章末综合测评5 三角函数

三角函数章末检测卷（一）(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由tan α＜0，cos α＜0， ∴角α的终边在第二象限．2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( ) A ．－32B ．32 C ．－12D ．12解析：选D sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°＋cos(180°＋45°)sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.3．已知角A 为△ABC 的内角，cos A ＝－45，则sin 2A ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225D ．2425解析：选A ∵角A 为△ABC 的内角，∴0＜A ＜π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 4．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．MNC ．NMD ．M ∩N ＝∅解析：选B 因为log 2x ＋log 2(x －1)＝1，即log 2[x (x －1)]＝log 22，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞1，所以x ＝2，即M ＝{2}.22x ＋1－9·2x ＋4＝0，即2·(2x )2－9·2x ＋4＝0，解得2x ＝4或2x ＝12，所以x ＝2或x ＝－1，即N ＝{－1，2}．所以MN ，故选B.5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A 、B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 6．如果指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．1＜a ＜2D ．0＜a ＜1解析：选C 由题意知0＜a －1＜1，即1＜a ＜2. 7．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π＋3π2，2k π＋2π(k ∈Z )解析：选A 由y ＝sin x 是减函数得2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，由y ＝cos x 是减函数得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选A.8．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B ．43C ．34D ．－34解析：选B 易知sin θ ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43. 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎦⎤12，2解析：选B |x |＋1≥1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域为⎝⎛⎦⎤0，12. 10．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(cos 2α－sin 2α)＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.11．函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A 因为y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －32π＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.12．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋ 3解析：选B sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 13．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象．14．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )f (n )＜0，则f (x )在[m ，n ]上( ) A ．有三个零点 B ．至少有两个零点 C ．有两个零点D ．有且只有一个零点解析：选D ∵f (x )在R 上是减函数，且f (m )f (n )＜0，∴f (x )在[m ，n ]上有且只有一个零点．15．已知A ＋B ＝π3，则tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝( )A ．－2 3B ．2 3C ．0D ．1－ 3解析：选C ∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝0.16．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0B ．a ＜0C ．0＜a ≤13D ．a ≥1解析：选D 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x＋3图象的对称轴方程为x ＝1a，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a ≤1，解得a ≥1.故选D.17．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2，故选D.18．函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C ．⎝⎛⎭⎫π2，0D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：选B 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 19．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝( )A ．－717B ．717 C ．512D ．－512解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝23，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×231－⎝⎛⎭⎫232＝125， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－1251＋125＝－717，故选A.20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32 解析：选C 由题意，得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中的横线上) 21．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12522．方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1的解为________．解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.答案：x ＝023．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，x ∈R 的单调增区间是________． 