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第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
案例三：在图像处理中的应用O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO C一幅图像可以被定义为一个二维函数f (x ,y )，其中(x ,y )是平面坐标，在任何坐标(x ,y )处的幅度f 被定义为图像在这一位置的亮度。
O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学M O O C中国大学M OO COOC中国大学M O OC 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C一幅图像可以被定义为一个二维函数f (x ,y )，其中(x ,y )是平面坐标，在任何坐标(x ,y )处的幅度f 被定义为图像在这一位置的亮度。
图像在x 和y 坐标以及在幅度变化上是连续的。
要将这样的一幅图像转换成数字形式，要求对坐标和幅度进行数字化。
将坐标值数字化称为取样，将幅值数字化称为量化。
线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案 一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。
二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C） 三、计算题1、 秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。
2、 0,0a b ≠=。
3、 3a =。
4、 讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。
5、 1k =±。
四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。
证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。
令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。
证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。
第三章 向量组的线性相关性1.验证}0{是向量空间，其中0 为n 维零向量.证明 设}0{, ∈βα，则}0{000∈=+=+βα，且R ∈∀λ，}0{00∈==λαλ，集合}0{ 对向量的加法和数乘向量封闭，所以}0{ 是向量空间. 2.验证：（1）向量空间必含有零向量；（2）若向量空间含有向量α ，则一定含有α-.证明 （1）设有向量空间V ，任取向量V ∈α ，R ∈∀λ，都有V ∈αλ，取定0=λ，则V ∈==00ααλ，所以向量空间中一定含有零向量.（2）设有向量空间V ，则可知V ∈0 ，于是存在V ∈βα,，使得V ∈=+0 βα，于是V ∈-=αβ，所以若向量空间含有向量α ，则一定含有α -. 3.判定3R 的下列子集是否是3R 的子空间： （1）{}R z z W ∈=|),1,0(1；解 因为1,W ∈∀βα ，设),1,0(1z =α，),1,0(2z =β ， +=+),1,0(1z βα),1,0(2z ),2,0(21z z +=1W ∉，集合1W 对加法不封闭，所以1W 不是3R 的子空间.（2）{}R y x y x W ∈=,|)0,,(2；解 因为2,W ∈∀βα ，设)0,,(11y x =α，)0,,(22y x =β ， )0,,()0,,(2211y x y x +=+βα22121)0,,(W y y x x ∈++=，且R ∈∀λ， 211)0,,(W y x ∈=λλαλ ，集合2W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以2W 是3R 的子空间.（3）{}R z y x z y x z y x W ∈=+-=,,,03|),,(3；解 因为3,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=+-=+-0303222111z y x z y x ⇒0)(3)()(212121=+++-+z z y y x x ，3W ∈+∴βα，且R ∈∀λ，3111),,(W z y x ∈=λλλαλ，集合3W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以3W 是3R 的子空间.（4）{}R x x x x x x x x x W ∈=++=3213213214,,,1|),,(；解 因为4,W ∈∀βα ，设),,(321x x x =α，),,(321y y y =β ， ),,(),,(321321y y y x x x +=+βα),,(332211y x y x y x +++=而1321=++x x x ，1321=++y y y ，从而有2321321=+++++y y y x x x 即有2)()()(332211=+++++y x y x y x 4W ∈，对加法不封闭，故4W 不是3R 的子空间.（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==-=R z y x z y x z y x W ,,,2321|),,(5； 解 因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，而1112321z y x -==-，2222321z y x -==-，)(2322212121z z y y x x +-=+=-+21)(21-+≠x x 5W ∉，对加法不封闭，故5W 不是3R 的子空间.（6）{}R z y x y x z y x z y x W ∈==++=,,,,032|),,(6解 因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=++=++032032222111z x x z x x ⇒0)(3)(2)(212121=+++++z z x x x x ，所以有6W ∈+βα，且R ∈∀λ，),,(111z x x λλλαλ=，032111=++z x x ⇒032111=++z x x λλλ，所以有6W ∈αλ ，该集合对加法与数乘都封闭，所以6W 是3R 的子空间.4．设)0,4,3(),1,1,0(),0,1,1(321===ααα，求21αα-及32123ααα-+.解 21αα-)1,1,0()0,1,1(-=)10,11,01(---=)1,0,1(-=32123ααα-+)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=).2,1,0(= 5．设)(5)(2)(3321αααααα +=++-，其中)3,1,5,2(1=α，)10,5,1,10(2=α ，)1,1,1,4(3-=α，求.α解 由)(5)(2)(3321αααααα+=++-整理得)523(61321αααα-+=)]1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61--+=).4,3,2,1(=6．设r r αααβααβαβ+++=+==2121211,,,，且向量组r ααα,,,21线性无关，证明向量组r βββ ,,,21线性无关.