江苏省溧阳中学2019高考数学小专题复习-数量积几何意义的应用(有答案)

高三数学数量积及其应用试题答案及解析1.平面向量与的夹角为，，，则（）A．B．C．7D．3【答案】A【解析】∵平面向量与的夹角为，，，∴，∴，故选A.【考点】平面向量数量积的运算.2.已知向量的夹角为，且，，则（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵，∴，即，解得.【考点】平面向量的数量积.3.在△ABC中，已知2·＝||·||＝3||2，求角A，B，C的大小．【答案】A＝，B＝，C＝或A＝，B＝，C＝【解析】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由2、·＝| |·||得2bccosA＝bc，∴cosA＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝．由||·| |＝3||2得bc＝a2，由正弦定理得sinC·sinB＝sin2A＝，∴sinC·sin(－C)＝，即sinC·(cosC＋sinC)＝，∴2sinC·cosC＋2sin2C＝，∴sin2C－cos2C＝0，∴sin(2C－)＝0，由A＝知0<C<，∴－<2C－<，从而2C－＝0或2C－＝π，即C＝或C＝．故A＝，B＝，C＝或A＝，B＝，C＝．4.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，函数y＝e x的图象与y轴的交点为B，P为函数y＝e x图象上的任意一点，则·的最小值为________．【答案】1【解析】由题意可知B(0,1)，设P(x，e x)，则·＝(x，e x)·(－1,1)＝e x－x，令f(x)＝e x－x，则f′(x)＝e x－1，由f′(x)＝0得x＝0，且x<0时，f′(x)<0；x>0时，f′(x)>0，所以x＝0是函数的极小值点，也为最小值点，故·的最小值是1.5.已知、是平面上两个不共线的单位向量，向量，．若，则实数= ．【答案】2【解析】因为、是平面上两个不共线的单位向量，所以、的夹角满足因此【考点】向量数量积6.已知向量，且∥，则________．【答案】-5【解析】因为∥，所以 2m=-4，解得m=-2，（1,2）·（-2+1，-2）=-1-4=-5．【考点】1．向量平行的充要条件；2．向量的坐标运算．7.已知向量a、b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为()A．48B．32C．1D．0【答案】D【解析】b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0．8.已知平面向量，满足，，与的夹角为，若，则实数的值为（）A．1B．C．2D．3【答案】D【解析】因为，所以,解得，故选D．9.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________．【答案】－16【解析】法一:此题最适合的方法是特例法．如图，假设△ABC是AB＝AC的等腰三角形．∵AM＝3，BC＝10，∴AB＝AC＝．cos∠BAC＝=－．＝cos∠BAC=－16法二：=·=·===－1610. P是圆C:(x－1)2+(y－)2=1上的一个动点，A(，1)，则的最小值为______【答案】2(－1)【解析】如图:作PQ^OA于Q，CD^OA于D，根据向量数量积的几何意义得= =|OA|·|OT|=2(|OD|－1)=2(－1)11.已知向量，，若与垂直，则实数A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，因为与垂直，则，解得.【考点】平面向量垂直的充要条件.12.如图，在中，，是边上一点，，则=_________．【答案】【解析】,.【考点】向量的数量积13.若，且与的夹角为，当取得最小值时，实数的值为（）A．2B．C．1D．【答案】C【解析】利用平面向量模的平方等于向量的平方，得=，利用向量数量积运算法则及数量积的定义与性质得==，知当=1时，取最小值.【考点】1.平面向量的数量积的性质；2.平面向量数量积；3.二次函数的最值.14.给定平面上四点满足，则面积的最大值为【答案】【解析】由已知，得，由余弦定理可得，从而中边边上的高为，由知点在以为圆心，4为半径的圆上，到直线的距离最大值为，∴面积的最大值为．【考点】向量的数量积，三角形面积最大值．15.已知向量，，且,则向量的夹角的余弦值为＿＿＿＿．【答案】【解析】∵∴则【考点】1.向量的数量积；2.向量的夹角.16.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=.【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.17.已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】得,选D【考点】向量内积垂直18.已知向量=(2，t), =(1，2)，若t=t1时，∥；t=t2时，⊥,则（）A．t1=-4，t2=-1B．t1=-4，t2=1C．t1=4，t2=-1D．t1=4， t2=1【答案】C【解析】向量，，若时，∥，即，解得；时，⊥，则解得，故选C．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．19.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝()．A．B．C．2D．【答案】A【解析】∵·＝1，且AB＝2，∴1＝||||cos(π－B)，∴||cos B＝－.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|·cos B，即9＝4＋|BC|2－2×2×.∴|BC|＝.20.平面向量与的夹角为60°，,则等于 ( )A．B．C．4D．12【答案】B【解析】因为，所以，，，故选B.【考点】平面向量的数量积、夹角、模21.已知是锐角的外接圆圆心，，，则 .【答案】【解析】依题意，由得，，，，.故选A.【考点】向量的加减运算、数量积，二倍角的余弦公式.22.在直角三角形中，，，取点使，那么_________.【答案】6【解析】.【考点】平面向量的计算和数量积计算，考查学生的分析、计算能力.23.若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴.【考点】1.夹角公式；2.向量运算.24.已知向量，，，则， .【答案】,【解析】向量求模常用（1）定义法：；（2）平方法.，即，得.【考点】向量模的定义向量数量积及应用25.如图，菱形的边长为，，为的中点，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于菱形的边长为，，为的中点，先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可。

第3节 平面向量的数量积及其应用课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件；5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.【知识衍化体验】知识梳理1. 平面向量数量积的有关概念（1）向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记=OA a ，=OB b ，则()1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量a 和b 的夹角.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积（或内积）a ·b= .规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a =0（3）数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影 的乘积.2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a =()11,y x ，b =()22,y x ，θ为向量a 和b 的夹角. （1）数量积：a ·b=|a ||b |2121cos y y x x +=θ. （2）模：|a |=2121y x a a +=⋅.（3）夹角：222221212121cos yx y x y y x x ba ba +⋅++=⋅=θ.（4）两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b=002121=+⇔y y x x . （5）|a ·b |≤|a ||b |（当且仅当a//b 时等号成立）222221212121y x y x y y x x +⋅+≤+⇔.3. 平面向量数量积的运算律 （1）a ·b=b ·a （交换律）. （2）λa ·b=λ（a ·b ）=a ·（λb ）（结合律）. （3）（a+b ）·c=a ·c+b ·c （分配律）.【微点提醒】1. 两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a · b>0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a · b<0且a ，b 不共线.2. 平面向量数量积运算的常用公式 （1）(a+b )·(a -b )=a 2-b 2. （2）(a+b )2=a 2+2a ·b +b 2. （3）(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2.基础自测疑误辨析1. 判断下列结论正误（在括号内打“√”或“× ”）（1）两个向量的夹角的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，. （ ）（2）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. （ ） （3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. （ ） （4）若a ·b=a ·c (a ≠0)，则b =c . （ ）教材衍化2. 设a ，b 是非零向量.“a·b=|a ||b |”是“a//b ”的 （ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 B. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．考题体验4．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m =（ ） A ．8- B ．6- C ．6 D ．86．（2016年全国III ）已知向量1(,22BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120【考点聚焦突破】考点1 平面向量数量积的运算【例1】（1）向量a =（2，﹣1），b =（﹣1，2），则（2a +b ）•a =（ ） A ．1 B ．﹣1C ．﹣6D ．6（2）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 （ ）A ．85- B ．81 C ．41 D ．811规律方法 1.