解析：令－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，解得2k π3－π4≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.答案：⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，π12＋2k π3(k ∈Z )24．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ）.解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 25．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．解析：法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13. sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22， 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.答案：210三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)已知sin α＝35，且α为第二象限角．(1)求sin 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)因为sin α＝35，且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，故sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. (2)由(1)知tan α＝sin αcos α＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝1－341＋34＝17.27．(本小题满分8分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cosωx ＋cos 2ωx ＝sinωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. ∵ω＞0，依题意得2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由题意，知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，∴1≤g (x )≤1＋22. 故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.28．(本小题满分9分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（4a ＋1）x －8a ＋4，x ＜1，log ax ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ＜1，log 12x ，x ≥1.当x ＜1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数， 所以f (x )＞f (1)＝－2；当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数，所以f (x )≤f (1)＝0， 综上，函数f (x )的值域是R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎨⎧4a ＋12≥1，0＜a ＜1，12－（4a ＋1）－8a ＋4≥log a1.解得14≤a ≤13，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13.。

章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。

三角函数章末测试一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．233．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3的最小正周期是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )5．已知角α是第四象限角，且满足sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)是( ) A.3 B ．－3 C.33D ．－336．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数f (x )的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x ＝π3时，f (x )取得最大值，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是4πB ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．f (x )的图象关于直线x ＝3π8对称 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D.⎣⎡⎦⎤π3，5π68．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米面积的价格，单位为元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(φ>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x 1 2 3 y10 0009 500则此楼群在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 9．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，那么这个圆的半径r ＝________. 10．已知tan x ＝12，则sin 2x cos 2x＝________.11.如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的图象的一部分，则函数的解析式为________________．12．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 13．(8分)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝513，α，β均为锐角．(1)求sin 2α的值； (2)求sin β的值．14．(10分)(1)化简：sin θ＋sin 2θ1＋cos θ＋cos 2θ；(2)求证：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α.15．(10分)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α的值．16．(12分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，其图象上相邻两个最高点间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用“五点作图法”在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象，并写出函数f (x )的单调递减区间．B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2 019°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知锐角α满足cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝( ) A.1225 B ．±1225C.2425 D ．