线性代数第三章向量复习题答案

第三章 习题与答案 习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵 由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出， 且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ， 又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的 秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组， 根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出， 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=， 这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非 零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-， 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=， 一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+， 可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--， 可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-， 一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解， 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ， 则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.。

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。

解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

B 、向量组(Ⅰ)线性相关时,向量组(Ⅱ)线性相关C 、向量组(Ⅱ)线性相关时,向量组(Ⅰ)线性相关D 、向量组(Ⅱ)线性无关时,向量组(Ⅰ)线性相关4、 下列命题中正确的就是( C ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关5、 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ,则( D )(A)s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s <6、 n 维向量组 s ααα，，，Λ21(3≤ s ≤ n)线性无关的充要条件就是( B )、 (A)s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，，Λ21中不含零向量 7、 向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关的充要条件就是(D ) A 、任意i α不为零向量B 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任两个向量的对应分量不成比例C 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中有部分向量线性无关D 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中(A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示9、 设A 为n 阶方阵,且秩12() 1.,A n αα=-就是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( C )A 、1αkB 、2αkC 、)(21αα-kD 、)(21αα+k 10、 已知向量组()()()1231,1,1,1,2,0,,0,0,2,5,2t ααα=-==--的秩为2,则=t ( A)、 A 、3 B 、-3 C 、2 D 、-2 11、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中( A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示12、 设向量组A: 321,,ααα线性无关,则下列向量组线性无关的就是(C ) A 、321ααα++,321232ααα+-,321323ααα+- B 、21αα+,32αα+,13αα- C 、212αα+,3232αα+,133αα+ D 、12-αα+,32αα+,3212ααα++-14、 已知向量组A 线性相关,则在这个向量组中( C ) (A)必有一个零向量 、 (B)必有两个向量成比例 、(C)必有一个向量就是其余向量的线性组合 、 (D)任一个向量就是其余向量的线性组合 、15、 设A 为n 阶方阵,且秩()1R A n =-,12,a a 就是非齐次方程组Ax b =的两个不同的解向量, 则0Ax = 的通解为 ( )(A)12()k a a + (B) 12()k a a - (C) 1ka (D) 2ka 16、 已知向量组1,,m ααK 线性相关, 则(C ) (A)该向量组的任何部分组必线性相关 、 (B) 该向量组的任何部分组必线性无关 、(C) 该向量组的秩小于m 、 (D) 该向量组的最大线性无关组就是唯一的、 17.已知123234(,,)2,(,,)3,R R αααααα==则 ( C )(A)123,,ααα 线性无关 (B) 234,,ααα 线性相关(C) 1α能由23,αα 线性表示 (D) 4α能由123,,ααα 线性表示18、 若有 1133016,02135k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4第三题 计算题:1、 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα(1)求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组; (2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

第三章 向量组的线性相关性作业1一、判断题1. 如果当120m k k k ====时，110m m k k αα++=，则12,,,m ααα线性无关.（ × ） 2. 若只有当12,,,m k k k 全为0时，等式11110m m m m k k k k ααββ+++++=才成立，则12,,,m ααα线性无关，12,,,m βββ线性无关.（ × ）二、填空题1. 设1233()2()5(),αααααα-++=+其中12(2,5,1,3),(10,1,5,10),αα== 3(4,1,1,1),α=-则α= .2. n 维零向量一定线性 相 关.3. 设12(6,1,3),(,2,2)αλαλ=+=-，若12,αα线性相关，则λ= .4.已知向量组123(1,1,2,1),(1,0,0,2),(1,4,8,)k ααα===---线性相关，则k = .5. 设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)a c b c a b ααα===线性无关，则,,a b c 必满足关系式 .6.设112223334441,,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+则向量组1234,,,ββββ的线性相关性是 线性相关 .三、选择题1．向量组1(I):,,r αα和向量组1(II):,,s ββ等价的定义是向量组（ A ）.A. (I)和(II)可互相线性表示B. (I)和(II)中有一组可由另一组线性表示C. (I)和(II)中所含向量的个数相等D. (I)和(II)的秩相等2. 向量组12,,,m ααα线性无关的充要条件是（ D ）.A. 12,,,m ααα均不为零向量B. 12,,,m ααα中有一部分向量线性无关C. 12,,,m ααα中任意两个向量的分量不成比例D. 12,,,m ααα中每个向量都不能由其余向量线性表示(1,2,3,4)4-20abc ≠3．