三角函数章末检测参考答案

第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误 对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=， 即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=， 解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===， 由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位 【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=， 所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦， 结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（ ）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ， 所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（ ） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确． 假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=， 由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴 【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈， 由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=， 所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=， 则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >， 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。

三角函数章末检测卷（一）(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由tan α＜0，cos α＜0， ∴角α的终边在第二象限．2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( ) A ．－32B ．32 C ．－12D ．12解析：选D sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°＋cos(180°＋45°)sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.3．已知角A 为△ABC 的内角，cos A ＝－45，则sin 2A ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225D ．2425解析：选A ∵角A 为△ABC 的内角，∴0＜A ＜π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 4．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．MNC ．NMD ．M ∩N ＝∅解析：选B 因为log 2x ＋log 2(x －1)＝1，即log 2[x (x －1)]＝log 22，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞1，所以x ＝2，即M ＝{2}.22x ＋1－9·2x ＋4＝0，即2·(2x )2－9·2x ＋4＝0，解得2x ＝4或2x ＝12，所以x ＝2或x ＝－1，即N ＝{－1，2}．所以MN ，故选B.5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A 、B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 6．如果指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．1＜a ＜2D ．0＜a ＜1解析：选C 由题意知0＜a －1＜1，即1＜a ＜2. 7．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π＋3π2，2k π＋2π(k ∈Z )解析：选A 由y ＝sin x 是减函数得2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，由y ＝cos x 是减函数得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选A.8．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B ．43C ．34D ．－34解析：选B 易知sin θ ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43. 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎦⎤12，2解析：选B |x |＋1≥1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域为⎝⎛⎦⎤0，12. 10．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(cos 2α－sin 2α)＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.11．函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A 因为y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －32π＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.12．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋ 3解析：选B sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 13．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象．14．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )f (n )＜0，则f (x )在[m ，n ]上( ) A ．有三个零点 B ．至少有两个零点 C ．有两个零点D ．有且只有一个零点解析：选D ∵f (x )在R 上是减函数，且f (m )f (n )＜0，∴f (x )在[m ，n ]上有且只有一个零点．15．已知A ＋B ＝π3，则tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝( )A ．－2 3B ．2 3C ．0D ．1－ 3解析：选C ∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝0.16．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0B ．a ＜0C ．0＜a ≤13D ．a ≥1解析：选D 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x＋3图象的对称轴方程为x ＝1a，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a ≤1，解得a ≥1.故选D.17．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2，故选D.18．函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C ．⎝⎛⎭⎫π2，0D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：选B 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 19．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝( )A ．－717B ．717 C ．512D ．－512解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝23，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×231－⎝⎛⎭⎫232＝125， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－1251＋125＝－717，故选A.20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32 解析：选C 由题意，得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中的横线上) 21．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12522．方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1的解为________．解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.答案：x ＝023．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，x ∈R 的单调增区间是________． 解析：令－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，解得2k π3－π4≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.答案：⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，π12＋2k π3(k ∈Z )24．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ）.解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 25．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．解析：法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13. sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22， 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.答案：210三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)已知sin α＝35，且α为第二象限角．(1)求sin 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)因为sin α＝35，且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，故sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. (2)由(1)知tan α＝sin αcos α＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝1－341＋34＝17.27．(本小题满分8分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cosωx ＋cos 2ωx ＝sinωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. ∵ω＞0，依题意得2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由题意，知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，∴1≤g (x )≤1＋22. 故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.28．(本小题满分9分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（4a ＋1）x －8a ＋4，x ＜1，log ax ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ＜1，log 12x ，x ≥1.当x ＜1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数， 所以f (x )＞f (1)＝－2；当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数，所以f (x )≤f (1)＝0， 综上，函数f (x )的值域是R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎨⎧4a ＋12≥1，0＜a ＜1，12－（4a ＋1）－8a ＋4≥log a1.解得14≤a ≤13，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13.。

章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.函数f(x)=sin2x，x∈R的最小正周期为( )A．π2B．πC．2πD．4π2.已知cotα=2，tan(α−β)=−25，则tan(β−2α)的值是( )A．14B．−112C．18D．−183.如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A．5B．6C．8D．104.已知函数f(x)=asin2x−√3cos2x的图象关于直线x=−π12对称，若f(x1)⋅f(x2)=−4，则a∣∣x1−x2∣的最小值为( )A．π4B．π2C．πD．2π5.若函数f(x)=asin2x−bcos2x在x=π6处有最小值−2，则常数a，b的值是( ) A．a=−1，b=√3B．a=1，b=−√3C．a=√3，b=−1D．a=−√3，b=16.函数y=2sin(2x+π3)的图象的一条对称轴方程可以是( )A．x=0B．x=π2C．x=π12D．x=π67.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<π2)的最小正周期为π，且f(−x)= f(x)，则( )A．f(x)在(0,π2)单调递减B．f(x)在(π4,3π4)单调递减C．f(x)在(0,π2)单调递增D．f(x)在(π4,3π4)单调递增8.若角α的终边经过点P(1,−2)，则sinα的值为( )A．2√55B．√55C．−√55D．−2√559.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么∣φ∣的最小值为( )A．π6B．π4C．π3D．π210.函数y=cos2x−sin2x(0<x<π2)的值域为( ) A．(−1,1)B．[−√2,√2] C．[−√2,1]D．(−1,√2]二、填空题（共6题）11.化简sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ的值为．12.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R，f(x1)=−2，f(x2)=0且∣x1−x2∣的最小值等于π，则ω=．13.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4,y)是角θ终边上一点，且sinθ=−2√55，则y=．14.将下列各角度化为弧度：（1）30∘=；（2）120∘=；（3）−60∘=；（4）−30∘=；（5）−200∘=；（6）180∘=；（7）135∘=；（8）−75∘=；（9）270∘=；（10）0∘=；15.如图，A，B为某市的两个旅游中心，海岸线l可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P，修建PA，PB，PQ三段公路，其中PQ⊥l，AB=20km，两平行直线AB与l之间的距离为20km，公路PA和PB段的造价均为6千万元/km，公路PQ段的造价为5千万元/km，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为千万．,x∈R)的部分图象，则y=f(x)函数16.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2解析式为．三、解答题（共6题）．17.已知α∈(0,π)，cosα=−13−α)的值；(1) 求cos(π4(2) 求sin(2π3+2α)的值．18.设函数f(x)=lg(1−cos2x)+cos(x+θ)，θ∈[0,π2)．(1) 讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 设θ>0，解关于x的不等式f(π4+x)−f(3π4−x)<0．19.已知角α的终边上有一点P，OP=3√10，且tanα=−13(π2<α<π)，求点P的坐标．20.已知锐角α，β，且tanα=2，cosβ=513，求：(1) sin2α；(2) tan(2α−β)．21.已知等腰三角形底角的正弦值为45，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切值．22.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式−360∘≤β<360∘的元素β：(1) 60∘；(2) −75∘；(3) −824∘30ʹ；(4) 475∘；(5) 90∘；(6) 270∘；(7) 180∘；(8) 0∘．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【知识点】两角和与差的正切3. 