北京市密云县高一数学上学期期末考试试卷北师大版

北师大版高一数学期末试卷及答案一、选择题（每小题4分，共40分）1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x，下列结论正确的是（）A. 函数在区间（-∞，0）上单调递增B. 函数在区间（0，+∞）上单调递增C. 函数在区间（-∞，1）上单调递增D. 函数在区间（1，+∞）上单调递增2. 若函数 f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1 在区间（-∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a ≤ 1B. a ≥ 1C. a ≤ 0D. a ≥ 03. 已知函数 f(x) = x^2 + kx + 1，其中k为实数，若函数的图像上存在两个不同的点A、B，使得∠AOB = 90°（O为坐标原点），则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 1B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≥ -14. 若函数 g(x) = x^2 + 2x - 3 在区间（a，b）上单调递增，则实数a和b的取值范围是（）A. a < -3，b > 1B. a < -1，b > 1C. a < -1，b > 3D. a < -3，b > 35. 若函数 h(x) = |x - 2| - |x + 1| 的最小值为-3，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 0B. x ≤ 1C. x ≤ 2D. x ≤ -16. 若函数 y = 2x - 3 是函数 y = f(x) 的反函数，则函数 f(x) 的解析式是（）A. f(x) = (3x + 1) / 2B. f(x) = (2x + 3) / 3C. f(x) = 2x + 3D. f(x) = 3x - 27. 已知函数 f(x) = x^2 + mx + 1 在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A. m ≤ 2B. m ≥ 2C. m ≤ 0D. m ≥ 08. 若函数 f(x) = (x - 2)^2 + 1 在区间（a，b）上取得最小值，则实数a和b的取值范围是（）A. a ≤ 2，b ≥ 2B. a ≤ 1，b ≥ 3C. a ≤ 0，b ≥ 4D. a ≤ -1，b ≥ 59. 已知函数 g(x) = x^3 + 3x 在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 0B. x ≥ 0C. x ≤ 1D. x ≥ 110. 若函数 h(x) = |2x - 1| + |x + 3| 的最小值为4，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 2B. x ≤ 1C. x ≤ 3D. x ≤ -2二、填空题（每小题4分，共40分）11. 函数 f(x) = x^3 - 3x 的导数为________。

密云区2021-2022度第一学期期末高一数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的定义计算即可； 【详解】解：{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查集合的运算，集合中元素个数的求法，属于基础题. 2.函数cos 2y x =的最小正周期为（ ） A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果. 【详解】cos 2y x =最小正周期22T ππ== 故选：B【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题. 3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A. 2xy = B. 3y x =C. cos y x =D. ||y ln x =【答案】D【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2xy =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.命题“20,560x x x ∀<-+->”的否定为（ ） A. 20,560x x x ∀<-+-< B. 20,560x x x ∀<-+-≤ C. 20000,560x x x ∃<-+-≤ D. 20000,560x x x ∃<-+-<【答案】C 【解析】 分析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，则命题20:0,56x x p x ∀<-+->的否定为20000,560x x x ∃<-+-≤，故选：C ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．5.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1 2 3 4()f x6.1-2.9 -3.5 -1那么函数()f x 一定存在零点的区间是（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (4,+)∞【答案】A 【解析】 【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的连续函数，且()10f >，()20f <， 根据函数零点的存在定理可知故函数()f x 在区间()1,2内存在零点． 故选：A ．【点睛】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号，属于基础题．6.函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）C. 每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位【答案】A 【解析】 【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数()f x 的图象，设()sin()f x A x ωϕ=+， 可得2A =，122236πππω=-，2ω∴=． 再根据五点法作图可得206πϕ⨯+=，3ϕπ∴=-，()sin()f x x π=-223，故可以把函数()f x 的图象先向左平移6π个单位，得到2sin(2)2sin 233y x x ππ=+-=的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2sin y x =函数的图象， 故选：A ．【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值．sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 7.定义域均为R 的两个函数()f x ，()g x ，“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由函数()f x ，()g x 定义在R 上，令()()()h x f x g x =+，则()()()h x f x g x =+的定义域也为R ，关于原点对称，只要看()h x -与()h x 的关系即可得出()h x 为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件．【详解】解：令()()()h x f x g x =+，由()f x ，()g x 均为偶函数，则x ∈R ，()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，故()h x 是偶函数，即必要性成立；反之，设2()f x x x =+，()2g x x =-，()2()()2h x f x g x x =+=+是偶函数，而()f x ，()g x 均不是偶函数，故充分性不成立；则“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，充要条件的判定，其中根据“谁推出谁”的原则，求解充要条件，是解答本题的关键，属于基础题． 8.已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ）A. (0,+)∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (1,+)∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <，341x x =，从而得解【详解】解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示： 依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.0132127log 45⎛⎫++ ⎪⎝⎭=________________．【答案】6 【解析】 分析】根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：()0111332333222127log 431log 2312log 231265⨯⎛⎫++++++=++= ⎪⎝⎭==故答案为：6【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算，属于基础题. 10.函数()420y x x x=++>的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用基本不等式0,0)2a ba b +≥>>即可求解. 【详解】解:0x ，∴函数4222226y x x =++≥=⨯+= 当且仅当40x x x=>，，即2x =时，上式取等号. 故答案为: 6.【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础题. 11.函数1tan()34y x π=-的定义域是_______________． 【答案】3{|,}4x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 【分析】 由42x k πππ-≠+()k Z ∈解不等式可得函数的定义域．【详解】解：由42x k πππ-≠+，()k Z ∈，可解得34x k ππ≠+，()k Z ∈， ∴函数1tan()34y x π=-的定义域为3|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 故答案为：3|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题．