单调性．专题：数形结合；导数的综合应用．分析：根据已知条件便可得到f（x）关于x=对称，在区间上单调递减，而在上单调递增，从而可以画出f（x）的大致图象，根据图象上的点关于对称轴的对称点的横坐标之和为3并结合图象即可判断出f（x1）和f（x2）的大小关系．解答：解：根据f（3﹣x）=f（x）知f（x）关于x=对称；当x时，总有；∴时f（x）单调递减，时f（x）单调递增；∴f（x）的大致形状如下图所示：x 1+x2＞3，∴（1）若，作点（x1，f（x 1））关于x=的对称点为（x3，f（x3）），则：x1+x3=3；∴x2＞x3；∴f（x2）＞f（x3）=f（x1）；即f（x2）＞f（x1）；（2）若，x 1＜x2；∴f（x1）＜f（x2）；∴综上得f（x1）＜f（x2）．故选B．点评：考查由f（a﹣x）=f（x）能得到f（x）关于对称，函数导数符号和函数单调性的关系，以及数形结合解题的方法．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．i是虚数单位，若（2+ai）（1﹣i）=4．则实数a=2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：∵（2+ai）（1﹣i）=4，∴2+a+（a﹣2）i=4，∴2+a=4，a﹣2=0，解得a=2．故答案为：2．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥的一部分，结合三视图中的数据，求出几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆锥的一部分，且底面是半径为2的圆面，高为2，∴该几何体的体积为：V 几何体=×π•22×2=．故答案为：．点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，解题的根据是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD 交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为1．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OD，BC，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；解答：解：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE．又AE⊥DE，∴DE⊥OD．而OD为半径，∴DE是⊙O的切线；连接BC，交OD于G，AB是圆的直径，所以AC⊥BC，所以四边形CEDG是矩形，∵OD∥AE，O是AB中点，∴G是BC中点，∴CG=DE=BC=3，∴BG=3，OG=4，∴DG=1，所以CE=1；故答案为：1．点评：本题考查了圆周角定理以及切线的判断、矩形的判断等知识点；比较综合，但难度不大．12．若x＞0，y＞0，x+3y=1，则+的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式，问题得以解决．解答：解：（方法一）∵x+3y=1，∴+==2+=4．当且仅当x=，y=等号成立．（方法二）+=（+）（x+3y）=2×=4．当且仅当x=，y=等号成立．故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．13．已知函数f（x）=|x+a|﹣2x（a＜0），若f（x）≤0的解集M⊆{x|x≥2}，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6]．考点：绝对值不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：分类讨论解绝对值不等式求的M，再根据M⊆{x|x≥2}，求得实数a的取值范围．解答：解：不等式f（x）≤0即|x+a|≤2x，等价于①或②，解①求得x≥﹣a，解②求得﹣≤x＜﹣a，故原不等式的解集M={x|x≥﹣}．由于M⊆{x|x≥2}，则﹣≥2，解得a≤﹣6，故答案为：（﹣∞，﹣6]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．14．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上的点，=3，O在线段CD上且不与端点重合，若=x+（1﹣x），则x 的取值范围是（，0）．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：结合图形，根据向量加法，，可以想着用来表示，根据已知条件知，其中0＜k＜1，从而便可得到，从而x=，从而根据k的范围即可求出x的范围．解答：解：；O在线段CD上且不与端点重合；∴存在k，0＜k＜1，使；又；∴；∴=；又；∴； ∴；∴x 的取值范围是． 故答案为：（，0）．点评：考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，向量数乘的运算．三、解答题（共6小题，满分80分）15．某网站对中国好歌曲的参赛选手A 、B 、C 三人进行网上投票，结果如下观众年龄 支持A 支持B支持C 25岁以下（含25岁） 180240 360 25岁以上 120120 180 在所有参与该活动的人中，按照观众的年龄和所支持选手不同用分层抽样的方法抽取n 人，其中有5人支持A（1）求n 的值（2）记抽取n 人中，且年龄在25岁以上，支持选手B 的为B 1（i=1，2…），支持选手C 的为C 1（i=1，2，…），从B 1，C 1中随机选择两人进行采访，求两人均支持选手C 的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）计算出“支持选手B”和“支持选手C且年龄在25岁以上的人数，代入古典概率概率计算公式，可得答案解答：解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持选手A”的人中抽取了5人，总人数为120+180+240+120+360+180=1200人∴=，解得n=20；（2）从“支持选手B”的人中，用分层抽样的方法抽取人数且龄在25岁以上有20××=2人，记为a，b，从“支持选手C”的人中，用分层抽样的方法抽取人数且龄在25岁以上有20××=3人，记为1，2，3，从则这5人中任意选取2人，共有10种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），两人均支持选手C事件有：（1，2），（1，3），（2，3）共3种．故两人均支持选手C的概率P=．点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．16．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，2cos2﹣cos（B+C）=0（1）求角A的值（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得cosA=﹣，结合A的范围，即可求得A的值．（2）结合已知由余弦定理可可求得：12=16﹣bc，解得：bc=4，由三角形面积公式即可求解．解答：解：（1）∵2cos2﹣cos（B+C）=0⇒1+cosA+cosA=0⇒cosA=﹣，∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴A=．（2）∵a=2，b+c=4，∴由余弦定理可知：a2=12=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=16﹣bc，可解得：bc=4，∴S △ABC=bcsinA==．点评：本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．17．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M为AB的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2 （1）求证：BC⊥平面ACD（2）求直线MD与平面ADC所成的角．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）根据所给边的长度和△ACB，ADC都为等腰直角三角形即可知道∠ADC=90°，BC⊥AC，而根据平面ADC⊥平面ACB即可得到BC⊥平面ACD；（2）取AC中点E，连接ME，DE，便容易说明∠EDM是直线MD与平面ADC所成的角，由已知条件即知ME=DE=，从而得到∠EDM=45°．