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人教B版高中数学必修第四册11.1.5旋转体课件（共43张PPT）(共43张PPT)11．1.5旋转体新知初探·自主学习课堂探究·素养提升课程标准1.认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．新知初探·自主学习教材要点知识点一圆柱的结构特征定义以____________所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体图示及相关概念轴：________叫做圆柱的轴底面：________的边旋转而成的圆面侧面：________的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，______________柱体：___________统称为柱体矩形的一边轴底面侧面母线底面旋转轴垂直于轴平行于轴不垂直于轴的边圆柱和棱柱知识点二圆锥的结构特征定义以____________________所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周形成的几何体图示及相关概念轴：________叫做圆锥的轴底面：________的边旋转而成的圆面侧面：_______________旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，______________锥体：___________统称为锥体直角三角形的一条直角边侧面母线底面轴旋转轴垂直于轴直角三角形的斜边不垂直于轴的边棱锥和圆锥知识点三圆台的结构特征定义以____________________所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：圆锥的________底面：__________________旋转而成的圆面侧面：______________旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，______________台体：__________统称为台体直角梯形垂直于底边的腰底面侧面母线底面轴旋转轴直角梯形的上边和下边不垂直于轴的边不垂直于轴的边棱台与圆台知识点四球的结构特征定义以__________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的________半径：半圆的________直径：半圆的________半圆的直径球心半径直径圆心半径直径知识点五1．简单组合体由__________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．简单几何体状元随笔等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？[提示]圆锥知识点六旋转体的面积问题1．侧面积公式(1)S圆柱侧＝____________．(2)S圆锥侧＝____________．(3)S圆台侧＝____________．2πrlπrlπ(r1＋r2)l2．旋转体的表面积(1)旋转体的侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱＝________，r为底面半径，l为母线长圆锥S圆锥＝________，r为底面半径，l为母线长2πr(r＋l)πr(r＋l)(3)球的表面积S＝________(R为球的半径)．圆台S圆台＝______________，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为母线长π(r′2＋r2＋r′l＋rl)4πR2基础自测1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点．()(2)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()解析：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由此可知此说法正确．解析：用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台．√×(3)用任意一个平面去截球，得到的是一个圆面．()(4)圆台的高就是相应母线的长．()解析：因为球是一个几何体，包括表面及其内部，所以用一个平面去截球，得到的是一个圆面．解析：圆台的高是指两个底面之间的距离．√×2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于()A．6 B．8C．10 D．不确定答案：B解析：由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为＝8.3．如图所示的组合体的结构特征是()A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台答案：C解析：由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥．4．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．①解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．课堂探究·素养提升题型1旋转体的结构特征例1(1)判断下列各命题是否正确①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；④到定点的距离等于定长的点的集合是球．【解析】①错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．②错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．③正确．④错．应为球面．(2)下列三个结论中，错误的个数为()①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0个B．1个C．2个D．3个依据旋转体及其相关概念逐项判断．【解析】当球面上的两点与球心共线时可作无数个球的大圆，①错；S球＝4πR2，S大圆＝πR2.所以S球＝4S大圆，②正确；球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，并非在任意截面圆上，所以③错．【答案】C方法归纳(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．跟踪训练1(1)下列命题中正确的是()A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线答案：C解析：A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.(2)长方体的一个顶点上三条棱分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A．25π B．50πC．125π D．以上都不对答案：B解析：由于长方体的体对角线的长是球的直径．所以可求得这个球的直径是5，然后代入球的表面积公式S＝4πR2即可．题型2简单组合体的结构特征例2如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．【解析】如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后的剩余部分．状元随笔关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成．方法归纳本题是不规则图形的旋转问题．对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．跟踪训练2(1)描述下列几何体的结构特征．解析：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．