【答案】C【解析】由图可知 −3+k =2，所以 k =5， 所以 y =3sin (π6x +φ)+5，所以 y max =3+5=8． 【知识点】三角函数模型的应用4. 【答案】B【解析】由辅助角公式知 f (x )=√a 2+3sin (2x +φ)，φ∈[0,2π)， f (x ) 图象类似于 sinx ，可判断 x =−π12 时取最值， sin (2⋅(−π12)+φ)=±1， φ−π6=π2或32π， φ=23π或53π， 而 sinφ=√3√a 2+3，于是 φ=53π，cosφ=√a 2+3=cos 53π，解得 a =1，f (x )=2sin (2x +53π)，f (x 1)⋅f (x 2)=−4 只有一个取 2，一个取 −2， 最大值点与最小值点 ∣x 1−x 2∣min =T2=2π2ω=π2， 于是 a∣∣x 1−x 2∣min ≥π2． 综上，选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】D【知识点】任意角的三角函数定义9. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】−2tan2θ【解析】sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ=sinθ−sin2θ−sinθ−sin2θ1−sin2θ=−2sin2θcos2θ=−2tan2θ.【知识点】同角三角函数的基本关系12. 【答案】12【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】−8【解析】P(4,y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ=√16+y2，又sinθ=−2√55，所以√16+y2=−2√55，解得y=−8．【知识点】任意角的三角函数定义14. 【答案】π6；2π3；−π3；−π6；−10π9；π；3π4；−5π12；3π2；0【知识点】弧度制15. 【答案】 222【解析】根据题意，设 ∠PAD =θ，则 0≤θ≤π2，过点 P 作 PD ⊥AB ，则 P ，D ，Q 三点共线， 设这三段公路总造价为 y ，又由 AB =20 km ，则 AP =20cosθ km ，BP =20sinθ km ， 则 PD =20cosθsinθ km ，又由两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，则 PQ =(20−20cosθsinθ)km ，则 y=6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ),设 sinθ+cosθ=t ，则 t =√2sin (θ+π4)，则有 1≤t ≤√2，则 sinθcosθ=t 2−12，则 y =120t +100(1−t 2−12)=120t +100(3−t 22)=−50t 2+120t +150，1≤t ≤√2，分析可得：t =65 时，y 取得最大值，且 y max =222．【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】 y =2sin(2x +π3)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 sin 2α+cos 2α=1，cosα=−13， 所以 sin 2α=89， 又因为 α∈(0,π)， 所以 sinα=2√23．又因为 cos (π4−α)=cos π4cosα+sin π4sinα=√22⋅(−13)+√22⋅2√23=4−√26．(2) 因为 sinα=2√23，cosα=−13，所以 sin2α=2sinα⋅cosα=−4√29，cos2α=cos 2α−sin 2α=−79， sin (2π3+2α)=sin2π3⋅cos2α+cos2π3⋅sin2α=√32⋅−79+−12⋅−4√29=4√2−7√318． 【知识点】二倍角公式、两角和与差的余弦、两角和与差的正弦18. 【答案】(1) 根据对数有意义，得 1−cos2x >0， 所以 cos2x ≠1，x ≠kπ(k ∈Z ) 定义域关于原点对称，当函数是偶函数，那么有 f (−x )=f (x )，lg [1−cos2(−x )]+cos (−x +θ)=log (1−cos2x )+cos (x +θ)cos (−x +θ)=cos (x +θ)， 展开整理得 2sinxsinθ=0 对一切 x ≠kπ(k ∈Z ) 恒成立， 因为 θ∈[0,π2)， 所以 θ=0，当函数是奇函数，那么任意定义域内 x 0 有 f (x 0)+f (−x 0)=0， 例如 x 0=π4，f (π4)+f (−π4)=0，f (−π4)=lg (1−cos (−π2))+cos (−π4+θ)=cos (−π4+θ)，f (π4)=lg (1−cos π2)+cos (π4+θ)=cos (π4+θ)，f (π4)+f (−π4)=0，推得 cosθ=0，显然这样 θ∈(0,π2) 是不存在的， 所以当 θ∈(0,π2) 时既不是奇函数又不是偶函数，说明假命题只能举反例．(2) f (π4+x)−f (3π4−x)<0 代入得 lg [1−cos2(π4+x)]+cos (π4+x +θ)−lg [1−cos2(3π4−x)]−cos (3π4−x +θ)<0，lg (1+sin2x )+cos (π4+x +θ)−lg (1+sin2x )−cos (3π4−x +θ)<0，化简 cos (π4+x −θ)+cos (π4+x +θ)<0，展开整理得 2cos (x +π4)cosθ<0， 因为 θ∈(0,π2)，所以 cosθ>0， 所以 cos (x +π4)<0，所以 { cos (x +π4)<0,π4+x ≠k 1π,3π4−x ≠k 2π, k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以不等式解集为 (2mπ+π4,2mπ+3π4)∪(2mπ+3π4,2mπ+5π4)，m ∈Z ．【知识点】函数的奇偶性、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】设点 P 的坐标为 (x,y )．因为π2<α<π，所以 x <0，y >0．由题意，得 {x 2+y 2=(3√10)2,y x=−13,x <0,y >0.解方程组，得 x =−9，y =3，即点 P 的坐标为 (−9,3)．【知识点】任意角的三角函数定义20. 【答案】(1) 因为 tanα=2， 所以 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=2×222+1=45.(2) 因为 tanα=2，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 因为 cosβ=513，且 β 为锐角，所以 sinβ=√1−cos 2β=√1−(513)2=1213，所以 tanβ=sinβcosβ=1213513=125，所以tan (2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=−43−1251+(−43)×125=5633.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式21. 【答案】设底角为 B ，顶角为 A ，则 A =π−2B ，而 sinB =45，则 sinA =sin (π−2B )=sin2B =2425，cosA =725，tanA =247．【知识点】二倍角公式22. 【答案】(1) {β∣ β=60∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−300∘，60∘．(2) {β∣ β=−75∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−75∘，285∘．(3) {β∣β=−824∘30ʹ+k ⋅360∘,k ∈Z )，−104∘30ʹ，255∘30ʹ．(4) {β∣ β=475∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−245∘，115∘．(5) {β∣ β=90∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−270∘，90∘．(6) {β∣ β=270∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−90∘，270∘．(7) {β∣ β=180∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−180∘，180∘．(8) {β∣ β=k ⋅360∘,k ∈Z }，−360∘，0∘．【知识点】任意角的概念。

第五章章末检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】由tan α＜0,cos α＜0,所以角α的终边在第二象限． 2．函数y ＝sin x cos xcos 2x 的周期是( )A ．2πB ．πC ．π2D ．3π2【答案】C 【解析】函数y ＝sin x cos x cos 2x ＝12sin 2xcos 2x ＝12tan 2x 的周期为π2.故选C ．3．已知tan α＝2,则1＋sin2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝( ) A ．32 B ．52 C ．4 D ．5【答案】D4．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A ．－43B ．43C ．34D ．－34【答案】B 【解析】易知sin θ ＝45,cos θ＝－35,tan θ＝－43,原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.5．在平面直角坐标系中,点P (sin 100°,cos 200°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】因为sin 100°＞0,cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＜0,所以点P (sin 100°,cos 200°)位于第四象限．故选D ．6．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2【答案】D 【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.故选D ．7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递减区间为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋23π(k ∈Z ) 【答案】D8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，1,在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1B ．22 C ．12D ．32【答案】C 【解析】由题意,得T 4＝5π12－π6,所以T ＝π,所以ω＝2,则f (x )＝sin(2x ＋φ)．将点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ),得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1,所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2,所以φ＝π6,即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R ),所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12.故选C ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列计算正确的选项有( )A ．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1B ．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1C ．1＋tan 15°1－tan 15°＝ 3 D ．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－32【答案】CD 【解析】对于A,sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1,故A 错误；对于B,sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1,故B 错误；对于C,1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝3,故C 正确；对于D,cos 74°sin14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－32,故D 正确．故选CD ． 10．已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－14的定义域为[m ,n ](m ＜n ),值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14,则n －m 的值不可能是( )A ．5π12B ．7π12C ．3π4D ．11π12【答案】CD 【解析】f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－14＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14＝12·1－cos 2x 2＋34sin 2x －14＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.因为函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12,所以不妨令2n － π6＝ π6,则2m － π6的最小值为－7π6,最大值为－π2,即当n ＝ π6时,m 的最小值为－π2,最大值为－ π6.所以n －m 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.所以n －m 的值不可能是C 或D ．故选CD ．11．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的可能取值为( )A ．－3π4B ．π4C ．0D ．－π4【答案】AB 【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后,得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象,由于所得函数为一个偶函数,则π4＋φ＝k π＋π2,k ∈Z ,故当k ＝0时,φ＝π4；当k ＝－1时,φ＝－3π4.故选AB ．12.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0,ω＞0,0＜|φ|＜π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增 D ．函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和8π3 【答案】BCD 【解析】由图可知,A ＝2,T 4＝2π3－5π12＝π4,所以T ＝2πω＝π,则ω＝2.又2×5π12＋φ＝π,所以φ＝π6,满足0＜|φ|＜π,则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1,所以f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝0,所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3 ，π6,得2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2,则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增．由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12,所以2x ＋π6＝π6＋2k π或2x ＋π6＝5π6＋2k π,k ∈Z .取k ＝0,得x ＝0或π3；取k ＝1,得x ＝π或4π3.所以函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为π3＋π＋4π3＝8π3.故选BCD ． 三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知2sin θ＋3cos θ＝0,则tan(3π＋2θ)＝________.【答案】125 【解析】由同角三角函数的基本关系式,得tan θ＝－32,从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝125. 14．已知扇形弧长为20 cm,圆心角为100°,则该扇形的面积为________cm 2.【答案】360π 【解析】由弧长公式l ＝|α|r ,得r ＝20100π180＝36π,所以S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π(cm 2)． 15．(2020年冀州区校级高一期中)已知θ为第二象限角,若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2＋θ－sin(θ－3π)＝________.【答案】2105 【解析】由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12,得tan θ＋11－tan θ＝12,解得tan θ＝－13.又θ为第二象限角,所以联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＝－13，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010,cos θ＝－31010.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2＋θ－sin(θ－3π)＝－cos θ＋sin θ＝2105.16．(2020年洛阳高一期中)已知函数f (x )＝sin x ＋2cos x 在x 0处取得最小值,则f (x )的最小值为________．