数量积公式a ·b= |a ||b |θcos 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b 2121y y x x +=求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】（1）已知正方形的边长为,为的中点,则 ． （2）已知a =（2sin13°，2sin77°），|a ﹣b |=1，a 与a ﹣b 的夹角为3π，则a •b =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5考点2 平面向量数量积的应用角度1 平面向量的垂直【例2-1】（1）（2016·山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为 （ ）A ．4B ．–4C ．D ．–（2）（2019·宜昌二模）已知ΔABC 中，120A ∠=，且AB=3，AC=4，若+=λ，且⊥，则实数λ的值为 （ ）ABCD 2E CD AE BD ⋅=9494A.1522 B. 310 C. 6 D. 712规律方法 1.当向量,a b 是非坐标形式时，要把,a b 用已知的不共线向量作为基底来表示且题中应该需要有基底向量的模与夹角，然后进行运算.2.数量积的运算a •b =0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若,a b 中有零向量，虽然a •b =0，但不能得到a ⊥b . 角度2 平面向量的模【例2-2】（1）(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ．（2）（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为 （ ）ABCD规律方法 1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a |=a a ⋅及(a ±b )2=|a|2±2a ·b +|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量数量积的几何意义. 2.求向量模的最值（范围）的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2-3】（1）(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 （ ）A ．4π B ．2πC ．34πD ．π（2）(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =（ ） 112A．BC ．0D．规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[]π,0；若题目给出向量的坐标表示，可直接用公式222221212121cos yx y x y y x x ba ba +⋅++=⋅=θ求解.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角. 【训练2】（1）（1）（2018·重庆模拟）若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ）A.4πB.2πC.34π D.π（2）（2019·北京八中乌兰察布分校高一月考）已知a =（1，2），b =（x ，1），若a 与b 的夹角是锐角，则的取值范围为______．（3）（2019·上海闵行中学高二期中）在ⅠABC 中，3AB =，2AC =，60A =︒，AG mAB AC =+，则||AG 的最小值为________.考点3 平面向量与三角函数【例3】在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =()()()B A B A --sin ,cos ，xn =()B B sin ,cos -，且m ·n =53-. （1）求A sin 的值；（2）若5,24==b a ，求角B 的大小及向量在方向上的投影.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： （1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是通过向量运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】已知A ，B ，C 分别为ΔABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m =()B A sin ,sin ，n =()A B cos ,cos ，且m ·n =C 2sin . （1）求角C 的大小；（2）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且()18=-⋅，求边c 的长.反思与感悟[思维升华]1. 计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积的几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范]1. 数量积运算律要准确理解、应用，例如a ·b=a ·c (a ≠0)不能得出b =c ，两边不能约去一个向量，数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·（b ·c ）.2. 两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价．第3节 平面向量的数量积及其应用知识衍化体验 知识梳理1. （2）|a ||b |θcos （3）|b |θcos 基础自测1.（1） × （2） √ （3）√ （4）×2.A 3．9 4．B ． 5．D ． 6．A ． 考点聚焦突破 【例1】（1）D ；（2）B 。

高三数学数量积的应用试题答案及解析1.在锐角三角形中，则【答案】－2【解析】因为△ABC为锐角三角形，由S＝absinC，可得sinC＝，从而cosC＝于是＝1×＝1【考点】三角形的面积，平面向量的数量积2.已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D。

若椭圆的离心率为，则∠BDF的正切值【答案】【解析】由题意得：，所以，因此，又离心率为，所以，从而【考点】向量数量积3.如图，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最大值是 .【答案】【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，-2），设D （2cosα，2sinα）．∴=（4，-2），=（2-2cosα，-2sinα）．=4×（2-2cosα）+4sinα=8-8cosα+4sinα=sin（α-θ），其中tanθ=2．sin（α-θ）∈[-1，1]，∴的最大值是.【考点】向量数量积4.已知单位向量_______.【答案】3【解析】因为所以【考点】向量数量积5.已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．【答案】－3【解析】a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×＝－3.6.如图，在半径为1的扇形AOB中，为弧上的动点，与交于点，则最小值是________________.【答案】【解析】因为，所以=.又因为.OB=1.所以.所以.当且仅当时成立.故填.向量所成的与三角形的内角的区别是本题的关键.【考点】1.向量的加减法的运算.2.向量的数量积.7.已知两个单位向量，的夹角为60°，= t+（1 - t）,若·= 0，则实数t的值为．【答案】【解析】由·= 0得向量数量积是将两个向量转化为一个实数的过程.【考点】向量数量积.8.如图，设是单位圆上一点，一个动点从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.秒时，动点到达点，秒时动点到达点.设，其纵坐标满足.（1）求点的坐标，并求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1) 点B的坐标是，；(2) ．【解析】(1)这是一个三角函数问题，要求点坐标，我们只要求出，首先求出从到旋转的角度是多少即可，在中是初始值，就是，旋转速度是，故有；（2）在（1）的解题过程中知秒时点的坐标为，因此我们可把表示为的函数，转化为求三角函数的取值范围问题．试题解析：(1)当时，，所以．所以，点B的坐标是（0，1） 2分又秒时， 4分. 6分（2）由，，得，又，， 8分10分，， 12分所以，的取值范围是 14分【考点】（1）单位圆的点的坐标；（2）现是的数量积与三角函数的取值范围．9.已知向量与垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】向量与垂直，则，又因为故，即，解得．【考点】数量积判断两向量垂直关系．10.在中，已知，点时的垂直平分线上任意一点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设的中点为，则【考点】平面向量的加法、减法法则，向量的数量积.11.若函数的图象与x轴交于点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 ( )A．B．16C．32D．【答案】C【解析】令，即，∴，∴，∵，∴，∴，，过的直线，∴，由点关于对称，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.三角方程的解法；3.点的对称关系.12.如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．B．C．9D．6【答案】C【解析】由数量积的几何意义知，当在上的投影最大时，最大.从图可以看出，当N点在点C处，在上的投影最大，所以的最大值为：.【考点】向量的数量积及其几何意义..13.已知是边长为的正三角形,为线段的中点,且,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意作出示意图（可能两种情况），则.又，.所以，.所以原式设，则.所以原式.又知，所以，故.故选D.【考点】向量的数量积、向量的加法与减法14.已知、是圆上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故当时，的面积取最大值，，故为等腰三角形，且，由于点在线段上，则存在，使得，，，故当时，取最大值.【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的线性表示；3.二次函数的最值15.在中，满足：，是的中点．（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若点是边上一点，,且，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量的数量积定义求夹角的余弦值；（2）先利用数量积定义把转化为角CAP的三角函数的表达式，再利用不等式求的最小值，从而得所求．试题解析：（1）设向量与向量的夹角为∴ 3分令∴ 4分（2）设，∵，，，∴， 2分∴3分，，当且仅当时，． 2分【考点】1、向量的数量积定义；2、向量的运算；3、基本不等式.16.已知是△外接圆的圆心，、、为△的内角，若，则的值为（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】连接AO，并延长叫圆O于D，连接BD,CD，由得，两边同时点乘，得，又正弦定理和数量积的定义得，故=【考点】1、向量的数量积运算；2、正弦定理；3、两角和的余弦公式.17.设两向量满足，、的夹角为，(1）试求(2)若向量与向量的夹角余弦值为非负值，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】(1)利用平面向量数量积的定义，计算得到，注意应用“化模为方”，计算. （2）利用平面向量数量积的定义，由计算得到，根据向量与向量的夹角余弦值为非负值，得到，解之即得所求.试题解析：(1)依题意知所以.（2）=因为它们的夹角余弦值为非负值，所以，，解得.【考点】平面向量的数量积、夹角、模，一元二次不等式的解法.18.如图所示，，则的值A．B．C．D．【答案】B【解析】由余弦定理得，，其中为内切圆半径，，，故【考点】向量的运算．19.平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】,则,所以四边形ABCD为平行四边形，又,所以,对角线互相垂直的平行四边形为菱形.故选C.【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．点评：本题考查平面向量与共线向量，以及数量积判断两个向量的垂直关系，需要通过对向量间的关系转化为线段间的关系，然后即可判断四边形的形状．属于基础题20.若，且，则= .【答案】1【解析】因为，填1。

