数学2-1模块考试试题

高中数学选修2-1水平测试题（时间：120分钟 满分：150分）学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝322．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )A ．⌝p 是q 的必要不充分条件B ．⌝q 是p 的必要不充分条件C ．⌝p 是⌝q 的必要不充分条件D ．⌝q 是⌝p 的必要不充分条件3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( )A.12B.21015C.23D.1115 4．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2 B.1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a5．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左边一支C ．双曲线右边一支D ．一条射线6．命题p ：存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0>2；命题q ：命题“∃x 0∈R ，2x 20＋3x 0－5＝0”的否定是“∀x ∈R ，2x 2＋3x －5≠0”，则四个命题(⌝p )∨(⌝q )，p ∧q ，(⌝p )∧q ，p ∨(⌝q )中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 8．以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面 C ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线9．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32D.5210．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1] 11．如图1，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A ．35B ．52C ． 45 D ． 5112．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 14．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则⌝p ：________________________. 15．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 . 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图2，过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若||2||BF BC =，且3||=AF ，求此抛物线的方程．20．（本小题满分12分）如图3，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，E 为BC 中点． (1)求证：C 1D ⊥D 1E ；(2)在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ？若存在，求AM AA 1的值，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知平面内与两定点A(2，0)，)0,2(-B 连线的斜率之积等于41-的点P 的轨迹为曲线1C ，椭圆2C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，离心率为55．(1)求1C 的方程；(2)若曲线1C 与2C 交于M 、N 、P 、Q 四点，当四边形MNPQ 面积最大时，求椭圆2C 的方程及此四边形的最大面积．22．（本小题满分12分）如图4所示，如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，21=BB ，M 是线段11D B 的中点．(1)求证：BM ∥平面D l AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB l C ； (3)求二面角C AB B --1的大小．(山东 李玉莲)高中数学选修2-1水平测试题(一)一、选择题1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．B7．B 8．D 9．C 10．A 11．4512．D提示：1.因为a ∥b ，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.2.由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ，q /⇒p ，由互为逆否命题的两命题等价可得⌝q ⇒⌝p ，⌝p /⇒⌝q ，所以⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，选C.3．以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知DB 1→＝(1,1,1)，CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，故cos 〈DB 1→，CM →〉＝DB 1→·CM →|DB 1→||CM →|＝1515，从而sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015.4．由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b .5．所以|MN |＝4.所以3<|MN |.根据双曲线定义知，点P 的轨迹是以M (－2,0)、N (2,0)，为焦点的双曲线的右支．所以选C.6．因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q 为真命题，故(⌝p )∨(⌝q )真，p ∧q 假，(⌝p )∧q 真，p ∨(⌝q )假．7．因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .所以选B.8.选项D 中方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)只能说表示双曲线，当m ，n >0时表示焦点在x 轴上的，当m ，n <0时表示焦点在y 轴上.故选D.9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.10.由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.11.不妨设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2.则CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2，CB 1→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．又因为DA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，所以sin θ＝|cos 〈DA →，n 〉|＝45.12．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)＞0，x 1＋x 2＝4k1－k2＞0，x 1x 2＝－101－k2＞0，解得－153＜k ＜－1.二、填空题13．54 14．∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点 15．35 16．33 提示：13.由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为y A ＋1＝14＋1＝54. 14.全称命题的否定为特称命题，⌝p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点． 15.由题意可知2b ＝a ＋c .即2a 2－c 2＝a ＋c ，整理得5c 2＋2ac －3a 2＝0.即5e 2＋2e －3＝0.解得e＝35或e ＝－1(舍去)． 16．