【答案】－ 5 【解析】f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x ＋25cos x ＝5sin(x ＋α),其中cos α＝15,sin α＝25,所以当x ＝2k π－α－π2,k ∈Z 时,函数f (x )取得最小值为－ 5.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,求f (x )的值域．解：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2sin x cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6－sin 2x＝32sin 2x －32cos 2x －sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4,所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.18．已知角α是第三象限角,tan α＝12.(1)求sin α,cos α的值；(2)求1＋2sin π－αcos －2π－αsin 2－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α的值．解：(1)tan α＝sin αcos α＝12,sin 2α＋cos 2α＝1,故⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝55，cos α＝255，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－55，cos α＝－255，而角α是第三象限角,则sin α＜0,cos α＜0,故⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－55，cos α＝－255.(2)1＋2sin π－αcos －2π－αsin2－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＝1＋2sin αcos αsin 2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos α2sin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1.∵tan α＝12,∴tan α＋1tan α－1＝－3.19．已知函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解：f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6 ＝12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4cos 2π6－12cos π6－32＝6－34.(2)设t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 则原函数化为g (t )＝4t 2－12t －32,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1,所以f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－9764，2.20．已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y ＝g (x )的图象,求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.因为ω＞0,依题意得2π2ω＝π,所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由题意,知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时,π4≤4x ＋π4≤π2,所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1,所以1≤g (x )≤1＋22.故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.21．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－12(x ∈R )．(1)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－7π24＝310,求sin 2α的值．解：f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－12＝1＋cos 2x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x ＋12cos 2x ＋32sin 2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋32sin 2x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0,所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32,则f (x )max ＝34,f (x )min ＝－32. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－7π24＝310,得32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π12＋π3＝310,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝15. 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－2×125＝2325. 22．已知x 0,x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－sin 2ωx (ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)若关于x 的方程433f (x )－m ＝1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解,求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos 2ωx＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.由题意可知,f (x )的最小正周期T ＝π,所以2π2ω＝π,所以ω＝1.故f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32.(2)原方程可化为433×32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m ＋1,即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m ＋1.设y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3,0≤x ≤π2,当x ＝0时,y ＝2sin π3＝3；当x ＝π12时,y 的最大值为2.要使方程在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解,需使3≤m ＋1<2,即3－1≤m <1,所以m ∈[3－1,1)．。

三角函数章末测试一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．233．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3的最小正周期是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )5．已知角α是第四象限角，且满足sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)是( ) A.3 B ．－3 C.33D ．－336．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数f (x )的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x ＝π3时，f (x )取得最大值，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是4πB ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．f (x )的图象关于直线x ＝3π8对称 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D.⎣⎡⎦⎤π3，5π68．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米面积的价格，单位为元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(φ>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x 1 2 3 y10 0009 500则此楼群在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 9．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，那么这个圆的半径r ＝________. 10．已知tan x ＝12，则sin 2x cos 2x＝________.11.如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的图象的一部分，则函数的解析式为________________．12．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 13．(8分)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝513，α，β均为锐角．(1)求sin 2α的值； (2)求sin β的值．14．(10分)(1)化简：sin θ＋sin 2θ1＋cos θ＋cos 2θ；(2)求证：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α.15．(10分)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α的值．16．(12分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，其图象上相邻两个最高点间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用“五点作图法”在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象，并写出函数f (x )的单调递减区间．B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2 019°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知锐角α满足cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝( ) A.1225 B ．±1225C.2425 D ．±24253.3－tan 20°sin 20°的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在△ABC 中，若tan B ＝cos (C －B )sin A ＋sin (C －B )，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋3cos(θ－π)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos 2θ＝( ) A.15 B.25 C.35D.456．函数f (x )＝cos 2x 的减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1，ω＝3πB ．A ＝2，ω＝π3C ．A ＝1，ω＝π3D ．A ＝2，ω＝3π8．若当x ＝θ时，函数f (x )＝3sin x ＋4cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A ．35B ．45C ．－35D ．－459．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，若f (x )在区间(π，2π)内无最值，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，58 B.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 C.⎝⎛⎭⎫0，14∪⎝⎛⎦⎤14，58 D.⎣⎡⎦⎤18，5810.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2.则下列叙述错误的是( ) A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )的单调递减D ．当t ＝20时，|PA |＝63二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝⎛⎭⎫12，32，则cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________.12．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1,0)是函数y ＝f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．14．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(8分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32.(1)求sin α的值；(2)求cos αsin (π－α)·tan (α＋π)cos (3π－α)的值．16.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．17．(10分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．18．(10分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－4cos 2x ，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象．(1)求函数g (x )的解析式；(2)求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值．19．(12分)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sin ωt＋B(A＞0，ω＞0)的图象．(1)试根据数据和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)全册综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |0≤x <1或x >2}2．函数f (x )＝ 2x －14＋ln(1－x )的定义域是( )A ．[－1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,1]D ．[－2,1)3．已知n <m <0，则下列不等式正确的是( ) A.1n <1mB.⎝⎛⎭⎫12m >⎝⎛⎭⎫12n C ．log 4(－m )<log 4(－n )D ．n 2<m 24．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝2－x C ．y ＝log 12xD ．y ＝1x5．若幂函数f (x )＝x m 在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可能为( ) A ．1 B ．12C ．－1D ．26．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25 B.252 C.254D.2588．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)9.已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值可以是( )A ．π6B ．－π3C ．－5π6D ．－4π310．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )11．若函数f (x )＝x 22x －2a －x 是奇函数，则f (a －1)＝( )A ．－1B ．－23C.23D ．112.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为( ) A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4 B ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 C ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知关于实数x 的不等式2x 2－bx ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32，则b ＋c 的值为________． 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么函数y ＝f (f (x ))－1的零点的个数为________．15．计算：1－cos 210°cos 800°1－cos 20°＝________. 16．设函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ＋2 019sin x ＋2，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－7x ＋6<0}，B ＝{x |4－t <x <t }，R 为实数集．(1)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (2)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．18．(12分)已知f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调增区间．19．(12分)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)若f (x )有且只有一个零点，求m 的值；(2)若f (x )有两个零点且均比－1大，求m 的取值范围．20．(12分)(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．21．(12分)有一种函数y ＝f [g (x )]，我们定义其为复合函数．比如函数y ＝lg(x 2＋1)，可以令g (x )＝x 2＋1，y ＝lg [g (x )]．关于其值域，先求出g (x )的值域为[1，＋∞)，然后进一步可得y ＝lg[g (x )]∈[0，＋∞)；关于其单调性，很显然，在其定义域内，若f (x )和g (x )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]单调递增，若相反，则y ＝f [g (x )]11 单调递减．可知该函数在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．试依据上述方法解决下列问题：设函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．22．(12分)如图，某公园摩天轮的半径为40 m ，圆心O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处．(1)已知在t (min)时点P 距离地面的高度为f (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋h ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2，求t ＝2 019时，点P 距离地面的高度；(2)当离地面(50＋203)m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌．。