证明 设02211=+++r r k k k βββ，则++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(22110 =+r r k α因向量组r ααα,,,21线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= ， 故方程组只有零解则021====r k k k ，所以r βββ,,,21线性无关.7．设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++ββββx x x x则 0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααx x x x0)()()()(443332221141=+++++++ααααx x x x x x x x(1) 若4321,,,αααα线性相关，则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=，212x x k +=，323x x k +=，434x x k +=，由4321,,,k k k k 不全为零，知4321,,,x x x x 不全为零，即4321,,,ββββ线性相关.(2) 若4321,,,αααα 线性无关，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知，此齐次方程存在非零解 则4321,,,ββββ线性相关. 综合得证.8.讨论向量组的线性相关性：（1）)1,1,1(1=α ，)5,2,0(2=α ，)6,3,1(3=α；解 显然有312)1(ααα +-=，所以321,,ααα是线性相关的. （2）)0,1,1(1=α ，)0,2,0(2=α ，)1,0,0(3=α.解 设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ，于是有 ()()())0,0,0(,0,00,2,00,,3211=++k k k k ， 从而有 ())0,0,0(,2,3211=+k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧==+=00203211k k k k 0321===⇒k k k ， 故321,,ααα是线性无关的.9.设T )1,1,1(1=α ，T )3,2,1(2=α ，Tt ),3,1(3=α .（1）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？（2）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？（3）当向量组321,,ααα 线性相关时，将3α 表示为1α 和2α的线性组合.解 设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ， 于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++000332321321321tk k k k k k k k k从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++030320321321321tk k k k k k k k k ①（1）当向量组321,,ααα线性相关时，方程组①有非零解，则031321111=t⇒5=t ，故当5=t 时，向量组321,,ααα线性相关. （2）当5≠t 时，向量组321,,ααα线性无关.（3）设矩阵),,(321TT T A ααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=531321111−−→−--1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420210111 −−→−--2321r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210101，从最后一个矩阵看出，.2213ααα+-=10.用矩阵的秩判别下列各向量组的线性相关性：（1）T)2,0,1,3(1=α ，T)1,2,1,1(2--=α ，T)4,4,3,1(3-=α；解 设矩阵),,(321ααα =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412420311113−−→−--↔14122123r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=210420840311 −−→−--24234121r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000000840311，32)(<=A R ，所以向量组（1）线性相关. （2）T )1,0,1(1=α ，T )0,2,2(2=α ，T)3,3,0(3=α ；解 设矩阵),,(321ααα=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301320021−−→−-13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-320320021−−→−+23r r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600320021，33)(==B R ，所以向量组（2）线性无关. （3）T )0,1,1,4,2(1=α ，T )1,1,0,2,1(2-=α ，T)1,0,1,3,1(3=α .解 ),,(321ααα=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011101324112−−→−↔31rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110011112324101−−→−---14131224r r r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110*********−−→−+--↔252423252r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100200200110101−−→−+-353421rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000200110101，33)(==C R ，所以向量组（3）线性无关.11.已知向量组)1,2,1,1(1=α ，)2,0,0,1(2=α ，),8,4,1(3k ---=α线性相关，求k 的值.解 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==k A T T T 21802401111),,(321ααα −−→−---1413122rr r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----110620310111k −−→−+-24232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----200000310111k −−→−↔43r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000200310111k 从最后一个矩阵可以看出，当2=k 时，32)(<=A R ，向量组321,,ααα才线性相关.12.