立体几何基本方法总结

立体几何七大解题技巧-回复
1. 使用图像：画出图形或者观察图片，有助于理解和解决问题。

2. 切片法：在一个立体图形中切入一块平面，来理解和计算体积面积等。

3. 投影法：用平面来投影三维图形，从而更好地理解形状和大小。

4. 相似三角形法：利用相似三角形的性质，解决三维图形中的相关问题。

5. 合理的编号法：对于一些需要对立体图形部分进行编号的问题，要确保编号合理清晰。

6. 基础公式法：对于常见的体积、表面积公式要熟练掌握，建立其相互之间联系和推算的方法。

7. 分形思维法：将大的几何图形分成小的组成部分，进行单独计算，最后合并起来得到整个图形的解。

1、建系写点坐标 2、求平面内任一点与已知点 连线的方向和平面法向量 3、代入公式求点面距 公式： d
| an | |n|
其中： a 已知点与平面内一点 连线的方向向量， n 为平面法 向量。
VP-ABC =VA-PBC =VB-APC =VC-APB
从而有：
S△ABC·d=S△PBC·hA=……. (S△ABC 、S△PBC 、hA 易求)
面法向量 几何法： 1、认准两面和一棱， 2、取点找棱两垂线， 3、注意分别在两面； 4、证两个线线垂直， 5、即可定出平面角， 6、之后求角得结论。 1、建系写点和相关向量坐标 2、求两平面的法向量 3、代入公式求角 4、根据图形判断是锐二面角还是 钝二面角，从而取值。 公式：
| cos || cos a, n |
符号语言
面面垂直
图形语言
符号语言
1、 证明其中一个平面 内的一条直线垂直于 另一个平面（线面垂 直） 2、 列出直线含于平面 的条件 3、 得结论 （面面垂直）
线线垂直
1、勾股定理 2、线面垂直定义 3、 三垂线定理及逆定 理（
用三垂线证明线线垂 直的书写要点： 1、证明线面垂直 2、 指出斜线面内射影 3、 证明平面内的直线 和斜线垂直或和射影 垂直 4、 说明直线在平面内 5、得结论
公式： d
| AB n | |n|
其中：A、B 分别是两条异面 直线上得点， n 为与两直线都 垂直的向量（及公垂线的方 向向量）
sin | cos a, n |
| an | | a || n |
其中：a 为直线方向向量，n 为平 范围： 二面角
二面角平面角的作法： ①直接法： （略） ②三垂线法：如图，作 PH⊥β， PE ⊥ l 连 EH， 由三 垂线定理逆定理知 EH ⊥ l ，故∠ PEH 为二面角的平面角；或作 PH⊥β过 H 作 HE⊥l，连 PE，由 三垂线定理知，PE⊥l，故∠PEH

立体几何中的体积与面积计算方法总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的物体的形状、大小以及相互关系。

在立体几何中，体积和面积是两个常见且重要的概念。

本文将总结一些常见的体积和面积计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、体积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等，可以直接通过公式计算其体积。

例如，长方体的体积公式为V = l × w × h，其中l、w、h分别表示长方体的长度、宽度和高度。

2. 分割求和法：对于一些复杂的几何体，可以通过将其分割成若干个简单的几何体，然后计算每个简单几何体的体积，最后将它们求和得到整个几何体的体积。

这种方法常用于计算不规则体的体积，如棱柱、棱锥等。

3. 旋转体积法：对于一些具有旋转对称性的几何体，可以通过旋转这个几何体得到一个旋转体，然后计算旋转体的体积，并乘以旋转角度的比例系数得到原几何体的体积。

这种方法常用于计算圆锥、圆台等几何体的体积。

二、面积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何形状，如矩形、正方形、圆形等，可以直接通过公式计算其面积。