±24253.3－tan 20°sin 20°的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在△ABC 中，若tan B ＝cos (C －B )sin A ＋sin (C －B )，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋3cos(θ－π)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos 2θ＝( ) A.15 B.25 C.35D.456．函数f (x )＝cos 2x 的减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1，ω＝3πB ．A ＝2，ω＝π3C ．A ＝1，ω＝π3D ．A ＝2，ω＝3π8．若当x ＝θ时，函数f (x )＝3sin x ＋4cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A ．35B ．45C ．－35D ．－459．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，若f (x )在区间(π，2π)内无最值，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，58 B.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 C.⎝⎛⎭⎫0，14∪⎝⎛⎦⎤14，58 D.⎣⎡⎦⎤18，5810.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2.则下列叙述错误的是( ) A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )的单调递减D ．当t ＝20时，|PA |＝63二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝⎛⎭⎫12，32，则cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________.12．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1,0)是函数y ＝f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．14．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(8分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32.(1)求sin α的值；(2)求cos αsin (π－α)·tan (α＋π)cos (3π－α)的值．16.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．17．(10分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．18．(10分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－4cos 2x ，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象．(1)求函数g (x )的解析式；(2)求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值．19．(12分)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sin ωt＋B(A＞0，ω＞0)的图象．(1)试根据数据和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)全册综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |0≤x <1或x >2}2．函数f (x )＝ 2x －14＋ln(1－x )的定义域是( )A ．[－1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,1]D ．[－2,1)3．已知n <m <0，则下列不等式正确的是( ) A.1n <1mB.⎝⎛⎭⎫12m >⎝⎛⎭⎫12n C ．log 4(－m )<log 4(－n )D ．n 2<m 24．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝2－x C ．y ＝log 12xD ．y ＝1x5．若幂函数f (x )＝x m 在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可能为( ) A ．1 B ．12C ．－1D ．26．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25 B.252 C.254D.2588．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)9.已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值可以是( )A ．π6B ．－π3C ．－5π6D ．－4π310．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )11．若函数f (x )＝x 22x －2a －x 是奇函数，则f (a －1)＝( )A ．－1B ．－23C.23D ．112.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为( ) A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4 B ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 C ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知关于实数x 的不等式2x 2－bx ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32，则b ＋c 的值为________． 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么函数y ＝f (f (x ))－1的零点的个数为________．15．计算：1－cos 210°cos 800°1－cos 20°＝________. 16．设函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ＋2 019sin x ＋2，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－7x ＋6<0}，B ＝{x |4－t <x <t }，R 为实数集．(1)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (2)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．18．(12分)已知f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调增区间．19．(12分)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)若f (x )有且只有一个零点，求m 的值；(2)若f (x )有两个零点且均比－1大，求m 的取值范围．20．(12分)(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．21．(12分)有一种函数y ＝f [g (x )]，我们定义其为复合函数．