2.1.2 相等向量与共线向量

（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（A版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（A版）必修一目录第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法阅读与思考函数概念的发展历程1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值1.3.2奇偶性信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（I）2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算。

2.1.2指数函数及其性质信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数2.2.1对数与对数运算阅读与思考对数的发明2.2.2对数函数及其性质探究与发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术求方程的近似解3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2函数模型的应用实例信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二目录第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图1.2.3空间几何体的直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2球的体积与表面积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定探究与发现魔术师的地毯3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离阅读与思考笛卡尔与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系4.3．2空间两点间的距离公式信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆小结复习参考题必修三目录第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构1.2基本算法语句1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1随机抽样阅读与思考一个著名的案例2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样阅读与思考广告中数据的可靠性2.1.3分层抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1随机事件的概率3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义3.1.3概率的基本性质阅读与思考天气变化的认识过程3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2（整数值）随机数（random numbers）产生3.3几何概型3.3.1几何概型3.3．2均匀随机数的产生阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四目录第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.2.2同角三角函数的基本关系1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象1.4.2正弦函数、余弦函数的性质探究与发现函数y=Asin(ωx+ψ)及函数y=Acos(ωx+ψ)的周期探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质1.4.3正切函数的性质与图象信息技术应用利用正切线画函数y=tanx，x∈（—，）的图象1.5函数函数y=Asin(ωx+ψ)的图象阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3．3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题必修五目录第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1．1.2余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3实习作业小结复习参考题第二章数列2.1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用估计的值2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4基本不等式：≤小结复习参考题选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程探究与发现为什么截口曲线是椭圆2.1.2椭圆的简单几何性质信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2双曲线2.2．1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的简单几何性质信息技术应用探究与发现为什么y=± x是双曲线－=1的渐近线2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3．2抛物线的简单几何性质探究与发现为什么二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其作用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念3.1.3导数的几何意义3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数3.3.2函数的极值与导数3.3.3函数的最大（小）值与导数信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理2.1.2演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2．2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3．2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算小结复习参考题第四章框图4．1流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程2.2椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程探究与发现为什么截口曲线是椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线2.3．1双曲线及其标准方程2.3.2双曲线的简单几何性质信息技术应用探究与发现为什么y=± x是双曲线－=1的渐近线2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程2.4．2抛物线的简单几何性质探究与发现为什么二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线阅读与思考一、圆锥曲线的光学性质及其作用二、圆锥曲线的离心率与统一方程小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算3.1.3空间向量的数量积运算3.1．4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念1.1. 3导数的几何意义1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数1.3.2函数的极值与导数1.3.3函数的最大（小）值与导数信息技术应用图形技术与函数性质1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念信息技术应用曲边梯形的面积1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用实习作业走进微积分小结复习参考题第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理阅读与思考平面与空间中的余弦定理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算阅读与思考代数基本原理小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率2.2.2事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布信息技术应用用计算机研究正态曲线随着μ，σ变化而变化的特点对正态分布的影响信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-1【没有找到书】第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质信息技术应用四直角三角形的射影定理第一讲小结第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-3选修4-4第一讲坐标系一平面直角坐标系1.平面直角坐标系2.平面直角坐标系中的伸缩变换二极坐标系1.极坐标系的概念2.极坐标和直角坐标的互化三简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程2.直线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介1.柱坐标系2.球坐标系阅读与思考笛卡尔、费马与坐标方法第二讲参数方程一曲线的参数方程1.参数方程的概念2.圆的参数方程3.参数方程和普通方程的互化二圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程信息技术应用圆锥曲线参数方程中参数的几何意义3.抛物线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线1.渐开线2.摆线阅读材料摆线及其应用学习总结报告选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一连分数附录二分数法德最优性证明附录三常用正交表选修4-8选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例。

人教A 版高中数学必修4（一）教学目标：1. 知识与技能：了解向量的实际背景及基本概念（一个定义，两种表示，三个概念，四种关系）2. 过程与方法：在掌握向量的表示,知道零向量单位向量和模，理解平行向量、相等向量、共线向量、相反向量的概念过程中感悟数形结合，类比推理等思想方法。

3. 情感态度与价值观：经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会数学抽象，直观感知等数学核心素养。

（二）教学重难点：2.难点：向量的定义和共线向量概念形成过程；向量共线与平行的等价性五、教学过程（一）教学流程（二）具体过程1.创设情境，建构定义【思考1】 图中物理量的比较？通过让学生继续举例既有大小又有方向的的物理量，引出向量概念：既有大小，又有方向的量叫做向量。