11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A C D A AC DA ==- 设1(,,),,,0,0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t =⊥⊥+=-+==令 则(,,)MN t t t =-，而另可设(,,0),(0,,),(,,)M m m N a b MN m a m b =--1,(0,2,),21,3m ta m t N t t t t tb t-=-⎧⎪-=+==⎨⎪=⎩，1111113(,,),3339993MN MN =-=++= 三、解答题17．解：p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0－m <0⇔m >2.q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3， 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．①当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧m >2m ≤1或m ≥3解得m ≥3；②当p 假且q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3解得1<m ≤2.18．解：设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，(2分) B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．(4分)因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，所以⌝q ⇒⌝p ，且⌝p ⌝q .则{x |⌝q }{x |⌝p }，(6分)而{x |⌝q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |⌝p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}， 所以{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，(10分)则⎩⎨⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎨⎧a ≤－4，a <0.(11分) 综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分)19.解：过点A,B 分别作AD,BE 垂直于抛物线的准线于点D,E ，所以||||AD AF =，||||BE BF =．因为||2||BF BC =，所以||2||BE BC =， 所以︒=∠60EBC ，所以︒=∠60DAC ， 因为3||=AF ，所以3||=AD ，所以6||=AC ， 又||2||BF BC =，所以1||=BF ，所以4||=AB ． 因为直线l 过A,B,F ，易得l 的方程为=y )2(3p x -， 代入抛物线方程px y 22=得0435322=+-p px x ， 设),(A A y x A ，),(B B y x B ，则p x x B A 35=+，因为435||=+=++=p p p x x AB B A ，所以23=p ，所以抛物线方程为x y 32=．20．(1)证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，B 1(a ，1，1)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，所以平面AD 1E 的一个法向量为n ＝(2，a ，2a )， 因为BM ∥平面AD 1E ，所以h ＝12.即在AA 1上存在点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时AM AA 1＝12.21.(1)设),(y x P ，则41-=•PB PA k k ， 即4122-=+•-x y x y ， 所以1C 的方程为)2(1422±=/=+x y x ． (2)如图，设椭圆2C 的方程为)0(12222>>=+n m nx m y ，设),(11y x N ，由对称性得四边形MNPQ 的面积114y x S =，因为142121=+y x ，所以11224y x S ⨯⨯⨯=42482121=+⨯≤y x ．当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=14,2212111y x y x 时等号成立，解得⎪⎩⎪⎨⎧==,22,211y x 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+,551,12212222m n e n m 解得⎪⎩⎪⎨⎧==,512,322n m 所以椭圆2C 的方程为1512322=+x y ，四边形MNPQ 的最大面积为4． 22．(1)建立如图所示的空间直角坐标系．则点)0,1,1(O ，)2,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)2,1,1(M ，所以)2,1,1(1--=OD ，BM )2,1,1(--=，所以=1OD BM ．又OD l 与BM 不共线，所以BM OD //1．又⊂O D 1平面AC D 1，⊂/BM 平面D l AC ，所以BM//平面D l AC ． (2)连接1OB ，因为)2,2,2(1B ，)0,0,2(A ，)0,2,0(C ， 所以=1OD )2,1,1(--，)2,1,1(1=OB ， 所以0)2,1,1()2,1,1(11=•--=•OB OD ，=•AC OD 10)0,2,2()2,1,1(=-•--，所以11OB OD ⊥，AC OD ⊥1，即11OB OD ⊥，AC OD ⊥1， 又O AC OB = 1，所以⊥O D 1平面AB 1C ．(3)易知CB ⊥平面ABB l ，所以)0,0,2(-=BC 为平面ABB l 的一个法向量．因为11OB OD ⊥，AC OD ⊥1，所以)2,1,1(1--=OD 为平面C AB 1的一个法向量， 所以21,cos 1>=<OD BC ，所以二面角C AB B --1的大小为︒60．。

高二数学（选修2-1）模块测试试题命题人：铁一中 周粉粉（本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0, +∞)B ．(0, 2)C ．(0, 1)D ． (1, +∞)3.P:12≥-x ,Q:0232≥+-x x ，则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5， 那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A.3B.23 C.38 D.32 6．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2的面积为（ ）A.9B.12C.10D.8 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．12Ｄ．3 9．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．1210．方程22111x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ） （A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件 ，③.充要条件） 14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1­AB ­C 为( )A.π3B.2π3C.3π4 D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1­AB ­C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12.18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)易知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， 2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝2 3. ∴椭圆的方程为x 24＋23＋y 223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，M (0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值． 【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2， ∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F1为(－c，0)，kF1C＝b3a2＋c22a2ca2＋c2＋c＝b33a2c＋c3，又k AB＝－bc，由F1C⊥AB，得b33a2c＋c3·⎝⎛⎭⎪⎫－bc＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca＝5 5.。