12.给出下列三个论断：①a b >；②11a b<；③0a <且0b <. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：__________． 【答案】①③推出②，②③推出① 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可得． 【详解】解：由①a b >；②11a b<；③0a <且0b <. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：（1）若a b >，0a <且0b <，则11a b <；或（2）若11a b<，0a <且0b <，则a b >； 对于（1）若0a <且0b <，则0ab >，由不等式的性质可得a b ab ab >即11a b <； 对于（2）若0a <且0b <，则0ab >，由不等式的性质可得11ab ab a b⨯<⨯即b a <；故答案为：①③推出②，②③推出①【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13.若函数21()=2x x k f x k⋅-+为奇函数，则=k __________．【答案】±1 【解析】 【分析】由函数()f x 为在定义域上为奇函数，则必有()()f x f x -=-，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：函数21()=2x x k f x k⋅-+为奇函数()()f x f x ∴-=-∴211222x x x x kk k k --⋅⋅=-+--+22(1)(2)01x k ∴+-⎤⎣⎦=⎡210k ∴-=1k ∴=±当1k =时，21()=21x x f x -+，定义域为R ，且2112()=()2121x xx x f x f x -----==-++为奇函数，满足条件；当1k=-时，21()=21x x f x ---，定义域为{}|0x x ≠，且2112()=()2121x xxx f x f x ----+-==---为奇函数，满足条件；故答案为：±1．【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足()()f x f x -=-．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解，属于基础题．14.里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】【详解】试题分析：根据题意中的假设，可得M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.已知集合{}|23M x x =-<≤，{}|N x x a =≤． （1）当1a =-时，求M N ⋂，M N ⋃；（2）当4a =时，求M N ⋂，M N ⋃； （3）当=MN ∅时，求a 的范围．【答案】（1）{}|21MN x x =-<≤-，{}|3M N x x =≤； （2）{}|23MN x x =-<≤，{}|4M N x x =≤； （3）{|2}a a ≤-【解析】 【分析】（1）首先求出集合N ，再根据交集、并集的定义计算即可； （2）首先求出集合N ，再根据交集、并集的定义计算即可；（3）由M N ⋂=∅，即M 与N 无公共部分，从而求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）当1a =-时，{|1}N x x =≤-， 所以{}|21MN x x =-<≤-，{}|3M N x x =≤ .（2）当4a =时，{|4}N x x =≤， 所以{}|23MN x x =-<≤，{}|4M N x x =≤ .（3）因为M N ⋂=∅， 所以a 的范围是{|2}a a ≤-.【点睛】本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 16.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为43(,)55P -．（1）求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭和sin 2α的值； （2）求3sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值．【答案】（1）2425- （2）1711- 【解析】 【分析】（1）由任意角的三角函数的定义，可得3sin 5α=，4cos 5α=-，3tan 4α=-，再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可； 【详解】解：（1）根据题意3sin 5α=，4cos 5α=-，3tan 4α=-， 所以72cos()cos cossin cos44410πππααα+=-=-， 24sin 22sin cos 25ααα==-． （2） 因为3tan 4α=-， 3sin 2cos 3tan 25cos 3sin 53tan αααααα--=++332174311534⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式，属于基础题.17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x -=．现已画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，如图所示．（1）画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，根据图象写出函数()f x 在R 上的单调区间； （2）求函数()f x 在R 上的解析式； （3）解不等式()0xf x <.【答案】（1）图见解析；函数的单调增区间是()()202-+∞，，，，单调减区间是()()202-∞-，，，（2）224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）()()404-∞-，，【解析】 【分析】（1）根据偶函数的对称性作出函数图象，由函数图象读出函数的单调区间； （2）当0x <时，0x ->，再根据当0x ≥时，2()4f x x x -=，可得22()(4)4()f x x x x x ---=+-=．再根据函数()f x 为偶函数，可得2()4f x x x =+，由此能求出函数()()f x x R ∈的解析式．（3）因为()0xf x <，当0x <时，()0f x >，当0x >时，()0f x <；由函数图象读出解集即可；【详解】解：（1）如图作函数图象.函数的单调增区间是：()()202-+∞，，，，单调减区间是：()()202-∞-，，，． （2）因为0x ≥时，2()4f x x x -=，若0x <，则0x ->，22()(4)4()f x x x x x ---=+-=， 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以，当0x <时，2()()4f x f x x x =-=+.综上：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩．（3）因()0xf x <当0x <时，()0f x >，即4x <-；当0x >时，()0f x <，即04x <<；所以解集为：()()404-∞-，，． 【点睛】本题考查函数的图象的作法，函数的奇偶性的性质的应用，函数解析式的求法，考查运算求解能力，数形结合思想，属于基础题．18.已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】 【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期，最后根据正弦函数的单调性求出()f x 的单调区间；（2）令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=，即2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ ，解得即可；【详解】（1）2()cos cos f x x x x =-cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈， 令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 19.已知函数2()1,f x x mx m R =-++∈．（1）当0m =时，求()f x 的最大值；（2）若函数()()2h x f x x =+为偶函数，求m 的值；（3）设函数()2sin()6g x x π=+，若对任意1[1,2]x ∈，存在2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求m 的取值范围．【答案】（1）1 （2）2m =- （3）[1,2] 【解析】 【分析】（1）代入m 的值，求出函数的最大值即可；（2）根据偶函数图象关于y 轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m 的值；（3）求解()f x 的值域M 和()g x 的值域N ，可得M N ⊆，即可求解实数m 的取值范围． 【详解】（1）当0m =时，()21f x x =-+故当0x =时，()f x 的最大值是1（2）因为函数()()()2221h x f x x x m x =+=-+++为偶函数，()()h x h x -=，所以20m +=，可得2m =-， 即实数m 的值为2-. （3）()2sin()6g x x π=+[0,]x π∈， 7,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()g x 的值域为[1,2]-．当[]1,2x ∈时，存在2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，设()f x 的值域M ， 转化为：函数()f x 的值域是()g x 的值域的子集； 即：当[]1,2x ∈时，[1,2]M ⊆-函数()21f x x mx =-++，对称轴2m x =， 当12m≤时，即2m ≤，可得min ()(2)23f x f m ==-；max ()(1)f x f m ==； 2123m m --<≤≤可得：12m ≤≤；当122m <<时，即24m <<，可得2max ()()124m m f x f ==+，min ()23f x m =-或m ，显然2124m +>，不满足2124m +≤，此时无解；当22m≥时，即4m ≥，可得min ()(1)f x f m ==，max ()(2)23f x f m ==-；不满足232m -≤，此时无解；综上可得实数m 的取值范围为[]1,2【点睛】本题主要考查偶函数的性质的应用，二次函数的最值问题，存在性问题，属于中档题.．