第31课平面向量的数量积与平面向量应用[最新考纲]内容要求A B C平面向量的数量积√平面向量的平行与垂直√平面向量的应用√1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y221．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( ) (2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝c .( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 3．(2016·全国卷Ⅲ改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.30° [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.]4．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝________. 1 [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. －23 [∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，∴x ＝－23.]平面向量数量积的运算(1)(2014·某某高考)如图31­1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．图31­1(1)22 (2)1 1 [(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB 2＝2.又因为AD 2→＝25，AB 2→＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.][规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1] (2017·启东中学高三第一次月考)如图31­2，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝3，AD ＝2，E 为BC 中点，若AB →·AC →＝3，则AE →·BC →＝________. 【导学号：62172166】图31­2－3 [以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设CD ＝x ，则AB →＝(3,0)，AC →＝(x ，2)，由AB →·AC →＝3解得x ＝1.所以AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，22，BC →＝(－2，2)，所以AE →·BC →＝－3.]平面向量数量积的性质☞角度1 平面向量的模(1)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝________.(2)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0，则|b －c |的最大值是________．(1)2 (2)2＋1 [(1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又∵|a －b |＝2，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2.(2)设a 与b 的夹角为θ， 则a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝33×2＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA →＝a ，OB →＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )，∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)·(6－3x )＋(y －2)·(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. 又知b －c ＝(3－x ，－y )， ∴|b －c |＝x －32＋y 2≤3－22＋0－12＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1.] ☞角度2 平面向量的夹角(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值X 围是________．(1)223 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)∵|a |＝3e 1－2e 22＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝3e 1－e 22＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2) ＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2,1)<0， ∴4k －6－6<0， ∴k <3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12， 即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.] ☞角度3 平面向量的垂直(1)(2016·某某高考改编)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________． (2)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为________．(1)－4 (2)π4 [(1)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.(2)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.] [规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.平面向量在平面几何中的应用已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE＝2EB ，求证：AD ⊥CE . 【导学号：62172167】[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y ) ＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a .∵AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2， OE →＝CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ，∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋a 2×23a＝－13a 2＋13a 2＝0.∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .[规律方法] 平面几何问题中的向量方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．[变式训练2] 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12[设AB 的长为a (a >0)， 因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，故－12a 2＋14a ＋1＝1，解得a ＝12，所以AB ＝12.][思想与方法]1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 4．两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0. [易错与防X]1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．3．在求向量夹角时，注意其取值X 围[0，π]．课时分层训练(三十一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. －32 [依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.] 2．(2017·启东中学高三第一次月考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝________.8 [∵a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)， ∴a ＋b ＝(4，m －2)．由(a ＋b )⊥b 可知，(a ＋b )·b ＝0. 即12－2(m －2)＝0，∴m ＝8.]3．已知点A (0,1)，B (－2,3)，C (－1,2)，D (1,5)，则向量AC →在BD →方向上的投影为________．－1313[∵AC →＝(－1,1)，BD →＝(3,2)， ∴AC →在BD →方向上的投影为|AC →|cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|BD →|＝－1×3＋1×232＋22＝－113＝－1313.] 4．