空间向量的共线与共面问题

空间向量的共线与共面解析在三维空间中，我们经常会遇到多个向量的关系问题，其中一个重要的问题就是判断向量的共线与共面关系。

本文将介绍空间向量的共线与共面解析方法。

一、共线向量的判断若存在实数k，使得向量a与向量b的每个分量同比例，则向量a 与向量b是共线的。

即可以表示为：a = kb对于三维空间中的两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，我们可以通过列向量的形式表示：⎛a1⎞⎛b1⎞⎜a2⎟ = k⎜b2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠其中a与b共线，k的值即为向量a与向量b的公比。

二、共面向量的判断若存在实数k1和k2，使得向量a、b和向量c的每个分量满足以下关系：a = k1b + k2c则向量a、b和向量c是共面的。

即可以表示为：⎛a1⎞⎛b1⎞⎛c1⎞⎜a2⎟ = k1⎜b2⎟ + k2⎜c2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠⎝c3⎠其中a、b和c共面，k1和k2分别为向量a与向量b和向量a与向量c的公比。

三、共线与共面解析举例假设有三个向量a=(1,2,3)，b=(2,4,6)和c=(3,6,9)，我们来判断它们的共线与共面关系。

1. 共线判断：a = 2b，即k=2，所以向量a与向量b是共线的。

2. 共面判断：我们可以将向量a表示为向量b和向量c的线性组合，即：a = 1b + 0c所以向量a、b和向量c是共面的。

通过上述例子，我们可以发现，共线向量满足每个分量同比例，而共面向量则满足每个分量都可以由其他向量线性表示。

结论：通过对空间向量的共线与共面解析，我们可以更好地理解向量之间的关系。

共线与共面关系在几何学和物理学中都有广泛的应用，对于求解问题和推导结论具有重要意义。

总结：在本文中，我们介绍了空间向量共线与共面的解析方法，并通过具体例子进行了解析。

通过这些方法，我们可以判断出向量的共线与共面关系，更好地应用于实际问题中。

对于进一步学习和应用向量的相关知识具有重要的参考价值。

空间向量探索性问题归纳题型一 空间向量共线、共面的探索性问题例1．下列给出的命题中：①如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =，6，6． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，则向量OA 可以与向量OA OB -和向量OA OB +构成不共面的三个向量．④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则MN 与OB 所成的角为4π． 是真命题的序号为( ) A ．①②④ B ．②③④C ．①②③D ．①④【答案】D【解析】①如果三个向量a ，b ，c 不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =±，6，6，因此不正确． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，向量OA OB -、向量OA OB +、向量OA 都可以用向量OA ，OB ，所以能构成共面的三个向量，③错误． ④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA 来表示，BC 的中点，如图所示， 不妨设2AB =．取AB 的中点为P ，连接MP ，PN ． 可得1PM PN ==，222MN AN AM =-=4PMN π∴∠=．则MN 与OB 所成的角为4π． 综上可得：真命题的序号为①④． 故选D ．例2．已知点(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若存在点D ，使得//DB AC ，//DC AB ，则点D 的坐标为( )A ．(1-，1，1)B ．(1-，1，1)或(1，1-，1)-C ．1(2-，12，1)2D ．1(2-，12，1)2或(1，1-，1)【答案】A【解析】设点D 的坐标为(x ，y ，)z//DB AC ，(DB x =-，1y -，)z -，(1AC =-，0，1)故：0x z +=，1y = 又//DC AB ，(DC x =-，y -，1)z -，(1AB =-，1，0)故1z =，1x =-故点D 的坐标为(1-，1，1) 故选A ．【解题技巧提炼】利用空间向量解决共线、共面问题技巧：(1)若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(2)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．(3)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量． (4)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．题型二 线面平行的探索性问题例1．如图，在正四棱锥S ABCD -中，AC BD O =，2SA AB ，P 在侧棱SD 上，SD ⊥平面PAC ．（1）求平面SAB 与平面PAC 所成的锐二面角的余弦值；（2）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ？若存在，求:SE EC 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）如图，连接BD ，设AC 交BD 于O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系O xyz -如图所示． 2SA =，不妨设2AB =2SA =，1OA OB OC OD ====，3SO =由题意得(0S ，03)，(1D -，0，0)，(0A ，1-，0)，(1B ，0，0)，∴(0SA =，1-，3)-，(1SB =，0，3)-，设平面SAB 的一个法向量为(m x =，y ，)z ， 则有3030y z x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，可取(3m =，3-1)，SD ⊥平面PAC ，∴平面PAC 的一个法向量为(1SD =-，0，3)，设平面SAB 与平面PAC 所成的锐二面角为θ， cos |cos m θ∴=<，|303|21|331103SD -+->==++⨯++， ∴平面SAB 与平面PAC 21 （2）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．在SC 上取一点E ，连接EB ，由（1）设(E a ，b ，)c ，且SE SD λ=，即(a ，b ，3)(0c λ-=，1，3)-，可得0a =，b λ=，33c λ，即(0E ，λ33)λ，∴(1BE =-，λ33)λ，平面PAC 的一个法向量(1SD =-，0，3)-，若//BE 平面PAC ，则0BE SD ⋅=，即10330λ+-+=，解得23λ=，故2:3SE SC =， 侧棱SC 上存在一点E ，使得//BE 平面PAC ，且:2:1SE EC =． 例2．如图，已知平行四边形ABCD ，4AB =，6BC =，3ABC π∠=，E ，F 分别为线段BC ，AD 上的点，且42,9BE EC AF AD ==，现将ABE ∆沿AE 翻折至△1AB E ． （Ⅰ）在线段1B C 上是否存在点M ，使得//FM 平面1AB E ，若存在，求1B MMC的值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）当三棱锥1D AB E -的体积达到最大时，求直线1B C 与平面1ADB 所成角的余弦值．