设向量222123(1,,),(1,,),(1,,)a a b b c c ααα===，则向量组α1,α2,α3线性无关的充分必要条件是（ D ）A. ,,a b c 全不为0B. ,,a b c 不全为0C. ,,a b c 不全相等D. ,,a b c 互不相等4. 在下列向量组中， D 是线性无关的. A ．(1,0,5)-,(2,3,6)-,(0,1,2)-,(1,3,0) B ．(1,0,5)-,(2,0,10)-,(0,1,2)- C ．(1,0,5)-,(0,0,0)D ．(1,0,5)-,(0,1,2)-,(0,0,2)四、计算与证明题1. 给定向量组123421301301,,,02243419αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭试判断4α是否为123,,ααα的线性组合；若是，则求出组合系数.解：设4112233k k k αααα=++，若此方程组有解，则4α可写成123,,ααα的线性组合，否则，不可以.1234213013011301130121300532()022********434193419013112130113011301011201120112053200880011013112001414000αααα-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1002010100110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1232,1, 1.k k k ===从而41232αααα=++.2. 讨论下列向量组的线性相关性.（1）123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)ααα===；（2）123(3,1,0,2),(1,1,2,1),(1,3,4,4).ααα==--=-解：（1）因为1011230156=，所以，123,,ααα线性相关.（2）311113113113113311048012024024024000214214012000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，123,,ααα线性相关.3. 证明：若向量组1111222122(,),(,)a a a a αα==线性无关，则任一向量12(,)b b β=必可由12,αα线性表示.证：设有数12,k k ，使1122k k βαα=+，则11122111122222k a k a b k a k a b +=⎧⎨+=⎩ （1） 因12,αα线性无关，所以112112220a a a a ≠，由cramer 法则（1）有唯 一解. 则β必可由12,αα线性表示.4. 向量组4321,,,αααα线性无关，证明：向量组21αα+，32αα+，43αα+，14αα- 也线性无关.证： 设有一组数1234,,,k k k k 使112223334441()()()()0k k k k αααααααα++++++-=于是有141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα-++++++=.又因为4321,,,αααα线性无关，所以141223340100101100(1)20001100011k k k k k k k k -=-⎧⎪+=⎪=≠⎨+=⎪⎪+=⎩ 即，方程组只有零解. 12340k k k k ====. 从而21αα+，32αα+，43αα+，14αα- 线性无关.5.已知向量组123,,ααα线性无关，且11244βαα=-,21232βααα=-+,323βαα=-，证明：向量组123,,βββ线性相关.证：设有一组数123,,k k k 使1122331122123323(44)(2)()0k k k k k k βββααααααα++=-+-++-=于是1211232233(4)(42)()0k k k k k k k ααα++--++-=，又因为向量组123,,ααα线性无关，所以有121232340410420,42100110k k k k k k k +=⎧⎪--+=--=⎨⎪--=⎩ 由Cramer 法则知上述方程组有非零解，因此向量组123,,βββ线性相关.6. 设向量组12,,,m ααα线性无关, 向量组12,,,m ααα,β线性相关, 证明β可由12,,,m ααα线性表示且表法唯一.证：因为12,,,m ααα,β线性相关，所以存在不全为零的一组数12,,,,m k k k k ，使得 11220m m k k k k αααβ++++= 这里0k ≠，否则存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++=，这与12,,,m ααα线性无关相矛盾. 于是1212mm k k k k kkβααα=---即β可由12,,,m ααα线性表示.下证唯一性. 设11221122m m m ml l l t t t βαααβααα=++=++（1）（2）（1）-（2）有111222()()()0m m m l t l t l t ααα-+-+-=因12,,,m ααα线性无关，故11220,0,,0m m l t l t l t -=-=-=，所以1122,,,m m l t l t l t ===唯一性得证.作业2一、判断题1. 若1210(,,,)5r ααα=，则1210,,,ααα中任意5个向量都线性无关.（ × ）2．已知123(,,)2r ααα=，234(,,)3r ααα=，则1α能由2α,3α线性表示.（ √ ） 3. 已知123(,,)2r ααα=，234(,,)3r ααα=，则4α不能由1α,2α,3α线性表示.（ √ ） 4. 两个向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等. （ × ） 5. 向量组12,,,m ααα线性无关当且仅当12(,,,)m r m ααα=. （ √ ）二、填空题1. 设向量组12,,,s ααα可由向量组12,,,t βββ线性表出，且s t >，则向量组12,,,s ααα的线性相关性是 线性相关 .2. 设m×n 矩阵A 的m 个行向量线性无关，则矩阵TA 的秩为 m . 3. 向量组)5,4,3,2,1(=α的秩为 1 .4. 向量组1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(1,4,5,1)T T T Tαααα==---=---=--，的秩为 ，最大无关组为.三、选择题1. 若向量组1(I):,,r αα可由向量组1(II):,,s ββ线性表示，则必有（ A ）.A ．秩(I)≤秩(II)B ．秩(I)>秩(II)C ．r ≤sD ．r >s2. 若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（ C ）. A. α必可由,,βγδ线性表示 B. β必可由,,αγδ线性表示 C. δ必可由,,αβγ线性表示 D. δ必不可由,,αβγ线性表示3. 设向量组（I ）12,,,r ααα可由向量组（II ）12,,,s βββ线性表示，则（ D ）.A. 当r s <时，向量组（II ）必线性相关B. 当r s <时，向量组（I ）必线性相关C. 当r s >时，向量组（II ）必线性相关D. 当r s >时，向量组（I ）必线性相关3124,,ααα134,,ααα4. 已知1122123123,5,4βααβααβαα=-=+=+，其中12,αα为非零向量，则向量组123,,βββ的秩( B ).A. >3B. <3C. =3D. =05. 若向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则（ D ）. A ．必定s r <B ．向量组中任意小于r 个向量的部分组必线性无关C ．向量组中任意r 个向量必线性无关D ．向量组中任意1+r 个向量必线性相关6. 设向量组m ααα,,,21 有两个极大无关组(I)：ir i i ααα,,,21 ；(II)：js j j ααα,,,21 ， 则有（ C ）成立A. r 与s 不一定相等B. r+s = mC. (I)中向量可由(II)表示 ，(II)中向量可由(I)表示 ，且r =sD. r+s < m四、计算与证明题1. 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来. （1）12345(1,2,1,2),(1,0,3,1),(2,1,0,1),(2,1,2,2),(2,2,4,3)ααααα===-=-=.