20.对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n N n =⋅⋅⋅∈≥，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4,5和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”（不必写过程）； （2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”； （3）若集合{}()*12,,,,3n A a a a n N n =⋅⋅⋅∈≥是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4,5不是“可分集合”，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，若去掉的元素为2a ，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②；若去掉的元素为1a ，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论； （3）①设集合{}12,,,n A a a a =所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,,i M a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数.分类讨论M 为奇数和M 为偶数的情况，分析可得集合A 中元素个数n 为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当3n =时，当5n =时，当7n =时集合A 是否为“可分集合”，从而证明结论.【详解】（1）集合{}1,2,3,4,5不是“可分集合”，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”； （2）不妨设12345a a a a a <<<<，若去掉的元素为2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②；若去掉的元素为1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④. 由①、③，得12a a =，矛盾；由①、④，得12a a =-，矛盾； 由②、③，得12a a =-，矛盾；由②、④，得12a a =，矛盾. 因此当5n =时，集合A 一定不是“可分集合”； （3）①设集合{}12,,,n A a a a =所有元素之和M .由题可知，()1,2,,i M a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数. 如果M 为奇数，则()1,2,,i a i n =也均为奇数，由于12n M a a a =+++，所以n 为奇数.如果M 为偶数，则()1,2,,i a i n =均为偶数，此时设2i i a b =，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n 为奇数. 综上所述，集合A 中元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,a a a 不是“可分集合”.当5n =时，第（2）问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”. 当7n =时，集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，因为：3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13， 1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11， 则集合A 是“可分集合”.所以集合A 中元素个数n 的最小值是7.【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题.。

2022-2023学年北京市密云区高一（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( )A ={x |‒1<x ≤2}B ={‒1,0,1,2}A ∩B =A. B. C. D. {‒1,0,1,2}{0,1}{0,1,2}{‒1,0,1}2. 设：，，则命题的否定是( )p ∃n ∈N n 2>2n +5p A. ， B. ，∀n ∈N n 2>2n +5∀n ∈N n 2≤2n +5C. ， D. ，∃n ∈N n 2≤2n +5∃n ∈N n 2=2n +53. 已知，，则角是( )cosα>0sinα<0αA. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是( )(0,+∞)A.B. C. D. y =1xy =sinx y =x‒2y =e x +e‒x5. 下列不等式成立的是( )A. 若，则B. 若，则a >b >0ac 2>bc 2a <b a 3<b 3C. 若，则D. 若，则a <b <0a 2<ab <b2a >b a 2>b26. 在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，xOy αOx 且横坐标为，则的值为( )45sin (π+α)A. B.C. D.35‒3545‒457. 已知函数，则此函数的最小值等于( )y =x +4x ‒2(x >2)A.B. C. D. 4xx ‒22x x ‒2468. “是第一象限角”是“是单调减函数”的( )x y =cosx A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道C =Blog 2(1+S N)C 容量单位：，为信道带宽单位：，为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带(bps )B (Hz )SN 宽，信噪比在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道B =3000SN =1000.容量最接近的值是( )C A. B. C. D. 3000022000200001800010.定义在上的奇函数，满足且对任意的正数，，有，R f (x )f (1)=0a b (a ≠b )f(a)‒f(b)a ‒b <0则不等式的解集是( )f(x ‒1)x ‒1<0A. B. (‒2,0)∪(1,+∞)(‒∞,‒2)∪(2,+∞)C. D. (‒∞,0)∪(2,+∞)(‒∞,0)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 函数的定义域用区间表示是______．f (x )=x ‒1+1x ‒212. 已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则扇形的弧长为______，面积为______．2113.计算：______用数字作答lg 2+lg 5‒log 24‒(169)‒12=.()14. 函数的定义域是______，最小正周期是______．y =2tan (x ‒π3)15. 混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令f (x )R x 0∈R ，若使得，且当，时，x n =f (x n ‒1)(n =1,2,3,…)∃k ∈N (k ≥2))x k =x 00<j <k j ∈N ，则称是的一个周期为的周期点，给出下列四个结论：x j ≠x 0x 0f (x )k 若，则是周期为的周期点；①f (x )=2(1‒x )23f (x )2若则是周期为的周期点；②f (x )={2x,x <122(1‒x),x ≥12.25f (x )2若则存在周期为的周期点；③f (x )={2x,x <122(1‒x),x ≥12.f (x )3若，则，都不是的周期为的周期点．④f (x )=x (1‒x )∀n ∈N∗12f (x )n 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。

2024北京密云高一（上）期末数 学2024.1本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}1,2,3,5,11A =，{}3,5,11,12B =，则A B ⋂中元素的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知命题p ：x ∀∈R ，e 1x >，那么命题p 的否定为（ ） A. 0x ∃∈R ，0e 1x ≤ B. x ∀∈R ，e 1x < C. 0x ∃∈R ，0e 1x > D. x ∀∈R ，e 1x ≤3. 已知0x >，则12x x+−有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值4−D. 最小值4−4. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. ()sin f x x = B. ()2xf x =C. ()3f x x =D. ()1f x x=−5. 若31log 2a =，3log 0.7b =，0.82c =，则（ ） A. a b c << B. b a c << C. a c b <<D. c a b <<6. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心是（ ） A. π,06⎛⎫−⎪⎝⎭B. π,03⎛⎫⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭D. 2π,03⎛⎫−⎪⎝⎭7. 近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10m /s v =，则两岁燕子飞行速度为20m /s 时，其耗氧量达到（ ）A. 80个单位B. 120个单位C. 160个单位D. 320个单位8. 已知a ，b ，c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（ ） A. 22a b > B. 22a b > C. sin sin a b >D. 22ac bc >9. 设c ∈R ，函数(),12,2x x c x c f x c x c +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（ ）A. []2,0−B. {}(]0,2∞⋃−−C. []1,0−D. {}(]0,1∞⋃−−10. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭，其对应的方程为122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=− ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（0x ≥，其中[]x 为不超过x 的最大整数，05ω<<）.若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为4π3，则点M 到x 轴的距离为（ ）A.14C. 12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 138lg 4lg 25++=____________. 12. 函数()()1ln 2f x x x=++的定义域是______. 13. 已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox为始边，终边经过点22P ⎛−⎝⎭，则sin α=______；若πtan 0n α⎛⎫+> ⎪⎝⎭（n ∈Z ，且0n ≠），则n 的一个取值为______.15. 已知函数()2sin πxf x x x=−给出下列五个结论： ①()f x 存在无数个零点；②不等式()0f x <的解集为()21,2k k −（k ∈Z ）； ③()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()f x 的图象关于直线12x =对称； ⑤对[]2,21x k k ∀∈+（*k ∈N ），都有()()2f x k f x +≤. 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知集合{}5A x x =≤，{}21B x m x m =≤≤−. （1）当4m =时，求B R和A B ⋃；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 17. 已知3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）求πcos 3α⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求πsin 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （3）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，求()cos αβ+的值.18. 已知函数()()233f x x a x a =−++.（1）若不等式()0f x <的解集为()0,3，求a 的值；（2）若不等式()1f x >−对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）解关于x 的不等式()0f x >.19. 已知函数()π2cos sin 3f x x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>） （1）求()0f ；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 唯一确定，求()f x 在区间ππ,66⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 条件①：当()()122f x f x −=时，12x x −的最小值为π2； 条件②：函数()f x 的图象对称中心与相邻的对称轴之间的距离为π4； 条件③：函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增. 注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20. 已知函数()()313x xf x a −=+−⋅.（1）若()f x 为奇函数， （ⅰ）求a 的值，并说明理由；（ⅱ）比较()1f 与()3f 的大小；（结论不要求证明） （2）若[]00,1x ∃∈，使得()06f x ≤，求a 的取值范围. 21. 对于正整数集合{}12,,,n A a a a =（*n ∈N ，3n ≥）如果去掉其中任意一个元素.()1,2,,i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.（1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”，并说明理由； （2）求证：若集合A 是“和谐集”.则集合A 中元素个数为奇数； （3）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】C【分析】求出A B ⋂，即可得出A B ⋂中元素的个数. 【详解】由题意，{}1,2,3,5,11A =，{}3,5,11,12B =，{}3,5,11A B =，故A B ⋂中元素的个数为3， 故选：C. 2. 【答案】A 【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】原命题是全称命题，∴命题p 的否定是“0x ∃∈R ，0e 1x ≤”.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 3. 【答案】B【分析】利用基本不等式求最值即可得到结果.【详解】因为0x >，所以1220x x +−≥=，当且仅当1x x =即1x =时等号成立.故选：B. 4. 【答案】C【分析】根据奇函数和增函数的性质即可得出结论. 【详解】由题意，A 项，定义域为R ，()()sin f x x f x −=−=−为奇函数，函数()f x 为周期函数不是增函数，故错误；B 项，定义域为R ，()2xf x −−=不为奇函数，故错误；C 项，定义域为R ，()()()33f x x x f x −=−=−=−为奇函数，函数()f x 为增函数，故正确；D 项，定义域为()()00−∞⋃+∞，，，关于原点对称，()()1f x f x x−==−为奇函数，函数()f x 在()0−∞，单调递增，在()0+∞，单调递增，但是在定义域上不是增函数，故错误；【分析】根据对数函数的单调性即可比较0a b <<，由指数的性质即可求解a b c <<. 【详解】因为函数3log y x =在定义域上单调递增，所以3331log log 0.7log 102a b =<=<=， 所以0a b <<，又0.820c =>，故a b c <<. 故选：A 6. 【答案】C【分析】先得到()g x 的解析式，整体法求解函数的对称中心，得到答案. 【详解】()ππsin 2sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令π2π,3x k k −=∈Z ，解得ππ,26k x k =+∈Z ，当1k =时，2π3x =，故2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的一个对称中心，C 正确， 经检验，其他选项均不合要求. 故选：C 7. 【答案】C【分析】结合题意结合对数运算求得5a =，然后列方程，利用指对互化求解即可. 【详解】因为两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10m /s v =， 所以24010log 210a a ==，所以5a =，所以25log 10x v =， 当两岁燕子飞行速度为20m /s 时，2205log 10x=，解得4210x =，所以160x =， 即两岁燕子飞行速度为20m /s 时，其耗氧量达到160个单位. 故选：C 8. 【答案】D【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.【详解】当1,0a b =−=时，满足22a b >，但a b >不成立，不满足充分性，A 选项错误； 由指数函数单调性可知，若22a b >，则a b >，反之，若a b >，则22a b >， 所以22a b >是a b >的充要条件，B 选项错误； 当π5π,36a b ==时，满足sin sin a b >，但a b >不成立，不满足充分性，C 选项错误； 若22ac bc >，则有a b >，反之，a b >不能得到22ac bc >，比如当0c 时，22ac bc >不成立，所以22ac bc >是a b >的充分不必要条件，D 选项正确.【分析】分类讨论，利用函数与方程的思想，结合函数性质及图象求解即可. 【详解】若0c >，当x c ≥时，20x c c +≥>，此时函数y x c =+无零点，当x c <时，112022xc c +>>，此时函数122x y c =+无零点，所以()f x 没有一个零点，不合题意； 若0c ，(),02,0x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，画出函数(),02,0x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：由图知当0c 时，函数()f x 恰有一个零点0，满足题意；若0c <，当x c ≥时，由0x c +=得x c =−，此时函数y x c =+恰有一个零点c −，要使函数()f x 恰有一个零点，则当x c <时，函数122xy c =+无零点， 即方程1202xc +=无解，又当x c <时，22x c <，所以22c c ≤−，即202c c+≤， 记()22xx h x =+，则函数()22xx h x =+单调递增，且()111202h −−=−=，所以()()1h c h ≤−，所以1c ≤−； 综上，c 的取值范围是{}(]0,1∞⋃−−. 故选：D 10. 【答案】D 【分析】将π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得到2ω=，得到解析式，代入3π4x =求出答案.【详解】将π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭代入122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=− ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭中得，π21π42sin 22π4ω⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥−= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭，即πsin 14ω=，因为05ω<<，所以π5π044ω<<，所以ππ42ω=，解得2ω=，故122sin 22πx y x ⎛⎫⎡⎤=−⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当3π4x =时，182sin πsin 28333π22y ⎛⎫⎡⎤=−== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 故选：D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】4【分析】根据对数运算和指数运算计算出答案. 