【答案】()I 存在这样的点M ，理由如下：如图，取1B C 的三等分点为M ，取EC 上靠近点C 的三等分点为N ，连接MN ，NF ，在△1CB E 中，113CM CN CB CE ==，1MCN B CE ∠=∠，CMN ∴∆∽△1CB E ，1CMN CB E ∴∠=∠，1//NM B E ∴，又1B E ⊂平面1AB E ，MN ⊂/平面1AB E ，//MN ∴平面1AB E ，49AF AD =，83AF ∴=，2BE EC =，6BC =，4EC ∴=， N 为EC 上靠近点C 的三等分点，83EN ∴=，AF EN ∴=，又//AF EN ，∴四边形AENF 为平行四边形，//FN AE ∴， 又AE ⊂平面1AB E ，FN ⊂/平面1AB E ，//FN ∴平面1AB E ， FNM N N =，∴平面//FMN 平面1AB E ，又FM ⊂平面FMN ，//FM ∴平面1AB E ，此时12B MMC= ()II 如图，过点E 作1EG AB ⊥，垂足为G ，当三棱锥1D AB E -的体积达到最大时，平面1AB E ⊥平面ABCD ， 由4AB =，6BC =，3ABC π∠=，2BE EC =，得2BEA π∠=，即AE BC ⊥，AE AD ∴⊥，又平面1AB E ⊥平面ABCD ，平面1AB E ⋂平面ABCD AE =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面1AB E ，又AD ⊂平面1AB D ，∴平面1AB E ⊥平面1AB D ，又1EG AB ⊥，平面1AB E ⋂平面11AB D AB =，EG ⊂平面1AB E ，EG ∴⊥平面1AB D ，//CE AD ，AD ⊂平面1AB D ，CE ⊂/平面1AB D ，//CE ∴平面1AB D ，即点C 到平面1AB D 的距离等于点E 到平面1AB D 的距离，即为EG ，得3EG ， 由//CE AD ，AD ⊥平面1AB E ，可知1CE CE B E ⊥∴⊥， 在Rt △1B EC 中，12B E =，4EC =，15B C ∴= 设直线1B C 与平面1ADB 所成角为θ， 315sin 25θ∴==85cos θ∴= ∴直线1B C 与平面1ADB 85【解题技巧提炼】 线面平行的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．题型三 平行与垂直的综合探索问题1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点． （Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面1AEC ； （Ⅱ）求直线AC 与平面1AEC 所成角的正弦值；（Ⅲ）若线段1A B 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，试确定M 的位置，并说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：由题意知AE BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，1BB AE ∴⊥， 1BB BC B ⊥=，AE ∴⊥平面11B BCC ，AE ⊂平面1AEC ，∴平面11B BCC ⊥平面1AEC ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则(0A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(1E ，1，0)，1(0C ，2，2)， 则(0AC =，2，0)，(1AE =，1，0)，1(0AC =，2，2)， 设平面1AEC 的法向量(m x =，y ，)z ，则10220m AE x y m AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1m =，1-，1)， 设直线AC 与平面1AEC 所成角为θ， 则直线AC 与平面1AEC 所成角的正弦值为： ||23sin ||||32m AC m AC θ⋅===⋅⨯．（Ⅲ）1(2B ，0，2)，(2B ，0，0)，1(0A ，0，2)，设(M x ，0，)y ， 则1(2BA =-，0，2)，(2BM x =-，0，)y ， 1//BA BM ，∴222x y-=-，2y x ∴=-，(M x ∴，0，2)x -， 1(2B M x =-，0，)x -，1(1C E =，1-，2)-， 11B M C E ⊥，∴11220B M C E x x ⋅=-+=，解得23x =， 24(,0,)33M ∴为1BA 靠近1A 的三等分点．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===． （1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求直线AD 与平面DEF 的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：作AB 的中点H ，连接EH ，FH ，在PAB ∆中，E ，H 为中点，//EH PB ∴，EH ⊂/平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，//EH ∴平面PBC ，同理可证明//FH 平面PBC ，EH ⊂平面EFH ，FH ⊂平面EFH ，EH FH H =，∴平面//EFH 平面PBC ，EF ⊂平面EFH ，//EF ∴平面PBC ；（2）解：以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 分别为xyz 轴建立空间直角坐标系， 则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(1D -，0，0)，(P ，0，03)，1(2E ，03)，(0F ，1，0)，∴3(2DE E =，03)，(1DF =，1，0)，设平面EFD 的一个法向量是(n a =，b ，)c ，3302n DF a b n DE a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1a =，则(1n =，1-，3)-， 又(2AD =，0，0)，设直线AD 与平面DEF 所成的角为θ， 则sin |cos n θ=<，5|52AD >==⨯ ∴直线AD 与平面DEF 5；（3）解：不存在．理由：假设存在，连接AC ，BD ，交于点F ，EF 为平面EDF 和平面PAC 的交线， 设1(G x ，1y ，1)z ，则1(FG x =，11y -，1)z ，由（2）可知平面EFD 的一个法向量是(1n =，1-，3)-， 因为GF ⊥平面EDF ，∴FG n λ=，1x λ∴=，11y λ-=-，13z λ=，GC ，PC 共线，(1PC =-，2，3)-，1(1CG x =+，12y -，1)z ， ∴11112123x y +-==--，∴113123λλλ=---==--，无解， 故在棱PC 上不存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF ． 【解题技巧提炼】平行与垂直的综合探索问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系．题型四 空间向量线面角、二面角的探索性问题例1．已知边长为6的等边ABC ∆中，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =，沿MN 将AMN ∆折起到△A MN '的位置，使90A MB '∠=︒． （1）求证：A M '⊥平面MBCN ；（2）在线段BC 上是否存在点D ，使直线A D '与平面A MB '所成角为60︒？若存在，求BD ；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：90A MB ∠'=︒，A M MB ∴'⊥，在△A MN '中，123A M AM AB '===，243A N AN CA '===，由余弦定理得2222cos60MN AM AN A M A N =+-'⋅'︒1416224122=+-⨯⨯⨯=， 23MN ∴=，222A M MN A N ∴'+='，A M MN ∴'⊥， MNM B M =，A M '∴⊥平面MBCN ；（2）由（1）得A M '，BM ，MN 两两垂直，∴以M 为坐标原点，MB ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A '，0，2)，假设存在点D ，BD m =，(06)m ，使得直线A D '与平面A MB '所成角为60︒，1(42D m ∴-3,0)， ∴1(42AD m =-3，2)-，平面A MB '的向法量为(0n =，1，0)，则223|32sin 60|cos ,|13(4)()422n A D m m '︒=<>==-++，解得5m =，符合要求， ∴线段BC 上存在点D ，使直线A D '与平面A MB '所成角为60︒，5BD =．例2．如图1，在平面四边形PDCB 中，//PD BC ，BA PD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =．将PAB ∆沿BA 翻折到SAB ∆的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示．（1）设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC l ⊥；（2）在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角Q BD C --的余6，请说明理由．【答案】（1）证明：延长BA ，CD 相交于点E ，连接SE ，则SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l ．证明如下：由平面SAB ⊥平面ABCD ，BA AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， 且平面SAB ⋂平面ABCD AB =，所以AD ⊥平面SAB ， 又由//AD BC ，所以BC ⊥平面SAB ，因为SE ⊂平面SAB ，所以BC SE ⊥，所以BC l ⊥． （2）解：由（1）知：SA AB ⊥，AD AB ⊥，SA AD ⊥，以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(,0,0),(0,0,1)2A B C D S ，则1(,1,0)2BD =-，设SQ SC λ=（其中01)λ<<，则(Q λ，λ，1)λ-，所以(,1,1)BQ λλλ=--， 设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，则1?02(?1)(1?)0n BD x y n BQ x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=++=⎩，令2x =，可得131,1y z λλ-==-，所以13(2,1,)1n λλ-=-， 又由SA ⊥平面BDC ，所以平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 则213||61cos ,||||135()11m n m n m n λλλλ-⋅-〈〉===⋅-+⋅-，解得12λ=， 所以存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --6 【解题技巧提炼】空间向量线面角、二面角求解方法有以下两种： (1)根据条件作出判断，再进一步论证．(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．题型一 空间向量共线、共面的探索性问题1．下列四个命题中，正确命题的个数是( )①若{,,}a b c 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使得p xa yb zc =++；②若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是,a b ，则////l m a b ⇔；③若{,,}OA OB OC 是空间的一个基底，且111333OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v ，且(1,2,2),(2,4,4)u v =-=--，则//αβ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由空间向量基本定理可知，若{,,}a b c 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使得p xa yb zc =++，故选项①正确；若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是,a b ，则////l m a b ⇔，故选项②正确；若{,,}OA OB OC 是空间的一个基底，且111333OD OA OB OC =++，所以11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-，则1133AD AB AC =+， 所以A ，B ，C ，D 四点共面，故选项③正确；两个不同平面α，β的法向量分别是,u v ，且(1,2,2),(2,4,4)u v =-=--， 因为2v u =-， 所以//v u ，则//αβ，故选项④正确． 故选D ．2．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12AA =，空间中存在一动点P 满足1||1B P =，记1I AB AP =⋅，2I AD AP =⋅，31I AC AP =⋅，则( )A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有12I I >D ．对任意的点P ，有23I I >【答案】C【解析】如图所示建立如图所示的空间直角坐标系，以11B A 为x 轴，11B C 为y 轴，1B B 为z 轴，1B 为坐标原点，由题意则(0B ，0，2)，(4A ，0，2)，(4D ，3，2)，1(0C ，3，0)，设(P x ，y ，)z ，所以(4AB =-，0，0)，(4AP x =-，y ，2)z -，(0AD =，3，0)，1(4AC =-，3，2)-，1(B P x =，y ，)z ，因为满足1||1B P =，所以2221x y z ++=，[1x ∈-，1]，[1y ∈-，1]，[1z ∈-，1]，14(4)I AB AP x ∴=⋅=--，23I AD AP y ∴=⋅=314(4)32(2)I AC AP x y z ∴=⋅=--+--，124(4)316430I I x y x y -=---=-->恒成立，故C 正确，A 不正确； 1332(2)4320I I y z y z -=-+-=--+<恒成立，所以B 不正确，234(4)2(2)12420I I x z x z -=-+-=-++<恒成立，所以D 不正确；故选C ．题型二 线面平行的探索性问题1．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，且AB BE AE CE ===，BC DC =．（1）在线段AB 上是否存在点G ，使得//DF 平面CEG ，若存在，求出BGAB的值；若不存在，请说明理由；（2）求直线DF 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】（1）假设在线段AB 上存在点G ，使得//DF 平面CEG ， 连接BF ，取BF 中点H ，连接EH ，则//EH DF ， 连接CH ，并延长交AB 于点G ，连接GE ， 则//DF 平面CEG ，在ABC ∆中，设BA BG λ=，则111()()224BH BF BC BA BC BG λ==+=+， C ，H ，G 三点共线，∴1(1)14λ+=，3λ∴=，∴13BG AB =． （2）由题可知ABD ∆是直角三角形，30DAE ∠=︒，BCD ∆为等腰直角三角形，CE BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ， CE ∴⊥平面ABD ，CE AE ∴⊥，设1AB =，则3AD =，2CD =，2AC = 由2222(2)2()DF AC AD CD +=+，可知2DF =，CE ⊥平面ABD ，∴平面ACE ⊥平面ABD ，过点D 作DM AE ⊥，交延长线于点M ，则DM ⊥平面ACE ， 连接FM ，则DFM ∠即为直线DF 与平面ACE 所成角， 在Rt ABD ∆中，30DAE ∠=︒，3AD =，3DM ∴= 6sin DM DFM DF ∴∠=， ∴直线DF 与平面ACE 62．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值；（Ⅱ）在棱11C D 上是否存在一点F ，使1//B F 平面1A BE ？证明你的结论．【答案】()I 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2B ，0，0)，(0E ，2，1)，所以(2BE =-，2，1)， 由正方体1111ABCD A B C D -可知AD ⊥平面11ABB A ，所以可取(0AD =，2，0)为平面11ABB A 的法向量，设直线BE 与平面11ABB A 所成角为θ， 则sin |cos BE θ=<，2|34412AD >=++⨯， 所以直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23； ()II 存在这样的点F ，使1//B F 平面1A BE ．