(2017·某某模拟)已知|a |＝4，|b |＝2，且a 与b 夹角为120°，则(a ＋2b )·(a ＋b )＝________.12 [∵|a |＝4，|b |＝2，∴a ·b ＝4×2×cos 120°＝－4. ∴(a ＋2b )·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2＝16－12＋8＝12.]5．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝________.【导学号：62172168】2 [由题意得|a |＝12＋32＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．(2017·某某模拟)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________．π3[∵a ＝(4，－3)，∴|a |＝5， 又|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ，即21＝25＋1－2a ·b ， ∴a ·b ＝52.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝525×1＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.]7．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．垂心 [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心．]8．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________. 【导学号：62172169】712[因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0， 所以(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB 2→＋AC 2→－AC →·AB →＝0.因为向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， 所以(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]9．(2017·某某一模)如图31­3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC →的值为________．图31­3－2 [∵BC →＝AC →－AB →，∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →·(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝－23AB →2＋13AC →2＋13AB →·AC →＝－23×9＋13×9＋13×3×3×13＝－6＋3＋1＝－2.]10．(2016·某某高考改编)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________． 18 [如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB → ＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.] 二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. 【导学号：62172170】[解] (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．[解] (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3， ∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·某某一模)已知边长为4的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________．图31­43 [以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，P (0，3)．所以PB →·PD →＝(－2，－3)·(0，－3)＝3.]2．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 [设Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6， 所以y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6， 易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.] 3．(2017·如皋市高三调研一)如图31­5所示，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴正半轴(含坐标原点)滑动，其中AD ＝4，AB ＝2.图31­5(1)若∠DAO ＝π4，求|OC →＋OD →|； (2)求OB →·OC →的最大值．[解] (1)由题意可知点A (22，0)，D (0,22)，B (32，2)，C (2，32)，所以|OC →＋OD →|＝|(2，52)|＝213.(2)过点B 作BM ⊥AO ，垂足为M ，过点C 作⊥OD ，垂足为N ，设∠DAO ＝θ，则∠CDN ＝θ，∠ABM ＝θ，所以点A (4cos θ，0)，D (0,4sin θ)，B (4cos θ＋2sin θ，2cos θ)，C (2sin θ，4sin θ＋2cos θ)，则OB →·OC →＝(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)·(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)＝16sin θcos θ＋4sin 2θ＋4cos 2θ＝4＋8sin 2θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴(OB →·OC →)max ＝12. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤32＋12， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

考点19平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB u u u r的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ； ③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c . 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2）模：2211||x y =⋅=+a a a （3）夹角：cos ||||θ⋅==a ba b 121212122222x y x y +⋅+ .（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔121212222212||x x y y x y x y +≤++.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b .（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=||||⋅a ba b =121212122222x y x y +⋅+（其中,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a 1122x y +，或||||AB AB ==u u u r223434()()x x y y -+-（其中,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算. （2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W =||||cos (θθ⋅=⋅⋅F s F s 为F 和s 的夹角).考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1已知向量()1,2=-a ，向量b 满足2=b ，,a b 的夹角为π3，则⋅=a b A ．5 B ．2 C ．3D ．2【答案】A 【解析】由题意可得()22125=+-=a ，则ππcos52cos 533⋅=⨯⨯=⨯⨯=a b a b .故选A.1．如图，在矩形ABCD 中，2AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且2DF FC =u u u r u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的值是．考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.典例2 若||1,||2==a b ,=+c a b 且⊥c a ,则向量a 与b 的夹角为________.【答案】120°2．已知向量(2,1),(,1)λ=--=a b ,且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.考向三平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.典例3已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且1cos 3α=，若向量a =3e 1−2e 2，则|a |=________. 【答案】3【解析】因为a 2=(3e 1−2e 2)2=9−2×3×2×cos α＋4=9，所以|a |=3.3．已知向量2==a b ，a 与b 的夹角为π3.若向量m 满足1--=m a b ，则m 的最大值是A ．31B ．231C ．4D 621考向四平面向量的应用1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： (1)向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题. 3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r 或1()3PG PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，则点G 是ABC △的重心．(2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rHC HA ⋅u u u r u u u r，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅u u u r u u r u u u r||IB AB IC +⋅=0u u r u u u r u u r，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 或||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r .