【详解】()113338lg 4lg 252lg 4252lg100224++=+⨯=+=+=.故答案为：412. 【答案】()()2,00,−⋃+∞【分析】根据分式函数分母不为零和对数函数的真数大于零列不等式组求解即可. 【详解】要使函数()()1ln 2f x x x =++有意义，则020x x ≠⎧⎨+>⎩，解得2x >−且0x ≠， 所以函数()()1ln 2f x x x=++的定义域为()()2,00,∞−⋃+. 故答案为：()()2,00,∞−⋃+ 13. 【答案】()12f x x =【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=， 所以()12f x x =. 故答案为：()12f x x =.14. 【答案】 ①.2②. 2（答案不唯一） 【分析】由三角函数定义求解sin α，根据特殊角的三角函数值求出角α，然后求解正切函数不等式，根据题意写出答案即可.【详解】因为角α以Ox 为始边，终边经过点,22P ⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭，所以sin2α==；由角α的终边在第二象限，且sin2α=，得()3π2π4k kα=+∈Z，则πtan0nα⎛⎫+>⎪⎝⎭即3ππ3ππtan2πtan044kn n⎛⎫⎛⎫++=+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1113πππππ+,42k k k nn<+<∈∈Z Z即()111311,44k k k nn−<<−∈∈Z Z，故n的一个取值为2（答案不唯一，只要满足()111311,44k k k nn−<<−∈∈Z Z即可）.故答案为：2；2（答案不唯一）15. 【答案】①④⑤【分析】解方程()0f x=判断①；利用特殊区间判断②；利用特殊值法可判断③；推导出()()1f x f x−=判断④；利用单调性性质及不等式性质判断⑤.【详解】对于①，由20x x−≠可得0x≠且1x≠，即函数()f x的定义域为()()(),00,11,∞∞−⋃⋃+，令()0f x=可得sinπ0x=，则()ππx k k=∈Z，且()()(),00,11,x∞∞∈−⋃⋃+，故(),0,1x k k k k=∈≠≠Z，所以函数()f x有无数个零点，①对；对于②，当01x<<时，()210x x x x−=−<，此时0ππx<<，则sinπ0x>，故当01x<<时，()2sinπxf xx x=<−，而()()0,121,2k k⊄−（k∈Z），②错；对于③，22πsin29332242233f⎛⎫⎛⎫==⨯−=−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫−⎪⎝⎭，23sinπ316442333344f⎛⎫⎛⎫==⨯−=−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫−⎪⎝⎭，因为222431282187204843169144⎛⎛⎫−−=−=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即43>，故2334f f⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不可能单调递减，③错；对于④，对任意的()()(),00,11,x∞∞∈−⋃⋃+，()()()()()22sinππsinπ111x xf x f xx xx x−−===−−−−，所以函数()f x 的图象关于直线12x =对称，④对； 对于⑤，对[]2,21x k k ∀∈+（*k ∈N ），()21100x x x x −=−>⨯=， 则有()()2ππ21πk x k k *≤≤+∈N，从而sin π0x ≥，假设函数()f x 在()1,∞+上的最大值点为0x ，则[]()02,21x k k k *∈+∈N ，因为函数2yx x 在()1,∞+上单调递增，且20y x x =−>，对任意的[]()2,21x k k k *∈+∈N，且k *∈N，则()()22220x k x k x x +−+>−>，所以()()2211022x x x k x k >>−+−+， 则()()()()()()()222sin π2πsin πsin π22222x k xxf x k f x x xx k x k x k x k ++==≤=−+−++−+，⑤对. 故答案为：①④⑤.【点睛】关键点点睛：本题第③小问中函数的单调性不好判断，可分析出函数()f x 的最值点所在的区间，并分析出函数()f x 的图象是连续的，再结合最值定理来进行判断.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1） {4B x x =<R或}7x >，{}7A B x x ⋃=≤（2）3m ≤【分析】（1）根据补集和并集概念计算出答案；（2）分B =∅与B ≠∅两种情况，得到不等式，求出实数m 的取值范围. 【小问1详解】4m =时，{}47B x x =≤≤，{4B x x =<R或}7x >，{}{}{}5477A B x x x x x x ⋃=≤⋃≤≤=≤；【小问2详解】B A ⊆，当B =∅时，21m m >−，解得1m <，当B ≠∅时，21215m m m ≤−⎧⎨−≤⎩，解得13m ≤≤，故实数m 的取值范围是3m ≤. 17. 【答案】（1（2（3）1−【分析】（1）利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式计算即可；（2）利用二倍角公式及两角和正弦公式计算即可；（3）根据角β的终边与角α的终边关于y 轴对称求出sin ,cos ββ，然后利用两角和的余弦公式计算即可.【小问1详解】因为3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==，所以πππ413cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫+=−=⨯−= ⎪⎝⎭； 【小问2详解】 因为3sin 5α=，4cos 5α=， 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，27cos212sin 25αα=−=，所以πππ2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225ααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭ 【小问3详解】因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称， 所以3sin sin 5βα==，4cos cos 5βα=−=−， 所以()4433cos cos cos sin sin 15555αβαβαβ⎛⎫+=−=⨯−−⨯=− ⎪⎝⎭. 18. 【答案】（1）0（2）()1,5（3）解集见解析【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出a 即可；（2）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解；（3）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解.【小问1详解】因为不等式()0f x <的解集为()0,3，所以方程()2330x a x a −++=的两根分别为120,3x x ==， 根据韦达定理可知1233x x a +=+=，1230x x a ==，解得0a =；【小问2详解】不等式()1f x >−对任意的x ∈R 恒成立，即()23310x a x a −+++>对任意的x ∈R 恒成立，所以2Δ(3)4(31)0a a =+−+<， 即2650a a −+<，解得15a <<，所以实数a 的取值范围为()1,5；【小问3详解】()()2330f x x a x a =−++>即()()30x a x −−>，当3a >时，不等式()0f x >的解为x a >或3x <，当3a <时，不等式()0f x >的解为3x >或x a <，当3a =时，不等式()0f x >的解为x a ≠，综上所述，当3a >时，不等式()0f x >的解集为()(),3,a ∞∞−⋃+，当3a ≤时，不等式()0f x >的解集为()(),3,a ∞∞−⋃+.19. 【答案】（1）2（2）见解析【分析】（1）根据函数解析式，可得答案；（2）根据三角恒等式化简函数解析式，由题意可得函数的最小正周期，结合正弦函数的单调性，可得答案.【小问1详解】()π02cos0sin23222f =−=⨯−=. 【小问2详解】()πππ2cos sin 2cos sin cos cos sin 32332f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=+−=⋅+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211cos2cos sin sin22222x x x x x ωωωωω+=+−=−，1πsin2cos2sin 2223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 若选①:由题意可得函数()f x 的最小正周期π2π2T =⋅=， 则2π2T ω=，解得1ω=，故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，符合题意， 因πππ2π026633x x −≤≤≤+≤，，则()01f x ≤≤，所以当ππ,66x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，min max ()0,()1f x f x ==. 若选②: 由题意可得函数()f x 的最小周期44T ππ=⋅=， 则2π2T ω=，解得1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，符合题意， 因πππ2π026633x x −≤≤≤+≤，，则()01f x ≤≤， 所以当ππ,66x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，min max ()0,()1f x f x ==. 