比如函数y ＝lg(x 2＋1)，可以令g (x )＝x 2＋1，y ＝lg [g (x )]．关于其值域，先求出g (x )的值域为[1，＋∞)，然后进一步可得y ＝lg[g (x )]∈[0，＋∞)；关于其单调性，很显然，在其定义域内，若f (x )和g (x )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]单调递增，若相反，则y ＝f [g (x )]11 单调递减．可知该函数在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．试依据上述方法解决下列问题：设函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．22．(12分)如图，某公园摩天轮的半径为40 m ，圆心O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处．(1)已知在t (min)时点P 距离地面的高度为f (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋h ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2，求t ＝2 019时，点P 距离地面的高度；(2)当离地面(50＋203)m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌．。

课时作业5 同角三角函数的基本关系式基础要求1．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( ) A ．－43 B ．－43或－34 C ．－34D.43或－34解析：将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225， ∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43. 答案：A2．函数y ＝sin 2x ＋2cos x 的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．0解析：y ＝1－cos 2x ＋2cos x ＝2－(cos x －1)2 ∵－1≤cos x ≤1∴当cos x ＝－1时，y 取最小值，y min ＝－2. 答案：C3．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( ) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：根据1cos 2α＝1＋tan 2α得1cos 2α＝(1312)2.∵α是第四象限角，∴cos α>0 ∴cos α＝1213 ∴sin α＝tan α·cos α＝－513，故选D. 答案：D4．若tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α－cos α＝________．解析：原式＝tan α＋12tan α－1＝1.答案：15．已知sin x ＝m ＋1m －3，cos x ＝m －1m －3，则m ＝__________．解析：由sin 2x ＋cos 2x ＝1，有(m ＋1m －3)2＋(m －1m －3)2＝1.解得m ＝－7或1. 答案：－7或1能力要求1．若1＋sin θcos θ＝－12，则cos θ1－sin θ的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：∵1－sin 2θ＝cos 2θ，即 ∴(1＋sin θ)(1－sin θ)＝cos θ·cos θ ∴cos θ1－sin θ＝1＋sin θcos θ＝－12. 答案：B2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45解析：本题主要考查三角恒等式、同角三角函数的基本关系式及齐次式的化简．图1解法1：∵tan θ＝2，∴θ在第Ⅰ或第Ⅲ象限，而无论θ是在第Ⅰ或第Ⅲ象限，sin θ与cos θ均同号，故不妨设θ在第Ⅰ象限，则利用直角三角形．∴sin θ＝25，cos θ＝15，得sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝45，故选D. 解法2：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝45，故选D.答案：D3．若sin θ·sin 2θ－cos θ·|cos θ|＝－1恒成立，则θ的取值范围是( )A ．－π2＋2k π<θ≤2k π，k ∈Z B ．－π2＋2k π≤θ≤2k π，k ∈Z C.π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z D.π2＋2k π≤θ≤π＋2k π，k ∈Z解析：由题设有sin θ·|sin θ|－cos θ·|cos θ|＝－1， ∴－sin θ·|sin θ|＋cos θ·|cos θ|＝1. ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1恒成立．∴⎩⎨⎧sin θ≤0cos θ≥0∴θ的终边在第四象限或x 轴的正半轴、y 轴的负半轴上． 答案：B4．(2019年新疆高三上学期模拟)已知2sin θ＝1＋cos θ，则tanθ＝( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43D.43解析：∵2sin θ＝1＋cos θ，∴两边平方，整理可得5cos 2θ＋2cos θ－3＝0， 解得cos θ＝－1，或cos θ＝35.∴当cos θ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，则tan θ＝0； 当cos θ＝35时，有sin θ＝45，tan θ＝43，故选B. 答案：B5．(2019年浙江杭州四校联考)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( ) A.75B.257C.725D.2425解析：∵sin α＋cos α＝15， ∴1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1（cos α＋sin α）（cos α－sin α） ＝115×75＝257. 答案：B6．已知x ＋y ＝1sin αcos α，xy ＝1，则满足条件的x 、y 的一组解是__________．解析：∵x ＋y ＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan α＋1tan α.令x ＝tan α，y ＝1tan α，则它们又满足另一条件xy ＝1.∴同时满足两个条件的x 、y 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝1tan α.答案：⎩⎨⎧x ＝tan αy ＝1tan α7．已知－2≤sin x ＋cos x ≤2，求函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的最小值．解：令sin x ＋cos x ＝t (－2≤t ≤2)， 则sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1 ∵－2≤t ≤2∴当t ＝－1时，y 最小，y min ＝－1. 8．已知α为第三象限角，化简cos α·1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α.解：原式＝cos α·（1－sin α）21－sin 2α＋sin α·（1－cos α）21－cos 2α ＝cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin αcos α＋sin α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos αsin α∵α为第三象限角，∴－1<sin α<0，－1<cos α<0.