解：112221122211222201120253201321130240224202242211230132102532A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--------- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222112221100210011013210132101011010110088000110001100011000110000000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，向量组的秩为3，最大无关组为123,,ααα，且4123αααα=-+，215ααα+=.（2）α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1126，α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2012，α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3103，α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦4324. 解：10131013101310092102012401240101662340231400160016A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，向量组的秩为3，最大无关组为123,,ααα，且41239166αααα=+-..（3）1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,0)αααα==---=----=.解：14121412141214122131091309130913154209300023002036700184600200003A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎪⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，向量组的秩为4，最大无关组为1234,,,αααα.2. 设1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,3,)a αααα=-===，对a 讨论向量组1234,,,αααα的秩.解：103110311031130203330111217301110006421402240000A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，当6a =，向量组的秩为2，当6a ≠时，向量组的秩为3.3. 设向量组1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)T T T Tt t σσσσ==--=-+=--，试确定t 为何值时，向量组1234,,,σσσσ线性相关，并在线性相关时求它的一个最大线性无关组.解：11321132113211321326021402140214151100641200700010312044600620002A t t t t t t t --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪⎪+-+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当2t =时，向量组的秩为3<4，从而向量组线性相关，此时最大线性无关组为123,,σσσ.4. 设向量组12,,,n ααα是一组n 维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一n 维向量都能由它们线性表示. 证：必要性. 设12,,,n ααα线性无关，任取β为一n 维向量，则12,,,,n αααβ线性相关（n+1个n 维向量线性相关），所以β可以由12,,,n ααα线性表示.充分性. 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，则12,,,n εεε可由12,,,nααα线性表示. 反之， 12,,,n ααα可由12,,,n εεε线性表示，从而12,,,n εεε与12,,,n ααα等价. 于是12,,,n εεε与12,,,n ααα秩相等，即12,,,n ααα线性无关.补充题1. 设A 是n 阶方阵，||0A =，则下列结论中错误．．的是（ C ）. A ．秩(A )<n B ．A 有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合 C ．A 的n 个列向量线性相关 D ．A 有两行元素成比例 2. 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ A ）.A. 122331,,αααααα---B. 122331,,αααααα+++C. 1223312,2,2αααααα---D. 1223312,2,2αααααα+++ 3. 设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示，但不能由向量组（I ）121,,,m ααα-线性表示，记向量组（II ）121,,,,m αααβ-，则（ B ）.A. m α不能由（I ）线性表示，也不能由（II ）线性表示B. m α不能由（I ）线性表示，但可由（II ）线性表示C. m α可由（I ）线性表示，也可由（II ）线性表示D. m α可由（I ）线性表示，但不可由（II ）线性表示4. 设1234,,,σσσσ是一个4维向量组，若已知4σ可以表为123,,σσσ的线性组合， 且表示法唯一，则向量组1234,,,σσσσ的秩为（ C ）. A ．1 B ．2 C ．3D ．45. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎝⎭，那么向量组 1234,,,αααα的一个极大无关组是 ，其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 .6. 若12,αα线性无关，而123,,ααα线性相关，则向量组123,2,3ααα的一个最大线性无关组为_________________.7. 设A 为三阶矩阵，123(,,),(1,2,3)i A A A A A i ==是A 的第i 个列向量，且||3A =-，则2123|2,2,|A A A A --= -12 .8. 设四阶矩阵234234(,,,),(,,,),A r r r B r r r αβ=--=-其中234,,,,r r r αβ均为四维列向量，且已知行列式||4,||1,A B ==则行列式||A B -= 40 .9. 确定常数a ，使向量组123(1,1,),(1,,1),(,1,1)T T Ta a a ααα===可由向量组123(1,1,),(2,,4),(2,,)T T T a a a a βββ==-=-线性表示，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示.10. 已知1(0,1,1)T β=-,2(,2,1)Ta β=,3(,1,0)Tb β=与向量组1(1,2,3),T α=-2(3,0,1)Tα=，123,,ααα123352--+ααα12,2αα3(9,6,7)T α=-具有相同的秩，且3β可由321,,ααα线性表出. 求a ,b 的值.11．已知向量组（I ）：321,,ααα的秩为3，向量组（II ）：4321,,,αααα的秩为3，向量组（III ）：5321,,,αααα的秩为4.证明向量组45321,,,ααααα-的秩为4.。