数学选修模块测试样题选修2-1 （人教A 版）考试时间：90分钟 试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．1x >是2x >的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知命题p q ,，若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，则（ ）A ．p 为真命题，q 为假命题B ．p 为假命题，q 为真命题C ．p ，q 均为真命题D ．p ，q 均为假命题3. 设M 是椭圆22194x y +=上的任意一点，若12,F F 是椭圆的两个焦点，则12||||MF MF + 等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 64．命题0p x x ∀∈≥R ：，的否定是（ ）A ．0p x x ⌝∀∈<R ：，B ．0p x x ⌝∃∈≤R ：，C ．0p x x ⌝∃∈<R ：，D ．0p x x ⌝∀∈≤R ：，5. 抛物线24y x =的焦点到其准线的距离是（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 16. 两个焦点坐标分别是12(5,0)(5,0)F F -，，离心率为45的双曲线方程是（ ） A ．22143x y -= B ． 22153x y -= C ．221259x y -= D ．221169x y -= 7. 下列各组向量平行的是( )A ．(1,1,2),(3,3,6)=-=--a bB ．(0,1,0),(1,0,1)==a bC ．(0,1,1),(0,2,1)=-=-a bD ．(1,0,0),(0,0,1)==a b8. 在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-等于( )A ．OAB ．ABC ．OCD ．AC9. 已知向量(2,3,1)=a ，(1,2,0)=b ，则-a b 等于 ( )A ．1 BC ．3D ．910. 如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB DC =，E 为BC 中点，则AE BC ⋅ 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．011. 已知抛物线28y x =上一点A 的横坐标为2，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．设1k >，则关于x ，y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是( )A ．长轴在x 轴上的椭圆B ．长轴在y 轴上的椭圆C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线13. 一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85m C ． 2.15m D ． 2.25m14．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且M 到平面11ADD A 的距离是M 到直线BC 距离的2倍，则动点M 的轨迹为( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．命题“若0a >，则1a >”的逆命题是_____________________．16．双曲线22194x y -=的渐近线方程是_____________________． 17．已知点(2,0),(3,0)A B -，动点(,)P x y 满足2AP BP x ⋅=，则动点P 的轨迹方程是 ．AEDCB18. 已知椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，且3021=∠F PF ，6012=∠F PF ，则椭圆的离心率e 等于 ．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分8分）设直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于A B ,两个不同的点. （1）求实数b 的取值范围； （2）当1b =时，求AB ．20．（本小题满分10分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 的中点. （1）求1AD 与DB 所成角的大小； （2）求AE 与平面ABCD 所成角的正弦值.21．（本小题满分10分）已知直线y x m =-与抛物线x y 22=相交于),(11y x A ,),(22y x B 两点，O 为坐标原点． （1）当2=m 时，证明：OB OA ⊥；（2）若m y y 221-=，是否存在实数m ，使得1-=⋅？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．A BCA 1B 1C 1D 1 DE数学模块测试样题参考答案数学选修2-1（人教A 版）一、选择题（每小题4分，共56分）1． B 2． B 3．D 4．C 5．C 6．D 7． A 8． C 9． B10．D11．B12．D13．A14．A二、填空题（每小题4分，共16分）15．若1a >，则0a > 16．23y x =±17． 26y x =+ 181三、解答题（解答题共28分） 19．（本小题满分8分）解：（1）将y x b =+代入2212x y +=，消去y ，整理得2234220x bx b ++-=．① 因为直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于A B ,两个不同的点，所以2221612(22)2480b b b ∆=--=->， 解得b <<．所以b 的取值范围为(． （2）设11()A x y ，，22()B x y ，， 当1b =时，方程①为2340x x +=．解得1240,3x x ==-． 相应地1211,3y y ==-．所以(AB x ==．20．（本小题满分10分）解：(1) 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(200)A ，，，(220)B ，，，1(002)D ，，则(2,2,0)DB =,1(2,0,2)D A =-． 故1111cos ,22DB D A DB D A DB D A⋅〈〉===⋅.所以1AD 与DB 所成角的大小为60． (2) 易得(021)E ，，,所以(2,2,1)AE =-． 又1(0,0,2)DD =是平面ABCD 的一个法向量，且11121cos ,323AE DD AE DD AE DD ⋅〈〉===⨯⋅． 所以AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为13． 21．（本小题满分10分）解：（1）当2=m 时，由⎩⎨⎧=-=，，x y x y 222得0462=+-x x ，解得 53,5321-=+=x x ， 因此 51,5121-=+=y y ．于是 )51)(51()53)(53(2121-++-+=+y y x x 0=， 即0OA OB ⋅=． 所以 OB OA ⊥．（2）假设存在实数m 满足题意，由于B A ,两点在抛物线上，故⎪⎩⎪⎨⎧==，，22212122x y x y 因此222121)(41m y y x x ==． 所以m m y y x x 222121-=+=⋅．由1-=⋅，即122-=-m m ，得1=m ．又当1=m 时，经验证直线与抛物线有两个交点， 所以存在实数1=m ，使得1-=⋅OB OA。