假设棱11C D 上是存在一点(F m ，2，2)(02)m ，使1//B F 平面1A BE ． 由()I 知(2B ，0，0)，1(0A ，0，2)，1(2B ，0，2)， ∴(2BE =-，2，1)，1(2BA =-，0，2)，设平面1A BE 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则1220220n BE x y z n BA x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，12y =，∴平面1A BE 的一个法向量为(1n =，12，1)， 又1(2B F m =-，2，0)，由1(1n B F ⋅=，12，1)(2m ⋅-，2，0)0=， 2100m ∴-++=，1m ∴=，∴棱11C D 上是存在一点F ，使1//B F 平面1A BE ．题型三 平行与垂直的综合探索问题1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PD 的中点，1AB =，2AD AP ==． （Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）求平面ACE 与平面PAB 夹角的余弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 的中点，则棱PA 上是否存在一点G ，使得PC ⊥平面EFG ．若存在，求线段AG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】证明：()I 因为底面ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)，(0E ，1，1)，所以(1,2,0),(0,1,1),(1,0,2)AC AE PB ===-． 设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩取1y =，则2x =-，1z =-．所以(2,1,1)n =-- 是平面ACE 的一个法向量． 因为0n PB ⋅=，且PB ⊂/平面ACE ， 所以//PB 平面ACE ． 解：()II由()I 可知AB AD ⊥，PA AD ⊥， 又因为PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ．所以(0,2,0)AD = 是平面PAB 的一个法向量． 设平面ACE 与平面PAB 的夹角为θ， 则||26cos |cos(,|||||26AD n AD n AD n θ⋅=〉===⋅⨯，所以平面ACE 与平面PAB 6． ()III 因为F 为PC 的中点，所以1(,1,1)2F ，所以1(,0,0)2EF =．又因为(1,2,2)PC =-，所以102EF PC ⋅=≠， 所以EF 与PC 不垂直． 而EF ⊂平面EFG ，所以棱PA 上不存在点G ，使得PC ⊥平面EFG ．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =． （1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求平面11A BC 与平面11B BC 夹角的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．【答案】（1）证明：因为四边形11AA C C 是正方形， 则1AA AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11AA C C ，平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，AA ⊂平面11AA C C ， 所以1AA ⊥平面ABC ；（2）解：因为4AC =，5BC =，3AB =，则222AC AB BC +=， 所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则1(0A ，0，4)，(0B ，3，0)，1(0B ，3，4)，1(4C ，0，4)， 所以11(4,3,4),(0,3,4)BC BA =-=-，1(0,0,4)BB =， 设平面11A C B 的法向量为(,,)n x y z =， 则114340340n BC x y z n BA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4y =，则0x =，3z =， 故(0,4,3)n =，设平面11B C B 的法向量为(,,)m a b c =， 则11434040m BC a b c m BB c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令3a =，则4b =， 故(3,4,0)m =， 所以||1616|cos ,|||||5525m n m n m n ⋅<>===⨯， 故平面11A BC 与平面11B BC 夹角的余弦值为1625； （3）解：设点D 的竖坐标为(04)t t <<，在平面11BCC B 中，作DE BC ⊥于点E ，则3(,(4),)4D t t t -，所以3(,(4),)4AD t t t =-，由（1）可知，1(0,3,4)A B =-， 因为1AD A B ⊥，则190(4)404AD A B t t ⋅=+--=，解得3625t =， 所以11925BD DE BC CC ==．题型四 空间向量线面角、二面角的探索性问题1．已知ABC ∆是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =，沿MN 将AMN ∆折起到△A MN '的位置，使90A MB '∠=︒． （1）求证：A M '⊥平面MBCN ；（2）在线段BC 上是否存在点D ，使平面A ND '与平面A MB '所成锐二面角的余弦值为39若存在，设(0)BD BC λλ=>，求λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明ABC ∆是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =， 2AM ∴=，4BM =，4AN =，2CN =，60A ∠=︒，∴由余弦定理得22212cos 416224122MN AM AN AM AN A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 222124MN AM AN ∴+=+=，MN AB ∴⊥，MN MB ∴⊥．MN A M ⊥'，90AMB ∴∠=︒，A M MB ∴'⊥，MNM B M =，A M '∴⊥平面MBCN ；（2）解：由（1）知MB ，MN ，MA '两两垂直，∴以M 为坐标原点，MB ，MN ，MA '所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则(0A '，0，2)，(0M ，0，0)，(0N ，230)，(4B ，0，0)，(1C ，330)， ∴(0MN =，230)，(0MA '=，0，2)，(0NA '，23-，2)，(3BC =-，330)，MN MB ⊥．MN A M ⊥'，MN M B M =，MN ∴⊥平面AMB ，∴(0MN =，230)为平面AMB 的一个法向量，假设线段BC 上存在点D ，设(0)BD BC λλ=>，则((3BD λ=-，33，0)(3λ=-，33λ，0)，(43D λ∴-，33λ，0)(01)λ<<，∴(43A D λ'=-，33λ，2)-，设平面A ND '一个法向量为(m x =，y ，)z ，则2320(43)3320m NA z m A D x y z λλ⎧⋅'=-+=⎪⎨⋅'=-+-=⎪⎩，令3z =2333(4m λ-=-，13)，平面A ND '与平面A MB '39， |cos m ∴<，2||2339||||||233323()1343m MN MN m MN λλ⋅>===⋅-⨯++- 化简得223(6313276)13(43)λλλ-+=-，2182150λλ-+=，解得13λ=或56λ=， 所以在线段BC 上存在点D ，使平面A ND '与平面A MB '所成锐二面角的余弦值为39，此时13λ=或56λ=． 2．