解答：解：（1）证明：根据已知条件便知∠ADC=90°，∠ACB=90°；∴BC⊥AC；∵平面ADC⊥平面ACB，平面ADC∩平面ACB=AC；∴BC⊥平面ACD；（2）如图，取AC中点E，连接ME，DE，∵M为AB中点，则：ME∥BC，ME=，DE=；由（1）BC⊥平面ACD；∴ME⊥平面ACD；∴∠MDE为直线MD和平面ADC所成角；∴在Rt△MDE中，直角边ME=DE；∴∠MDE=45°；即直线MD与平面ADC所成的角为45°．点评：考查直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，以及中位线的性质，线面角的概念及求法．18．在等比数列{a n}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．}的通项公式（1）求数列{an（2）若数列{b n}满足b1++…+（n∈N+），{b n}的前n项和为S n，求证S n≤n•a n（n∈N+）考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过将a2、a3、a4、a5用公比q表示及条件a3、a2+a4、a5成等差数列，可求出q=2，利用等比数列的通项公式计算即可；（2）当n=1时，b1=a1=1，显然有S1=1×a1；当n≥2时，利用=a n﹣a n﹣1可得b n=n•2n﹣2，求出S n、2S n，两者相减，利用错位相减法解得S n，计算即可．解答：（1）解：设数列{a n}的公比为q，∵a1=1，∴a2=q，a3=q2，a4=q3，a5=q4，又∵a3，a2+a4，a5成等差数列，∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解得q=2或0（舍），∴a n=2n﹣1；（2）证明：∵数列{b n}满足b1++…+=a n（n∈N+），∴当n=1时，b1=a1=1，此时S1=1×a1；当n≥2时，=a n﹣a n﹣1=2n﹣1﹣2n﹣2=2n﹣2，=n•2n﹣2，∴bn∴S n=1+2×20+3×21+4×22+…+（n﹣1）×2n﹣3+n×2n﹣2，∴2S n=2×20+2×21+3×22+4×23+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，两式相减，得﹣S n=1+21+22+23+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1，∴S n =n ×2n ﹣1﹣1﹣（21+22+23+…+2n ﹣2）=n ×2n ﹣1﹣1﹣=（n ﹣1）×2n ﹣1﹣1=n ×2n ﹣1﹣（1+2n ﹣1）＜n ×2n ﹣1=n •a n ，综上所述，S n ≤n •a n （n ∈N +）．点评：本题考查考查等差、等比数列的性质，考查分类讨论的思想，考查分析问题的能力与计算能力，利用错位相减法求S n 是解决本题的关键，属于中档题．19．已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx （a ∈R ）（1）若曲线f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求函数f （x ）的单调区间（2）若函数f （x ）既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：先确定函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx 的定义域，（1）求导f′（x）=ax﹣（2a+1）+，从而可得f′（1）=f′（3），从而求得a=；从而得到f′（x）=x﹣+=；从而确定函数的单调性；（2）化简f′（x）=ax﹣（2a+1）+==，从而可得，从而解得．解答：解：函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx的定义域为（0，+∞），（1）f′（x）=ax﹣（2a+1）+，∵曲线f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f′（1）=f′（3），即a﹣（2a+1）+2=3a﹣（2a+1）+，解得，a=；故f′（x）=x﹣+=；故f（x）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．（2）∵f′（x）=ax﹣（2a+1）+==，∵函数f（x）既有极大值又有极小值，∴，故a 的取值范围为（0，）∪（，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用及导数几何意义的应用，属于中档题．20．已知椭圆C 经过点P （，），两焦点分别为F1（﹣，0），F 2（，0） （1）求椭圆C 的标准方程（2）已知点A （0，﹣1），直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l 方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过焦点坐标可设椭圆C 的标准方程且a 2﹣b 2=3，将点P （，）代入椭圆方程，计算即得结论；（2）通过△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形可得直线l 与x 轴平行，利用k AM •k AN =﹣1计算即可．解答： 解：（1）∵两焦点分别为F 1（﹣，0），F 2（，0），∴可设椭圆C 的标准方程为：（a ＞b ＞0），a 2﹣b 2=3，①又∵椭圆C 经过点P （，），∴，②联立①②，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的标准方程为：；（2）由（1）知，点A（0，﹣1）即为椭圆的下顶点，∵△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线l与x轴平行，设直线l方程为y=t（﹣1＜t＜1），则M（﹣2，t），N（2，t），∵k AM=﹣，k AN=，∴k AM•k AN=﹣•=﹣1，解得：t=或t=﹣1（舍），∴直线l方程为：y=．点评：本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．。

高三（下）调考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．已知复数z1=1﹣2i，z2=2+3i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x20，y20）满足线性回，y0）满足线性回归方程是归方程，则（x“x0=，y0=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），X（3，1），且=2，则顶点D的坐标为（）A．B． C．（3，2）D．（1，3）5．数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．10086．已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真B．“p∨q”为假C．p真q假D．p假q真7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角θ=（）A．B．C．D．9．若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．设F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、PF2右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使•=0，且△F的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．511．函数f（x）=﹣（cosx）|lg|x||的部分图象是（）A．B． C．D．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式2f（x）+2x•f′（x）＜0成立，若a=30.2f（30.2），b=（logπ2）f（logπ2），c=（log2）f（log2），则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，（n∈N*），若，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n的最小值为．