数学选修2-1模块综合测试一一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分） 1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是 A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)162．双曲线22149xy-=的渐近线方程( )A 、23y x =±B 、49y x =± C 、32y x =± D 、94y x =±3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．14．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11，c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是 A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2121 C ．c b a +-2121 D ．c b a +--2121 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为A ．平面B ．直线C ．圆D ．线段 6．已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =⎪⎭⎫⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(c b a ++=222c b a ++ ④c b a ⋅⋅)( =)(c b a ⋅⋅其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆8．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．11、已知21F F 、是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ）A3B3C2D210．下列说法中错误．．的个数为①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩=与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件。

姓名，年级：时间：模块综合试卷（时间:120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2:x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线l1与l2平行，则a（a＋1）－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．2．命题“若a〉b，则a－1>b－1”的否命题是( ）A．“若a〉b，则a－1≤b－1"B．“若a>b，则a－1〈b－1"C．“若a≤b,则a－1≤b－1"D．“若a<b，则a－1<b－1”答案C解析否命题为“若a≤b,则a－1≤b－1”．3．设k〈3，k≠0，则二次曲线错误!－错误!＝1与错误!＋错误!＝1必有（) A．不同的顶点B．不同的准线C．相同的焦点D．相同的离心率答案C解析当0〈k〈3时,0〈3－k<3,∴错误!－错误!＝1表示焦点在x轴上的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.∴两曲线有相同焦点；当k〈0时，－k〉0且3－k〉－k,∴错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆．a2＝3－k,b2＝－k.∴a2－b2＝3＝c2与已知椭圆有相同焦点．4．双曲线错误!－错误!＝1的焦距是（）A．4 B．2错误! C．8 D．4错误!答案C解析依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝错误!＝错误!＝4。

所以焦距2c＝8.5．以双曲线错误!－错误!＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A.错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C。

错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1答案D解析由错误!－错误!＝－1,得错误!－错误!＝1,∴双曲线的焦点为(0，4），（0,－4），顶点坐标为(0，2错误!），（0，－2错误!)．∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( ) A ．“若a >b ，则a －1≤b －1” B ．“若a >b ，则a －1<b －1” C ．“若a ≤b ，则a －1≤b －1” D ．“若a <b ，则a －1<b －1” 答案 C解析 否命题为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．3．设k <3，k ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A ．不同的顶点B ．不同的准线C ．相同的焦点D ．相同的离心率 答案 C解析 当0<k <3时，0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ， ∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆． a 2＝3－k ，b 2＝－k .∴a 2－b 2＝3＝c 2与已知椭圆有相同焦点．4．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．4 2 答案 C解析 依题意知，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.5．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1，∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3 D ．－1≤a ≤1 答案 B解析 根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.7．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C. 3 D ．2答案 A解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为y ＝±2ax ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33， ∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.8．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x答案 A解析 由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)， 故p2＝3，∴抛物线方程为y 2＝12x . 9．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( ) A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0) 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒k AB ＝－x 2y ⇒k PQ ＝yx ＋4＝－x2y ⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4，AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)．10．已知命题p ：“若a >b >0，则12log a <12log b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 对于命题p ，当a >b >0时，有12log a <12log b ，则必有12log a <12log b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当12log a <12log b ＋1时，得12log a <12log 2b ，得a >b2>0，不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)， ∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ， x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ，3a )代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝2，故选D. 12．