如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4BC AC ==，D ，E 分别是AC ，AB 边上的中点，将ADE ∆沿DE 折起到△1ADE 的位置，使11AC A D =，如图2． （1）求点C 到平面1A BE 的距离；（2）在线段CB 上是否存在一点P ，使得平面1A DP 与平面1A BE 夹角的余弦值为3105．若存在，求出CP 长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，因为D ，E 分别是AC ，AB 边上的中点， 所以//DE BC ，12DE BC =， 所以DE AC ⊥，所以1DE A D ⊥，DE DC ⊥， 因为1A DDC D =，所以DE ⊥平面1A DC ，所以BC ⊥平面1A DC ，因为1A C ⊂平面1A DC ，所以lBC AC ⊥， 所以221141625A B AC BC =++= 因为BC ⊥平面1A DC ，BC ⊂平面BCDE ， 所以平面1A DC ⊥平面BCDE ，因为4BC AC ==，所以12A D DC DE ===， 因为11AC A D =，所以△1A DC 是等边三角形， 取DC 的中点O ，连接1A O ，则11,3A O DC A O ⊥=因为平面1A DC ⊥平面BCDE ，平面1A DC ⋂平面BCDE DC =，1A O ⊂平面1A DC ， 所以1A O ⊥平面BCDE ， 在△1A BE 中，122A E BE ==所以1A B 边上的高为22(22)(5)3h =- 所以1112531522B A BESA B h =⋅=⨯= 在梯形BCDE 中，142BCE BCD S S BC CD ∆∆==⋅=， 设点C 到平面1A BE 的距离为d ，因为11C A BE A BCE V V --=，所以111133A BE BCE Sd S AO ∆⋅=⋅， 1543d =45d =，所以点C 到平面1A BE 45， （2）由（1）可知1A O ⊥平面BCDE ，1AO DC ⊥， 所以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则13),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),(1,0,0)A E B D C --， 设(0,4,0)(0,4,0)(01)CP CB λλλλ===，则11(1,0,3),(2,4,0),(1,2,3),(2,2,0)A D DP DC CP A E EB λ=--=+==--=， 设平面1A DP 的法向量为(m x =，y ，)z ，则130240m A D x z m DP x y λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3y =，则(233,2)m λλ=-， 设平面1A BE 的法向量为(n a =，b ，)c ，则1230220n A E a b c n EB a b ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3a =，则(3,3,3)n =-， 则平面1A DP 与平面1A BE 夹角的余弦值为 2|||63105|cos ,|||||15163m n m n m n λλ⋅〈〉===⋅+两边平方得222(123)27,325620015(316)35λλλλ+=-+=+， 解得12λ=或54λ=（舍去）， 所以12CP CB =，所以122CP CB ==．1．下列给出的命题中：①如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =，6，6)． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，则向量OA 可以与向量OA OB -和向量OA OB +构成不共面的三个向量．④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则MN 与OB 所成的角为4π． 是真命题的序号为( ) A ．①②④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①④【答案】D【解析】①如果三个向量a ，b ，c 不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =±，6，6，因此不正确． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，向量OA OB -、向量OA OB +、向量OA 都可以用向量OA ，OB ，所以能构成共面的三个向量，③错误．④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA 来表示，BC 的中点，如图所示， 不妨设2AB =．取AB 的中点为P ，连接MP ，PN ． 可得1PM PN ==，222MN AN AM -=4PMN π∴∠=．则MN 与OB 所成的角为4π． 综上可得：真命题的序号为①④． 故选D ．2．已知点(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若存在点D ，使得//DB AC ，//DC AB ，则点D 的坐标为( )A ．(1-，1，1)B ．(1-，1，1)或(1，1-，1)-C ．1(2-，12，1)2D ．1(2-，12，1)2或(1，1-，1)【答案】A【解析】设点D 的坐标为(x ，y ，)z//DB AC ，(DB x =-，1y -，)z -，(1AC =-，0，1)故：0x z +=，1y = 又//DC AB ，(DC x =-，y -，1)z -，(1AB =-，1，0)故1z =，1x =-故点D 的坐标为(1-，1，1) 故选A ．3．若存在实数x ，y ，z 使OP xOA yOB zOC =++成立，则下列判断正确的是( ) A ．对于某些x ，y ，z ，向量组{PA ，PB ，}PC 不能作为空间的一个基底B ．对于任意x ，y ，z ，向量组{PA ，PB ，}PC 都不能作为空间的一个基底 C ．对于任意x ，y ，z ，向量组{PA ，PB ，}PC 都能作为空间的一个基底D ．根据已知条件无法作出相应的判断 【答案】A【解析】若1x y z ++=，则A ，B ，C ，P 四点共面，故{PA ，PB ，}PC 不能作为空间的一个基底，故A 正确，C 错误；若P ，A ，B ，C 为三棱锥的4个顶点，即A ，B ，C ，P 不在同一个平面上， 则向量组{PA ，PB ，}PC 都能作为空间的一个基底，故B 错误． 故选A ．4．在下列四个命题中：①若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；②向量(2,1,2),(4,2,)a b m =-=-，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为5m <； ③直线1x y a b +=的一个方向向量为(1,)ba-； ④若存在不全为0的实数x ，y ，z 使得0xa yb zc ++=，则,,a b c 共面． 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①因为向量是可自由平移的，向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 也可能共面，故命题①不正确；②(2,1,2),(4,2,)a b m =-=-，若a 与b 的夹角为钝角， 则8220a b m ⋅=--+<，且21242m-=≠-， 解得5m <，且4m ≠-，故命题②不正确； ③直线1x y a b +=的斜率为b a -，所以直线1x y a b +=的一个方向向量为(1,)ba-，故命题③正确；④实数x ，y ，z 不全为0，不妨设0x ≠，则()()y za b c x x =-+-，由共面向量定理知,,a b c 一定共面，故命题④正确．故选C ．5．在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点．设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则()A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得4FDB π∠=C ．存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DACD ．