第三章 向量组的线性相关性基本教学要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念.3. 掌握向量的线性相关和线性无关的有关理论及判断方法.4. 了解向量组的极大线性无关组与秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.5. 理解矩阵的秩的概念，掌握求秩的方法.一、向量及其运算 1. 向量的概念有大小无方向的量，叫做数量或标量.既有大小又有方向的量则是向量，又称矢量，用有序数组表示：12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,n a a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量通常记作a 、或a 、或α，对应的行向量则相应地记作Ta 、或Ta 、或T α.如不特别说明，向量一般常指列向量. 以下讨论主要针对实向量.2. 向量的运算因为向量是矩阵，所以它有许多与矩阵相同的运算及运算规律(P 62)：(1)相等； (2)加法； (3)数乘； (4)转置，但向量没有矩阵形式的“乘法”和“逆”，而有所谓的“向量的乘法”运算——内积.向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算.例3.1(例3.1 P 62)(5)内积(P 63) 设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，令1122[,]n n a b a b a b αβ=+++，称[,]αβ为α与β的内积.例如，内积的性质：①[,][,]αββα=(对称性)；②[,][,][,]αβγαγβγ+=+，[,][,]k k αβαβ=(线性性)； ③[,]0αα≥.当且仅当αο=时，[,]0αα=(正定性).2n a =++为向量α的长度(或范数)，记为α(或α).当1α=时，称α为单位向量.如果αο≠，则1αα是与α同方向的单位向量.对任意非零向量αβ、，称[,],arccosαβαβαβ=⋅，(0,αβπ≤≤)为向量α与β的夹角.如果[,]=0αβ，则称α与β正交.3.应用(1)向量表示线性方程组(P 65) 考虑线性方程组1111221n n 12112222n n 2m11m22mn n m a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1)若设1i 12i 2i mi m a b a ba (i 1,2,,n),b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)式可表示为1122n n x a x a x a b +++=. (2)(2)向量表示矩阵(P 64)111121n 21222n 2m1m2mn m a a a a a a A a a a ⎛⎫α⎛⎫ ⎪ ⎪α ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪α⎝⎭⎝⎭或 ()11121n 21222n 12n m1m2mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪=βββ ⎪⎪⎝⎭，12m ,,,ααα与12n ,,,βββ分别称为矩阵A 的行向量组与列向量组.二、向量组的线性相关性 1. 基本概念由同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组.定义3.1 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k β=α+α++α， (3) 则称向量β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，也称β是向量组12s ,,,ααα的一个线性组合. (P 64)例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示.例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合.根据定义3.1，方程组(2)有解可表述为向量b 可由向量组12n a ,a ,,a 线性表示.式(3)可以用分块矩阵的乘积形式表示为(P 64)1212s s k k (,,,)k ⎛⎫ ⎪ ⎪β=ααα ⎪ ⎪⎝⎭；(当12s ,,,,βααα为列向量时)或 1212s s (k ,k ,,k )α⎛⎫ ⎪α ⎪β= ⎪ ⎪α⎝⎭. (当12s ,,,,βααα为行向量时)定义3.2 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组不全为零的数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k α+α++α=ο， (4)则称向量组12s ,,,ααα线性相关；否则，称向量组12s ,,,ααα线性无关.(P 65)定义3.2表明： 向量组12s ,,,ααα线性相关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο有非零解. (P 65) 向量组12s ,,,ααα线性无关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο只有零解. (P 65)又根据Cramer 法则，有n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式为0. n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式不为0.例如，311022100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即0723032001321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k .由于只有零解，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.定义3.3一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组. (P 66)例如，n 维标准单位向量组e 1=(1,0,…,0)T , e 2=(0,1,…,0)T , …, e n =(0,0,…,1)T是一个规范正交向量组.2. 有关结论(P 66-68) (1)向量组12s ,,,ααα线性相关⇔12s ,,,ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示. (定理3.3 P 67)向量组12s ,,,ααα线性无关⇔12s ,,,ααα中任意一个向量不能由其余向量线性表示.(2)一个向量α线性相关⇔α=ο. (P 66) 一个向量α线性无关⇔α≠ο.(3)两个向量,αβ线性相关 k l ⇔α=ββα或＝(几何上，即,αβ共线或平行). (P 66) 两个向量,αβ线性无关 k l ⇔α≠ββ≠α且(几何上，即,αβ不共线或不平行).(4)三个向量,,αβγ线性相关，即,,αβγ共面. (P 66) 三个向量,,αβγ线性无关，即,,αβγ不共面.(5)正交向量组线性无关. (定理3.1 P 66)标准单位向量组是线性无关向量组.(6)若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) (定理3.2 P 67) 线性无关向量组的任一部分组线性无关.(整体无关，部分无关) (推论2 P 67)推论 含有零向量的向量组线性相关. (推论1 P 67)(7)设向量组12s ,,,ααα线性无关，12s ,,,,αααβ线性相关，则β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，且表示式唯一.(表示式中的系数称为β关于向量组12s ,,,ααα的坐标) (定理3.4 P 67)(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. (定理3.5 P 68) 证 设()Ti 1i 2i mi a ,a ,,a (i 1,2,,s)α==是一组m 维向量，令1122s s k k k α+α++α=ο，即1111221s s 2112222s sm11m22ms s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(5) 不妨去掉最后一个方程(这对应于12s ,,,ααα同时去掉了最后一个分量)，有1111221s s 2112222s sm 111m 122m 1s s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(6) 显然，若方程组(5)有非零解，那么方程组(6)也必然有非零解，即线性相关向量组的缩短向量组线性相关.反之，若方程组(6)只有零解，那么方程组(5)也必然只有零解，即线性无关向量组的加长向量组线性无关.例如，(9)任意n+1个n 维向量线性相关. 证 设12n 1,,,+ααα为n+1个n 维向量，那么①若12n ,,,ααα线性相关，则12n 1,,,+ααα线性相关；②若12n ,,,ααα线性无关，则由Cramer 法则知，线性方程组1122n n n 1x x x +α+α++α=α有唯一解,即n 1+α可由12n ,,,ααα线性表示，故12n 1,,,+ααα线性相关.推论任意m 个n(n<m)维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(第三、四节). 三、秩 (一)向量组的秩 1. 