创设情境建构定义练习：判断下列说法是否正确:1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量。

（错误,因为温度没有方向）2.坐标平面上的x轴和y轴是向量。

（错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小）【问题2】辨析有向线段和向量两个既有联系又有区别的量。

【问题3】类比数量中地位特殊的数有0，1，尝试思考：向量中有特殊地位的向量是哪两个？那刻画它们的角度在哪？【问题4】单位向量唯一吗? 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?4.探究互动，引出关系【问题1】之前用“大小”代数角度给出了向量的三个衍生概念，现在利用“方向”几何中角度，尝试给出向量平行的含义。

【问题2】之前从向量方向的角度给出了向量间平行的关系，进一步，在之前研究角度上加上“大小”，尝试给出向量相等的含义。

解：相等向量: 长度相等且方向相同的向量【问题3】学生探究画图：尽可能多样的向量平行关系。

【问题4】类比相等向量含义。

尝试给出相反向量含义。

解：相反向量: 长度相等且方向相反的向量5.练习巩固，交流互动【例1】判断下面的说法是否正确.(1) 若a与b都是单位向量，则||||. （√）a ba b，则a与b的方向相同. （×）(2) 若//(3 物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量. （×）(4 若||0AB≠，则AB BA=. （×）【例2】如图，设ABCO是平行四边形形，角BCO=60°，问：（1），相等吗？（2）图中与向量模相等有哪些？（3）与向量共线的向量是？6. 课堂小结，作业布置1.学生交流学习体会、收获、感受：（1）了解向量的实际背景，能举出物理中的例子（2）向量的定义、表示、概念、关系（一个定义，两种表示，三个概念，四种关系）（3）从数量到向量，感悟类比思维认知过程。

2.1.3相等向量与共线向量教学目的：知识目标：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

教学重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

教学难点：向量的概念及对平行向量的理解。

教学过程：【活动阶段】通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些（物理）量问题1：（多媒体演示）老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？学生：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

教师分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量。

问题2：请同学指出现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？学生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向；教师分析：同学们所举的例子都是很典型的既有大小又有方向的量；在我们数学既有大小又有方向的量我们称之为向量。

点评：教师通过一个简单的“猫抓老鼠”的实例激发学生的学习兴趣，再通过分析结果解析猫抓不到老鼠的原因，从而引出有大小和方向的量，即向量；实例通俗易懂，有趣味，现象到抽象过度自然。

【过程阶段】通过分析实例，把具体实例抽象成数学问题，具体到普遍性，引导学生对向量由感性认识升华到对数学理论知识的理解，引导学生去总结发现数学概念中向量的定义问题3：通过前面的分析，同学们总结一下，向量的概念是什么？即满足什么条件的量才叫向量？学生：既有大小又有方向的量我们称之为向量；满足两个条件：①是有大小：②是有方向 点评：让学生自己发现，总结归纳出向量的概念（启发学生思考，激活他们的思维，让学生对向量概念有着深刻的印象）。