∴原式＝cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－sin αcos α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－cos αsin α＝sin α－1＋cos α－1＝sin α＋cos α－2.9．证明：(2－cos 2x )(2＋tan 2x )＝(1＋2tan 2x )(2－sin 2x )．证明：证法1：左边＝(2－cos 2x )(2＋sin 2x cos 2x )＝4＋2·sin 2x cos 2x －2cos 2x －sin 2x ＝4＋2sin 2xcos 2x －cos 2x －(sin 2x ＋cos 2x ) ＝3＋2sin 2xcos 2x －cos 2x右边＝(1＋2·sin 2x cos 2x )(2－sin 2x ) ＝2－sin 2x ＋4sin 2x cos 2x －2sin 4x cos 2x＝1＋(1－sin 2x )＋2sin 2x ＋2sin 2x （1－sin 2x ）cos 2x ＝1＋cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin 2x cos 2x cos 2x＝1＋cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋2sin 2x＝3－cos 2x ＋2sin 2xcos 2x .∴左边＝右边，等式得证．证法2：左边＝[2(sin 2x ＋cos 2x )－cos 2x ](2＋tan 2x ) ＝(2sin 2x ＋cos 2x )(2＋tan 2x ) ＝2sin 2x ＋cos 2xsin 2x ＋cos 2x ·(2＋tan 2x ) ＝2tan 2x ＋11＋tan 2x ·(2＋tan 2x ) ＝(2tan 2x ＋1)·2＋tan 2x1＋tan 2x ＝(2tan 2x ＋1)·(1＋11＋tan 2x) ＝(2tan 2x ＋1)·(1＋cos 2x ) ＝(2tan 2x ＋1)(2－sin 2x )∴左边＝右边，等式得证．10．设关于x 的函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)最小值为f (a )． (1)用a 表示f (a )；(2)确定能使f (a )＝12的a 的值，并对此时的a ，求y 的最大值． 解：(1)∵y ＝2(cos x －a 2)2－(a 22＋2a ＋1)． ∴f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， a <－2－a22－2a －1， －2≤a ≤2－4a ＋1， a >2(2)∵当a >2时，f (a )<－7， ∴当a >2，或a <－2时，f (a )≠12. 当－2≤a ≤2时，令－a 22－2a －1＝12，解得a ＝－1. ∴能使f (a )＝12的a 值为a ＝－1. 此时，y ＝2(cos x ＋12)2＋12.∴当cos x ＝1时，y 取最大值，y max ＝5.拓展要求在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝__________． 解析：由已知有2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos2A)＝3cos A即2cos2A＋3cos A－2＝0解之得cos A＝12，或－2(舍去)．∵cos A＝12>0，∴∠A是锐角，而cos60°＝1 2，∴∠A＝60°.答案：60°。

三角函数全章综合测试考生注意：本卷满分150分，共有3个大题，考试时间120分钟一．选择题（本大题满分50分，共10小题，每小题5分）1．若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α=（ ）.（其中k ∈Z ）.A 、B 、2k -βC 、(2k+1) -βD 、2k +β 2．若，且α是第三象限角，则csc(α-7)=（ ）. A 、 B 、 C 、-2 D 、23．若α是第一象限角，则ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上4．已知α是三角形的一个内角，且32cos sin =+αα，那么这个三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形5．cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°=（ ）.A 、B 、C 、D 、6．若，则=（ ）.A 、B 、C 、5D 、-57．函数是（ ）.A 、周期为2π的奇函数B 、周期为π的奇函数C 、周期为2π的偶函数D 、周期为π的偶函数 一、8．函数定义域是（ ）（其中k ∈Z),A 、B 、C 、D 、9．若函数在同一个周期内的处取得最大值，在处取得最小值，则函数的解析式是（ ）.A 、B 、C 、D 、10．若x ∈[0,π]，则函数y=sinx-cosx 的值域为（ ）.A 、B 、[-1，1]C 、D 、[-1，]二． 填空题（本大题满分28分，共7小题，每小题4分）11.())sin(2ϕω+=x x f 的一段图像如图所示，则ω、ϕ的值分别是_________12．若，则sin 3x-cos 3x=__________.13．tan19°+tan26°+tan19°tan26°=__________.14．函数的单调减区间是_____________.15．若且.则sin2x=_____________.16.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。

专题一《三角函数》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列命题中正确的是（ ）A.第一象限角一定不是负角B.小于90的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限的角D.终边相同的角一定相等 2．下列选项中叙述正确的是 （ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．锐角是第一象限的角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 3．112()||4k k πθπθθ-+∈Z 把表示成的形式，且使最小的的值是（ ）A. 34π-B.4π-C. 4πD. 34π 4．已知α是第四象限角，则2α是 （ ） A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第一或第四象限角 D.第二或第四象限角5．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为（ ）A ．70 cmB ．670 cmC ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm6．若角α的终边落在直线y =2x 上，则sin α的值为（ ）A. 15±B.C. 5±D. 12± 7．tan1tan 2tan 3tan 89的值为（ ）A. 45B. 1C. 1442D. 44 8．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形 9．)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos210．,sin(),sin(2),sin[(1))],333nn n n n ππππππ∈+±+-Z 若在①②③④cos[2(1)]6nn ππ+-中，与sin3π相等的是（ ）A. ①和②B. ③和④C. ①和④D. ②和③二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11．