向量组的等价设有两个向量组：(Ⅰ)α1,α2,…,αr ；(Ⅱ)β1,β2,…,βs .定义3.4 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出；若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可以互相线性表出，则称它们等价. (定义3.10 P 69)向量组等价的性质：1)反身性；2)对称性；3)传递性. (P 69)若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，则有s ×r 矩阵C 使(α1,α2,…,αr )=(β1,β2,…,βs )C ，C 为表出矩阵.记A=(α1,α2,…,αr ), B=(β1,β2,…,βs )，上式即为A=BC.实际上，A=BC既表示A的列向量组可由B的列向量组线性表出，也表示A的行向量组可由C的行向量组线性表出.注意：当A、B为同型矩阵，A、B的行(列)向量组等价，必有矩阵A、B等价；反之，矩阵A、B等价，它们的行(列)向量组未必等价. (P70)定理3.1如果向量组α1,α2,…,αm线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm与之等价. (定理3.6P70) 证令β1=α1，β2=α2+k1β1且[β2,β1]=0，得k1=-[α2,β1]/[β1,β1]，所以β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1，βm=αm+k1β1+…+k m-1βm-1且[βm,β1]=0, [βm,β2]=0,…, [βm,βm-1]=0，得k1=-[αm,β1]/[β1,β1], k2=-[αm,β2]/[β2,β2],…, k m-1=-[αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]，所以βm=αm-([αm,β1]/[β1,β1]) β1-…-([αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]) βm-1，则β1,β2,…,βm是正交向量组，且(α1,α2,…,αm)=(β1,β2,…,βm)[][][][][][]2221m111112m,,,,,,101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝αβαβββββαβββ⎭，故向量组β1,β2,…,βm与向量组α1,α2,…,αm等价.再将向量组β1,β2,…,βm规范化，便得到与α1,α2,…,αm等价的规范正交向量组ε1,ε2,…,εm.例3.2(例3.5 P70)定义3.5 如果实矩阵A满足AA T=E，则称A为正交矩阵. (定义3.11 P71)正交矩阵的性质：(1)A 1=±；(2)实矩阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组(或列向量组)为规范正交向量组.2. 极大线性无关组定义3.6 如果向量组T 中有一部分向量组α1,α2,…,αr 满足： (1)α1,α2,…,αr 线性无关；(2)T 中任一向量β与α1,α2,…,αr 线性相关，则称α1,α2,…,αr 为向量组T 的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组.(定义3.12 P 71)极大无关组的含义：向量组中没有比“极大无关组”“更大的”的线性无关向量组.注意：一个向量组可能有极大无关组，也可能没有极大无关组；可能有一个极大无关组，也可能有多个极大无关组.如：只有零向量的向量组没有极大无关组；线性无关的向量组只有一个极大无关组；102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大无关组.定理3.2 向量组与它的任一极大线性无关组等价. (定理3.7 P 72) 推论1 向量组中的任意两个极大线性无关组等价. (推论 P 72)定理3.3 若列向量组α1,α2,…,αr 线性无关，且(α1,α2,…,αr )A=O ，则A=O . (定理3.8 P 72)定理3.4 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. (定理3.9 P 72) 推论 一个向量组的所有极大线性无关组中的向量个数相等. (推论 P 72)定义3.7 一个向量组的极大线性无关组中的向量个数称为向量组的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.13 P 72)规定：不存在极大无关组的向量组的秩为0. 例如，102R ,,2013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=.相关结论： (1){}12s R ,,,s ααα≤.(2)对于任意的同维向量组12s ,,,ααα和12t ,,,βββ，总有{}{}{}{}{}{}12s 12t 12s 12t 12s 12t max R ,,,,R ,,,R ,,,,,,,R ,,,R ,,,αααβββ≤αααβββ≤ααα+βββ (3)若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则{}{}12s 12t R ,,,R ,,,ααα≤βββ.(定理3.10 P 73)推论1 等价的向量组的秩相等. (推论1 P 73) 推论2 若向量组12s ,,,ααα线性无关，且可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则s t ≤. (推论2P 73)推论3 若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，且s t >，则12s ,,,ααα线性相关. (推论3 P 73)推论4 任意m 个n(n<m)维向量线性相关. (推论4 P 73)求极大无关组的方法：(1)观察法；(2)基本结论法；(3)初等变换法(第四节).(二)矩阵的秩定义3.8 在一个m n ⨯矩阵A 中任选k 个行与k 个列(1k min{m,n}≤≤)，位于这些行、列交叉处的k 2个元素按原相互位置关系所形成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式. (定义3.14 P 73)定义3.9 若矩阵A 有不等于零的r 阶子式，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r 称为矩阵A 的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.15 P 73)定义3.9指出：(1) 矩阵的秩为r ，则矩阵所有r+1及以上阶子式(如果存在的话)都等于零； (2) 矩阵的秩是矩阵不等于零的最高阶子式的阶数； (3) 0≤R(A)≤min{m,n}； (4) R(A T )= R(A)；(5) 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数.例3.3(例3.6 P 74) 求矩阵A 和B 的秩，其中1234512302312456,0003421000000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 求矩阵的秩定理3.5初等变换不改变矩阵的秩. (定理3.11 P 74)推论1 若A ～B ，则R(A)= R(B). (推论 P 75) 推论2行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理3.5、推论1和推论2给出了一个求矩阵秩的方法：对矩阵做初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中元素不全为零行的行数即为矩阵的秩.例3.4(类似例3.8 P 75)求矩阵12101210A 10112022-⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪-⎝⎭的秩. 解 因为2131434123+,221210121012101210000002011011020100002022042000---↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r ， 所以R(A)2=.例3.5(例3.7 P 75) 证明：R(AB )≤min{R(A),R(B)}. 证 因为()()R AB R AB A ≤，而()()12c c BAB A O A -→，所以()()()R AB R O A R A ≤=.