设向量组4321,,,αααα线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一组全不为零的数4321,,,λλλλ，使.044332211=+++αλαλαλαλ证明 由已知4321,,,αααα线性相关，所以存在一组不全为0的数4321,,,λλλλ 使得 .044332211=+++αλαλαλαλ (下证4321,,,λλλλ全不为0)假设01=λ，则0443322=++αλαλαλ，由已知4321,,,αααα其中任意三个向量都线性无关，所以432,,ααα线性无关，于是0432===λλλ， 这与4321,,,λλλλ不全为0矛盾. 故01≠λ.同理可证432,,λλλ不等于0 故4321,,,λλλλ全不为0.13.设向量x 可由r ααα ,,,21线性表示，r ααα,,,21可由s βββ ,,,21线性表示，证明x可由s βββ ,,,21线性表示.证明 根据题意可知存在常数r λλλ,,,21 和),2,1,(s j i x ij =，使得r r x αλαλαλ +++=2211；s is i i i x x x βββα+++=2211，r i ,,2,1 =++++++++=)()(2222121212121111s s s s x x x x x x x βββλβββλ)(2211s rs r r r x x x βββλ++++++++++++=2222212111212111)()(βλλλβλλλr r r r x x x x x xs rs r s s x x x βλλλ)(2211++++由上式可知，x可由s βββ ,,,21线性表示.14.求作一个秩为4的方阵，它的两个行向量是：)0,0,1,0,1(，)0,0,0,1,1(-. 解 设)0,0,1,0,1(1=α ，)0,0,0,1,1(2-=α ，显然21,αα线性无关，因为它们都是5维的，所以所求方阵A 应该含有5个5维的向量，又因为所求的方阵A的秩为4，所以可设)0,,,,(4321T T T T T A αααα=，只要4321,,,αααα线性无关就满足条件了，所以取)0,0,1,0,0(33==εα ，)0,1,0,0,0(44==εα就能满足条件，故满足条件的一个方阵为.0000001000001010001000011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A15. 设向量组m ααα,,,21线性无关，向量1β 可用它们线性表示，向量2β 不能用它们线性表示，证明向量组2121,,,,ββλααα+m )(为常数λ线性无关.证明 据题意存在常数m λλλ,,,21 ，使得m m αλαλαλβ+++=22111，设0)(2112211=++++++ββλαααm m m k k k k 将1β代入上式，得0])([2221112211=+++++++++βαλαλαλλαααm m m m m k k k k0)()()(21122121111=+++++++++++βαλλαλλαλλm m m m m m m k k k k k k k因为221,,,,βαααm 线性无关，所以有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+++++000011212111m m m mm m k k k k k k k λλλλλλ ⇒100010001000121m λλλλλλ01≠=，所以齐次方程组只有零解，故向量组2121,,,,ββλααα+m 线性无关.线性表示？能否由）（线性表示？能否由）（试讨论：线性无关，线性相关，向量组设向量组1211321m 32-1m 21,,2,,,1,,)3(,,.16--≥m m m m αααααααααααααα.,)1(321线性表示能由解ααα线性无关，，由于m 32ααα，.,,,132也线性无关其部分组-m ααα线性相关又1321,,,,-m αααα ，.,,,1321线性表示能由故-m αααα.,,,)2(-1m 21m 线性表示不能由αααα反证如下：线性表示，即能由设-1m 21m ,,αααα-1m 12211m αλαλαλα -+++=m ，由（1）的结论，1133221--++=m m αμαμαμα设，代入上式得， ,)()()(11-1m 133312221m --++++++=m m αλμλαλμλαλμλα 线性表示能由即132m ,,,-m αααα ，,,,,,m 132线性相关从而αααα-m 这与已知矛盾！.,,,-1m 21m 线性表示不能由故αααα17．设n ααα ,,,21是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量n εεε,,,21能由它们线性表示，证明n ααα,,,21线性无关.证明 n 维单位向量n εεε,,,21线性无关，不妨设: n nn n n n nn n n k k k k k k k k k αααεαααεαααε +++=+++=+++=22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121 两边取行列式，得T n T T nn n n n n T n TT k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121=由002121≠⇒≠T nTTT n T T αααεεε即n 维向量组n ααα ,,,21所构成矩阵的秩为n ，故n ααα,,,21线性无关.18．设n ααα ,,,21是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k ),,,(21=α则有n n k k k εεεα+++=2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n ααα ,,,21线性无关，且n ααα,,,21能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα +++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k εεεααα 2121222211121121 两边取行列式，得T n TTnn n n n n Tn TTk k k k k k k k k εεεααα2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n nnTnTTk k k k k k k k kααα令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T A A εεεαααεεεααα212112121 即n εεε ,,,21都能由n ααα,,,21线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n ααα,,,21线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n ααα,,,21线性表示，则单位向量组： n εεε ,,,21可由n ααα ,,,21线性表示，则n ααα,,,21线性无关.19．