§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[小题体验]1．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有________个．2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．3．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________．1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同．[小题纠偏]1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.考点一四种命题及其相互关系基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b22．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2017·衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y ＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点三充分必要条件的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2017·皖北第一次联考)已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1)2．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且⌝q的一个充分不必要条件是⌝p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]2．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2017·山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定4．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假5．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为()A．a>5 B．a≥5C．a<5 D．a≤5二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④4．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>16．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b∈R)，”否命题的真假性为________．7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．8．下列命题：①“a >b ”是“a 2>b 2”的必要条件；②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件；③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 其中是真命题的是________(填序号)．9．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．。

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( )(4)“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件．( )(5)(2014·上海改编)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的充分条件．( )(6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝32π”．( )1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．43．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2014·安徽)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型一 四种命题及真假判断例1 (1)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④(2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数题型二 充要条件的判断例2 (1)(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件(2)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件(1)(2014·湖北)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型三 根据充要条件求解参数的取值范围例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1(2)已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋1＝0}，若A ∩R ＝∅，则实数m 的取值范围为( )A ．m <4B ．m >4C ．0<m <4D ．0≤m <4(1)条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．[4，＋∞) (2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题2．“如果x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是( )A ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 全不为0B ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为0C ．若x 、y ∈R 且x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0D ．若x 、y ∈R 且x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠03．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”4．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”6．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．08．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝19．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件． 11．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．。

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p微思考1．否命题与命题的否定有什么区别？提示否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，当p是q的充分条件时，集合A与B之间有什么样的关系？若p是q的必要不充分条件，集合A与B之间有什么样的关系？提示当p是q的充分条件时，A⊆B；当p是q的必要不充分条件时，B A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√) 题组二教材改编2．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a>b，c>d，则ac>bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．4．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等题组三易错自纠5．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．6．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．答案 3解析由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.题型一命题及其关系1．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是()A．若xy＝0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0答案 D解析“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”．2．给出以下命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若ab是正整数，则a，b都是正整数；④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减．其中为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)答案①解析①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故③为假命题；④构造函数f (x )＝x ，g (x )＝－x ，则f (x )－g (x )＝2x ，显然f (x )－g (x )单调递增，故④为假命题．综上①为真命题．3．命题“若a <0，则一元二次方程x 2＋x ＋a ＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 当a <0时，Δ＝1－4a >0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a <0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14，显然a <0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故真命题的个数为2. 4．命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,1)解析 命题p 的逆命题是：若x >a ，则x >0，当它是真命题时，a ≥0.又q 的逆否命题为真命题，则命题q 为真命题，即若m ≤a －2，则m <－1，∴a －2<－1，即a <1，综上有0≤a <1. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意 ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写． ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分、必要条件的判定例1 (1)已知p ：⎝⎛⎭⎫12x<1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x<1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件． (2)“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >2，b >2，则a ＋b >4，ab >4.当a ＝1，b ＝5时，满足a ＋b >4，ab >4，但不满足a >2，b >2，所以a ＋b >4，ab >4⇏a >2，b >2， 故“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的充分不必要条件． 思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c ，d 是实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，当a ，b ，c ，d 成等比数列时，ad ＝bc ，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．(2)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行，则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0， 解得λ＝1或λ＝－3，经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A.题型三 充分、必要条件的应用例2 已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围． 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]．若将本例中条件改为“若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件”，求m 的取值范围．解 由x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，知B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m >－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3或0≤m <3，∴0≤m ≤3， 故m 的取值范围是[0,3]．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2 (1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是( )A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案 B解析 由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，所以(0,4)(1－a ,1＋a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤0，1＋a >4或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，1＋a ≥4，解得a ≥3.课时精练1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 答案 D解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换条件和结论，注意“－1<x <1”的否定是“x≥1或x≤－1”．3．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是()A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题既否定条件又否定结论．4．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由ln(x＋1)<0⇒0<x＋1<1，即－1<x<0，故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故选B.5．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.6．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中为真命题的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④答案 C解析①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形的对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”，因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1，所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．7．若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设f (x )＝x ＋ln x ，显然f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵a >b ，∴f (a )>f (b )，∴a ＋ln a >b ＋ln b ，充分性成立； ∵a ＋ln a >b ＋ln b ，∴f (a )>f (b )，∴a >b ，必要性成立，故“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”成立的充要条件，故选C.8．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．a <3 C ．a >4 D ．a <4 答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，∴a >3. 9．设a ，b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a |＝|b |”的________条件． 答案 充分不必要解析 由向量的相关定义知a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇏a ＝b ， 故“a ＝b ”是“|a |＝|b |”的充分不必要条件． 10．下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题． 答案 ②解析 对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若a >b ，则ac >bc ”为假命题，所以它的逆否命题为假命题．11．(2020·青岛二中检测)直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________． 答案 －1<k <3解析 直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2，解得－1<k <3.12．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.13．(2020·深圳模拟)对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 令x ＝1.8，y ＝0.9，满足|x －y |<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x 〉≠〈y 〉，可知充分性不成立．当〈x 〉＝〈y 〉时，设〈x 〉＝x ＋m ，〈y 〉＝y ＋n ，m ，n ∈[0,1)，则|x －y |＝|n －m | <1，可知必要性成立．所以“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．故选B.14．已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－54∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎡⎦⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54. 16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，255 解析 画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，255.。