例如，矩形的面积公式为A = l × w，其中l和w分别表示矩形的长度和宽度。

2. 分割求和法：对于一些复杂的几何形状，可以通过将其分割成若干个简单的几何形状，然后计算每个简单形状的面积，最后将它们求和得到整个几何形状的面积。

这种方法常用于计算不规则图形的面积，如多边形、曲线图形等。

3. 面积积分法：对于一些无法通过简单的公式计算的几何形状，可以利用面积积分的方法进行计算。

面积积分是将几何形状分割成无穷小的面元，然后对每个面元的面积进行积分得到整个几何形状的面积。

这种方法常用于计算曲面的面积。

三、应用举例1. 体积计算应用：在建筑工程中，需要计算房间的体积，以确定所需的建材数量。

在制造业中，需要计算产品的体积，以确定运输和储存的空间需求。

立体几何常考法则总结(八大法则)立体几何是数学中的一个分支，涉及到空间中的物体、图形和曲线。

在解决立体几何问题时，掌握一些常考的法则非常重要。

本文将总结八个常考的立体几何法则，供您参考。

1. 图形的投影图形的投影是指将三维图形在某个平面上的投影。

常见的投影有平行投影和透视投影。

平行投影时，图形的各个点在投影平面上的位置与其在真实空间中的位置保持平行关系。

透视投影则会考虑到离观察点距离的因素，使得远离观察点的部分缩小。

2. 球面的性质球面是立体几何中的一个重要概念。

球面的性质包括球心、半径、表面积和体积等。

球面上的点到球心的距离都相等，半径决定了球面的大小。

通过半径的变化，可以求得球面的表面积和体积。

3. 平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系有三种可能：平行、相交和重合。

平面与直线平行时，其法向量垂直于直线的方向向量。

平面与直线相交时，它们一定有一个交点。

平面与直线重合时，它们完全重合，有无数个交点。

4. 直线的投影直线的投影是指将三维空间中的直线在某个平面上的投影。

直线的投影可以通过确定平行于投影面的直线来实现。

根据直线在投影面上的投影长度，可以判断直线和投影面的位置关系。

5. 平行四边形的性质平行四边形是具有两对平行边的四边形。

平行四边形的对角线互相平分，并且对角线相互垂直。

平行四边形的面积可以通过底边长和高来计算。

6. 立体图形的拓展表面积立体图形的拓展表面积是指将其展开为平面图形后，各个面的面积之和。

将立体图形展开为平面图形可以更方便地计算面积。

常见的立体图形包括正方体、长方体、圆柱体和圆锥体等。

7. 三棱锥的性质三棱锥是一个底面为三角形的四面体。

三棱锥的底面三边的中位线交于一个点，该点到底面各顶点的距离相等。

三棱锥的体积可以通过底面积和高来计算。

8. 平行六面体的性质平行六面体是具有六个平行四边形作为底面和顶面的立体图形。

平行六面体的相对面积相等，并且对应边互相平行。

平行六面体的体积可以通过底面积和高来计算。

立体几何的基本知识点总结立体几何是几何学的一个重要分支，研究物体的形状、大小、位置等特征。

在学习立体几何时，我们需要了解一些基本的知识点。

本文将对立体几何的基本概念、性质、公式等进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

1. 点、线、面和体立体几何研究的对象主要有点、线、面和体。

点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无限多个点连起来形成的，用来表示长度和方向；面是由无限多条线组成的，具有长度和宽度，用来表示平面；体则是由无限多个面组成的，具有长度、宽度和高度，用来表示立体物体。

2. 四面体、正方体和圆柱体四面体是由四个面组成的立体体，每个面都是一个三角形；正方体是由六个面组成的立体体，每个面都是一个正方形；圆柱体是由一个底面和一个平行于底面的曲面组成的立体体，底面为圆形。

3. 长方体、棱柱和棱锥长方体是由六个矩形面组成的立体体，每个面都有四个直角；棱柱是由两个平行且相等的多边形组成的立体体，这两个多边形分别称为底面和顶面；棱锥是由一个多边形底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体。