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B.22 C ．－12 D ．0 答案 D解析 ∵OB ＝OC ，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →|·|BC →|＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cos π3|OA →||BC →|＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________. 答案 －2解析 因为P 与不共线三点A ，B ，C 共面，所以2＋1＋λ＝1，所以λ＝－2.14．已知命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是________． 答案 綈p解析 p 为假命题，因为a 的符号不确定，q 为假命题，因为a ，b 的大小不确定．所以p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．15．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7. 因为|PF 1|＝4，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.16．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．答案63解析 建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量． 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AB →，BD 1→〉|＝|AB →·BD 1→||AB →| |BD 1→|＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真， 綈p 为真，求m 的取值范围． 解 对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴⎩⎨⎧m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0，解得0<m <4. ∵綈p 为真，∴p 假． 又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4. 故m 的取值范围是[2＋1,4)．18．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，符合题意， 故a ＝±1.19．(12分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共焦点，且过(2，0)，求： (1)椭圆的标准方程；(2)椭圆上斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 解 (1)依题意得，将双曲线方程标准化为 x 212－y 212＝1， 则c ＝1.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，因为椭圆过(2，0)，所以2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )，直线与椭圆交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b9，即⎩⎨⎧x ＝－4b 9，y ＝b9，所以y ＝－14x .令Δ＝0，则64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3， 所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3， 即当x ＝±43时，斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为 y ＝－14x ⎝⎛⎭⎫－43≤x ≤43. 20．(12分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)， 所以平面BOE 的法向量为n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n . 又FG ⊄平面BOE ，所以FG ∥平面BOE .21．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(1)证明 因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)解 由(1)知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4，0,4),设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又A 1B →＝(0,3，－4)，A 1C 1→＝(4,0,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0，令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3). 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为m ＝(3,4,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角， 所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2－2，且右焦点到直线x ＝a 2c 的距离等于短半轴的长．已知点P (4,0)，过P 点的直线l 与椭圆C相交于M ，N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OM →·ON →的取值范围； (3)证明：直线TN 恒过某定点． (1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2－2，a2c －c ＝b ，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)解 由题意知直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.高中数学课程Δ＝(－16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＝16－96k 2>0，解得0≤k 2<16. 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1， x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1， y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝12k 22k 2＋1， 从而OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝44k 2－42k 2＋1＝22－262k 2＋1. 因为0≤k 2<16， 所以OM →·ON →∈⎣⎡⎭⎫－4，52.(3)证明 由(2)知T (x 1，－y 1)，直线TN 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)． 令y ＝0，得x ＝x 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1. 将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入，整理得x ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8.(*) 由(2)知x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1， 代入(*)式整理，得x ＝1.所以直线TN 恒过定点(1,0)．。