若选③: 由π5π1212x −≤≤，则ππ5π263363x ωωω−+≤+≤+ 由题意可知ππ5ππ2π2πZ 263632k k k ωω−+≤−+<+≤+∈，， 显然ω不唯一，不符合题意.20. 【答案】（1）（ⅰ）0a =，理由见详解；（ⅱ）()1f <()3f .（2）10a ≤【分析】（1）（ⅰ）由奇函数的定义()()0f x f x +−=即可得到结果. （ⅱ）分别计算出()1f 与()3f 的值进行比较即可.（2）换元令[]003,0,1xt x =∈，[]1,3t ∈，[]00,1x ∃∈，使得()06f x ≤利用分离参数法可转化为261a t t ≤−++，只需()2max 61a t t ≤−++即可.【小问1详解】（ⅰ）0a =，理由如下：因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +−=，即()()3133130x x x x a a −−+−⋅++−⋅=，化简得()330x x a −⋅+=，所以0a =.（ⅱ）()()18113,3273327f f =−==−,故()1f <()3f . 【小问2详解】 ()()313x x f x a −=+−⋅，[]00,1x ∃∈，使得()06f x ≤令[]003,0,1xt x =∈，所以[]1,3t ∈，()06f x ≤可转化为261a t t ≤−++ 只需()2max 61a t t ≤−++即可，令[]261,1,3y t t t =−++∈，图象开口向下，对称轴3t = 当3t =时，max 10y =，所以10a ≤.21. 【答案】（1）不是，理由见解析（2）证明见解析 （3）7【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”； （2）判断任意一个元素i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；（3）由（2）知n 为奇数，根据n 的取值讨论后求解.【小问1详解】当集合{1,2,3,4,5}去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,3,4,5;1,4,3,5;1,5,3,4;1,3,4,5;3,1,4,5;4,1,3,5;5,1,3,4,经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”；【小问2详解】设正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ，3n ≥）所有元素之和为M ，由题意可知(1,2,,)i M a i n −=均为偶数，因此任意一个元素i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的奇偶性相同.若M 是奇数，所以i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）也都是奇数，由于12+++n M a a a =⋅⋅⋅，显然n 为奇数； 若M 是偶数，所以i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）也都是偶数.此时设2i i a b =（1,2,,i n =⋅⋅⋅）,显然{}12,,,n b b b ⋯也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合A 中元素的个数也是奇数，综上所述：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数.【小问3详解】由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然3n =时，集合不是“和谐集”，当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，若A 为“和谐集”，去掉1a 后，得2534a a a a +=+，去掉2a 后，得1534a a a a +=+，两式矛盾，故5n =时，集合不是“和谐集”，当7n =，设{1,3,5,7,9,11,13}A ，去掉1后，35791113+++=+，去掉3后，19135711++=++，去掉5后，91313711+=+++，去掉7后，19113513++=++，去掉9后，13511713+++=+，去掉11后，3791513++=++，去掉13后，1359711+++=+，故{1,3,5,7,9,11,13}A 是“和谐集”，元素个数的最小值为7.【点睛】关键点点睛：此题考查对集合新定义的理解和应用，考查理解能力，解题的关键是对“和谐集”的准确理解，运用分类讨论求解是常用方法，属于较难题.。

北京首都师范大学附属密云中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；⑤，正确的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：B2. 设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x）是偶函数参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令题中选项分别为F（x），然后根据奇偶函数的定义即可得到答案．【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F （x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f （x）﹣f（﹣x）为奇函数，D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，故选D．【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算．3. （）A．B．C．D．参考答案：A4. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A． B．[，4] C．[，3] D．[，＋∞]参考答案：C5. 函数在以下哪个区间内一定有零点 ( )A． B．C． D．参考答案：B略6. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是( )A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）参考答案：B考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得﹣＜x ＜1． 故选B ．点评：本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题7. 在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列 成等比数列，则的值为( )A 、1B 、 D 、4参考答案：A8. 任取x 1，x 2∈[a，b]，且x 1≠x 2，若，称f （x ）是[a ，b]上的凸函数，则下列图象中，是凸函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化．【分析】由题干提供的模型，结合梯形的中位线来解决． 【解答】解：根据模型，曲线应向上凸，故选D 9. 若，··，则（ ） A ．B ．C.D ．参考答案：D10. 已知f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f(－a ＋1)与f 的大小关系是( )A ．f(－a ＋1)>fB ．f(－a ＋1)<fC ．f(－a ＋1)≥fD ．f(－a ＋1)≤f参考答案：D 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f （x ）=0.3|x|的值域为 ．参考答案：（0，1]【考点】函数的值域．【分析】利用换元法，设u=|x|，可得u≥0．则f （u ）=0.3u 是一个单调递减，根据复合函数的性质可得值域．【解答】解：函数f （x ）=0.3|x|设u=|x|，可得u≥0．则f （u ）=0.3u 是一个单调递减的函数， 当u=0时，函数f （u ）取得最大值为1， ∴函数f （x ）=0.3|x|的值域为（0，1]，故答案为（0，1]． 12. 定义在上的奇函数在上的图象如右图所示，则不等式的解集是__．参考答案：13. 若是偶函数，其定义域为 ，则参考答案：1 , -3略14. 若，则y的最小值为．参考答案：4 由题意得，所以，当且仅当，即时等号成立.15.函数的定义域是________________． 参考答案：略16. ，是四面体中任意两条棱所在的直线，则，是共面直线的概率为 . 参考答案： 0.8 略 17. 化简的值为 ．参考答案： 0三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年北京市密云区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．32．（5分）函数f（x）＝cos2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝2x B．y＝x3C．y＝cos x D．y＝ln|x|4．（5分）命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”的否定为（）A．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＜0B．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6≤0C．D．5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如表对应值表：x1234 f（x） 6.1﹣2.9﹣3.5﹣1那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y＝2sin x函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）7．（5分）定义域均为R的两个函数f（x），g（x），“f（x）+g（x）为偶函数”是“f（x），g（x）均为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数关于x的方程f（x）＝m，m∈R．有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（）A．（0，+∞）B．C．D．（1，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）＝．10．（5分）函数y＝x++2（x＞0）的最小值为．11．（5分）函数的定义域是．12．（5分）给出下列三个论断：①a＞b；②；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：．13．