4. 体积和表面积体积是用来衡量立体体所占空间的大小，常用单位有立方厘米、立方米等；表面积是用来衡量立体体外部所包围的面积，常用单位有平方厘米、平方米等。

不同形状的立体体计算体积和表面积的方法也不同，例如长方形的体积为长乘宽乘高，表面积为底面积的两倍加上侧面积。

5. 平行四边形的性质平行四边形是指有两对边分别平行的四边形，其性质包括：对边相等、对角线互相平分、对角线长度平方等于两条对边长度平方和、对角线互相垂直等。

6. 圆锥的性质圆锥是由一个底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体，其性质包括：底面与侧面接触于一条直线上、侧面都是直角三角形、顶点到底面的垂线与底面的切点连线垂直等。

7. 球的性质球是由无数个平行的点组成的立体体，其性质包括：球心到球面上任意一点的距离都相等、球面上任意两点之间的最短距离是球心到这两点连线的长度、球表面积等于4πr²（其中r为半径）、球体积等于4/3πr³等。

数学解决立体几何问题的四种常用方法数学作为一门科学，其应用范围及其广泛。

在解决现实生活中的各种问题中，立体几何问题是其中之一。

在本文中，将介绍数学解决立体几何问题的四种常用方法，分别是平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。

一、平面几何方法平面几何方法是解决立体几何问题最常用的方法之一。

该方法的基本思想是将立体几何问题转化为平面几何问题来求解。

具体来说，可以通过绘制立体几何图形的几个视图，将其分解为多个平面几何图形，然后利用平面几何中的定理和性质进行求解。

例如，对于一个立方体求其体积，可以将其展开成一个平面图形，然后计算出展开图形的面积。

再根据立方体的性质，将展开图形的面积乘以立方体高度所得的积即为立方体的体积。

二、向量法向量法是一种几何分析方法，可以有效地解决立体几何问题。

该方法利用向量的运算和性质，将立体几何问题转化为向量计算问题来求解。

在利用向量法解决立体几何问题时，首先需要确定坐标系，并定义几何体的位置和方向。

然后，通过向量运算来计算几何体的性质。

例如，对于一个平行六面体的体积，可以通过计算其底面向量与高度向量的叉积来求解。

三、投影法投影法是解决立体几何问题的另一种常用方法。

该方法利用几何体在不同平面上的投影关系，将立体几何问题转化为投影几何问题来求解。

具体来说，可以通过绘制几何体在不同平面上的投影图形，并利用投影几何的定理和性质进行求解。

例如，对于一个棱柱在某个平面上的截面积，可以通过计算棱柱的投影图形在该平面上的面积来求解。

四、立体坐标法立体坐标法是一种通过引入三维坐标系来解决立体几何问题的方法。

该方法通过确定几何体的坐标，将立体几何问题转化为坐标几何问题来求解。

在利用立体坐标法解决立体几何问题时，首先需要建立一个三维坐标系，并确定几何体的坐标。

然后，通过坐标运算来计算几何体的性质。

例如，对于一个球体求其体积，可以根据球体的坐标及其半径，利用坐标运算公式计算出体积。

总结起来，数学解决立体几何问题的常用方法有平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。

高中数学中的立体几何知识点总结立体几何是高中数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的物体形状、大小以及它们之间的相互关系。