(2)一直角梯形ABCD如图所示，分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．解析：以AB所在直线为轴旋转可得到一个圆台；以BC所在直线为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD所在直线为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD所在直线为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．题型3旋转体中的计算【思考探究】 1. 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？[提示]圆面．2. 圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？[提示]分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．3. 经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？[提示]因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．4. 球的截面是什么？[提示]球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．例3(1)母线长为12 cm，两底面面积分别为和25π cm2，求圆台的高；【解析】截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知，腰长为12 cm，所以高AM＝＝3(cm)．(2)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是________；【解析】如图所示，因为两个平行截面的面积分别为5π、8π，所以两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.因为球心到两个截面的距离d1＝＝1，所以R2＝9，所以R＝3.3状元随笔(1)作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形，计算等腰梯形的高即为圆台的高．(2)作出球的大圆，注意球心与截面的圆心连线垂直于截面，注意在直角三角形中求解即可．(3)如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4 m，求此圆锥底面圆的半径．【解析】作出圆锥的侧面展开图，如图所示，该小虫爬行的最短路程为PP′，在∥OPP′中，OP＝OP′＝4 m，PP′＝4 m，取线段PP′的中点A，连接OA.在Rt∥POA中，PA＝PP′＝2 m，OP＝4 m，所以sin ∥POA＝＝，所以∥POA＝60°，∥P′OP＝2∥POA＝120°.设底面圆的半径为r，则有2πr＝π·4，所以r＝(m)．方法归纳与圆锥有关的截面问题的解决策略求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．跟踪训练3(1)母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2的圆台还原为圆锥后，其它条件不变，求圆锥的母线长；(2)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径．解析：(1)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由∥SAO1∥∥SBO，可得＝，解得l＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.(2)设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，得＝，即1－＝，解得r＝1.即圆柱的底面半径为1.教材反思1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用．(2)简单组合体的构成形式及识别方法．3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错．。
高数求旋转体体积公式一、引言在数学领域，特别是高等数学中，我们经常会遇到一些形状不规则的物体。
这些物体通常由曲线或直线围成，而它们的体积可以通过特定的方法进行计算。
其中一种常见的方法是使用旋转体体积公式。
本文将详细介绍如何利用这个公式来求解旋转体的体积。
二、旋转体体积公式概述旋转体体积公式是指，一个平面图形绕着它的某一轴线旋转所形成的立体体积的计算公式。
其基本形式为V = ∫πr²θh dθ，其中V代表体积，r是底圆半径，θ是角度变量，h是高，dθ表示对角度的微分。
积分是对所有角度的求和。
三、具体应用及实例1. 圆柱体：当旋转体围绕其中心垂直于平面的轴线旋转时，得到的几何体通常是圆柱体。
我们可以将该问题简化为求出圆的周长（2πr）乘以高度（h）。
这种情况下，面积积分可以视为周长的函数，因此可以用定积分的概念进行处理。
2. 圆锥体：如果旋转体是从一个斜面或锥形开始，然后围绕其中一个边旋转，那么得到的几何体就是一个圆锥。
在这种情况下，可以使用旋转体体积公式结合三角形的面积来进行计算。
3. 其他形状：除了上述两种情况外，还可以通过旋转更复杂的图形来形成各种不同的旋转体。
例如，可以将多边形作为母体，然后将其各边按照一定顺序依次围绕一条轴线旋转，得到新的几何形体。
此时需要用到积分的知识以及相应的技巧来解决实际问题。
四、进一步讨论与扩展1. 更复杂的旋转体：除了上述的圆柱和圆锥，还可以通过围绕不同的轴线旋转更复杂的图形来形成其他类型的旋转体。
例如，可以通过将多边形围绕其边界上的点进行旋转来得到旋转星体等。
这些问题的解决需要更深入的理解积分以及形状与体积之间的关系。
2. 自适应算法：在实际应用中，可能需要求解涉及大量数据或复杂几何形状的问题。
此时，可以使用一些自适应的算法来优化计算效率。
例如，可以根据问题的具体情况选择合适的坐标系，或者使用分治等方法将大问题分解为小问题来解决。
3. 与其他方法的结合：旋转体体积公式并不是wei一的立体体积计算方法。
高中数学立体几何旋转体积计算技巧立体几何是高中数学中的一大难点，而其中的旋转体积计算更是让许多学生头疼的问题。
本文将介绍一些高中数学立体几何旋转体积计算的技巧，帮助学生们更好地应对这一难题。
一、圆柱的旋转体积计算圆柱是最常见的旋转体，计算其体积可以使用公式V=πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
举个例子来说明，假设有一个半径为5cm，高度为10cm的圆柱，我们可以直接代入公式计算得到V=π×5²×10=250π cm³。
二、圆锥的旋转体积计算圆锥的旋转体积计算相对复杂一些，但我们可以利用类似的方法进行推导。
首先，我们需要找到旋转体的底面半径和高度。
假设有一个底面半径为4cm，高度为6cm的圆锥，我们可以计算出其底面圆的面积为A=π×4²=16π cm²。
接下来，我们需要确定旋转体的生成曲线。
对于圆锥来说，生成曲线就是从顶点到底面圆上的一条斜线，也就是圆锥的母线。
我们可以利用勾股定理计算出圆锥的母线长度L=√(h²+r²)=√(6²+4²)=√52 cm。
最后，我们可以将圆锥分解成一系列圆柱，每个圆柱的底面半径都是对应高度上圆锥底面半径的比例。
这样，我们就可以计算出每个圆柱的体积，然后将它们相加得到整个圆锥的体积。
举个例子来说明，假设我们要计算一个底面半径为4cm，高度为6cm的圆锥的体积。
我们可以将圆锥分解成一系列高度为1cm的圆柱，每个圆柱的底面半径都是对应高度上圆锥底面半径的比例。
那么，第一个圆柱的底面半径为4cm，高度为1cm，体积为V₁=π×4²×1=16π cm³。
第二个圆柱的底面半径为(4×5/6)cm≈3.33cm，高度为1cm，体积为V₂=π×(4×5/6)²×1≈11.11π cm³。