第三章 三角函数章末检测一、选择题1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390°B．420° C ．450°D．480° 答案 B2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 ∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，由tan α<0，得α在第二、四象限， 由cos α<0，得α在第二、三象限 ∴α的终边在第二象限．3．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限B ．第二、三象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限 答案 B4．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( ) A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，两边平方，得sin θcos θ＝a 2－12<0，故－π2<θ<0且cos θ>－sin θ，∴|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－π4<θ<0，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13.5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A ．1B ．2 C.12D.13 答案 B解析 由图象知2T ＝2π，T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2.6．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )答案 D解析 若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．7．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 D解析 ∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7.2π7－π4＝8π28－7π28>0.∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin α>cos α.∴a ＝sin 2π7>cos 2π7＝b .又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan 2π7>sin 2π7＝a .∴c >a .∴c >a >b .8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310B.310C ．±310D.34答案 B解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 答案 C解析 函数y ＝sin x ――→向右平移π10个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.10．函数f (x )＝－cos x ln x 2的部分图象大致是下列选项中的( )答案 A解析 函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－cos(－x )ln(－x )2＝－cos x ln x2＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C 和D ；当x ∈(0,1)时，cos x >0,0<x 2<1，则ln x 2<0，于是f (x )>0，此时函数f (x )的图象位于x 轴的上方，排除选项B. 二、填空题11．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为________cm. 答案 6π＋40解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm.12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.答案 0解析 方法一 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0.∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 则φ＝k π－3π4，k ∈Z .∴f (7π12)＝2sin(7π4＋k π－3π4)＝0.方法二 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，f (x 0)＝－f (x 0＋T2)，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝－f (π4)＝0.13．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________． 答案 8解析 T ＝6，则5T4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.14．有下列说法：①函数y ＝－cos2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．答案 ①④解析 对于①，y ＝－cos2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错．三、解答题15．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |， ∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.16．已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝cos 5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cos π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.17．函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )的最小正周期为π，y 0＝3. 由2x 0＋π6＝52π得x 0＝7π6(2)因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，知x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象是。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵－2π<－6<－3π2，∴角α在第一象限，故选A．【答案】 A2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由条件可知，tan α<0且cos α<0，∴α是第二象限角．【答案】 B3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．15B．75C ．－15D ．－75【解析】 r ＝(3a )2＋(－4a )2＝－5a ，∴sin a ＝－4a －5a ＝45，cos a ＝3a －5a ＝－35，∴sin a ＋cos a ＝45－35＝15.【答案】 A4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )【导学号：66470036】A ．π3B ．1C.2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr＝1.【答案】 B5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，则下列不等式中正确的是( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (1)<f (3)【解析】 ∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，∴f (1)＝3sin 5π6＝32，f (2)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝－3sin π3＝－332，f (3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π3＝－3cos π3＝－32.∴f (2)<f (3)<f (1)． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f (x )的解析式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3π4【解析】 由图像知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π2＝4π，∴ω＝2π4π＝12.∵函数在x ＝－π2时取到最大值，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ＝π2， 即φ＝34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋34π.【答案】 B7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2所示，则( )图2A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.【答案】 D8．(2016·宿州高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0，∴π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【答案】 B9．(2016·蜀山高一检测)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9【解析】 由题可知π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 【答案】 C10．(2016·合肥高一检测)函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0【解析】 函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(x ＋π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图像，它的一个对称中心是(π，0)．【答案】 B11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图像知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D. 【答案】 D12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列说法正确的是( )A ．该函数值域为[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当π＋2k π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0【解析】 画出函数y ＝f (x )图像如图：由图像可知，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1，A 错；当x ＝2k π或x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，f (x )取最大值1，B 错；周期T ＝5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π4＝2π，C 错．故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π14．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为________.【导学号：66470037】【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2，∴f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上为增函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin π3ω＝2，∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 3415．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，56π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，316．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位得到函数y＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．【解析】 由题意得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx (ω>0)．∵y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上递增，且ω>0，∴－ω6π≤ωx ≤ωπ4且有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ω6π，ωπ4⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ω6π≥－π2，ω4π≤π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤3，ω≤2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角x 的终边过点P (1，3)．求：(1)sin(π－x )－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x 的值；(2)写出角x 的集合S . 【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)，∴r ＝|OP |＝12＋(3)2＝2，∴sin x ＝32，cos x ＝12.(1)原式＝sin x －cos x ＝3－12.(2)由sin x ＝32，cos x ＝12.若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.20．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．图3(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【解】 (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2·π12＝π6. 将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.(2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．【解】 (1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6.(2)列表：4x ＋π60 π2 π 3π22πx －π24π125π24 π311π24 f (x )0 3 0－3图像如图所示：(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2＝95⇒cos α＝35.22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C 到25°C 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C ，当x ＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C ，所以最大温差为30 °C －10°C ＝20°C.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x＝343. 故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．。