存在某个位置，使得6πα=【答案】C 【解析】如图，设正四面体D ABC -的底面中心为O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，以OB ，OD 所在直线分别为x ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为2， 则3(A 1-，0)，3(C 1，0)，23(B 0，0)， 3(E 13-，0)，(0D ，026． 设3(F ，λ，0)(11)λ-， 若存在某个位置，使得DE BF ⊥，则3126(,,)(3,,0)0333DE BF λ=---=，即3λ=-，不合题意，故A 错误； 若存在某个位置，使得4FDB π∠=，即2cos ,2||||DF DB DF DB DF DB <>==， ∴23262326(,)(,0,2333332λλ+⨯B 错误；326(1,3DA =--，326(3DC =-， 设平面DAC 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则3260332603m DA y m DC y ⎧=---=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，取1z =-，得(22,0,1)m =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则312603332603n DE x y n DF y λ⎧=--=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩，取1z =，得622246(3n λλ+=，若存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DAC ，则6222221031λλ+-=-，解得9[121λ=-∈-，1]． 故C 正确；设平面DBF 的一个法向量为(,,)v x y z =，则23260332603v DB v DF y λ⎧==⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩，取2x ，得6(2,v λ=，若存在某个位置，使得6πα=，则26626|1333sin |cos ,|||62||||27633v DE v DE V DE πλλ==<>==⨯+ 整理得：254120λλ-+=，此方程无解，故D 错误． 故选C ．6．已知向量(1a =，3-，2)，(2b =-，1，1)，点(3A -，1-，4)，(2B -，2-，2)．则|23|a b += ；在直线AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，则点E 的坐标为 ．746142(,,)555--【解析】向量(1a =，3-，2)，(2b =-，1，1)， ∴23(2a b +=，6-，4)(6+-，3，3)(4=-，3-，7)，222|23|(4)(3)774a b ∴+=-+-+点(3A -，1-，4)，(2B -，2-，2)．在直线AB 上，存在一点E ，∴(3OE OA AE OA t AB =+=+=-，1-，4)(1t +，1-，2)(3t -=-+，1t --，42)t -， OE b ⊥，∴621420OE b t t t ⋅=---+-=，解得95t =． ∴点E 的坐标为6142(,,)555--．746142(,,)555--．7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若存在实数x ，y ，z ，使向量1BM xAB y AD z AA =++，则23x y z ++= ．【答案】72【解析】11BM BB B M =+111111()2AA B A B C =++11122AB AD AA =-++，又1BM xAB y AD z AA =++，∴11,,122x y z =-==，∴17231322x y z ++=-++=．故答案为：72． 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，P 在平面ABCD 的投影为边AD 的中点O ，3ABC π∠=，4BC =，1AB =，3PO =．（1）求证：AB ⊥平面POC ；（2）在线段PB 上，是否存在一点E ，使得平面POC 与平面EOC 的夹角的余弦值为310E 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：在OCD ∆ 中，由余弦定理，可得2222cos OC CD OD CD OD CDA =+-⋅⋅⋅∠14212cos33π=+-⨯⨯⨯=，∴3OC222OC CD OD ∴+=，CD OC ⊥，由题易知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， OCPO O ∴=，CD ∴⊥平面POC ，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB ∴⊥平面POC ．（2）取BC 的中点F ，连接OF ，则OF ，OP ，OC 两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：则(3,2,0),(0,0,3),(3,0,0),(3,2,0)B P C OB -=， (3,0,0),(3,2,3)OC BP =-=--，设(3,2,3)(01)BE BP i λλλλ==--<<， (33,22,3)OE OB BE λλλ=+=-，易知平面POC 的一个法向量为(0m =，1，0)， 设平面OCE 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则30(33)(22)30OC n x OE n x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，令2z =-，得3(0,,2)1n λλ-=-+， 由题得23||3101|cos ,|103()41m n λλλλ-〈〉==+-，解得23λ=，所以当点E 为线段BP 靠近点P 的三等分点时，满足题意；9．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，E ，F 分别在边AB ，AC 上，且2AE AF ==，M 为BC 边的中点，AM 交EF 于点O ，沿EF 将AEF ∆折到DEF 的位置，使15DM = （1）证明：DO ⊥平面EFCB ；（2）若平面EFCB 内的直线//EN 平面DOC ，且与边BC 交于点N ，问在线段DM 上是否存在点P ，使二面角P EN B --的大小为60︒？若存在，则求出点P ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：在DOM ∆中，由题意3DO =，3OM 15DM = 222DM DO OM =+，DO OM ∴⊥， 2AE AF ==，3AB AC ==，//EF BC ∴， M 为BC 中点，AM BC ∴⊥，DO EF ∴⊥，EF OM O =，EF ，OM ⊂平面EBCF ，DO ∴⊥平面EBCF ．（2）连接OC ，过E 作//EN OC ，交BC 于N ，OC ⊂平面DOC ，EN ⊂/平面DOC ，//EN ∴平面DOC ，//OE CN ，∴四边形OENC 是平行四边形，1OE NC ∴==，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，设DP DM λ=，(01)λ，(0D ，03)，(0M 3，0)，(1E ，0，0)，1(2N -3，0)， ∴(0DM =3，3)-，33(2EN =-， 3(0,,3)DP λ=，(1EP ED DP =+=-333)λ， 平面ENB 的法向量(0n =，0，1)，设平面ENP 的法向量(m x =，y ，)z ，则33023(33)0m EN x y m EP x y z λ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得(1m =331233λλ--， 在线段DM 上存在点P ，使二面角P EN B --的大小为60︒，2312||||33cos60||||31213()33n m n m λλλ-⋅-∴︒==⋅-++-，解得2λ=（舍)或67λ=， 此时，6(07DP DM ==33，63，∴在线段DM 上存在点P ，使二面角P EN B --的大小为60︒，P 点坐标为(033，3)．。