又()()()()()T T T T R AB R (AB)R B A R B R B ==≤=，所以R(AB)min{R(A),R(B)}≤.3. 求向量组的秩与极大无关组定理3.6 矩阵的秩等于矩阵的行向量组的秩(称为矩阵的行秩)，也等于矩阵的列向量组的秩(称为矩阵的列秩). (定理3.12 P 76)证A ～B(对A 作行变换，B 是A 的行最简形矩阵)⇒R(A)=R(B)，A 、B 的行向量组等价又R(B)=R(B 的行向量组)⇒R(A)=R(B 的行向量组)=R(A 的行向量组)又R(A)=R(A T )⇒R(A T )=R(A T 的行向量组)=R(A 的列向量组) ⇒ R(A)=R(A 的列向量组)定理3.6给出了求向量组秩的方法：首先由向量组构成矩阵，然后求矩阵的秩，从而得向量组的秩.例3.6求向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的秩. 解 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242233211212112122325301677124670325535385029111111212112120167701677,00161616001110033300000-+-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r所以R(α1,α2,α3,α4,α5)=3.定理3.7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例 3.7(例 3.9 P 76) 讨论向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的线性相关性，求极大无关组，并用极大无关组表示其余向量.解 A=(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242123233261121211212232530167712467032553538502911111121211212016770167700161616001110033300000r r r r r r r r r r r r r -+---+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭→312211010100010101101011,011100111000000000r r r --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故R(α1,α2,α3,α4,α5)=3，说明α1,α2,α3,α4,α5中任意4个向量都线性相关.α1,α2,α3 (α1,α2,α4、α1,α2,α5都)是一个极大无关组，且α4=-α2-α3，α5=α1-α2-α3.定义3.10 若矩阵的秩等于矩阵的行数，则称矩阵是行满秩的；若矩阵的秩等于矩阵的列数，则称矩阵是列满秩的.既是行满秩又是列满秩的矩阵称为满秩矩阵(即可逆矩阵).求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)初等变换法.常识结论：(1)R(AB)min{R(A),R(B)}≤ (2)R(AB)R(A)R(B)A ≥+-的列数(3)max{R(A),R(B)}R(A B)R(A)R(B)≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)R(A B)R(A)R(B)±≤+ 简证：∵12c c (A B B)(A B)±→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)±≤±=≤+四、向量应用实例[实例3-1] 几何应用 [实例3-2] 混凝土配制问题 [实例3-3] 药方配制问题五、习题(P 80-84) 选择题：1-5. AC B C A6. 提示：AB=C ，A=CB -1表明，A 与C 的列向量组可以互相线性表出，故选B.7. 提示：当c 1≠0时，|(α1,α2,α3)|≠0, |(α1,α2,α4)|≠0，故排除选项A,B. |(α1,α3,α4)|≡0，故选C.当c 3+c 4≠0时，|(α2,α3,α4)|≠0，故排除选项D.填空题：1. 提示：方法一α1,α2,α3,α4线性相关⇔|(α1,α2,α3,α4)|=0⇒k=-5/13方法二初等变换法α1,α2,α3,α4线性相关⇔R(α1,α2,α3,α4)<42. 提示：β可由α1,α2线性表示⇔线性方程组(α1,α2)x=β有解⇔(α1,α2,β)～B,R(α1,α2,β)=R(α1,α2)⇒k=-19/23. 提示：设A=(α1,α2,α3,α4)，作初等变换A=(α1,α2,α3,α4)～B (B为A的行最简矩阵)⇒R(A)=R(B)=44.提示：α1,α2,α3线性无关⇔|(α1,α2,α3)|≠0⇒abc≠0三、解答题：1. 略.2. 提示：(1) 能.α2,α3,α4线性无关⇒α2,α3线性无关⇒若α1,α2,α3线性相关，则α1必可由α2,α3线性表示(2)不能.因为若α4可由α1,α2,α3线性表示，则α4就可由α2,α3线性表示，这与α2,α3,α4线性无关矛盾.3. 提示：(1)-(3)可用行列式法判断，(3)-(4)可用初等变换法4.提示：设A=(α1T,α2 T,α3 T,α4 T)，然后对A作行初等变换，将A化为行最简矩阵.5.提示：设A=(α1,α2,α3)，则当|(α1,α2,α3)|≠0时，β可由α1,α2,α3唯一线性表示，且表达式唯一.6. 提示：(1)当k1,k2,…,k m全为零时等式自然成立；否则，若k1=0，此时等式为k2α2+…+k mαm=ο，由于α2,…,αm 线性无关，得k2=…=k m=0，所以k1,k2,…,k m或全不为零.(2)由(1)知l1,l2,…,l m全不为零.设a=k1/l1，则两式相减，得(k 1-a l 1)α1+(k 2-a l 2)α2+…+(k m -a l m )αm =ο，因k 1-a l 1=0，由(1)知(k 2-a l 2)=…=(k m -a l m )=0，即k 1/l 1= k 2/l 2=…=k m /l m .8. 提示：令 k 1(a α1-α2)+k 2(b α2-α3)+k 3(c α3-α1)=ο， (1) 即(k 1a-k 3)α1+(k 2b-k 1)α2+(k 3c-k 2)α3=ο.α1,α2,α3线性无关⇒k 1a-k 3=0, k 2b-k 1=0, k 3c-k 2=0 (2)式(2)是关于k 1,k 2,k 3的齐次线性方程组，所以a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关⇔存在不全为零的k 1,k 2,k 3使式(1)成立，即方程组(2)有非零解.⇔a11b00abc 101c--=⇒=-.9. 提示：因为α1,α2,…,αs 线性相关，所以存在不全为零的数k 1,k 2,…,k s 使k 1α1+k 2α2+…+k s αs =ο.设i 是k 1,k 2,…,k s 中不为零的数的最大下标，由α1≠ο可知i>1，于是αi 就可由α1,…,αi-1线性表示.10. 证112223n n 1k ()k ()k ()α+α+α+α++α+α=ο， 即 1n 1122n 1n n (k k )(k k )(k k )-+α++α+++α=ο.因12n ,,,ααα线性无关，得1n 1122233n 1n n k k 0k 1001k k 0k 1100k k 0k A 0110001k k 0k ∆-+=⎧⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⇔=κ=ο⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⎪⎝⎭⎩⎝⎭. 而1n A 1(1)+=+-0,2, n n ⎧=⎨⎩为偶数，为奇数.所以，当n 为偶数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性相关； 当n 为奇数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性无关.11.提示：n 个n 维向量α1,α2,…,αn 线性相关⇔存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1α1+k 2α2+…+k n αn =ο.⇔|(α1,α2,…,αn )|=0. (克拉默法则)12.证 因为e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，所以R(e 1, e 2, …, e n )≤R(α1,α2,…,αn ).