14．已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m= ．15．顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．16．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．18．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数9 10 11 12 13 14人数10 18 22 25 20 5将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷合计男女合计（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．P （K 2≥k ）0.05 0.01k3.8416.635 附：K 2=． 19．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为线段DD 1，BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角的正切值．（2）求三棱锥C ﹣B 1D 1F 的体积．20．设椭圆M ：（a ＞b ＞0）的离心率与双曲线x 2﹣y 2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线y=x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．21．设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．.[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．[选修4-4:参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，根据两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣4≤2x≤4，x∈R}={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}={x|0≤x≤8，x∈Z}={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={x|0，1，2}，故选D．2．已知复数z1=1﹣2i，z2=2+3i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：===在复平面内对应的点在第三象限．故选：C．3．已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x20，y20）满足线性回，y0）满足线性回归方程是归方程，则（x“x0=，y0=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，即可得到结论．【解答】解：根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，则（x，y0）满足线性回归方程是“x0=，y0=”的必要不充分条件，故选：B4．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），X（3，1），且=2，则顶点D的坐标为（）A．B． C．（3，2）D．（1，3）【考点】平面向量坐标表示的应用．【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果．【解答】解：设顶点D的坐标为（x，y）∵，，且，∴故选A5．数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．1008【考点】数列的求和．【分析】将数列中相邻的两项两两组合，即可得出结果．【解答】解：S2016=﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016=（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…+（﹣2015+2016）=1+1+1+…+1=1008．故选：D．6．已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真B．“p∨q”为假C．p真q假D．p假q真【考点】复合命题的真假．【分析】根据对数函数的性质判断命题p，根据三角函数的性质判断命题q，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：x=﹣1，y=log a（﹣a+2a）=1，故命题p为真，命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为π，故命题q为假，故选：C．7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．8．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角θ=（）A．B．C．D．【考点】选择结构．【分析】分sinθ=﹣和tanθ=﹣时两种情况加以讨论，解方程并比较|θ|与的大小，最后综合即可得到本题的答案．【解答】解：根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是sin θ或tanθ，①当输出的﹣是sinθ时，即sinθ=﹣，﹣＜θ＜，此时θ不存在；②当输出的﹣是tanθ时，tanθ=﹣，﹣＜θ＜，此时θ=﹣；∵|θ|=＞，此时θ=﹣符合题意，综上所述可得输入的θ=﹣．故选D．9．若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心，可得a+b=1．再根据+=+=3++，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．设F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、PF2右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使•=0，且△F的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．5【考点】双曲线的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知可得，PF1＞PF2，PF1⊥PF2，由△F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2，结合双曲线的定义，=PF2+2a，利用勾股定理可得+=，代入可求PF【解答】解：由P为双曲线的右支上一点可知，PF1＞PF2∵∴PF1⊥PF2∴F1F2＞PF1＞PF2由△F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2=2c+PF2①又由双曲线的定义可知，PF1﹣PF2=2a即PF1=PF2+2a②①②联立可得，PF2=2c﹣4a，PF1=2c﹣2a∵∴+=即（2c﹣4a）2+（2c﹣2a）2=4c2整理可得，c2﹣6ac+5a2=0∵c＞a∴e=5故选D11．函数f（x）=﹣（cosx）|lg|x||的部分图象是（）A．B． C．D．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】先由奇偶性来确定是A还是C选项中的一个，再通过通过分离函数，当x∈（﹣，0）∪（0，）时，函数f1（x）=﹣cosx＜0，可进一步确定选项．【解答】解析：因为f（x）=﹣（cosx）|lg|x||∴f（﹣x）=﹣（cos（﹣x））|lg|﹣x||=f（x），故是偶函数，由此可确定是A或C选项中的一个，下用特殊值法判断，通过分离函数得f1（x）=﹣cosx，f2（x）=|lg|x||，由于f2（x）=|lg|x||≥0，观察函数f（x）=﹣cosx的符号即可，1由于x∈（﹣，0）∪（0，）时，f1（x）=﹣cosx＜0，表明函数图象在x∈（﹣，0）∪（0，）时位于x轴下方，可以得到正确结果：答案：C．