本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，帮助同学们梳理和复习相关内容。

一、点、线、面的关系1. 点：点是空间中最基本的概念，没有大小和形状，只有位置坐标。

2. 线：两个点确定一条线段，线段有长度，可以延伸成直线。

3. 面：三个或三个以上的点确定一个面，面有面积，可以延伸成平面。

二、多面体1. 三棱锥：底面为三角形，侧面为三角形的四面体。

2. 四棱锥：底面为四边形，侧面为三角形的五面体。

3. 五棱锥：底面为五边形，侧面为三角形的六面体。

4. 正棱锥：底面为正多边形，侧面为等边三角形的多面体。

5. 正方体：六个面都是正方形的多面体。

6. 正四面体：四个面都是正三角形的多面体。

7. 正六面体：六个面都是正方形的多面体。

三、平面图形与立体图形1. 投影：图形在投影面上的图象。

2. 平行投影：平行于投影面的投影方式，不改变图形的形状和面积。

3. 斜投影：不平行于投影面的投影方式，改变图形的形状和面积。

4. 立体图形的展开图：将立体图形展开成平面图，便于计算和分析。

5. 空间几何体的视图：主视图、俯视图和侧视图，用来描述一个立体图形。

四、平行与垂直1. 平行关系：两条直线在同一个平面上，且永远不相交。

2. 垂直关系：两条直线在同一个平面上，且相交成直角。

五、角与平面的关系1. 角：由两条射线共同确定的图形，可以是平面角或空间角。

2. 平面角：两个相交的平面所夹的角，范围为0到180度。

3. 相对角：两个相交直线上相对的两个角。

六、面积与体积1. 面积：平面图形所占的面积，常见的有三角形、四边形、圆形的计算公式。

2. 体积：三维物体所占的空间大小，常见的有长方体、正方体、棱柱、棱锥、球体的计算公式。

七、相交与相切1. 相交：两个或多个图形交叠在一起。

2. 相切：两个或多个图形只有一个点是共同的。

立体几何知识点归纳总结立体几何是几何学中一个重要的分支，主要研究空间中的物体的形状、大小和位置等问题。

它不仅在工程技术和科学领域有广泛的应用，而且在美术和设计等领域也占有重要地位。

本文将对立体几何的知识点进行归纳总结。

一、立体图形的基本概念立体图形指的是具有长度、宽度和高度三个维度的物体。

立体图形有很多种分类方法，其中最常用的是按形状分类。

按形状分类后，立体图形主要可以分为正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等几种。

二、立体图形的表面积和体积在立体几何中，表面积和体积是非常重要的概念。

表面积指的是立体图形所有表面的总面积，体积指的是立体图形所占据的空间大小。

计算不同形状的立体图形的表面积和体积的公式如下：1.正方体：表面积=6a²，体积=a³（a为正方体的边长）2.长方体：表面积=2ab+2bc+2ca，体积=abc（a,b,c分别为长方体的三条棱）3.圆柱：表面积=2πrh+2πr²，体积=πr²h（r为底面的半径，h为高）4.圆锥：表面积=πr（r+√（r²+h²））（r为底面的半径，h为高），体积=1/3πr²h。