章末质量评估(一)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)1．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④解析 160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角． 答案 C2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )．A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 2 解析 由弧长公式得2＝2R ，即R ＝1 cm ，则S ＝12Rl ＝12×1×2＝1(cm 2)． 答案 D3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( )． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1)D ．[－1,0]∪(0,1)解析 化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)． 答案 C4．三角函数y ＝sin x2是( )． A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数解析 x ∈R ，f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－sin x 2＝－f (x )，是奇函数，T ＝2π12＝4π.答案 A5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )．A.13 B ．－13 C ．－223 D.223解析 根据题意得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13，故选B. 答案 B6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期分别是( )．A ．－3－1，πB ．－3＋1，πC ．－3，πD ．－3－1,2π解析 f (x )min ＝－3－1，T ＝2π2＝π. 答案 A7．要得到函数y ＝f (2x ＋π)的图象，只要将函数y ＝f (x )的图象( )． A ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变解析 把y ＝f (x )的图象向左平移π个单位得到y ＝f (x ＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝f (2x ＋π)． 答案 C8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象( )．A ．关于原点成中心对称B ．关于y 轴成轴对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称D ．关于直线x ＝π12成轴对称解析 本题考查三角函数的图象与性质．由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．答案 C9．(2012·宜昌高一检测)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为( )．A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56π B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56πC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 本题考查由图象求三角函数解析式．由图象可知，A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，y ＝2，从而有2×π6＋φ＝π2， ∴φ＝π6，故选C. 答案 C10．下列说法正确的是( )． A ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内sin x >cos x B ．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象的一条对称轴是x ＝45πC ．函数y ＝π1＋tan 2x的最大值为πD ．函数y ＝sin 2x 的图象可以由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到解析 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4内有sin x <cos x ，所以A 错；当x ＝45π时， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5＝0，所以x ＝45π不是函数图象的一条对称轴，故B 错；函数y ＝sin 2x 的图象应该由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位得到，所以D 错；而在函数y ＝π1＋tan 2x中，由于1＋tan 2x ≥1，所以y ≤π，即函数y ＝π1＋tan 2x 的最大值等于π.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________． 解析 2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠3π8＋k π2，k ∈Z12．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝________.解析 T ＝2π|ω|＝4π，∴|ω|＝12，ω＝±12. 答案 ±1213．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，∴cos x ＝－32，又∵π<x <2π，∴x ＝7π6.答案 7π614．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.解析 sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107. 答案 107三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)(2011·临沂高一检测)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 原式＝1＋2sin αcos ()2π＋αsin 2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝1＋1212－1＝－3. 16．(10分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 解 ∵sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，得(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1.∴cos α＝±1010.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴α在第二、四象限．①当α是第二象限角时，sin α＝31010，cos α＝－1010. ②当α是第四象限角时，sin α＝－31010，cos α＝1010.17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0且ω>0,0<φ<π2的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为 T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.法二 由图象知f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ， 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1∪(－1,0)．18．(12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋π12)――――――――――――――――――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32. 19．(12分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32，因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.又因为点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，5π6＝11π6，或4x0－5π6＝13π6，即x0＝2π3，或x0＝3π4.从而得4x0－。

章末检测－三角函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点()1,3P -，则tan a 的值为（ ）A ．13-B ．3-C ．10D 2．已知扇形的圆心角为34π，半径为4，则扇形的面积S 为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．2π3．若3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．35 C ．35 D ．454．要得到函数3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需（ ） A ．将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B ．将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变） C ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位． D ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位5．函数y ＝sin 522x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是( ) A ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（ ） A ．2- B ．34 C ．43- D ．27．已知sin cos αα+=ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=（ ）A ．BCD ．8．把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．5π6 B ．2π3 C ．5π12 D ．π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（ ）A ．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角10．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的振幅为2B ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心 C ．()f x 向右平移6π单位后得到的函数为奇函数 D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-11．已知π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ）A ．π3cos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．π1cos 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．5π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．5π1cos 42α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12．已知sin sin αβ>，那么下列命题正确的是（ ）A ．若角α、β是第一象限角，则cos cos αβ>B ．若角α、β是第二象限角，则tan tan βα>C ．若角α、β是第三象限角，则cos cos βα>D ．若角α、β是第四象限角，则tan tan αβ>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13=，则α的终边所在的象限为______．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.15．将函数y=π3sin24x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.16．函数2()cos sin1f x x x=++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．请完成下列小题:（1）若15tan8α=-，求sinα，cosα的值；（2）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-.18．已知23cos+4sin cos4ααα=．(1)求tanα的值；(2)求sin2cos2sin cosαααα-+的值．19．已知函数π2sin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)试用“五点法”画出它的图象；列表：1π26x +xy作图：(2)求它的振幅、周期和初相.20．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．21．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？22．已知函数()πsin()0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心坐标：(2)先把()f x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若当ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()210g x a +-=有实数根，求实数a 的取值范围.。

2021-2022学年新人教A 版高一数学课时同步练习题：三角函数章末测试（基础卷）【含解析】一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．78B ．78-C ．34D ．34-【答案】B 【解析】设4βπα=+，则1sin 4β=，4παβ=-，故27sin 2sin 2cos 22sin 148παβββ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B2．若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（ ）．A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】B【解析】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin [0,1]t x =∈，则()()22211[0,1]24a a h t t at b t b t ⎛⎫=-+++=--+++∈ ⎪⎝⎭，则M 、m 分别为()h t 在[0,1]t ∈上的最大值与最小值，由二次函数的性质可得最大值M 与最小值m 的差M m -的值与a 有关，但与b 无关.故选：B ．3．函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则ω=( )A ．πB ．23π C ．712π D ．3π 【答案】B【解析】将()0,1代入函数解析式，可得：12cos ϕ=，又(),0ϕπ∈-，解得：3πϕ=-；将()2,2-代入函数解析式，可得：cos 213πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：()2 3k k Z πωπ=+∈ , 由图可知:22πω>,即ωπ<,当0k =时，23πω=，故选：B. 4．已知θ是第二象限角，且1cos 22θ=-2+的值是（ ） A ．1 B ．1- CD．【答案】C【解析】θ是第二象限角，即22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，422k k πθπππ+<<+，2θ在第一、三象限，又1cos022θ=-<，∴2θ是第三象限角，∴sin 2θ==，2=cos sin22222θθθθ-===． 故选：C ．5．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．3C ．1D ．2【答案】D【解析】令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得2()62x k k Z πππ+=+∈，即()62k x k Z ππ=+∈. ∵[0,]x π∈，∴0k =，6x π=；1k =，23x π=.故选D. 6．如果1|cos |5θ=，532πθπ<<，那么sin 2θ的值为（ ） A． BC．D【答案】C【解析】由532πθπ<<可知θ是第二象限角，1cos 5θ∴=-， 53422πθπ<<，2θ∴为第三象限角，sin 2θ∴=.故选：C 7．已知函数()()2sin 210()6f x x πωω=-->在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．32C ．23D ．