又因为α1,α2,…,αn 可由e 1, e 2, …, e n 线性表出，所以R(α1,α2,…,αn )≤R(e 1, e 2, …, e n ).因此R(α1,α2,…,αn )=n ，α1,α2,…,αn 线性无关.13. 证 充分性 因为任一n 维向量都可由α1,α2,…,αn 线性表示，所以标准单位向量组e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，于是由第11题可知，α1,α2,…,αn 线性无关.必要性 设α1,α2,…,αn 线性无关，因n+1个n 维向量线性相关，所以任一n 维向量β都可由α1,α2,…,αn 线性表示.14. 提示：先进行schimidt 正交化，然后规范化.15.提示：方法一 令A=(α1,α2,α3,α4,β)，则()1234111110112123a 24b 3351a 85⎛⎫ ⎪-⎪ααααβ= ⎪++ ⎪+⎝⎭1111112100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1021001121,10000000021000110100,110010100010a b b a a b a a b a ⎧-⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-→ ⎪⎨+ ⎪⎪++ ⎪⎪ ⎪⎪≠-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩当当所以，(1)当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示. (2)当a≠-1时，β能由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示为1232b a b 1ba 1a 1a 1++β=-α+α+α+++. (3)当a=-1且b=0时，β能由α1,α2,α3,α4线性表示，但表示不唯一.方法二 向量β能不能由向量组α1,α2,α3,α4线性表示等同于非齐次线性方程组1234(,,,)x αααα=β是否有解.根据克拉默法则，令|(α1,α2,α3,α4)|=0，得a=-1，否则，a ≠-1. 所以当a ≠-1时，此时β可由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示； 当a=-1时，对矩阵(α1,α2,α3,α4,β)作初等行变换，得()123410210011210000b 00000-⎛⎫⎪- ⎪ααααβ= ⎪⎪⎝⎭，所以当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示.16.解 向量组α1,α2与向量组β1,β2,β3等价，即α1,α2与β1,β2,β3可以互相线性表出，并且R(α1,α2)=R(β1,β2,β3).4332431323113231110110422211120021111310204222r r r r r r +++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3213231021110000000000r r ↔⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭12312121231012321201121212,,,00000000001101101120,,,0000000000⎧-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⇒βββαα⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭→⎨-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⇒ααβββ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩可由线性表出可由线性表出17. 提示：根据极大线性无关组的定义.18.(3)解 213123202310231 0343001304710013r r r r----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭32r r 02310013,0000 R 2.+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭∴=(4)解 322141r r r 3r r r 17253143172531435375941322013 5475941341002202532483015---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42313132323231r 225r r r r 17r r r r 2r r r r 31r 02531910020011025319100200110000000010028010500110000 R 3.⨯---↔-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭∴=，19. 提示：x y y x 2y x 2y x 2y A y x y y x y y y x y y x 111111y x y 0x y 0,x 2y 0y y x 00x y 000000y x y y x 0,x 2y 0y y x 0y x x y 111000,x 2y 0x y R(A)1000+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-+≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭⎝⎭→⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛⎫ ⎪+≠=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭→且111010,x 2y 0x y R(A)3001000y x 0,x 2y 0x y R(A)00y x x y 000y x 0,x 2y 0x y R(A)20y x x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+≠≠⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎨⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+==⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪+=≠⇒= ⎪⎪⎪ ⎪--⎪⎪⎝⎭⎩⎩且且且 所以 0,x y 0,1,x y 0,R(A)2,x 2y 0,3,x 2y x y.==⎧⎪=≠⎪=⎨=-≠⎪⎪≠-≠⎩且20. 提示：按阶梯形矩阵构造1030011000000100000100000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或 1030011000000100000100011⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……21. 证∵12c c (A+B B)(A B)-→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)+≤+=≤+22.证∵21c c (B)A O A O E B E O +-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O R EB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥R(A)+R(B) A O R =E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的列数∴R(A)+R(B)≤A 的列数23.证∵A 2-A=(A-E)A=O∴R(A-E)+R(A)≤n (第22题) ∵ E=(E-A)+A∴R(E)=R((E-A)+A)≤R(A-E)+R(A) (第21题) ∴R(A-E)=n-r24. 提示：E-A 2=(E-A)(E+A)=O, 2E=(E+A)+(E-A)25. 