反之，若||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，则点O 是ABC △的外心.典例4 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A．4 5 -B．35-C．45D．35【答案】A则2244cos55||||55AE BF aaAE BF a aθ⋅-====-⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.4．对任意,直线与圆交于不同的两点,且存在使 (是坐标原点)成立,那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．典例5 设向量a =(2cos α，2sin α)，b =(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a＋b 与a −2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β−α)=________. 【答案】14【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.5．G 是ABC △的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若33aGA bGB cGC ++=0u u u r u u u ru u ur ，则角A = A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°典例6 一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．【答案】27【解析】由题意知F 3=−(F 1＋F 2)，∴|F 3|=|F 1＋F 2|， ∴|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos60°=28， ∴|F 3|=27.6．在水流速度为4km/h 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h 的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________km/h .1．设向量()(),2,1,1x ==-a b ，且()-⊥a b b ，则x 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．已知向量,a b 的夹角为,且,则等于A ．B ．C ．D ．3．已知共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为 A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．24．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r，()2,1AD =u u u r ，则AD AC ⋅=u u u r u u u rA ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b 的夹角为2π3，且2=a ，4=b ，则2-a b 在a 方向上的投影为 A ．2 B ．4 C ．6D ．86．若向量,a b 满足||||1==a b ,且1()2⋅-=a a b ,则向量与的夹角为 A ．B ．C ．D ．7．在ABC △中,若·=·=·,则该三角形是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．已知为非零向量,且,则下列命题正确的个数为(1)若,则 (2)若,则(3)若,则 (4)若,则A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足A ．λ<−B ．λ>−C ．λ>−且λ≠0D ．λ<−且λ≠−510．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是A ．[]0,3B ．C ．D ．11．设F 为抛物线x y 22=的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为ABC △的重心，则FA FB ++u u u r u u u rFC u u r的值为A ．1B ．2C ．3D ．412．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若∥a b ，则|3|+a b 等于. 13．如图,在边长为3的正方形中与交于点则.14．设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0παβ<<<，若|2||2|+=-a b a b ，则βα-=.15．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为.1．（2017年高考新课标Ⅱ卷）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b2．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =u u u r u u u r ，2·I OB OC =u u u r u u u r ，3·I OC OD =u u u r u u u r，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<4．(2016年高考新课标Ⅲ卷)已知向量13(,22BA =uu r ,31),22BC =uu ur 则ABC ∠= A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．（2017年高考新课标Ⅰ卷）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．6．(2017年高考新课标Ⅲ卷)已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 7．（2017年高考天津卷）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．8．（2017年高考浙江卷）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．9．（2016年高考新课标Ⅰ卷）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =________． 10．(2016年高考江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是________．1．【答案】34 【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则()00A ，，)2,1E，)2B，，22,23F ⎫⎪⎭，∴()2,1AE =u u u r ，12,23BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，∴24233AE BF ⋅=-+=u u u r u u u r .2．【答案】1(,2)(2,)2-+∞U【解析】∵a 与b 的夹角为钝角，∴0⋅<a b ，即(2,1)(,1)210λλ--⋅=--<， ∴12λ>-. 又当a 与b 反向时，夹角为180°，即||||⋅=-a b a b ，则22151λλ+=+2λ=.应该排除反向的情形，即排除2λ=， 于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞U .【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,cos 10θ=>;当夹角为180°时,cos 10θ=-<,这是容易忽略的地方. 3．【答案】B变式拓展【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得m 的终点的轨迹方程，再根据平面几何知识求解. 4．【答案】C【解析】将直线方程代入圆的方程得：，则由∆得恒成立，即.设点则,,即，平方得0,即,即，即,即有解,即，即,综上可知:.5．【答案】D【解析】因为G 是ABC △的重心，所以有GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r.又3aGA bGB +=0u u u r u u u r u u u r ，所以a ∶b 3c =1∶1∶1，设c 3，则有a =b =1，由余弦定理可得，3cos 23A ==A =30°，故选D.6．【答案】541．【答案】D【解析】()1,3x-=-a b，那么()130x-⋅=--=a b b，解得4x=，故选D. 2．【答案】A【解析】因为，解得故本题选A.3．【答案】D【解析】由题意，共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体M上，其合力为F1+F2=（1，2lg2）, 产生位移s=(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W=( F1+F2).4．【答案】D考点冲关【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以()()()1,22,13,1AC AB AD =+=-+=-u u u r u u u r u u u r ，所以()23115AD AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r，故选D ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设向量,a b 的夹角为,由()1·,||||12-===a a b a b ,可得221·111cos 2θ-=-⨯⨯=a ab ,解得,根据∈,可知.7．【答案】D【解析】设边AB 的中点为D ，则由·=·可得·,则⊥，CA =CB ,同理可证CB =AB ,所以该三角形是等边三角形. 8．【答案】D 【解析】若,则,故(1)正确;若,则,故(2)正确;若,则,即,故(3)正确;若,则,即,故(4)正确.故选D. 9．【答案】C【解析】由题意知，向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，a (a ＋λb )＞0，a ２＋λa b ＞0，而a ２=5，a b =1+2=3,则5+3λ>0,同时a ，a ＋λb 不能共线且同向，则λ，解得λ>−且λ≠0，选C.10．【答案】C=.当时,取得最大值5;当时,取得最小值2,即的取值范围是.选C.11．【答案】C【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C ，抛物线x y 22=的焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21F ，准线方程为21-=x ，由于F 是ABC △的重心，∴123123320x x x y y y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，由抛物线的性质得112FA x =+u u u r ，212FB x =+u u u r ，312FC x =+u u u r ，∴FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r 3212121321=+++++=x x x ，故选C.12．