43【答案】D【解析】令22,2,622x k k k Z πππωππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，又函数在,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单增，故有 26626222k k k Z ππππωπωπππ-+⎪⎧-≥⎪⎪∈⎨⎪-≤⎩+，，解得212,443k k Z k ωω≥-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩，又0>ω，当0k =时ω取到最大值43 故选：D8．已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（ ） A ．13B ．14C ．112D ．112-【答案】C【解析】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =， 因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -， 所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 1．下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=- D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 【答案】BC 【解析】选项A ：76π-终边与56π相同，为第二象限角，所以A 不正确； 选项B ：设扇形的半径为,,33r r r ππ=∴=，扇形面积为13322ππ⨯⨯=，所以B 正确； 选项C ：角α的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5α=-，所以C 正确； 选项D ：角α为锐角时，0<<,02πααπ<<，所以D 不正确，故选:BC2．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 D ．()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-【答案】ACD【解析】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确； 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确； 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确．故选：ACD3．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ）． A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是⎡⎣C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 【答案】ACD【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 是周期为2π的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x π∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin ,142x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()[1f x ∈，又()f x 的周期是2π，∴x ∈R 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=-+=+=，∴函数()f x 的图象关于直线x π=对称，C 正确；D ．由B 知[0,]2x π∈时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]4x π∈时，[,]442x πππ+∈，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2π的周期函数，因此()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图象可以看作是在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象向右平移2π单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ． 4．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选：BC. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________【答案】±1【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T aππ==，解得1a =±. 故答案为：±114．已知角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，则3cos(2)2πα+=__________. 【答案】2425-【解析】因为角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，所以43sin ,cos 55αα==-， 所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以324cos(2)sin 2225παα+==-，故答案为：2425-15．若sin 5cos αα=，则tan α=____________. 【答案】5【解析】由已知得sin tan 5cos ααα==.故答案为：5. 16．已知α为锐角，3cos(),65πα+=则cos()3πα-=_______.【答案】45【解析】∵3cos(),65πα+=且2663πππα<+<，∴)in(4s 65πα+=；∵()()326πππαα-=-+，∴4cos()cos[()]sin()32665ππππααα-=-+=+=.故答案为：45. 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，求3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值； （3）求()sin 501︒︒+的值；（4）已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？【解析】（1）用诱导公式化简等式可得sin (sin )()cos sin tan f αααααα-⨯-==，代入3πα=可得1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为12. （2）原式可化为：2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+ 224tan 3tan 5tan 1ααα--=+， 把tan 2α=代入，则原式44325141⨯-⨯-==+.故答案为1．（3）()()sin 1030cos10sin501sin50sin50cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒++=⋅=⋅cos40sin 40sin801cos102cos102︒︒︒︒︒=== 故答案为12. （4）令6x πα=-，则6x πα=-22sin sin sin 3632x x ππππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin cos 25x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.解题中应注意角与角之间的关系.18．已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象关于直线94x =对称，且()f x 在[0,2]上为单调函数. （1）求ω；（2）当210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求sin cos x x ωω+的取值范围. 【解析】（1）因为函数()sin f x x ω=的图像关于直线94x =对称． 则9()42k k Z πωπ=+∈，所以42()9k k Z ππω+=∈． 又()f x 在[0]2，上为单调函数，所以022πω<⨯，即04πω<，当20,9k πω==满足题意，当1k -或1,k ω不满足题意．故29πω=． （2）设()sin cos g x x x ωω=+，则()4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由（1）得2()94g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则25,9446x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以21sin ,1942x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故()2g x ∈⎣．所以sin cos x x ωω+取值范围是2⎣． 19．已知函数()()(2sin 03)x x f πωω=+>的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若24A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且4b c +=，求ABC 周长l 的取值范围.【解析】（1）周期2T ππω==，2ω=，()2sin(2)3f x x π=+.将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 2sin )]12sin 22)1[3(6x y x ππ++=-=+.所以()2sin 21g x x =+.（2）2sin22()14A A g =+=，1sin 22A =.因为022A π<<，所以26A π=，3A π=. 22222cos()31633a b c bc b c bc bc π=+-=+-=-.因为2()44b c bc +≤=，所以04bc <≤.所以416316bc ≤-<，即2416a ≤<，24a ≤<.所以[6,8)l a b c =++∈.20．已知函数cos 2(0)6y a b x b π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为12-. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()4sin 3g x a bx π⎛⎫=--⎪⎝⎭的最小值，并求出对应的x 的集合. 【解析】（1）由题知cos 2[1,1]6x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∵0b >，∴0b -<.∴max min 3,21,2y b a y b a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=-⎪⎩∴1,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2）由（1）知()2sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭， ∵sin [1,1]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴()[2,2]g x ∈-.∴()g x 的最小值为2-，此时sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由ππ2π32x k -=+()k Z ∈，求得对应的x 的集合为52,Z 6x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 21．函数()()sin f x x ωϕ=+(02πϕ<<，0>ω)的部分图像如图所示（1）求ω，ϕ及图中0x 的值;（2）设()()cos g x f x x π=-，求函数()g x 在区间12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值【解析】（1）由题图得()102f =，∴1sin 2ϕ= ∵02πϕ<<，∴6π=ϕ 又77sin 0666f πω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴766k πωπ-+=，得1677k ωππ=-,k Z ∈ 又12732,264ππωω⋅<<⋅，得6372πωπ<<， ωπ∴=；又()00sin 16f x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，且0706x -<<， ∴062x πππ+=-，得023x =-， 综上所述: ωπ=，6π=ϕ，023x =-；（2）()()cos sin cos 6g x f x x x x ππππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 66x x x πππππ=+-1cos sin 226x x x ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴132663x ππππ-≤-≤-， 所以当362x πππ-=-时，()max 1g x =;当263x πππ-=-，()min g x =22．已知(),0,αβπ∈，并且()7sin 52παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()()απβ-=+，求,αβ的值.【解析】()7sin 5sin 2παπβαβ⎛⎫-=+∴= ⎪⎝⎭()()3cos απβαβ-=+=平方相加得2221sin 3cos 2cos ,cos 2αααα+=∴== 因为()0,απ∈，所以3,44ππα=当4πα=时，cos (0,)6πββπβ=∈∴=当34πα=时，5cos (0,)6πββπβ=∈∴=因此4πα=，6πβ=或34πα=，56πβ=。

班级姓名考号必修4第一章《三角函数》章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．sin 600°＋tan 240°的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 32．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|的最小的θ值是()A．－34πB．－π4 C.π4 D.3π43．设α角属于第二象限，且⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2，则α2角属于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则cos α的值是()A．±45 B.45C．－45 D.355．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为() A．6π cm B．60 cmC．(40＋6π) cm D．1 080 cm6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π7．下列四个命题中，正确的是()A．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x＋π4是奇函数B．函数y＝⎪⎪⎪⎪sin⎝⎛⎭⎫2x＋π3的最小正周期是πC．函数y＝tan x在(－∞，＋∞)上是增函数D．函数y＝cos x在区间⎣⎡⎦⎤2kπ＋π，2kπ＋74π(k∈Z)上是增函数8．为了得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象() A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度9．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是()第9题 第13题10．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A.4π3B.2π3C.π3D.5π3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin 2α的值是________． 12．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是________________．13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如上图所示，则f (7π12)＝___ ____．14．已知函数y ＝sin π3x 在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是____ __．15．方程sin πx ＝14x 的解的个数是 ．三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16．(本小题12分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．17．(本小题12分)求函数12y=log sin 2x 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间．18.( 本小题12分)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．19．(本小题12分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－1860°，求f (α)的值．20.( 本小题13分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．21．(本小题14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0，0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．必修4第一章《三角函数》章末检测参考答案1．B 2.A 3.C 4.C.5．C.6．B 7．D.8．B 9．D 10．B11．2 12.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 13．0 14．8 15. 716．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝⎛⎭⎫sin x －122－2， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，∴y ＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.17．解 y ＝log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3log 212＝－log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵2>1，由复合函数的单调性知，要求sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增且小于0恒成立． ∴2x －π3在第四象限．∴2k π－π2<2x －π3<2k π(k ∈Z )．解得：k π－π12<x <k π＋π6(k ∈Z )．∴原函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，π6＋k π，k ∈Z .18．解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－1.19．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.20．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.方法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴负方向平移π3个单位得到的，故φ＝π3，其函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方法二 由图象知f (x )过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，则sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， ∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象， 当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。