cos 2sin sin 3cos 0,2cos 3sin αααααα++=-若则的值为 .12．()sin tan 1,(5)7,(5)f x a x b x f f =++=-=已知满足则 .13．1sin 1cos ,cos 2sin 1αααα+=-=-已知则 .14．已知31cos =α，且02<<-απ,则)2cos()23sin()2tan()2sin()cos(απαπαπαππα+--+--= .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15．215sin(),sin()sin ()6463x x x πππ+=-+-已知求的值.16．求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x--=-+17．已知sin (0),()(1)1(0),x x f x f x x π⎧=⎨--⎩<> 求111166f f ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．18．已知一扇形的周长为c (c ＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值．专题一《三角函数》综合检测参考答案一、选择题二、填空题11．511-12．－5 13．1214．-三、解答题15．191616. 略 17. －2 18. 2,216c c赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ． Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．)图(1)图(2)天)（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=．1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++（2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形E M N H 、矩形M F G N ，使矩形MF G N ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x（万元）之间存在二次B A D MF函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱112233445A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．B 图(1)图(2)l答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

三角函数综合测试题一、选择题（每小题 5 分，共70 分）1．sin2100 =A．32 B．-32C．12D．-122．是第四象限角，tan512，则sinA．15B．15C．513D．5133. (cos sin ) (cos sin ) ＝12 12 12 12A．－ 3 B．－2 12C． 12D． 324．已知sin θ＝35，sin2 θ＜0，则tan θ等于A．－34B．34C．－34或34D．455．将函数y sin( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再3将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是3A．1y sin x B．21y sin( x )2 2C.1y sin( x ) D. y sin(2 x )2 6 66. 2tan x cot x cos xA．tan x B．sin x C. c o x s D.cot x7.函数y = sin x sin x 的值域是A. { 0 }B. [ -2 , 2 ]C. [ 0 , 2 ]D.[ -2 , 0 ]8.已知sin cos 18,且(0,) ，则sin +cos 的值为25 5 5 3A. B. - C. D.2 2 2 29. 2y (sin x cos x)1是A ．最小正周期为 2π的偶函数B ．最小正周期为 2π的奇函数C ．最小正周期为 π的偶函数D ．最小正周期为 π的奇函数10．在 ( 0,2 ) 内，使 sin xcos x 成立的 x 取值范围为55 53)( ,,(, ) (,A ． ( , )B ． (, ) C ． ( )D ．)4 24 44444211．已知，函数 y ＝2sin( ωx ＋θ为) 偶函数 (0＜θ＜π)其图象与直线y ＝2 的交点的横坐标为 x 1，x 2，若 | x 1－x 2|的最小值为 π，则A ．ω＝ 2，θ＝B ． ω＝21 2，θ＝2C ．ω＝1 2， θ＝4D ．ω＝2，θ＝45 4.设a sin ，72bcos，72 ctan，则 7A ． abcB ． a c bC ． b c aD ． bac13．已知函数 f ( x ) sin(2 x ) 的图象关于直线x对称，则可能是8A.B.C.D.2443 414． 函数 f(x)＝ 1cos 2 cos x xA ．在 0， 、 , 22上递增，在3 3 上递减,、, 222B ．在 0， 、23 ， 上递增，在, 2 23、 ，2 上递减 2C ．在 ， 23、 ，2 上递增，在 20， 、23 ， 上递减2D ．在3 3上递增，在,、, 2 220，、, 22上递减二.填空题（每小题5 分，共 20 分,）10. 已知, ，求使 sin= 222 3成立的 =16．sin15° cos75°+cos15°sin105°=_________17.函数y=Asin( x+ )( ＞0,| |＜,x∈R)的部分图象如图，则2函数表达式为18．已知, 为锐角，且cos = 19．给出下列命题：17cos ( ) =1114, 则cos =_________(1)存在实数,使sin cos 1 (2)存在实数，使sin cos 3 23(3) 函数y ) 是偶函数（4 ）若、是第一象限的角，且，则sin( x2sin .其中正确命题的序号是________________________________sin三.解答题(每小题12 分，共60 分,)15.已知函数y=3sin ( x )2 4（1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.6.已知sin( k ) -2 cos( k ) k Z求:（1）45 sincos23cossin; （2）14sin22 cos522 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与 b 的值，22．设a 0 ，若y cos x a sin x b 并求y 的最大、最小值及相应的x 值．7.已知1tan( ) ，21tan ，且, ( 0, ) ，求2 的值.72 （其中>0，a R ），且f(x)的图象在8.设函数 f ( x) 3 cos x sin x cos x ay 轴右侧的第一个最高点的横坐标为． 6（1）求的值；5（2）如果 f ( x) 在区间][ , 的最小值为 3 ，求a 的值．3 6测试题答案.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA二arcsin23 1 y= -4 sin( x )8 412(3)三、解答题：111.已知函数y=3sin )( x2 4（1）用五点法作出函数的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解（1）列表：x32 25272921 2 x 043 22 213sin )( x 0 3 0 -3 02 4描点、连线,如图所示：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5（2）周期T= 2 = 2 =4 ，振幅A=3，初相是12- . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.84(3)令 12 x =4 2+k (k∈Z),得x=2k + 32(k ∈Z), 此为对称轴方程.令12 x- =k (k∈Z)得x= +2k (k ∈Z).4 2对称中心为,0)( 2 k2(k ∈Z)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..129.已知sin( +k )=-2cos( +k ) (k ∈Z).求:（1） 45 sincos23cossin;（2） 142 +sin252 .cos解：由已知得cos( +k ) ≠0,∴tan( +k )=-2(k ∈Z),即tan =-2 (2)（1）4 5 sincos23cossin45tan3 tan210 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯71（2）42 +sin252 =cos1 2 1 22 2 2sin cos tan4 5 4 5=2 2 2sin tan 1cos725⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12222．设a≥0，若y＝cos x－asinx＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a与b 的值，并求出使y 取得最大、最小值时的x 值．为解：原函数变形y＝－(sin2a 2 ax ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2) 1 b2 4∵－1≤sinx≤1，a≥0∴若0≤a≤2，当sinx＝－ a 时2y max＝1＋b＋ 2 a ＝0 ①4当sinx＝1 时，y min＝－(1 a2)2a21 b4＝－a＋b＝－4 ②联立①②式解得a＝2，b＝-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7y 取得最大、小值时的x 值分别为：x＝2kπ－(k ∈Z)，x＝2kπ＋(k∈Z)2 2若a＞2 时， a2∈(1，＋∞)2a a∴y max＝－ 2 a b ＝0 ③(1 ) 1 b2 42a ay min＝－ 42 a b(1 ) 1 b2 4④由③④得a＝2 时，而a ＝1 (1，＋∞)舍去⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 2故只有一组解a＝2，b＝－2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..1210.已知tan( α－β＝)12，tan β＝- 17，且α、β∈（0，），求2α－β的值.解：由tan β＝－ 17 β∈(0，π) 得β∈( , π) ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22由tan α＝tan[( α－β＋)β＝] 13α∈(0，π) ∴0＜α＜⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6 2∴0＜2α＜π由tan2 α＝ 34 ＞0 ∴知0＜2α＜2②∵tan(2 α－β＝)tan12tan 2tantan＝1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..10由①②知2α－β∈(－π，0)WORD文档专业资料3∴2α－β＝－⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12 42 （其中ω>0，a∈R），且f(x) 的图象在y 11.设函数f( x)3 cos x sin x cos x a轴右侧的第一个最高点的横坐标为．6（1）求ω的值；5 x（2）如果 f ( x ) 在区间][ ,3 6的最小值为3，求 a 的值．解：(1) f(x) ＝ 32 cos2 x＋12sin2 x＋ 32＋a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2＝sin(2 x＋3 )＋ 3 ＋a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..42依题意得 2 ·＋＝解得＝6 3 2 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6(2) 由(1)知f(x) ＝sin(2 x＋)＋33 ＋a 2又当x∈,3 56时，x＋∈370 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8,6故－ 12 ≤sin(x＋) ≤1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..103从而f(x) 在,3 56上取得最小值－ 12＋ 3 ＋a2因此，由题设知－ 1 ＋23 ＋a＝ 3 故a＝2321⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12。

三角函数全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（）A．第二象限角都是钝角B．第二象限角大于第一象限角C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D．若角α与角β的终边在一条直线上，则−＝b180°(∈Z)【解题思路】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D.【解答过程】A错，495°＝135°+360°是第二象限角，但不是钝角；B错，=135°是第二象限角，＝360°+45°是第一象限角，但<；C错，=360°,=720°，则≠，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故−＝b180°(∈Z).故选：D.2．（5分）（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知cos=−∈0,则sin2=（）A B C D【解题思路】以+π4为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin2s cos2，结合两角和差公式运算求解.【解答过程】因为∈0,+π4且cos+=−sin+=4=则sin2=sin2+=−cos2=1−2+45，cos2=cos2+−+cos+=−35，所以sin2=12sin2=故选：A.3．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点−2,5，则sin2cos2r1）A．B．−C．D．【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【解答过程】由题意知tan则原式=2sinvos2cos2rsin2=2tan2+tan2=52+54=−故选：B.4．（5分）（23-24高一上·全国·课后作业）已知cos=−13，且为第二象限角,tan=2，则）A BC D【解题思路】先根据同角三角函数关系求正弦，再弦化切应用tan=2，结合诱导公式代入求值即可.【解答过程】因为cos=−13，且为第二象限角，所以sin==sinvos+3cosLin−cosvos−3sinLinsin+3cosMan−cos−3sinMan=211故选:C.5．（5分）（23-24高一下·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为8m的筒车按逆时针方向做4min一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为43m，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：min），则下列说法正确的是（）①=1min时，盛水筒P到水面的距离为4+43m；②=43min与=2min时，盛水筒P到水面的距离相等；③经过34min，盛水筒P共8次经过筒车最高点；④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为43m．