2.1.3 相等向量与共线向量教材分析本节内容是数学必修4第二章第一节的第二课，上一节介绍了向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量，本节介绍共线向量、相等向量等基本概念．本节课的教学重点是理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量；难点是从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．通过本节课的学习让学生明白向量不同于数量，它是一种新的量，在概念的理解学习上要充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解相等向量、共线向量的概念．教学目标重点:理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量．难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．知识点：相等向量、共线向量概念的理解.能力点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教育点：通过介绍相等向量、共线向量概念，给学生渗透平移变换及数形结合的思想.自主探究点：向量共线与所对应点共线的不同.考试点：正确理解平行向量、相等向量和共线向量的概念，并能区别.易错易混点：向量共线则对应点是否共线.拓展点：利用向量的方法证明直线与直线的平行问题．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、复习引入问题1：向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？【设计意图】复习回顾，便于学习新知．【设计说明】学生回答．引入：数学中，引进一个新的量后，为了进一步研究研究的需要，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．那么如何规定“相等向量”呢？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．【设计说明】教师指出相等向量正是我们接下来要探究的问题．二、探究新知探究一：相等向量探究概念思考1：因为向量完全由它的方向和模确定．对于两个非零向量a 、b ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【设计意图】主要看学生考虑问题是否全面，培养学生数学思维的严谨性． 【设计说明】让学生通过思考讨论出四种情形．思考2：我们知道两个向量不能比较大小，只有模等与不等，方向同与不同的区别，那么我们如何规定两个向量相等？【设计意图】结合问题1的分析，规定出相等向量的概念是非常自然的． 【设计说明】学生思考． 得出概念相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量． 说明：（1）向量a 与b 相等，记作a =b ；（2）零向量与零向量相等；思考3:在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段是否表示同一个向量？ 【设计意图】便于下面知识的说明． 【设计说明】学生口答．（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.【设计意图】加深对有向线段和向量的理解，便于学生正确理解相等向量的概念． 【设计说明】让学生独立思考，自己归纳总结． 理解概念思考4：对于非零向量AB 和CD ，如果AB =CD，通过平移使起点A 与C 重合，那么终点B 与D 的位置关系如何？ 生：重合．思考5：对于非零向量AB 和CD ，如果AB =CD，那么A 、B 、C 、D 四点的位置关系有哪几种可能情形？学生画图寻找答案【设计意图】进一步理解相等向量的概念． 【设计说明】学生口答．探究二：共线向量探究概念思考1：如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 生：方向相同或相反．思考2：两个向量的关系是什么？生：平行向量．思考3：将向量平移，不改变其长度和方向．如图，设a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与向量a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，分别作OA =a ，OB =b , OC=c ，那么点A 、B 、C 的位置关系如何？师生共同：生：A 、B 、C 三点共线．师总结：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量． 得出概念共线向量：平行向量也叫共线向量．这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上． 理解概念思考4：如果非零向量AB 和CD是共线向量，那么点A 、B 、C 、D 是否一定共线？生：四点不一定共线．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 【设计意图】进一步理解平行向量、共线向量的概念，区别相应直线平行、共线． 【设计说明】让学生结合上图自己归纳总结．三、理解新知弄清相等向量、平行向量、共线向量三者间的关系： 1.平行向量就是共线向量． 2.相等向量一定是共线向量． 3.共线向量不一定是相等向量．【设计意图】进一步理解相等向量、平行向量、共线向量三个概念，弄清它们的区别与联系． 【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．四、运用新知例1. 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC相等的向量．师生活动：学生口答，教师板书．解：OA CB DO == O B D CE O ==O C A B E D F O=== 变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）cbalOEF DCBA变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量OA 共线的向量有哪些？（,,CB DO FE）【设计意图】让学生巩固相等向量与共线向量的概念．【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯． 例2.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. (1)若两个单位向量共线，则这两个向量相等； (2)不相等的两个向量一定不共线；(3)向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；(4)两个向量相等当且仅当它们的起点相同，终点相同共线的向量； (5)若向量a 与b 共线，b 与c 共线,则向量a 与c 共线；(6)在四边形ABCD 中，向量AB ＝DC当且仅当ABCD 是平行四边形．解：(1) 不正确．相等向量要求大小相等且方向相同，而共线向量方向可以相反． (2) 不正确．方向相反的两个向量不相等但共线．(3) 不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量在同一直线上．(4) 不正确．如图AC 与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同．(5)b 可以是零向量． (6) 正确．引申：可利用向量的方法证明直线与直线的平行问题．【设计意图】让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念． 【设计说明】师生共同分析，学生自己找出错误的原因．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：(1)相等向量的定义． (1)共线向量的定义．(3)相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系． 2．思想：数形结合的思想．教师总结: 弄清相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系，并且明白平行向量、共线向量不是平面几何中的平行、共线问题．提醒学生：在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．六、布置作业1．书面作业必做题： 1.P77-78习题2.1 A 组 第3，4，5题2.在四边形ABCD 中，AB =DC ，且|AB |=|AD|，判断四边形ABCD 的形状．选做题： B 组 第2题 2．课外思考在四边形ABCD 中，AB =DC，且||||AC BD ，则四边形ABCD 是什么形状？【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生进一步理解向量的有关概念，起到让学生课下探索发现、预习新课的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是相等向量、共线向量的概念是在学生已有的知识基础上，通过观察、思考、总结、概括，并相互进行交流得出的，不是生硬的抛出，而是水到渠成．例题也是变讲为练，都是在学生独立思考后解决的，提高了学生理解问题的能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在概念的理解上下足功夫．3.本节课的弱项是由于时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，没有很好的调动学生的积极性与主动性．八、板书设计。