选修第讲空间向量的共线与共面一、考纲要求．理解共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件及坐标表示。

．了解空间向量的基本定理及其意义；熟练使用空间向量垂直的充要条件及坐标表示。

二、知识梳理回顾要求.阅读教材第页，了解共线向量定理的内容，并与平面向量共线的充要条件作比较，看是否一致？.阅读教材第页～页，了解什么样的向量是共面向量？了解空间任意一个向量与两个不共线向量共面时，他们之间存在怎样的关系？.比较空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理的内容，数学表达形式，并思考它们的本质是否一致？.对于教材第页的例，如何判断四点共面呢？请学生先思考：对于空间任意一点,试问满足向量关系,（其中）的三点是否共线？要点解析.共线向量定理的学习过程中，请思考以下两个问题：（）当实数时，表示什么意思？（）充要条件中为什么规定？.共面向量还理解为“平行于同一平面的向量”，那么如何利用共面向量定理证明线面平行呢？可阅读教材第页例.. 空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的，因为任意两个空间向量都可以平移到同一个平面，当不共线时，可以作为基向量，向量与它们共面，也就是向量可以平移到这个平面，所以就能用线形表示。

.空间四点共面对空间任意一点，,且.做教材页练习第题，在上述的基础上，思考如何证明面面平行？三、诊断练习.下列说明正确的是．（）.在平面内共线的向量在空间不一定共线；（）.在空间共线的向量在平面内不一定共线；（）.在平面内共线的向量在空间一定不共线；（）.在空间共线的向量在平面内一定共线．【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解向量共线与直线共线的区别，在平面内共线的向量在空间一定共线，根据向量的平移性，在空间共线的向量在平面上一定共线．教学时，教师要向学生讲清共线向量不一定在一条线上，平行向量不一定就是真平行，也可以是在一条线上。

因此若证明两条直线平行时先有：时还需要说明直线与还不在一条直线上．.下列说法正确的是．（）.平面内的任意两个向量都共线；（）.空间的任意三个向量都不共面；（）.空间的任意两个向量都共面；（）.空间的任意三个向量都共面【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解向量共面与直线共面的区别，空间任两个向量可以通过平移的方式使它们共面，但任意三个向量不一定共面．.对于空间任意一点，下列命题正确的是．（）.若，则、、共线；（）.若，则是的中点；（）.若，则、、不共线；（）.若，则、、共线．【教学建议】对于三点共线的处理，要求能够根据条件找出．、已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？分析：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．证明四点共面（注：要有公共点）形式为：存在实数，使得：（公共点）；或者存在实数，对空间任一点，有；或存在实数,对空间任一点，变式：在下列条件中，使与，，一定共面的是（填序号）①；②③；④三、诊断练习、教学处理：诊断练习由学生课前完成，教师根据学生完成情况进行诊断分析，帮助学生进行知识点梳理，然后进行方法归纳，总结出空间向量平行和线面平行的向量法证明的有关理论知识和基本的证明步骤。