章末检测（五) 三角函数 能力卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（2019·广东省高一月考）角–2α=弧度，则α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】角–2α=弧度，2(,)2ππ-∈--，∴α在第三象限，故选:C .2．（2020·北京高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( ) A ．135平方米 B ．270平方米 C ．540平方米 D ．1080平方米【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.故选：B.3．（2020·辽宁省沈阳铁路实验中学高一期中）如果角α的终边过点(2sin 30,2cos30)P ︒︒-，那么sin α等于（ ）A ．12-B ．12C ．D ．3-【答案】C【解析】由题意得(1,P ，它与原点的距离为2，∴sin α=.故选：C.4．（2020·湖南省高一月考）设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =，因为ππ124>>， AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>>∴c a b >>故选：C5．（2019·陕西省高三月考（理））定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos2()sin 2xf x x =的图像向左平移m (0)m >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．3πB ．23π C ．43π D ．73π 【答案】C【解析】12142334a a a a a a a a =-，将函数cos2()sin 2x f x x =化为()3sincos 2sin 2226x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭再向左平移m （0m >）个单位即为:()2sin 26x m f x m π+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即0x =时函数值为最大或最小值,即sin 126m π⎛⎫-=⎪⎝⎭或sin 126m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以,262m k k Z πππ-=+∈,即42,3m k k Z ππ=+∈,又0m >,所以m 的最小值是.6．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．35【答案】B【解析】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=， 联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B.7．（2020·四川省高三三模（理））设函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，则ϕ的值为( ) A ．6π-B ．3π C ．6π D ．3π-【答案】C【解析】由题意，求函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，令3x k ϕπ+=，解得()3k x k Z πϕ-=∈函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 令232x m ππωπ+=+，解得6()m x Z ππωω-=∈， 因为函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，所以3,6πωϕ==，故选：C.8．（2019·云南省东川明月中学高一期中）函数2()3sin cos 4442x x x f x m =-+，若对于任意的233x ππ-≤≤有()0fx ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．2m ≥B．32m ≥-C ．m ≥ D．32m ≥【答案】D【解析】2()3sincos 444xx x f x m =+3sin 1cos 222x x m⎫=+-+⎪⎝⎭ 26x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2,333266x x πππππ-≤≤∴-≤-≤，()f x ∴最小值33022m m -+≥∴≥二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ）A ．22sin 2sin 1y x =+B ．22sin 2sin 1y x =--C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD【解析】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确.故选：CD10．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列命题中，真命题的是（ ） A ．sin y x =的图象与sin y x =的图象关于y 轴对称 B ．()cos y x =-的图象与cos y x =的图象相同 C ．sin y x =的图象与()sin y x =-的图象关于x 轴对称 D ．cos y x =的图象与()cos y x =-的图象相同 【答案】BD【解析】对于A ，sin y x =是偶函数，而sin y x =为奇函数，故sin y x =与sin y x =的图象不关于y 轴对称，故A 错误；对于B ，()cos cos ,cos cos y x x y x x =-===，即其图象相同，故B 正确； 对于C ，当0x <时，()sin sin x y x =-=，即两图象相同，故C 错误；对于D ，()cos cos y x x =-=，故这两个函数图象相同，故D 正确，故选BD. 11．（2020·全国高一课时练习）定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=，若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 2πβαα⎛⎫=-==⎪⎝⎭A 符合条件；B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=-⎪⎝⎭，故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=，故C 符合条件；D 中，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin 4β=±，故D 不符合条件.故选：AC. 12．（2020·山东省高一期末）对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z 时，0()2f x <≤【答案】CD【解析】函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x⎧=⎨>⎩的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，可得当52244k x k ππππ++，k Z ∈时，()cos f x x =， 当592244k x k ππππ+<+，k Z ∈时，()sin f x x =， 可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-； 当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x 的最大值为()4f π=20()f x <，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·上海高一课时练习）函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________.【答案】{2,0,2}-【解析】根据题意知：2k x π≠，k Z ∈， 当x 在第一象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=+=；当x 在第二象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-=；当x 在第三象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=--=-；当x 在第四象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-+=；综上所述：值域为{2,0,2}-.14．（2020·上海高一课时练习）若函数2sin 4=++y x x 的最小值为1，则实数a =__________. 【答案】5【解析】2sin 4)4y x x x ϕ=+=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．15．（2020·江苏省高三其他）已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），且()()13f f αβ==（αβ≠），则αβ+=______.【答案】76π【解析】解法一：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()11sin 2sin 20,3332f f ππααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（αβ≠），不妨假设αβ<，则52,36a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1322,36ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 5,6122πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，13,612ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,43ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，511,612ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，135,124ππαβ⎛⎫∴+∈⎪⎝⎭. 再根据sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222232cos sin 22παβαβ++-= ()2cos sin 03παβαβ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭cos 03παβ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，32ππαβ∴++=，或332ππαβ++=，则6παβ+=（舍去）或76παβ+=， 解法二：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()13f f αβ==（αβ≠）， 则由正弦函数的图象的对称性可得：3222332πππαβ+++=⋅，即76παβ+=， 16．（2020·浙江省高三二模）已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______.【答案】23π()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩， 两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=. (1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值. 【解析】（1（（1sin cos 5x x +=. （112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=- ()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx +⋅+=++（ ()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx+===-+ （2）由（1（知12sinxcosx 25=-（0，又22x ππ-<< （cosx 0sinx 0＞，＜， ∴7sin cos 5x x -===-18．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间，并指出()f x 的最大值及取到最大值时的集合；（3）把()f x 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数． 【解析】（1）由函数的图象可得33234444A T πππω==⨯=-，，解得25ω=．再根据五点法作图可得2254，πϕπ⨯+=∈k k Z ，由2πϕ<，则令0k =2310510，（）．ππϕ⎛⎫∴=-∴=- ⎪⎝⎭f x sin x （2）令222,25102k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，求得3552k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间 为[3[5,5],.2k k k Z ππππ-+∈ 函数的最大值为3，此时，225102x k πππ-=+，即352x k k Z ππ=+∈，，即f x （）的最大值为3，及取到最大值时x 的集合为3{|5,}2x x k k Z ππ=+∈. （3）设把()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左至少平移m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．则由()2251052ππ+-=+x m x ，求得32π=m ， 把函数()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移32π个单位，可得223sin 3cos 525π⎛⎫=+=⎪⎝⎭y x x 的图象．19．（2020·北京高三二模）已知函数())203f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域. 从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【解析】由于()232f x cos xsin x πωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos sin cos 222x x x ωωω⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭[]1sin 2cos 2sin 21,1223x x x πωωω⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭. 所以①②③都可以得到()f x 的半周期为2π，则1222πππωωω==⇒=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于66x ππ-≤≤，22033x ππ-≤-≤， 所以()[]1,0f x ∈-，即()f x 的值域为[]1,0-.20．（2020·广东省高一月考）已知函数()22sin cos cos x x x x x f =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()5f α=，求πcos 43α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【解析】（1）()22sin cos cos x x x x x f =-+cos22x x =-+12sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴πT =.（2）∵()5f α=，π2sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ23cos 4cos 2212sin 2136655ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.21．（2020·安徽省六安一中高一期末（理））已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R .（1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【解析】（1）由题意得，21()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭ 即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()222424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 222222222x x x x ⎛⎫⎫=+--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x = 即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数 由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π. 22．（2019·江苏省高二期末（文））某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPA α∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？【解析】（1）过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则cos PH α=，sin OH α=，正方形ABCD 的中心在展板圆心，∴铜条长为相等，每根铜条长2cos α，22sin AD OH α∴==，∴展板所需总费用为280cos 80sin 02y πααα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭．（2）2280cos 80sin 80cos 80cos 80y αααα=+=-++2180cos 1001002α⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当1cos 2α=时等号成立.上述设计方案是不会超出班级预算．。