1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( × )(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( × )(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ ) (4)“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件．( × )(5)(2014·上海改编)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的充分条件．( × ) (6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝32π”．( √ )1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.2．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1， ∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2. 3．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．4．(2014·安徽)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵ln(x＋1)<0，∴0<x＋1<1，∴－1<x<0.∵x<0是－1<x<0的必要不充分条件，故选B.题型一四种命题及真假判断例1(1)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④(2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 (1)D (2)B解析 (1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．(2)将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 (1)C (2)C解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．(2)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.题型二 充要条件的判断例2 (1)(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件(2)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件答案 (1)A (2)C解析 (1)将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A. (2)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．(1)(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案(1)C(2)A解析(1)若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．(2)当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件． 题型三 根据充要条件求解参数的取值范围例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1(2)已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋1＝0}，若A ∩R ＝∅，则实数m 的取值范围为( ) A ．m <4 B ．m >4 C ．0<m <4D ．0≤m <4思维点拨 考虑条件所对应集合的包含关系，“以小推大”． 答案 (1)A (2)A解析 (1)因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1. 观察选项，根据集合间关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}， 故答案选A.(2)∵A ∩R ＝∅，则A ＝∅，即等价于方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，即Δ＝m －4<0，即m <4，选A.注意m <0时也表示A ＝∅.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．(1)条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．(－∞，－4) C ．(－∞，－4] D ．[4，＋∞) (2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________． 答案 (1)B (2)[13，38]解析 (1)由题意，可得p 是q 的充分不必要条件， ∴{x |－2<x <4}{x |(x ＋2)(x ＋a )<0}， ∴－a >4，即a <－4.(2)由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0. 由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆， 可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38， 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(1)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)(2)f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( ) A ．t ≤－1 B ．t >－1 C ．t ≥3 D ．t >3答案 (1)A (2)D解析 (1)设A ＝{x ||4x －3|≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是[0，12]．(2)依题意，P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}．因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，需有2－t<－1，解得t>3.温馨提醒(1)本题用到的等价转化①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到.方法与技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．失误与防范1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，其否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.2．“如果x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是( )A ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 全不为0B ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为0C ．若x 、y ∈R 且x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0D ．若x 、y ∈R 且x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0答案 B解析 “x 2＋y 2＝0”的否定是“x 2＋y 2≠0”，“x 、y 全为0”的否定是“x ，y 不全为0”．3．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 4．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ＝2时，因为B ＝{1,2，b }，所以A ⊆B ；反之，若A ⊆B ，则必有2∈B ，所以a ＝2或b ＝2，故“a ＝2”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．选A.5．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 答案 C解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．6．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ，所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”；当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，所以不能推得m ＝－3，即“m ＝－3”“a ∥b ”． 故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．8．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1 答案 A解析 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立． 所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件． 答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件． 11．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．14．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．15．命题“函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )＝e x ＋k 2e x －1k (其中e 为自然对数的底数，k 为实数)，且f (x )在R 上不是单调函数”是真命题，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－22B.⎝⎛⎭⎫－22，0 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 答案 C解析 当k ＝－1时，f ′(x )＝e x ＋1ex ＋1≥2＋1＝3， 则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除A ；当k ＝－12时，f ′(x )＝e x ＋14ex ＋2≥1＋2＝3， 所以f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除B ；当k ＝1时，f ′(x )＝e x ＋1e x －1≥2e x ·1ex －1＝2－1＝1， 则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除D.选C.16．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 充分不必要条件解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈pq ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈qp ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以③不正确，④正确．。

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．≠>，则p是q的充分不必要条件，p的必要不充分条件是q。