（5分）若函数为奇函数，则k＝．14．（5分）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求M∩N，M∪N；（Ⅱ）当a＝4时，求M∩N，M∪N；（Ⅲ）当M∩N＝∅时，求a的取值范围．16．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为．（Ⅰ）求和sin2α的值；（Ⅱ）求的值．17．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x．现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅲ）解不等式xf（x）＜0．18．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的零点．19．（14分）已知函数f（x）＝﹣x2+mx+1，m∈R．（Ⅰ）当m＝2时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数h（x）＝f（x）+2x为偶函数，求m的值；（Ⅲ）设函数，若对任意x1∈[1，2]，总有x2∈[0，π]，使得g（x2）＝f（x1），求m的取值范围．20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素a i（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值．2019-2020学年北京市密云区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】由M与N，求出两集合的交集即可得到结论．【解答】解：因为集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，则集合M∩N＝{1}；故交集中只有1个元素；故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）函数f（x）＝cos2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】根据三角函数的周期公式进行计算即可．【解答】解：函数的周期T＝，故选：B．【点评】本题主要考查函数的周期的计算，根据三角函数的周期公式是解决本题的关键．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝2x B．y＝x3C．y＝cos x D．y＝ln|x|【分析】结合基本初等函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：根据指数函数的性质可知，y＝2x不是偶函数；根据幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；由余弦函数的性质可知，y＝cos x在（0，+∞）上不单调；故选：D．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．4．（5分）命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”的否定为（）A．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＜0B．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6≤0C．D．【分析】原命题是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．【解答】解：因为命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”为全称命题；故其否定为：∃x0＜0，﹣x02+5x0﹣6≤0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，￢P（X）”；对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∃x∈A，￢P（X）”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如表对应值表：x1234 f（x） 6.1﹣2.9﹣3.5﹣1那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）【分析】由图表中的数据可得f（1）•f（2）＜0，再由定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，结合函数零点判定定理得答案．【解答】解：由图表可知，f（1）＞0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）＜0，得f（1）•f（2）＜0，又定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，∴由函数零点判断定理可得，函数f（x）一定存在零点的区间是（1，2）．故选：A．【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y＝2sin x函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）＝A sin（ωx+φ），可得A＝2，＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2sin（2x﹣），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y＝2sin（2x+﹣）＝2sin2x 的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y＝2sin x函数的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）定义域均为R的两个函数f（x），g（x），“f（x）+g（x）为偶函数”是“f（x），g（x）均为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行结合函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：若“f（x），g（x）均为偶函数“，则有f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝g（x），所以h（x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）+g（x）＝h（x），所以“h（x）为偶函数“，反之取f（x）＝x2+x，g（x）＝2﹣x，h（x）＝x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．8．（5分）已知函数关于x的方程f（x）＝m，m∈R．有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（）A．（0，+∞）B．C．D．（1，+∞）【分析】作出函数图象，数形结合即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如图：结合图象可知，x1+x2＝﹣2，﹣log2x3＝log2x4，故x3x4＝1，根据题意，m∈（0，1），则log2x4∈（0，1），故x4∈（1，2），则x1+x2+x3+x4＝﹣2+x4+，根据对勾函数y＝x+在（1，2）上单调递增，故x1+x2+x3+x4＝﹣2+x4+在（1，2）上单调递增，所以x1+x2+x3+x4＝﹣2+x4+∈（0，），故选：B．【点评】本题考查了函数零点与方程解得关系，考查数形结合思想，对勾函数性质，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）＝6．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可求．【解答】解：＝3+1+2＝6．故答案为：6【点评】本题主要考查了指数与对数的基本运算，属于基础试题．10．（5分）函数y＝x++2（x＞0）的最小值为6．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴函数y＝x++2≥2+2＝2×2+2＝6当且仅当x＝，x＞0，即x＝2时，上式取等号．故答案为：6．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求函数在给定区域上的最小值，属于基础题．11．（5分）函数的定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}．【分析】根据正切函数的定义与性质，列不等式求出x的取值范围．【解答】解：函数中，令x﹣≠kπ+，k∈Z，解得x≠kπ+，k∈Z；所以函数y的定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}．故答案为：{x|x≠kπ+，k∈Z}．【点评】本题考查了正切函数的定义与应用问题，是基础题．12．（5分）给出下列三个论断：①a＞b；②；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：若a＞b，a ＜0且b＜0，则或者若，a＜0且b＜0，则a＞b．【分析】根据不等式的关系，结合命题关系进行判断即可．【解答】解：若①a＞b；③a＜0且b＜0，则0＞a＞b，则②成立，即真命题为：若a＞b，a＜0且b＜0，则，若；a＜0且b＜0，则a＞b成立，即；a＜0且b＜0，则a＞b是真命题，故答案为：若a＞b，a＜0且b＜0，则，或者若，a＜0且b＜0，则a＞b．【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．难度不大．13．（5分）若函数为奇函数，则k＝1或﹣1．【分析】若0不在定义域内，即1+k＝0；若定义域内有0，则f（0）＝0，代入即可求解．【解答】解：因为为奇函数，若0不在定义域内，即1+k＝0，此时f（x）＝﹣符合题意，若定义域内有0，根据奇函数的性质可知f（0）＝＝0，故k＝1，此时f（x）＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足题意．故答案为：1或﹣1．【点评】本题主要考查了奇函数性质的简单应用，属于基础试题．14．（5分）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．【分析】根据题意中的假设，可得M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9＝lgx+3，5＝lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝3﹣（﹣3）＝6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9＝lgx+3，5＝lgy+3，解得x＝106，y＝102，∴．