三角函数综合检测题参考答案一、选择题：1～5.B B C D A. 6～10. B B D C D. 11～12. D B1. 解析：∵|OP |＝64m 2＋9，且cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m ＞0，且64m 264m 2＋9＝－1625＝－45，∴m ＝12. 答案：B2. 解析：∵T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π4时，f (x )＝12；当x ＝π3时，f (x )＝0，∴图像关于(π3，0)中心对称.答案：B3. 解析 C ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．4. 解析：由cos2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3知，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像向左平移π6个单位. 答案：D5. 解析：∵3sin2＋cos2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6，又34π＜2＋π6＜56π，∴1＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＜2， 即1＜2a＜2，∴0＜a ＜12. 答案：A6. 解析：∵y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得 k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 又x ∈[0，π]，∴k ＝0.此时x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.答案：B7. 解析：tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan(α－β)1－tan αtan(α－β)＝12－251－12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112. 答案：B 8. 解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 答案：D9. 解析：由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，即12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝14，∴cos2θ＝12.∴sin 22θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34。

第5章 三角函数 章末测试（提升）一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（2022·江苏南通·高一期末）若π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．79C 12- D 22【答案】A【解析】2ππππ27sin 2sin 2cos 212sin 1424499αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．5π12 D ．π6【答案】C【解析】将函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()4πsin 23y x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， ∵所得函数图象关于y 轴对称， 即4π23ϕ-=()ππ,Z 2k k +∈， ∵()5ππ,Z 122k k ϕ=-∈， ∵0ϕ>，∵当0k =时，ϕ的最小值为5π.12故选：C3．（2022·辽宁 ）若πtan()24-=-α，则23sin sin cos 3cos αααα=+（ ） A ．52B ．2C ．52-D ．12-【答案】C【解析】由πtan()24-=-α可得1tan 2,tan 31tan -α=-∴α=-+α ， 故232222sin sin tan sin cos 3cos cos (sin 3cos )sin 3cos ==+++ααααααααααα，而22222222sin 3cos tan 36sin 3cos sin cos tan 15+++===++αααααααα，故22tan 356sin 3cos 25-==-+ααα， 即23sin 5sin cos 3cos 2=-+αααα，故选：C4．（2022·陕西 ）函数()()5πcos 1log (0)2f x x x x ⎡⎤=-+>⎢⎥⎣⎦的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】()()55ππcos 1log sin log 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；在同一直角坐标系内画出函数()πsin 2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()5log (0)h x x x =->的图象，又55(3)log 31,(7)log 71h h =->-=-<-，()()3π7π3sin 1,7sin 122g g ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以函数()g x 和()h x 恰有3个交点，即函数()f x 有3个零点， 故选：C.5．（2022·湖南 ）奇函数()()()cos ,(0,0,)f x x ωϕωϕπ=+>∈在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ） A ．[)2,6 B ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．39,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由()f x 为奇函数，则2k πϕπ=+，Z k ∈，又()0,ϕπ∈，故2ϕπ=， 所以()sin f x x ω=-，在,34ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，则,34x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0>ω，当042ωππ<<，则53232πωππ-<-≤-，故ω无解； 当3242πωππ≤<，则3232πωππ-<-≤-，可得922ω≤<； 当023πωπ-<-<，则35242πωππ≤<，无解.综上，ω的取值范围是92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B6．（2022·河南 ）将函数()sin f x x =的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()1sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()1sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将()sin f x x =图象上各点横坐标变为原来的12，得sin2y x =，再向左平移12π个单位长度后得()sin 2sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.7．（2022·江西 ）已知函数())2π33sin sin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33⎡⎢⎣⎦C ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】()2π33sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫+- ⎪⎝⎭1cos2133sin 222x x ωω--πsin 23x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以2ππ2ω=，得1ω=， 所以()πsin 23x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而()π3sin 23f x x ⎡⎛⎫=-+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故选：D ．8．（2022·广西 ）已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．80,9⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤. 故选：A二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。

8．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 答案：D9．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223 B.223C ．－23 D.23 解析：由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°.因为(30°－α)＋(60°＋α)＝90°，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. 答案：A10．函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )解析：因为y ＝2|x |sin 2x 为奇函数，所以排除A ，B ；因为2|x |>0，且当0<x <π2时，sin 2x >0，当π2<x <π时，sin 2x <0，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y >0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，y <0，所以排除C.故选D. 答案：D11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：由题图知A ＝1，3T 4＝11π12－π6＝3π4，即T ＝π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.易知x ＝π6时，ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，因此2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6.因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将f (x )的图象向左平移π3个单位后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故选C. 答案：C12．已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A.3π4B.4π3C.5π3D.3π2解析：函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象如图所示．由图象知，x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3，故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，选项C 正确． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 答案：－1314．sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10，从大到小的顺序为________．解析：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减， ∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10.答案：sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10 15．如图所示的是2018年福建省某市某天中6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中π2<φ<π的半个周期的图象，与图中曲线对应的函数的解析式是________．解析：从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴振幅A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，∵周期T ＝2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20.将x ＝6，y ＝10代入上式，得10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4.综上，所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．答案：y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]16．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：本题主要考查三角函数的性质及其应用．∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，∴π4·ω－π6＝2k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋23，k ∈Z . 又ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求cos (2π－α)sin (π＋α)·tan (π＋α)cos (3π－α)的值．解析：(1)∵点P 在单位圆上，∴由正弦的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，ω>0，|φ|<π2)．(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t 在任意一段1150s 的时间内，电流I 都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解析：(1)由图可知A ＝300，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175，∴ω＝2πT ＝150π. 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的函数解析式为I ＝300sin(150πt ＋π6)．(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，∴ω≥300π， 故ω的最小值为300π.22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝712π时，f (x )取得最小值－3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解析：(1)由题意，易知A ＝3，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫712π－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又∵－π<φ<π，∴φ＝π3，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，。