设向量组A :s ααα,,,21的秩为1r ，向量组B :t βββ ,,,21的秩2r向量组C : t s βββααα,,,,,,,2121的秩3r ，证明21321},ma x {r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,，含有的向量个数(秩)分别为321,,r r r ，则C B A ,,分别与C B A ''',,等价，易知B A ,均可由C 线性表示，则秩(C )≥秩(A )，秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤.设A '与B '中的向量共同构成向量组D ，则B A ,均可由D 线性表示，即C 可由D 线性表示，从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D )，D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.20.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明：设Tn a a a A ),,,(21 =T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα ,,,21 ， T s T T βββ,,,21显然，存在矩阵B A '',，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT n T TA a a a ααα 2121，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T s T TT n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T nTT TT b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此()()()B R A R B A R +≤+ 21.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来： （1）)3,1,2,1(1=α，)6,5,1,4(2---=α，)7,4,3,1(3----=α，)0,2,1,2(1=α； （2）T)0,2,3,1(1=α ，T)3,14,0,7(2=α ，T)1,0,1,2(3-=α ，T)2,6,1,5(4=α，T )1,4,1,2(5-=α；（3）)2,1,2,1(1=α ，)1,3,0,1(2=α ，)1,0,1,2(3-=α ，)2,2,1,2(4-=α，)3,4,2,2(5=α.解 （1）设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2112203111022211A −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310422035202211−−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310352021102211−−→−++-2423212r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------4400770021104301−−→−--÷-÷3443)4()7(r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000110021104301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110010101001，从最后一个矩阵中看出，3)(=A R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且.3214αααα+-=（2）设矩阵),,,,(54321ααααα=B ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121304601421110325271B −−→−--131223r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1213004400714721025271 −−→−-÷)7(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12130044001213025271−−→−-÷-)4(324r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001213025271−−→−--12312r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001103023071−→−÷32r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001100313101023071−−→−-217r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000011003131010313201，从最后一个矩阵中看出，3)(=B R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且32143132αααα++=，.031313215αααα ++-= （3）设矩阵),,,,(54321TT T T T C ααααα =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32112420312110222211C −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310242202352022211 −−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310235201211022211−−→−++-2423212r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------04400077001211014301−−→−--÷-÷3443)4()7(rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000011001211014301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000011001101011001，从最后一个矩阵中看出，3)(=C R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα，且 3214αααα +-=，.03215αααα ++=等价的充要条件是与矩阵矩阵，证明：矩阵都是与设B A n m B A ⨯.22 ).()(B r A r =证明 必要性),,,,(),,,,(2121n n B A βββααα==设),,,,,,,,(),(2121n n B A C βββααα==因为A 与B 等价，即A 的列向量与B 的列向量等价，则它们可以相互线性表示； 因此A （或B ）的列向量与C 的列向量可以相互线性表示； 由推论3“等价的向量组有相同的秩”，得),()()(B A r B r A r ==充分性.,,,,)2(;,,,)1(2121s s B βββααα=设s γγγ ,,,)3(21分别是A ，B ，C 的极大无关组.