5.球：表面积=4πr²，体积=4/3πr³（r为球的半径）三、立体几何的计算方法计算立体几何的方法有很多，常用的方法包括平面截面法、双积最小法和体性变换法等。

下面我们来逐一介绍这三种方法。

1.平面截面法：这种方法主要用于计算有规律的立体图形的体积，如正方体、长方体、圆柱等。

方法是将立体图形沿着某个方向划分成若干个小立方体或小圆柱，然后将小立方体或小圆柱的体积加起来即可得到整个立体图形的体积。

2.双积最小法：这种方法主要用来计算任意形状的立体图形的体积。

方法是将该立体图形投影到某个平面上，形成一个平面图形。

然后在平面图形上任取两个正交坐标轴，计算这两个坐标轴的积分。

最后将两个积分结果相乘，再乘以某个系数即可得到该立体图形的体积。

立体几何知识点归纳总结立体几何是数学中研究三维空间中几何形状和它们之间关系的学科。

它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在工程、建筑、物理学等多个领域都有广泛的应用。

以下是立体几何的一些关键知识点的归纳总结：1. 空间直线与平面：立体几何的基础是理解空间中的直线和平面。

直线是一维对象，而平面是二维对象。

在空间中，直线与平面可以相交、平行或位于同一平面内。

2. 空间角：立体几何中的空间角包括直线与直线之间的角度、直线与平面之间的角度以及平面与平面之间的角度。

这些角度的测量是立体几何中的重要内容。

3. 多面体与多边形：多面体是空间中由多条边和多个面组成的封闭形状，如立方体、四面体等。

多边形是平面上的封闭形状，如三角形、矩形等。

立体几何中研究多面体的面、边、顶点以及它们之间的关系。

4. 体积与表面积：计算立体图形的体积和表面积是立体几何中的核心问题。

对于规则的几何体，如立方体、球体、圆柱体等，有固定的公式来计算它们的体积和表面积。

5. 向量：向量是具有大小和方向的量，它在立体几何中用于描述空间中的位置、运动和力。

向量运算，如向量加法、标量乘法和点积，是解决立体几何问题的重要工具。

6. 坐标系：在立体几何中，通常使用笛卡尔坐标系来确定空间中点的位置。

通过三个坐标轴（通常是x、y和z轴），可以精确地描述空间中的任何一点。

7. 对称性：立体几何中的对称性包括反射对称、旋转对称和滑移对称。

对称性是理解几何形状和它们的性质的关键。

8. 投影：在立体几何中，投影是将三维对象映射到二维平面上的过程。

这在工程图纸和建筑设计中非常重要。

9. 锥体与柱体：锥体和柱体是常见的立体几何形状。

它们由一个底面和连接底面各点到一个共同顶点的线段组成。

锥体和柱体的体积和表面积的计算是立体几何中的重要内容。

10. 曲面：曲面是立体几何中的二维表面，它们可以是平面的，也可以是弯曲的。

曲面的研究包括曲面的方程、曲面的几何性质以及曲面上的路径等。

空间立体几何方法总结（一）方法总结1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。

（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）直线和平面垂直证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互垂直证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离1．直接法：根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。

2．转化法：把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离．（2）点到平面的距离求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

②等体积法。

③向量法。

3．求角（1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为απ-2或2πα-。

3、二面角找二面角的棱,进而找棱的两条垂线当二面角的棱已知时：（1）定义法 (2)垂面法 （3）三垂线定理法当二面角的棱未知时：寻找平行平面，将问题转化，利用射影面积公式S′=Scosθ ②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。

立体几何有关概念与公式一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：2、直线与平面所成的角的取值范围是：3、斜线与平面所成的角的取值范围是：4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点十一、棱柱及有关概念（一）棱柱的判断：看面：有两个面互相平行，其余各面为四边形．看线：每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(二)棱柱的分类棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．十二、棱锥及有关概念一）正棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．二）正棱锥的性质．（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．（2）正棱锥的斜高相等．（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形．④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角．十三、球的有关概念1、半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

高中数学立体几何的学习方法在高中数学中，立体几何是一个重要的部分，对于学生来说，正确的学习方法能够帮助他们更好地理解和掌握立体几何的知识。

下面将介绍几个学习立体几何的方法，希望能对同学们有所帮助。

一、建立基本概念学习立体几何首先要建立基本的概念，包括点、线、平面以及各种几何体的定义。

在学习的过程中，建议同学们使用图片或模型来帮助理解，可以通过观察实物或使用计算机软件进行模拟，从而更加直观地感受立体几何的特点。

二、掌握空间想象力立体几何是立体空间中的研究，因此，对空间的想象力是非常重要的。

为了提高空间想象力，同学们可以进行以下练习：1.绘制立体图形：通过绘制平面图形和透视图来理解几何体的形状，练习将二维转化为三维；2.拼装模型：使用纸板或积木等材料拼装各种几何体，观察它们的特点和变化；3.观察实物：观察日常生活中的各种立体物体，如球体、圆柱体、长方体等，加深对于几何体形状的认识。

三、理解几何体的性质学习立体几何还需要理解各种几何体的性质和特点。

同学们可以通过以下方法来加深对几何体性质的理解：1.推演证明：参考教材或相关资料，学习已经证明的几何定理，并通过基本的逻辑推理来理解其证明过程；2.解题实践：大量练习各种立体几何题目，掌握几何体的性质和定理的应用，加深对知识的理解；3.思维导图：可以使用思维导图整理几何体的性质，帮助记忆和理解。

四、与数学知识的结合立体几何与其他数学知识也有一定的联系，同学们可以通过以下方法将其进行结合：1.运用向量：立体几何中的几何体可以用向量表示，可以通过向量的运算来解决一些几何问题；2.利用解析几何：通过坐标系来描述和分析立体几何的问题，可以将几何问题转化为代数问题进行求解；3.与三角学的联系：利用三角函数和三角关系来推导和解决一些立体几何的问题。