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式2f（x）+2x•f′（x）＜0成立，若a=30.2f（30.2），b=（logπ2）f（logπ2），c=（log2）f（log2），则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】函数单调性的性质．【分析】构造函数g（x）=xf（x），由于当x＞0时，不等式f （x）+x•f′（x）＜0成立，利用导数可得当x＞0时，函数g （x）单调递减．函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）在R上是奇函数．进而得到g（x）在R上是减函数．【解答】解：构造函数g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，∴当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R上是奇函数．∴g（x）在R上是减函数．∵a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=（log2）f（log2），log2=﹣2．﹣2＜logπ2＜30.2，∴c＞b＞a，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，（n∈N*），若，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n的最小值为 1 ．【考点】数列与向量的综合．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，（n∈N*），若，可得a n==2（）．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．14．已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m= 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点（0，m）处取得最大值，此时0+2m=2，解得m=1，故答案为：115．顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．【考点】抛物线的标准方程．【分析】设出抛物线方程，利用经过点（2，2），求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．16．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC 的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．18．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数9 10 11 12 13 14人数10 18 22 25 20 5将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷合计男女合计（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．P（K2≥k）0.05 0.01k 3.841 6.635附：K 2=．【考点】独立性检验．【分析】（I ）根据所给的观众收看该节目的场数与所对应的人数表得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K 方，与3.841比较即可得出结论；（II ）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选2人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率． 【解答】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非歌迷歌迷合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计 7525 100…将2×2列联表中的数据代入公式计算，得： K 2==≈3.030因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．Ω由10个等可能的基本事件组成．…用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．∴P（A）= (12)19．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连结BD1，则∠D1BC位所求线面角，在Rt△BCD1中计算tan∠D1BC；B1，则V=．（3）证明CF⊥平面BDD【解答】解：（1）连接BD1，∵E，F分别为线段DD1，BD的中点，∴EF∥BD1，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角．∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．∵正方体棱长为2，∴CD=2，∴tan∠DBC==，所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为．（2）∵BB1⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴BB1⊥CF，∵CB=CD，F是BD中点，∴CF⊥BD，又BB1∩BD=B，BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，∴CF⊥平面BDD1B1，又CF=BD=，S==2．∴V===，所以三棱锥C﹣B1D1F的体积为．20．设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y=x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．【解答】解：（1）双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率，由2a=4，b2=a2﹣c2，得a=2，，，故椭圆M的方程为；（2）联立方程，得，由，得．且，所以，=．又P到直线AB的距离为，所以=．当且仅当时取等号，所以．21．设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（2）由题意可知，函数f（x）﹣x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．【解答】解：（1）由已知得．∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0．即f′（e）=0，有，解得k=e．∴，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x=e时f（x）取得极小值．故f（x）的单调递减区间为（0，e），极小值为2．（2）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2（*）恒成立．设h（x）=f（x）﹣x=lnx+．∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．由在（0，+∞）上恒成立，得恒成立．所以（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），故k的取值范围是[，+∞）．.[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定．【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4π．故答案为4π．[选修4-4:参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过对自变量x的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）min恒成立，利用绝对值不等式的性质易求f（x）min=4，从而解不等式＜2即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立⇔+2＜f（x）min 恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值为4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．2016年10月25日。