注意对定义的理解:例如：若p⇒q，q p[难点正本疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有⊂，则p是q的充分不必要条件；(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B⊂，则p是q的必要不充分条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊄B，且B ⊄A，则p是q的既不充分也不必要条件．题型一四种命题的关系及真假例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(D) A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．解析命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(C)A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判断例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是(D)A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点B．p：()1()f xf x-=；q：y＝f(x)是偶函数C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁U B⊆∁U A思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．解析对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由()1()f xf x-=⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出()1()f xf x-=，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；对于C ，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件； 对于D ，由A∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ； 反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A∩B ＝A. 所以p ⇔q.综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.探究提高 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a≤2”是“函数f(x)＝|x －a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是①②④ ． 解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x －a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b>a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b>a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①②④. 题型三 利用充要条件求参数例3 已知集合M ＝{x|x<－3或x>5}，P ＝{x|(x －a)·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． 解 (1)由M∩P ＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5， 因此M∩P ＝{x|5<x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M∩P ＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P ＝{x|5<x≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M∩P ＝{x|5<x≤8}”的一个充分但不必要条件．探究提高 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a>0)．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x|x 2－4x －5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B ＝{x|－a ＋3<x<a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A ⊂B.故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a>4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m>0)，且p q ⌝⌝是的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m≤x≤1＋m ，[2分] ∴q ⌝：A ＝{x|x>1＋m 或x<1－m ，m>0}， [3分] 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，[5分] ∴p ⌝：B ＝{x|x>10或x<－2}．[6分]∵p q ⌝⌝是的必要而不充分条件． ∴A ⊂B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m<－2，1＋m≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m>10，即m≥9或m>9.∴m≥9.[12分]方法二 ∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件， [2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m≤x≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m}， [4分] 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，∴p ：P ＝{x|－2≤x≤10}． [6分] ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴P ⊂Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m<－2，1＋m≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m>10，即m≥9或m>9.∴m≥9.[12分]答题模板第一步：求命题p、q对应的参数的范围．⌝、q⌝对应的参数的范围．第二步：求命题p第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点. 温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q,若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与B⌝⇒A⌝，B⇒A与A⌝⇒B⌝，A⇔B与綈B⇔A⌝的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A 是B的充要条件．失误与防范1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是( C )A ．若α≠π4，则tanα≠1B ．若α＝π4，则tanα ≠1C ．若tanα≠1，则α≠π4D ．若tanα≠1，则α＝π4解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠π4.2． (2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是 ( D ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x.又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3． 已知集合M ＝{x|0<x<1}，集合N ＝{x|－2<x<1}，那么“a ∈N”是“a ∈M”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N”是“a ∈M”的必要而不充分条件．故选B.4． 下列命题中为真命题的是( A ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x>1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题解析 对于A ，其逆命题：若x>|y|，则x>y ，是真命题，这是因为x>|y|＝⎩⎪⎨⎪⎧y y≥0－y y<0，必有x>y ；对于B ，否命题：若x≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a>b ； ②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log 2x ，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是①③④．解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a>b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°则30°≠150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6． 已知p(x)：x 2＋2x －m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围为[3,8)．解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0， 解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0， 解得m<8.故实数m 的取值范围是3≤m<8.7． (2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝3或4 解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8． (10分)判断命题“若a≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a<0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a<0”为真命题．9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若p q ⌝⌝是的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x≤5.p q q p ⌝⌝⇒⇔⇒ ∴p ⌝：x<1或x>5.q ：m －1≤x≤m ＋1，∴q ⌝：x<m －1或x>m ＋1. 又∵p q ⌝⌝是的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m≤4. 法二：p q q p ⌝⌝⇒⇔⇒B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)对于常数m 、n ，“mn>0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵mn>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，n>0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，n<0，当m>0，n>0且m≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，当m<0，n<0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn>0， 所以“mn>0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．2． 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a|<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( C )A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)解析 由1x －2≥1，得2<x≤3；由|x －a|<1，得a －1<x<a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3． 集合A ＝{x||x|≤4，x ∈R }，B ＝{x|x<a}，则“A ⊆B”是“a>5”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 A ＝{x|－4≤x≤4}，若A ⊆B ，则a>4.a>4D/⇒a>5，但a>5⇒a>4.故“A ⊆B”是“a>5”的必要不充分条件． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 设有两个命题p 、q.其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f(x)＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞) 解析 若命题P 为真，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合； 当a≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝22－4a<0， 解得a>1.若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a<1.由题意，可知p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，a 的取值范围是{a|a>1}∩{a|a≤34或a≥1}＝{a|a>1}；②当p 假q 真时，a 的取值范围是{a|a≤1}∩{a|34<a<1}＝{a|34<a<1}；所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)．5． 若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的取值范围是__ [1,2)_． 解析 x ∉[2,5]且x ∉{x|x<1或x>4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x<2或x>5，1≤x≤4，得1≤x<2. 点评 “A 或B”的否定是“A B ⌝⌝且．6． “m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”充分不必要条件．解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，∵m<14⇒m≤14，反之不成立．故“m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．三、解答题7． (13分)已知全集U ＝R ，非空集合2031x A x x a ⎧-⎫=<⎨⎬--⎭⎩，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B)∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2<x<52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<x<94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B)∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x|a<x<a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a>13时，A ＝{x|2<x<3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B.∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a<13时，A ＝{x|3a ＋1<x<2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a<13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。