5【解析】因为∥a b ，所以()1220y ⋅-⨯-=，解得4,y =-从而3+a b =(1,2),|3|5+=a b13．【答案】【解析】由已知可知，,则，，,则22. 14．【答案】π215．【答案】7【解析】由题意得，AC为圆的直径，故可设),(nmA，),(nmC--，),(yxB，∴(6,)PA PB PC x y++=-u u u r u u u r u u u r，∴22=(6)PA PB PC x y++-+u u u r u u u r u u u r的最大值为圆221x y+=上的动点到点)0,6(距离的最大值，从而易得当⎩⎨⎧=-=1yx时，PA PB PC++u u u r u u u r u u u r的最大值为7.1．【答案】A【解析】由+=-a b a b平方得222222+⋅+=-⋅+a ab b a a b b，即0⋅=a b，则⊥a b，故选A.【名师点睛】已知1122(,),(,)x y x y==a b.(1)向量平行：1221x y x y⇒=∥a b，,,λλ≠⇒∃∈=0R∥a b b a b,11BA AC OA OBλλ=⇔=++u u u r u u u r u u u r u u u r直通高考1OC λλ+u u u r.(2)向量垂直：121200x x y y⊥⇔⋅=⇔+=a b a b.(3)向量运算：221212(,),||,||||cos,x x y y±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b.2．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n，则两向量,m n反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n-<m n；若0⋅<m n，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n，所以是充分而不必要条件，故选A.3．【答案】C【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD∠=∠>o，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得OA OC<，OB OD<，进而得到312I I I<<．4．【答案】A【解析】因为向量13(2BA=uu r,31),2BC=uu u r所以13312222cos11||||BA BCABCBA BC⋅∠==⨯u u u r u u u ru u u r u u u r32=，所以30ABC∠=︒，故选A．【名师点睛】（1）平面向量a与b的数量积为|||cos|θ⋅＝a b a b，其中θ是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤o o；（2）由向量的数量积的性质知||=·a a a ，·cos ||||θ=a ba b ，·0⇔⊥＝a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 5．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 6．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b . 7．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u ur u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，作为基底易于计算数量积． 8．【答案】4，25令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力和最值处理能力有一定的要求． 9．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1212x x y y ⋅=+a b .10．【答案】78【解析】因为222211436()()=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2211114()()123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此22513,82FD BC ==u u u r u u u r ，所以2222114167()().22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．。

江苏专用高考数学一轮复习考点 25 平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题含解析1．（江苏省徐州市2019届高三考前模拟检测）已知 e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，向量ae12e 2，b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为________.【答案】 5 4【解析】已知e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，所以e1e2 1，得 e1e2 e1e2cos 3 1， 2 若 a b e1 2e2ke1 e22k e1 2k1 e1e22 2e2k1 2k21 20解得 k 5 4故答案为： 5 ． 42．（江苏省徐州市 2018-2019 学年高三考前模拟检测）已知 A ， B 为圆 O : x2 y2 5 上的两个动点，AB 4 ， M 为线段 AB 的中点，点 P 为直线 l : x y 6 0 上一动点，则 PM PB 的最小值为____．【答案】7 【解析】因为 AB 4 ， BM 2，取的中点 N ，连接 OM , PN ， 则 PM PB PN NB PN NB PN 2 1，又，故 OM 1，所以 ON 2 12 12 2 ， ON 2 ，006又 PN OP ON ，而 OP 3 2 ，所以 PN 2 2 ，当且仅当 OP 垂直于直线 l 且 O, N, P 三2点共线时等号成立，所以PM PB 的最小值为 8 1 7 ，填 7 .13．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知e1, e2是夹角为 3的两个单位向量，向量a e1 2e2 ， b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为____． 【答案】 54【解析】 a b 0 e1 2e2 ke1 e2 ，因为2e1e221，e1 e21 2，所以 a b k 2 k 1 2k 5 0 ，22所以 k 5 ，填 5 . 444．（江苏省南通市 2019 届高三模拟练习卷四模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A x1, y1 ， B x2, y2 为圆x2y2 1 上两点，且x1x2y1 y21 2．若 C为圆上的任意一点，则 CACB的最大值为______．【答案】 3 2【解析】因为 C 为圆 x2+y2＝1 上一点，设 C （sinθ，cosθ），则CA x1 sin, y1 cos ,CB x2 sin, y2 cos ，∵ A x1, y1 ， B x2, y2 为圆 x2 y2 1 上两点，∴ x12 y12 1,x22y22 1，又x1x2y1 y21， 2∴ CACB x1x2 y1y2 x1 x2 sin y1 y2 cos sin2 cos2 1 2 x1 x2 2 y1 y2 2 sin( )11 2x12 y12 x22 y22 2x1x2 2 y1 y2 sin( )1 2 sin( ) ，其中 tany1 x1 y2 x2，∵ sin( ) ∈[﹣1，1]，∴当 sin()＝1时，CA CB的最大值为3 2．故答案为： 3 ． 25．（江苏省南通市 2019 届高三适应性考试）如图，在边长为 2 的正三角形 ABC 中， D 、 E 分别为边 BC 、CA上的动点，且满足CEmBD（m为定常数，且m(0,1]），若ADDE的最大值为3 4，则m ________.【答案】 1 2【解析】以 BC 中点为坐标原点 O ，OC 方向为 x 轴正方向，OA 方向为 y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形 ABC 边长为 2，所以 B(1, 0) ， C(1, 0) ， A(0, 3) ，则 BC (2, 0) ， CA (1, 3) ，因为 D 为边 BC 上的动点，所以设 BD t BC ，其中 0 t 1，则 BD (2t, 0) ，所以 D(2t 1, 0) ；又 CE mBD tmBC ，所以 CE tmCA (tm, 3tm) ，因此 E(1 tm, 3tm) ，所以 AD (2t 1, 3) ， DE (2 tm 2t, 3tm) ，故 AD DE (2t 1)(2 tm 2t) 3tm 2(m 2)t 2 2(3 m)t 22(m2) t23m m2t 22(m2) t3m 2m 42 3m 2m 42 21(m2) t3m 2m 42 m2 10m 1 2m 4，因为m (0,1]，所以3m 2m 41 25 2m 41 3,3 4 ，又 0t1，所以当且仅当t3m 2m 4时，ADDE取得最大值，即 m2 10m 1 3 ，整理得 2m2 17m 8 0 ，解得 m 1 或 m 8 （舍）2m 442故答案为 1 26．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知ABC外接圆O的半径为2，且ABAC2AO，|AB||AO|，则CACB______.【答案】12【解析】因为ABAC2AO，所以点O是线段BC的中点，O是ABC外接圆的圆心，因此ABC是以BC为斜边的直角三角形，又因为 |AB|| AO |，所以AB2,BC4,因此 ACB 300 , AC 2 3 ，所以 CACB CA CB cos ACB 2 3 43 12.27．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校 2019 届高三第四次模拟考试）已知菱形 ABCD中，对角线 AC＝ 3 ，BD＝1，P 是 AD 边上的动点（包括端点），则 PB PC 的取值范围为_______． 【答案】[1 , 3]22【解析】1由 AC⊥BD 得，以对角线 BD，AC 分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝ 3 ，BD＝1， ∴ A 0, 3 2 ,B 1 2,0 ,C 0,3 2 ，D 1 2,0 ,AD 1 2,3 2 ∵P是AD边上的动点，设P（x，y），0x1 2，AP x,y3 2 ，∵ APAD, 1 y 23 43 2x0，∵PC x,3 2y ,PB 1 2x,y ∴PBPC 1 2x,y x,3 2y 1 2xx23 y y2 4x2 4x 322根据二次函数的性质可知，当 x＝ 1 时，最小值为 1 .当 x＝ 0 时，最大值为 3 .222所以，PBPC的取值范围为 [1 2,3 2]故答案为：[1 , 3] 228．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019 届高三第三次调研考试）在平面四边形 ABCD 中， ____．，，．若，则的最小值为【答案】 【解析】 如图，以 的中点 为坐标原点，以 方向为 轴正向，1建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为 所以 整理得： 在 轴上取，即： ，所以点 在以原点为圆心，半径为 的圆上。