因为向量（1）是C 的列向量的一部分且线性无关， 又(1)和(3)的秩相等，所以(1)也是C 的极大无关组. 同理(2)也是C 的极大无关组. 于是(1)与(2)是等价的. 从而矩阵A 与B 等价.23.求向量组:)1,5,1,1(1--=α ，)3,2,1,1(2-=α ，)1,8,1,3(3-=α，)7,9,3,1(4-=α的所有最大无关组.解 设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7131982531111311−−→−+-+1413125r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---84401477042201311−−→−-+÷24232472r r rr r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000021101311−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000021101201，所以从而最后一个矩阵中看出所有最大无关组为：21,αα ；31,αα ；41,αα ；32,αα ；42,αα ；43,αα.24．试证:由)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321===ααα 所生成的向量空间就是3R .证明 设TA ),,(321ααα = 011101110321==αααA 02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,ααα均为三维，且秩为3，所以321,,ααα 为此三维空间的一组基，故由321,,ααα所生成的向量空间就是3R .25．由),1,1,0,1(),0,0,1,1(21==αα所生成的向量空间记作1V ，由),1,1,1,0(),3,3,1,2(21--=-=ββ所生成的向量空间记作2V ，试证：21V V =.证明 设{}R k k k k x V ∈+==1122111,αα，{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量，可写成2211αα k k +，要证22211V k k ∈+αα，从而得21V V ⊆由22112211βλβλαα+=+k k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中，把21,k k 看成已知数，把21,λλ看成未知数，0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解，21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故.21V V =26．验证)2,1,3(),3,1,2(),0,1,1(321==-=ααα为3R 的一个基，并把)13,8,9(),7,0,5(21---==v v在这组基下的坐标.解 由于06230111321321≠-=-=ααα即矩阵),,(321ααα的秩为3， 故321,,ααα 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111αααk k k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故1v在这组基下的坐标为).1,3,2(- 设3322112αλαλαλ++=v ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故2v在这组基下的坐标为).2,3,3(--27.设有向量组)5,2,3(1=α，)7,4,2(2=α ，),6,5(3λα=，)5,3,1(=β，当λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示？解 设矩阵),,,(321TT T T A βααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=57536421523λ−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---57536422121λ−−→−--131252rr r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---15517078802121λ−−→−↔-32232r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----7880111102121λ−−→−-+232182rr r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----18960011110023201λλλ−−→−--÷323)1(r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--196800085710023201λλλ，从最后一个矩阵中看出βαα ,,21是线性无关的，要使β 能由321,,ααα 线性表示，必需当321,,ααα线性无关才满足条件，即当0968≠-λ时，即12≠λ时，β 才能由321,,ααα线性表示.28.证明向量组)1,,1,1(:1 =βB ，)1,,1,0(2=β，…)1,,0,0(=n β为n R 的一组基，求向量),,(21n a a a=α在这组基下的坐标.证明 设矩阵),,,(21Tn T T A βββ =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111011001 A ，因为01||≠=A ，所以向量组B 线性无关，且向量组的秩为n ，故向量组B 为nR 的一组基.设矩阵),,,,(21αβββT n T T C =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a C 21111011001−−→−------12211r r r r r r n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1121100010001n n a a a a a C所以 ).,,,()(1121---=n n B a a a a aα 29.计算：（1）设A 为三阶矩阵),,(321A A A A =，)3,2,1(=i A i 是A 的第i 个列向量，且3||-=A ，计算3212,2,2A A A A --的值.（2）设四阶矩阵),,,(432r r r A --=α，),,,(432r r r B -=β，其中432,,,,r r r βα均为四维列向量，且已知行列式4||=A ，1||=B ，计算行列式||B A -的值.解 （1）32123212,2,2,2,2A A A A A A A A --=-- |,,|2,2,2322312A A A A A A --+-= 312,,4A A A -=0+312,,4A A A -=3213,,)4()1(A A A --=||4A =.12-= （2）4322,2,2,||r r r B A ---=-βα 432,,,8r r r ---=βα432,,,8r r r --=α432,,,8r r r ---+β||8A =4324,,,8)1(r r r --+β||8||8B A +=.40832=+=。
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