故答案为：6，10000．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求M∩N，M∪N；（Ⅱ）当a＝4时，求M∩N，M∪N；（Ⅲ）当M∩N＝∅时，求a的取值范围．【分析】直接根据a的值，求出N，进而求解前两问；根据M与N的交集为∅，即可求得结论．【解答】解：因为集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．（Ⅰ）当a＝﹣1时，N＝{x|x≤﹣1}；∴M∩N＝（﹣2，﹣1]，M∪N＝（﹣∞，3]；（Ⅱ）当a＝4时，N＝{x|x≤4}；∴M∩N＝（﹣2，3]，M∪N＝（﹣∞，4]；（Ⅲ）当M∩N＝∅时，须有a≤﹣2；即a的取值范围是：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题主要考查了交集，并集及其运算，熟练掌握交集，并集的定义是解本题的关键．16．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为．（Ⅰ）求和sin2α的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由两角和的余弦及二倍角的正弦求解和sin2α的值；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|OP|＝1，则sinα＝，cos．∴＝＝，sin2α＝2sinαcosα＝2×＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanα＝，则＝＝．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．17．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x．现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅲ）解不等式xf（x）＜0．【分析】（I）结合已知及偶函数的图象关于y轴对称性质可求；（II）由已知函数解析式及偶函数的定义可求；（III）结合函数的图象即可直接求解．【解答】解：（I）根据偶函数的图象关于y轴对称可得图象如图所示；结合图象可得函数f（x）的单调增区间[﹣2，0]，（2，+∞），减区间（﹣∞，﹣2），（0，2）；（II）因为x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，根据偶函数的对称性可知，当x＜0时f（x）＝x2+4x，故f（x）＝；（III）由xf（x）＜0可得或，结合图象可得，0＜x＜4或x＜﹣4，故不等式的解集为{x|0＜x＜4或x＜﹣4}．【点评】本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的单调性，求解函数解析式及不等式的求解，属于中档试题．18．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的零点．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间和最小正周期．（Ⅱ）利用函数和方程之间的转换的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数＝＝．所以函数的最小正周期为．令，解得，所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．令，解得：，所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（Ⅱ）由于f（x）＝，所以的解为：或（k∈Z），解得：{x|x＝}（k∈Z）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（14分）已知函数f（x）＝﹣x2+mx+1，m∈R．（Ⅰ）当m＝2时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数h（x）＝f（x）+2x为偶函数，求m的值；（Ⅲ）设函数，若对任意x1∈[1，2]，总有x2∈[0，π]，使得g（x2）＝f（x1），求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）代入m的值，求出函数的最大值即可；（Ⅱ）根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；（Ⅲ）求解f（x）的值域M和g（x）的值域N，可得M⊆N，即可求解实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）m＝2时，f（x）＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，故f（x）的最大值是2；（Ⅱ）函数h（x）＝f（x）+2x＝﹣x2+（m+2）x+1，为偶函数，可得m+2＝0，可得m＝﹣2即实数m的值为﹣2；（Ⅲ）g（x）＝2sin（x+）．∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，那么g（x）的值域N＝[﹣1，2]．当x1∈[1，2]时，总有x2∈[0，π]，使得g（x2）＝f（x1），转化为函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集；即：当x∈[1，2]时，﹣1≤f（x）≤2函数f（x）＝﹣x2+mx+1，其对称轴x＝，当≤﹣1时，即m≤﹣2，可得f（x）min＝f（2）＝2m﹣3；f（x）max＝f（﹣1）＝﹣m；此时无解．当﹣1＜≤2时，即﹣2＜m≤4可得f（x）max＝f（）＝+1；f（x）min＝2m﹣3或m；可得：1≤m≤2当＞2时，即m＞4，可得f（x）min＝f（﹣1）＝﹣m；f（x）max＝f（2）＝2m﹣3；此时无解．综上可得实数m的取值范围为[1，2]．【点评】本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题．20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素a i（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值．【分析】（Ⅰ）根据定义直接判断即可得到结论；（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，a n}所有元素之和为M，由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．分类讨论M为奇数和M为偶数的情况，分析可得集合A中元素个数n为奇数；②结合（Ⅰ）（Ⅱ）问，依次验证当n＝3时，当n＝5时，当n＝7时集合A是否为“可分集合”，从而证明结论．【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“可分集合”，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”；（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得，a1＝a2矛盾．因此当n＝5时，集合一定不是“可分集合”；（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，a n}的所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．如果M为奇数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．如果M为偶数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．②当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“可分集合”．当n＝5时，第（Ⅱ）问已经证明集合A＝{a1，a3，a4，a5}不是“可分集合”．当n＝7时，集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为：3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A是“可分集合”．所以集合A中元素个数n的最小值是7．【点评】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题．。

北京市密云区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合，集合，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】根据集合交集的概念，找到两个集合的公共元素，得到.故选A．2. 函数的定义域是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则故得到定义域为 .故选C.3. （）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.4. 为了得到函数的图象，只需将的的图象上每一点（）．A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】这是同名函数的平移变换，，根据左加右减，得到要将函数向左平移个单位长度．故答案选B．5. 函数的零点所在的区间是（）．A. B. C. D.【答案】C故零点在区间上。

故答案选C．6. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数式奇函数，在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数，再根据可画出函数在上的图像，根据对称性画出在上的图像。

根据图像得到的解集是：。

故选A。

7. 某市家庭煤气的使用量和煤气费(元) 满足关系，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：元元元若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）元A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B= ，故x=20时：f （20）=4+（20﹣5）=11.5.故选：C．点睛：这是函数的实际应用题型，根据题目中的条件和已知点得到分段函数的未知量的值，首先得到函数表达式，再根据题意让求自变量为20时的函数值，求出即可。

实际应用题型，一般是先根据题意构建模型，列出表达式，根据条件求解问题即可。