高考数学复习平面对量的数量积及其应用复习题及答案高考数学复习平面对量的数量积及其应用复习题及答案a与b的数量积ab＝|a||b|cs θab＝x1x2＋12答案自主梳理1．(1)ab＝|a||b|cs〈a，b〉 (2)①|a|cs〈a，e〉②ab＝0 ③|a|2 aa ④ab|a||b|⑤≤ 2.(1)ba(2)ac＋bc (3)λ(ab) 3.(1)a1b1＋a2b2 (2)a1b1＋a2b2＝0(3)a21＋a22 a1b1＋a2b2a21＋a22 b21＋b22(4)(x2－x1，2－1) x2－x12＋2－12自我检测2．B [|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4ab＋b2＝8＝22.]3．D [由(a＋λb)b＝0得ab＋λ|b|2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．2＝8x(x≠0)解析由题意得AB→＝2，－2，BC→＝x，2，又AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，即2，－2x，2＝0，化简得2＝8x(x≠0)．5．－2解析合理建立直角坐标系，由于三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，这样利用向量关系式，求得MA→＝32，－12，MB →＝32，－12，MB→＝－32，52，所以MA→MB→＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6.∴cs θ＝ab|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2ab＋|b|2＝16＋2×－6＋9＝13.(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.变式迁移1 (1)C [∵|a|＝|b|＝1，ab＝0，开放(a－c)(b－c)＝0|c|2＝c(a＋b)＝|c||a＋b|cs θ，∴|c|＝|a＋b|cs θ＝2cs θ，∴|c|的'最大值是2.](2)λ12且λ≠－2解析∵〈a，b〉∈(0，π2)，∴ab0且ab不同向．即|i|2－2λ||20，∴λ12.当ab同向时，由a＝b(0)得λ＝－2.∴λ12且λ≠－2.例2 解题导引 1.非零向量a⊥bab＝0x1x2＋12＝0.2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．但要留意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不愿定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直．(2)|a＋b|2＝2a2＋2ab＋b2＝2＋2ab＋1，(3|a－b|)2＝3(1＋2)－6ab.由条件知，2＋2ab＋1＝3(1＋2)－6ab，从而有，ab＝1＋24(0)．(3)由(2)知ab＝1＋24＝14(＋1)≥12，当＝1时，等号成立，即＝±1.∵0，∴＝1.此时cs θ＝ab|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故ab的最小值为12，此时θ＝π3.变式迁移2 (1)解由于a与b－2c垂直，所以a(b－2c)＝4cs αsin β－8cs αcs β＋4sin αcs β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cs(α＋β)＝0.因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b＋c＝(sin β＋cs β，4cs β－4sin β)，得|b＋c|＝sin β＋cs β2＋4cs β－4sin β2＝17－15sin 2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明由tan αtan β＝16得4cs αsin β＝sin α4cs β，所以a∥b.例 3 解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要娴熟把握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应把握三角恒等变换的相关学问．解 (1)ab＝cs 32xcs x2－sin 32xsin x2＝cs 2x，|a＋b|＝cs 32x＋cs x22＋sin 32x－sin x22＝2＋2cs 2x＝2|cs x|，∵x∈－π3，π4，∴cs x0，∴|a＋b|＝2cs x.(2)f(x)＝cs 2x－2cs x＝2cs2x－2cs x－1＝2cs x－122－32.∵x∈－π3，π4，∴12≤cs x≤1，∴当cs x＝12时，f(x)取得最小值－32；当cs x＝1时，f(x)取得最大值－1.变式迁移3 解由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝12bcsin A＝12.AB→AC→＝bccs A＝30，∴A∈0，π2，cs A＝3sin A.又sin2A＋cs2A＝1，∴sin A＝1010，cs A＝31010.由题意cs B＝35，得sin B＝45.∴cs(A＋B)＝cs Acs B－sin Asin B＝1010.∴cs C＝cs[π－(A＋B)]＝－1010.课后练习区1．D [由于ab＝6－＝0，所以＝6.]2．D [由(2a＋3b)(a－4b)＝0得2－12＝0，∴＝6.]3．C [∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12.又ab0，∴∠BAC为钝角．∴∠BAC＝150°.]4．C [由(2a＋b)b＝0，得2ab＝－|b|2.cs〈a，b〉＝ab|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12.∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]5．B [由于ab＝|a||b|cs〈a，b〉，所以，a在b上的投影为|a|cs〈a，b〉＝ab|b|＝21－842＋72＝1365＝655.]6.35解析∵ab＝cs 2α＋2sin2α－sin α＝25，∴1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴ca＝0，即(a＋b)a＝0.∴a2＋ab＝0.又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cs θ＝0.∴cs θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析设n＝(x，)，由n＝－1，有x＋＝－1.①由与n夹角为3π4，有n＝|||n|cs 3π4，∴|n|＝1，则x2＋2＝1.②由①②解得x＝－1＝0或x＝0＝－1，∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．9．解设存在点M，且OM→＝λOC→＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB→＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分)∵MA→⊥MB→，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M点坐标为(2,1)或225，115.故在线段OC上存在点M，使MA→⊥MB→，且点M的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明∵ab＝cs(－θ)csπ2－θ＋sin－θsinπ2－θ＝sin θcs θ－sin θcs θ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分)(2)解由x⊥得，x＝0，即[a＋(t2＋3)b](－a＋tb)＝0，∴－a2＋(t3＋3t)b2＋[t－(t2＋3)]ab＝0，∴－|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………………………………………(6分)又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－＋t3＋3t＝0，∴＝t3＋3t.…………………………………………………………(8分) ∴＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分)故当t＝－12时，＋t2t有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f(x)＝ab＝2csx＋π6＋2sin x＝2cs xcs π6－2sin xsin π6＋2sin x＝3cs x＋sin x＝2sinx＋π3.…………………………………………………………(5分)由π2＋2π≤x＋π3≤3π2＋2π，∈Z，得π6＋2π≤x≤7π6＋2π，∈Z.所以f(x)的单调递减区间是π6＋2π，7π6＋2π(∈Z)．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋π3.又由于2sinx＋π3＝85，所以sinx＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sinx＋π3＝csπ6－x＝csx－π6＝45.所以cs2x－π3＝2cs2x－π6－1＝725.………………………………………………(14分)5【高考数学复习平面对量的数量积及其应用复习题及答案】。

高三数学数量积及其应用试题答案及解析1.向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为==，所以与的夹角为，故选C.考点:空间向量夹角2.如图是半圆的直径，是弧的三等分点，是线段的三等分点，若，则．【答案】26．【解析】由图可得，，所以，代入数据，根据数量积德运算，可以求得26【考点】平面向量数量积.3.设非零向量，满足，与的夹角为A．60 B．90 C．120 D 150【答案】A【解析】由得，，两边平方得，因为，所以，所以与的夹角的余弦值=，所以与的夹角为60，故选A【考点】平面向量数量积，向量夹角4.若平面内两个向量与共线，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由向量与共线知：所以，，故选D.【考点】1、平面向量共线的条件；2、三角函数的二倍角公式.5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若=2，=1，且BAD=60o，则。