_第3课__空间向量的共线与共面____1. 理解共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件及坐标表示.1. 阅读：选修21第82～88页.基础诊断1. 对于空间任意一点O ，下列命题正确的是________．(填序号) ①若OP →＝OA →＋tAB →，则P ，A ，B 三点共线； ②若3OP →＝OA →＋AB →，则P 是AB 的中点； ③若OP →＝OA →－tAB →，则P ，A ，B 三点不共线； ④若OP →＝－OA →＋AB →，则P ，A ，B 三点共线．2. 已知向量a ＝m i ＋5j －k ，b ＝3i ＋j ＋r k ，若a ∥b ，则实数m ＝________，r ＝________．3. 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________．(填序号)①OM →＝OA →＋OB →＋OC →； ②OM →＝2OA →－OB →－OC →； ③OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →；④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.范例导航考向例1 在空间四边形ABCD 中，AC 和BD BD 上的一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝__________________．如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c，用基底{a，b，c }表示向量MN→＝________________________________________________________________________.考向例2 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1的点，且D 1P ∶PA ＝DQ ∶QB ＝5∶12.(1) 求线段PQ 的长度； (2) 求证：PQ ⊥AD ；(3) 求证：PQ ∥平面CDD 1C 1.如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1) AE ⊥CD ；(2) PD ⊥平面ABE.自测反馈1. 若A(m ＋1，n －1，3)，B(2m ，n ，m －2n)，C(m ＋3，n －3，9)三点共线，则m ＋n ＝________．2. 设点A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下几个条件：①OD →＝OA →＋12OB →＋12OC →；②OD→＝12OA →＋13OB →＋14OC →；③OD →＝12OA →＋13OB →＋15OC →；④OD →＝12OA →＋13OB →＋16OC →.其中能够使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)3. 向量a ＝(8，3，13)，b ＝(2，3，5)，c ＝(－1，3，1)________共面．(填“是”或“不是”)1. 用基底表示空间向量，作为基底的三个向量要不共面，注意上面题目中的基底是否共面？2. 四点共面成立的充要条件是什么？证明线面平行需要交代线不在平面内．3. 你还有哪些体悟，写下来：第3课 空间向量的共线与共面基础诊断1. ① 解析：①若OP →＝OA →＋tAB →，则AP →＝tAB →，所以A ，B ，P 共线，所以①正确；②若3OP →＝OA →＋AB →，则3OP →＝OB →，不能得到P 是AB 的中点，所以②错误；③若OP →＝OA →－tAB →，则AP →＝－tAB →，A ，B ，P 共线，所以③错误；④若OP →＝－OA →＋AB →，则OP →＝－2OA →＋OB →，且－2＋1≠1，所以A ，B ，P 不共线，所以④错误．2. 15 －15解析：因为a ∥b ，所在存在实数λ使得a ＝λb ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，5＝λ，－1＝λr ，解得m ＝15，λ＝5，r ＝－15.3. ④ 解析：由向量共面定理得，OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，x ＋y ＋z ＝1.①1＋1＋1＝3≠1，则①不能确定；②2－1－1≠1，所以②不能确定；③1＋12＋13≠1，所以③不能确定；④13＋13＋13＝1，所以④能确定． 范例导航例1 －112AB →－13AC →＋34AD → 解析：由题意，连结AE ，则GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－23·12(AC →＋AB →)＝AD →＋14(AB →－AD →)－13AC →－13AB →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.－13a ＋13b ＋13c 解析：MN →＝AN →－AM →＝AA 1→＋A 1N →－13AC →＝AA 1→＋23A 1D →－13(AB →＋BC →)＝AA 1→＋23(AD →－AA 1→)－13(AB →＋AD →)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c . 例2 解析：(1) 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，所以D(0，0，0)，D 1(0，0，1)，B(1，1，0)，A(1，0，0)． 因为P ，Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且D 1P ∶PA ＝DQ ∶QB ＝5∶12，所以P ⎝⎛⎭⎫517，0，1217，Q ⎝⎛⎭⎫517，517，0， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫0，517，－1217，所以PQ ＝|PQ →|＝1317. (2) 因为DA →＝(1，0，0)， 所以PQ →·DA →＝0，即PQ ⊥AD.(3) 因为DC →＝(0，1，0)，DD 1→＝(0，0，1)， 所以PQ →＝517DC →－1217DD 1→.又DD 1，DC 平面CDD 1C 1，PQ 平面CDD 1C 1， 所以PQ ∥平面CDD 1C 1.解析：(1) 由题意知AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设PA ＝AB ＝BC ＝1，则P(0，0，1).因为∠ABC ＝60°，AB ＝BC ， 所以△ABC 为正三角形，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12.设D(0，y ，0)，则AC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CD →＝⎝⎛⎭⎫－12，y －32，0.由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， 所以CD →＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE →＝⎝⎛⎭⎫14，34，12，所以AE →·CD →＝－12×14＋36×34＋0×12＝0，所以AE →⊥CD →，即AE ⊥CD.(2) 因为P(0，0，1)，所以PD →＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝14×0＋34×233＋12×(－1)＝0，所以PD →⊥AE →，即PD ⊥AE.因为AB →＝(1，0，0)，所以PD →·AB →＝0. 所以PD ⊥AB.又AB ∩AE ＝A ，AB ，AE 平面ABE ， 所以PD ⊥平面ABE.自测反馈1. 0 解析：因为A(m ＋1，n －1，3)，B(2m ，n ，m －2n)，C(m ＋3，n －3，9)，所以AB →＝(m －1，1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2，6)．又因为A ，B ，C 三共点共线，所以存在实数λ使得AB →＝λAC →，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2λ，1＝－2λ，m －2n －3＝6λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ＝－12，所以m ＋n ＝0＋0＝0.2. ④ 解析：由向量共面定理得，OD →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，x ＋y ＋z ＝1.①因为1＋12＋12≠1，所以不能使A ，B ，C ，D 共面；②因为12＋13＋14≠1，所以不能使A ，B ，C ，D 共面；同理③亦不能；④因为12＋13＋16＝1，所以④能使A ，B ，C ，D 共面．3. 是 解析：假设a ＝x b ＋y c ，则可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝2x －y ，3＝3x ＋3y ，13＝5x ＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.又因为b ＝(2，3，5)，c ＝(－1，3，1)，所以b ，c 不共线，则a ，b ，c 三向量共面．。

推导向量的共线与共面关系的判定方法与平面向量的数量积与向量积的综合应用与空间解析几何的综合应用在几何学中，向量是一种具有大小和方向的量，可以表示位置、速度、力等物理量。

研究向量的共线与共面关系以及向量的数量积与向量积的综合应用，对于解决空间解析几何问题具有重要意义。

本文将介绍推导向量的共线与共面关系的判定方法，以及平面向量的数量积与向量积的综合应用和空间解析几何的综合应用。

一、推导向量的共线与共面关系的判定方法共线与共面是研究向量关系时常涉及到的问题，下面将介绍其判定方法。

1. 共线关系的判定方法给定向量A、A、A，判定它们是否共线的方法是通过计算向量间的比例关系。

如果存在实数A，使得向量A = AA，那么向量A、A、A就共线。

2. 共面关系的判定方法给定三个向量A、A、A，判定它们是否共面的方法是通过计算向量的混合积。

如果混合积等于零，即(A ×A)·A = 0，那么向量A、A、A 就共面。

二、平面向量的数量积与向量积的综合应用平面向量的数量积和向量积在求解几何问题中有广泛的应用。

1. 数量积的应用平面向量的数量积又称为点积，表示了两个向量之间的夹角关系和长度关系。

数量积可以用来计算向量的模长、夹角、投影等。

在实际应用中，例如力的分解，可以利用数量积求解力的分解方向和大小。

2. 向量积的应用平面向量的向量积又称为叉积，表示了两个向量之间的垂直关系和面积关系。

向量积可以用来计算向量与平面的垂直向量、三角形的面积、平行四边形的面积等。

在实际应用中，例如计算力矩和刚体的转动，可以利用向量积求解力矩和转动的方向和大小。

三、空间解析几何的综合应用空间解析几何是研究三维空间中点、直线、平面及它们之间的关系的数学分支。

向量的共线与共面关系以及数量积和向量积的综合应用在空间解析几何中有重要的应用。

1. 点和直线的关系利用向量的共线关系可以判断点是否在直线上。

给定直线上的两点A、A和一个点A，通过计算向量AA和向量AA的共线关系，可以判断点A是否在直线上。