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．命题“对任意的x∈R,x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R,x3，0－x错误!＋1≤0B．存在x0∈R，x错误!－x错误!＋1≤0C．存在x0∈R，x3，0－x2，0＋1＞0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞03．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈（0,错误!）,x＞sin xB．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2C．∀x∈R，3x＞0D．∃x0∈R，lg x0＝04．方程x＋｜y－1｜＝0表示的曲线是( )5．已知直线l过点P（1，0，－1）,平行于向量a＝（2,1，1），平面α过直线l与点M（1,2，3），则平面α的法向量不可能是（）A．（1，－4，2） B．(错误!，－1，错误!）C．(－错误!,1，－错误!) D．（0,－1，1)6．以椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点为圆心，且与双曲线错误!－错误!＝1的渐近线相切的圆方程是（）A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝07．如图，在三棱锥O－ABC中,点D是棱AC的中点，若错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则错误!等于（）A．a＋b－cB．a－b＋cC.错误!a－b＋错误!cD．－错误!a＋b－错误!c8．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x9．在空间直角坐标系O－xyz中，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a 为非零向量,且<a，i〉＝45°，<a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝( ）A．30° B．45°C．60° D．90°10．若命题p：∀x∈R,ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≤－3或a＞2 B．a≥2C．a＞－2 D．－2＜a＜211．已知A（1，2,3）,B（2，1，2），C（1，1，2）．O为坐标原点,点D在直线OC 上运动,则当错误!·错误!取最小值时，点D的坐标为（)A．（错误!，错误!，错误!） B．(错误!，错误!，错误!）C．(错误!，错误!，错误!） D．（错误!，错误!,错误!）12．已知F1，F2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( ）A．(1,1＋错误!) B．(1＋错误!，＋∞）C．(1－错误!,1＋错误!) D．（错误!,错误!＋1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________。

高中数学选修2-1模块综合测评(A)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知命题p:∀x ∈R,x ≥1,则命题¬p 为( ) A. ∀x ∈R,x ≤1 B. ∃x 0∈R,x 0<1 C. ∀x ∈R,x ≤-1 D. ∃x 0∈R,x 0<-12.已知 a =(2,-1,3),b =(-4,2,x),c =(1,-x,2),若c b a ⊥+)(,则x 等于( )A. 4B. -4C.21D. -6 3.抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为( )A. B. - C. 8 D. -84.“α是第一象限角”是“关于x ，y 的方程x 2sin α+y 2cos α=1所表示的曲线是椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.下列选项中,p 是q 的必要不充分条件的是( ) A. p:a+c>b+d,q:a>b 且c>dB. p:a>1,b>1,q:f(x)=a x -b(a>0且a ≠1)的图象不过第二象限C. p:x=1,q:x 2=xD. p:a>1,q:f(x)=log a x(a>0且a ≠1)在(0,+∞)内为增函数6.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点则线段MF 1的中点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线的一支D. 线段7.在四面体ABCD 中,E,F 分别是棱BC,AD 的中点,设c D A b C A a B A ===,,,且c z b y a x F E++=,则x,y,z 的值分别为( )A.21,21,21--B.21,21,21-- C 21,21,21- D.21,21,21-8.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）129.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,G 分别是AA 1,A 1D 1,A 1B 1的中点,则异面直线EF 与CG 所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D.11.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=6,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A.6π B. 4π C. 3π D. 2π12.已知点P ⎪⎭⎫⎝⎛23,1是椭圆13422=+y x 上一点,点A,B 是椭圆上两个动点,满足O P B P A P 3=+,则直线AB 的斜率为( )A. 21-B. 22-C. 21D. 22二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线14122222=--+my m x 的焦距是_____. 14.若命题“存在实数x 0∈[1,2],使得e x +x 2+3-m<0”是假命题,则实数m 的取值范围为______.15.已知动点P(x,y)在椭圆C:1162522=+y x 上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足|MF|=1,且MP ⊥AMDCBMF,则线段|PM|的最小值为_____.16.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,M 为棱CC 1的中点,则点M 到平面A 1BD 的距离是___. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.已知p:x 2-6x+5≤0,q:x 2-2x+1-m 2≤0(m>0). (1)若m=2,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围; (2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.18．已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →(1)求a和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a－2b 互相垂直，求k 的值.19.在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，AB BD ⊥，CD BD ⊥.将ABD △沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD . （1）求证：AB CD ⊥；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．21.如图所示，在平行六面体1111ABCD ABC D -中，1AA ⊥平面A B C D ，且2AB AD ==，1AA =120BAD ∠=︒．（1）求异面直线1AB 与1AC 所成角的余弦值； （2）求二面角1B A D A --的正弦值．A 1B 1C 1D 1ABCD22．（本小题满分12分）已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F线于A ，B 两点，且||6AB =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）已知点D ，E 在抛物线C 上，O 为坐标原点，若OD OE ⊥，试判断直线DE 是否过定点？并说明理由．。