总之，在学习高中数学中的立体几何时，同学们应该注重理论和实践的结合，通过丰富的练习和思考来加深对几何体的理解。

同时，培养好空间想象力和逻辑推理能力也是非常重要的。

立体几何知识、方法、问题总结一、基本知识与方法：1、 位置和符号 ①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α、a ∩α=A (a ⊄α) 、a ⊂α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a2、常用定理: 4个公理，3个推论①⇒线线平行:b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα;b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα;bc c a b a //////⇒⎭⎬⎫ ;b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα②⇒线面平行：ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂;αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂; ③⇒面面平行:βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a O b a b a ;βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ;④⇒线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα;直线b a ,所成角︒90；c b c a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ⑤⇒线面垂直:ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l Ob a b a ,,;βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,;βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //;αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a ba //⑥⇒面面垂直：二面角成︒90;βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ;3、求空间角①异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,]2πθ∈； （2）求法：平移以及补形法、向量法。

如： （1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE与PA 所成的角的余弦值等于____（答：33）； （2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为___ _（答：90°）； ②直线和平面所成的角： （1）范围[0,90] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

：APBCFED（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如：（1）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角正弦值为______（答：46）； （2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF所成的角的余弦值是______（答：13）；③ 二面角的平面角：（1）范围：[0,]π， （2）求法4、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心;正三角形四心（内心、外心、垂心、重心）? 内切、外接圆半径? 正三棱锥与正四面体的关系5、平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变; 如：如图甲，在直角梯形PBCD 中，//PB CD ，CD BC ⊥，2BC PB CD ==，A 是PB的中点. 现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA AB ⊥（如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点. （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PDE ；（Ⅲ）在PA 上找一点G ，使得//FG 平面PDE .6、等积法⇒关键是要找到与面垂直的直线，即底面上的高如：如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点.（1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；图甲图乙左视图主视图（2）求四面体PCEF的体积.7、三视图：长对正，宽相等，高平齐⇒以两两互相垂直的光线去投影，在三个投影面上留下的影子即为三视图如：（1）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 . （答：233+）（2）已知球O点面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O体积等于___________. （π29）注：三棱锥是长方体或正方体的一部分（2222cbaR++=）8、常用转化思想: ①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.二、基本问题与方法：1、三垂线定理注重推导过程。

立体几何基础技巧→ 立体几何高级技巧立体几何基础技巧立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和物体。