A．①②B．②③C．①③④D．①②④【解题思路】建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系判断①②，利用周期判断③，求出距离差的表达式结合三角变换求最值判断④即可．【解答过程】依题意作图如下：以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，当刚露出水面时，与轴的夹角是30°，相邻盛水桶之间的夹角是45°，当旋转=1min时，旋转了360°4=90°，旋转到点，此时点到水面的距离为43+8sin30°=4+43，所以①正确；②当=43min时，旋转了13周，即120°，此时的位置是点，与轴正半轴的夹角是180°−(30°+120°)=30°，当=2min时，旋转了180°，即点，与轴正半轴的夹角也是30°，点与点到水面的距离相等，所以②正确；③经过34min，则水车转过了344=8.5个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；④设在的上方，B与轴负方向的夹角为，(0∘<<180∘)，则B与轴负方向的夹角为+45°，相邻两筒到水面的距离差为：43−+(438cosp=8[cos−cos(45°+p]=81−+2−2cos(−p，其中cos=sin=22−当=时取最大值为82−2，故④错误；故选：A．6．（5分）（24-25高三上·天津北辰·期中）函数=cos3sin−cos，则下列结论正确的有（）①函数的最大值为12；②函数0；③函数在−π6④=sin2，将图象向右平移π12单位，再向下平移12个单位可得到的图象.A．①③B．①④C．②③D．③④【解题思路】先化简函数为=sin2−6−12，再利用正弦函数的性质逐项判断.【解答过程】=cos3sin−cos=3sinvos−cos2=−1+cos22=sin2−12cos2−12=sin2−12，①函数的最大值为12，故正确；②易知函数的对称中心的纵坐标为−12，故错误；③由∈−π62−π6∈−π2因为=sin在−π2在−π6④由=sin2，将图象向右平移π12单位得到=sin2−=sin2−再向下平移12个单位可得到=sin2−12的图象，故正确；故选：B.7．（5分）（23-24高一下·福建福州·期末）函数=Lin B+>0,>0,<的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．=2sin2B．在−π4C．的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数D．在−π,π上的零点有4个【解题思路】由图象确定所对应的解析式，可判断A，然后根据正弦函数的性质即可判断BCD，从而可得结果.【解答过程】由图可知=2,2=5π8−π8=π2，又>0，所以=2π=π，解得=2，所以=2sin2+2，所以=2sin+=2，即sin4+=1<π2，所以π4+=π2，则=π4，所以=2sin2A错误；当∈−π42+π4∈−π4=sin在−π4所以在−π4B错误；将的图象向右平移π4个单位长度后得到=2sin2−+=2sin2C错误：令=0，即2sin2=0，即2+π4=χ,∈，解得=−π8+χ2,∈，所以在−π,π上的零点有−5π8,−π8,3π8,7π8共4个，故D正确．故选：D.8．（5分）（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数=sin B−（>0，<π2）的最小正周期为，且给出下列判断：①若=3，则函数的图象关于直线=π4对称②若在区间的取值范围是0,6③若在区间π,2π内没有零点，则的取值范围是0,∪④若的图象与直线=−1在0,2π上有且仅有1个交点，则其中，判断正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】由题设可得=sin B−−π4<χ8−π4≤π2求参数范围判断②；由区间零点及正弦函数性质，讨论2χ−π4≤0、χ−π4≥0研究参数范围判断③；由题设B−π4∈[−π4,2χ−π4]，结合题设及正弦函数性质有3π2≤−π4<7π2求参数范围判断④.【解答过程】由=2π，则=sin2π−=−sin sin=<π2，所以=π4，故=sin B当=3，则=sin3×π4−=1，故函数的图象关于直线=π4对称，①对；当∈B−π4∈[−π4,χ8−π4]，且在区间所以−π4<χ8−π4≤π2，可得0<≤6，②对；当∈π,2π，则B−π4∈χ−π4,2χ−在区间π,2π内没有零点，若2χ−π4≤0，则0<≤18，此时满足题设；若χ−π4≥0，则≥14，故χ−π4≥χ2χ−π4≤(+1)π，可得≥r14≤2+58且∈N，所以=0，可得14≤≤5；综上，的取值范围是0,∪当∈[0,2π]，则B−π4∈[−π4,2χ−π4]，又的图象与直线=−1在0,2π上有且仅有1个交点，故3π2≤2χ−π4<7π2，所以78≤<158，即.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三角函数综合检测题参考答案一、选择题：1～5.B B C D A. 6～10. B B D C D. 11～12. D B1. 解析：∵|OP |＝64m 2＋9，且cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m ＞0，且64m 264m 2＋9＝－1625＝－45，∴m ＝12. 答案：B2. 解析：∵T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π4时，f (x )＝12；当x ＝π3时，f (x )＝0，∴图像关于(π3，0)中心对称.答案：B3. 解析 C ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．4. 解析：由cos2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3知，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像向左平移π6个单位. 答案：D5. 解析：∵3sin2＋cos2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6，又34π＜2＋π6＜56π，∴1＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＜2， 即1＜2a＜2，∴0＜a ＜12. 答案：A6. 解析：∵y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得 k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 又x ∈[0，π]，∴k ＝0.此时x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.答案：B7. 解析：tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan(α－β)1－tan αtan(α－β)＝12－251－12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112. 答案：B 8. 解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 答案：D9. 解析：由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，即12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝14，∴cos2θ＝12.∴sin 22θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34。