【答案】【解析】,由已知：,,【考点】向量的数量积的计算6. (2013·大纲版全国卷)已知向量m=,n=,若(m+n)⊥(m-n),则λ=()A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】因为(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=|m|2-|n|2=0,即(λ+1)2+1-(λ+2)2-4=0,解得λ=-3.7.已知向量a=(1,3),b=(-2,-6),|c|=,若(a+b)·c=5,则a与c的夹角为__________.【答案】θ=120°【解析】设c=(x,y),因为a+b=(-1,-3),所以(a+b)·c=-x-3y=5,|c|==,即解得或不妨取即c=,设a与c的夹角为θ,则cosθ===-.因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.8.已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于()A．B．C．D．(1，0)【答案】B【解析】方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则将②代入①得，即，∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝⇒y＝.方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B.9.在直角三角形中，，，则__________．【答案】【解析】．【考点】向量的数量积．10.已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，，，故，，所以，故与的夹角是．【考点】向量的数量积．11.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=.【答案】2【解析】由b·c=0知,b·c=[ta+(1-t)b]·b=ta·b+(1-t)b2=t×1×1×cos60°+(1-t)=0.即1-t=0,∴t=2.12.在△ABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10,则·=.【答案】-16【解析】因为=+,=+=-,所以·=-=9-25=-16.13.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a·b的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】a+b=(3,2+k),a=(1,k),∵a+b与a共线,∴3k-(2+k)×1=0,即k=1,∴a·b=2+2k=2+2=4,选D.14.若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|<)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0(O为坐标原点),则A等于()A．B．πC．πD．π【答案】B【解析】∵=-=,∴T=π,∴M(,A),N(,-A),又·=×+A·(-A)=0,∴A=π.=,则·等于()15.在△ABC中,已知||=4,||=1,S△ABCA．-2B．2C．±4D．±2【答案】D=||||sinA=,【解析】∵S△ABC∴sinA==.又∵A∈(0,π),∴cosA=±,∴·=||·||cosA=4×1×(±)=±2.16.已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·="5," =10.(1)求D点的坐标.(2)若D点在第二象限,用,表示.(3)设=(m,2),若3+与垂直,求的坐标.【答案】(1) (-2,3)或(2,1) (2) =-+. (3) =(-14,2)【解析】(1)设D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).由题得∴或∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)∵D点在第二象限,∴D(-2,3).∴=(-1,3).∵=(-2,1),设=m+n,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),∴∴∴=-+.(3)∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),∵3+与垂直,∴(3+)·=0,∴m+14=0,∴m=-14,∴=(-14,2).17.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．【答案】【解析】以顶点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，设F(x,2)，所以·＝(，0)·(x,2)＝x＝⇒x＝1，即F(1,2)，所以·＝(，1)·(1－，2)＝ (1－)＋2＝.18.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为( )A．－B．C．－D．【答案】C【解析】由＝，知D为BC中点. ·＝(＋)·(－)＝ (||2－||2)＝－.19.已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．（1）求函数的值域；（2）若，求数列的前100项和.【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题意向量函数.通过向量的坐标形式的数量积公式，以及三角函数的化一公式，可得函数的关于x的解析式.（2）由及（1）可得.因为第个零点记作.也就是的对应的x的值从小排到大的一列数.根据图像的对称性可得两个相邻的和为.所以即可求得结论.试题解析：（1）所以函数的值域为（2）由得所以或因此【考点】1.三角形函数的化一公式.2.向量的数量积.3.数列的求和.4.对称的知识.20.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.【答案】1【解析】由题意，知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，(k－1)a·b＋(k－1)＝0，∴(k－1)(a·b＋1)＝0，∴k＝1.21.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是 ________．【解析】依题意，设，，如图，则，，由勾股定理是直角三角形，且，故向量在向量方向上的投影是0.【考点】平面向量的夹角、模，一个向量在另一个向量上的投影.22.已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为．【答案】【解析】因为，所以，即，因为，故.【考点】向量的数量积.23.在△ABC中，，，则△ABC的面积为（）A．B．3C．D．6【答案】B【解析】，，由于，故，，，即的面积为.【考点】平面向量的数量积、同角三角函数之间的关系、三角形的面积24.已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】，，而，,，，故当时，取最大值.【考点】平面向量的减法、平面向量的数量积、二次函数25.设、为的两点，且满足=+,则_______．【答案】【解析】设BC的中点为M，∵=，∴D为中线AM的中点，又+，∴，∴，∴【考点】本题考查了向量的运算及面积的求解点评：熟练掌握向量的运算及几何意义是解决此类问题的关键，属基础题26.设k为实数，已知向量＝(1，2)，＝(－3，2)，且(k＋)⊥( －3)，则k的值是．【答案】19【解析】根据题意，由于设k为实数，已知向量＝(1，2)，＝(－3，2)，且(k＋)⊥( －3 )，即（k-3,2k+2） (10,-4)=0,10（k-3）-4(2k+2)=0,解得k=19.故答案为19.【考点】向量的数量积的运用点评：解决该试题的关键是利用向量的垂直的充要条件是数量积为零，属于基础题。

高三数学数量积的应用试题答案及解析1.设, ,（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取最大值时的集合；（3）求满足且的角的值．【答案】（1）；（2）最大值， x的集合为．（3）．【解析】（1）应用二倍角公式及两角和差的三角函数公式将化简得到即得最小正周期；（2）由，得，此时有最大值.（3）由得，又由得，可得，进一步求解.试题解析：（1） 1分= 3分 5分最小正周期 6分（2）当，即时，有最大值，此时，所求x的集合为． 9分（3）由得得 10分又由得，故，解得． 12分【考点】1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.2.如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点是线段上靠近的三等分点且则的值为【答案】24【解析】因为,所以，因此【考点】向量表示3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且(1)求角B的大小；(2)求函数的值域.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由已知，利用向量的数量积，结合余弦定理可得角B的大小；(2)利用B的大小，得到的取值范围，进而可求得函数f(x)的值域.试题解析：(1)由，得根据余弦定理，有 4分又因为，所以； 6分(2)由(1)得∴ 8分∴∴函数的值域为 12分【考点】平面向量的数量积，余弦定理，三角函数的值域.4.已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D。

若椭圆的离心率为，则∠BDF的正切值【答案】【解析】由题意得：，所以，因此，又离心率为，所以，从而【考点】向量数量积5.若同一平面内向量，，两两所成的角相等，且，，，则等于（）A．2B．5C．2或5D．或【答案】C【解析】因为同一平面内向量，，两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是时，，即，所以当三个向量所成的角都是时，，故或5.【考点】平面向量的数量积，向量的模的求法.6.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则的取值范围为．【答案】【解析】根据题意可以C为原点建立平面直角坐标系，则，直线AB方程为：，可设点，由，即，化简得：，由，又，结合二次函数的图象可得：．【考点】1.向量的数量积;2.二次函数的最值．7.已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在上的最大值和最小值．【答案】（1）π（2）1，－【解析】(1)f(x)＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.最小正周期T ＝π.所以f(x)＝sin，最小正周期为π.(2)当x∈时，∈，由标准函数y＝sinx在上的图象知，f(x)＝sin∈＝.所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－8.若平面向量，满足，垂直于轴，，则.【答案】【解析】设，则。