掌握立体几何的基础技巧是进一步研究和理解立体几何高级技巧的关键。

本文将介绍一些常用的立体几何基础技巧。

1. 空间直线和平面的相交关系在立体几何中，直线和平面的相交关系是一个重要的基础概念。

直线可以与平面无交点、有一个交点或多个交点。

平面可以与直线垂直相交、平行相交或斜交。

研究直线和平面的相交关系可以帮助我们理解立体几何中的多个图形之间的关系。

2. 空间图形的投影投影是立体几何中一个常用的技巧，用来表示一个三维图形在二维平面上的投影。

空间图形的投影可以是平行投影或透视投影。

通过观察和分析投影可以帮助我们理解和解决一些立体几何问题。

3. 空间图形的相似性相似性是指两个图形在形状上相似的特性。

在立体几何中，我们可以通过观察和比较两个图形的边长、角度和比例关系来判断它们是否相似。

掌握相似性的概念和判断方法可以帮助我们解决一些立体几何中的形状问题。

4. 空间图形的体积和表面积计算计算一个空间图形的体积和表面积是立体几何中的一个基础技巧。

各种图形的体积和表面积计算公式各不相同，需要根据具体的图形形状进行计算。

掌握这些计算方法可以帮助我们理解和解决立体几何中的计算问题。

5. 空间图形的旋转和对称性旋转和对称性是立体几何中的两个重要概念。

我们可以通过将一个空间图形进行旋转或镜像对称来获得新的图形。

研究旋转和对称性可以帮助我们理解和解决一些立体几何中的变换问题。

以上是立体几何基础技巧的简要介绍，掌握这些技巧是进一步学习和理解立体几何高级技巧的基础。

希望本文对您学习立体几何有所帮助！。

立体几何的方法与技巧
立体几何是研究三维空间中图形和物体的数学分支。

在立体几
何中，有许多方法和技巧可以帮助我们理解和解决与三维空间相关
的问题。

本文将介绍一些常用的立体几何方法与技巧，以帮助读者
更好地理解和应用立体几何知识。

首先，我们来谈谈立体几何中常用的方法之一——投影法。

投
影法是一种通过投影将三维物体的形状投射到二维平面上的方法。

在立体几何中，投影法常常用于绘制和分析三维物体的形状和结构。

通过投影法，我们可以将复杂的三维图形简化为二维平面上的投影，从而更容易地理解和分析其特征和性质。

另一个重要的立体几何方法是截面法。

截面法是通过在三维物
体上进行截取，得到其在某个平面上的截面图形，从而揭示物体的
内部结构和特征。

通过截面法，我们可以更清晰地了解三维物体的
形状和构造，以及其与平面的相互关系。

此外，立体几何中还有许多技巧和工具可供我们使用，例如平
行投影、透视投影、立体图形的投影展开等。

这些技巧和工具可以
帮助我们更准确地描述和分析三维物体的形状和结构，从而更好地
理解和运用立体几何知识。

总之，立体几何的方法与技巧为我们提供了丰富的工具和思维方式，帮助我们理解和解决与三维空间相关的问题。

通过投影法、截面法以及其他技巧和工具，我们可以更深入地探索立体空间的奥秘，从而更好地应用立体几何知识于实际问题的解决中。

希望本文介绍的方法与技巧能够帮助读者更好地理解和应用立体几何知识，从而更好地探索和理解三维空间中的世界。

立体几何知识点总结(全)垂直直线：相交成直角的直线。

三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：只有在三维空间中才有，点在平面上方或下方的判断需要借助向量的概念。

四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一个点都在平面上；直线与平面相交：有且只有一个交点；直线与平面平行：没有交点，且方向与平面的法向量垂直；直线与平面垂直：直线方向与平面的法向量相同或相反。

五．平面与平面的位置关系两个平面相交：有且只有一条公共直线；两个平面平行：没有公共直线；两个平面重合：所有点都相同。

改写：一。

空间几何体的三视图在空间几何体中，正视图是指光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度。

侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度。

俯视图是指光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。

三视图中反应的长、宽、高的特点有“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。

二。

空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）、建立斜坐标系x'O'y'，使x'O'y'=45（或135）以及画对应图形。

在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半。

直观图与原图形的面积关系为S直观图= S原图/4.三。

空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积为S侧面=2πr×l，圆锥侧面积为S侧面=πr×l，圆台侧面积为S侧面=πr×l+πR×l。

柱体的体积为V柱体=S×h，锥体的体积为V锥体=S×h/3，台体的体积为V台体=S上+S下+√S上×S下×h/3.球的表面积和体积分别为S=4πR2和V球=4πR3/3.正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥，正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

立体几何知识梳理一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；Ⅲ、两个特征三角形：（1）POH ∆（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）POB ∆（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径） 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题． 对棱间的距离为a 2（正方体的边长） 正四面体的高a 6（正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为32a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=） 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台． 3.2 正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点． 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱．4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2 圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)； V 球 = 4/3 π R 3 （三）空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+圆锥的表面积：2S rl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 ：V S h =⨯底；锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =++⨯下上（；球体的体积：343V R π=斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．如图，已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内一条直线．①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA．即垂直射影则垂直斜线．②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA．即垂直斜线则垂直射影．（10）若一直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内所有直线．补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lα=∅，则l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)．2线面斜交和线面角：l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ．2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面．判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明．⑵利用判定定理证明．⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面．⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个．⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面．5、面面平行的判断：（4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．（13）垂直于同一条直线的两个平面平行．6、面面垂直的判断：（15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直．判定定理：性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：①不共线的三点；②直线和直线外一点；③两条相交直线；④两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短．（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角．（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内．（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线．（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直．（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行．（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行．四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角．o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ （3）二面角：关键是找出二面角的平面角，o o α≤<； 五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长．求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算．注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式．。