证因为A 的秩为r ，所以存在n 阶初等行矩阵P 1,P 2,…,P k 与m 阶初等列矩阵Q 1,Q 2,…,Q l ，使得()rr k2112l r r m n m n rE O E P P P AQ Q Q =E O O O O ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()r 11111112krl 21r m n rE P P PP Q=E O Q Q Q O ------⨯⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则A=PQ，其中()()()()r rr m n r E R P R =R Q R E O r O ⨯⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.26.解det(B)1231231231232323123233123123det(,24,39)det(,3,5)det(,3,2)det(,,2)2det(,,) 2.=α+α+αα+α+αα+α+α=α+α+αα+αα+α=α+α+αα+αα=ααα=ααα=27. 提示：设A=(α1,α2,α3,β1,β2,β3)，则312r r r 101111101111A 013a 23013a 23115135001a 01--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2131323r 2r r r r r r 1011112102(a 1)00001a 011001+a 100104a 20001a 01----⎧⎛⎫⎪ ⎪→--⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩R(A)=3, R(B )≥2.(1)因为α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表出，所以R(B)<R(A)，故a=1. (2)β1=2α1+4α2-α3,β2=α1+2α2,β3=α3.28. 解 因为向量α=(2,4,-3)与向量β=(-1,-2,3/2)平行，所以直线L 1与L 2平行.又直线L 1过点(1,2,3)，且点(1,2,3)也在直线L 2上，所以直线L 1与L 2重合.六、计算实践实践指导：（1）理解向量线性组合、线性相关和线性无关的概念； （2）了解向量线性相关和线性无关的有关理论，掌握判别方法；（3）理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵秩的概念； （4）会求向量组的极大线性无关组及秩，会求矩阵的秩.例3.1设三阶矩阵()T 122A 212,a,1,1304-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，已知Aα与α线性相关，求a.解()TA a,2a 3,3a 4α=++，Aα与α线性相关a 2a 33a 4a 1a 11++⇒==⇒=-. 例3.2 已知()()1231234R ,,R ,,,3,ααα=αααα=()1235R ,,,4αααα=，证明：()12354R ,,,4αααα-α=.解 ()()1231234R ,,R ,,,3ααα=αααα=⇒4112233k k k α=α+α+α12354(,,,)αααα-α()()12351122331212353,,,k k k 100k 010k ,,,001k 0001=αααα-α-α-α-⎛⎫⎪-⎪=αααα ⎪- ⎪⎝⎭()()123541235R ,,,R ,,,4⇒αααα-α≤αααα=()()()()1235112123543123512354 ,,,100k 010k ,,,001k 0001R ,,,R ,,,-⇒αααα-⎛⎫ ⎪-⎪=αααα-α ⎪- ⎪⎝⎭⇒αααα≤αααα-α ⇒()12354R ,,,4αααα-α=例3.3 已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩是2，求t .解1231211A 20t 00452α-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α--⎝⎭⎝⎭1211121104t 220452045200t 30--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.()R A 2t 3=⇔=，故t 3=.例3.4设n m m n n A B E ⨯⨯=，则[A ]. (A )n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==； (B)n m m n R(A )n,R(B )m ⨯⨯==； (C)n m m n R(A )m,R(B )n ⨯⨯==； (D)n m m n R(A )R(B )m ⨯⨯==.例3.5若n m m n n A B E (n m)⨯⨯=<，证明：n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==.证明 反证法.显然m n R(B )n ⨯≤.若m n R(B )n ⨯<，则n n m m n n R(E )min(R(A ),R(B ))n ⨯⨯=≤<，这是矛盾的结果，所以必有()n m R A n ⨯=.同理，有()m n R B n ⨯=.例3.6n A 0=说明什么? 答： 说明n A 不可逆；(第二章)齐次线性方程组n A x =ο有非零解； (第一、四章)()n R A n <；(第三章)n A 的行向量组线性相关; 行秩n <；(第三章) n A 的列向量组线性相关; 列秩n <；(第三章)n A 的标准形为rE O (r n)O O ⎛⎫<⎪⎝⎭；(第二、三章) 0是n A 的特征值. (第五章)例3.7设向量组Ⅰ：α1,α2,…,αr 可由向量组Ⅱ：β1,β2,…,βs 线性表示，下列命题正确的是[A ]. (A )若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤； (B)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >； (C)若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤； (D)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >.例3.8设(β1,β2,…,βs )=(α1,α2,…,αt )A t×s ，且α1,α2,…,αt 线性无关，试判断β1,β2,…,βs 的线性相关性.七、知识扩展1. 设α1,α2,…,αn 为n 维列向量组，A 是m×n 矩阵，下列选项正确的是[A ].（2006 数一） (A) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (B) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关； (C) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (D) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关. 提示：∵12n 12n (A ,A ,,A )A(,,,)ααα=ααα∴12n 12n R(A ,A ,,A )R(A(,,,))ααα=ααα12n min{R(A),R(,,,)}≤ααα若α1,α2,…,αn 线性相关，则12n R(A ,A ,,A )n ααα<. 选A .注意到，若α1,α2,…,αn 线性无关，则R(A α1,A α2,…,A αn )=R(A).2. 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组[C ]. （1994 数一）(A) α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关； (B) α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1线性无关； (C)α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4-α1线性无关； (D) α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1线性无关. 提示：观察法3.设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有[A ]. (2004 数一) (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； (C) A 的行向量组线性相关，B 行向量组线性相关； (D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 提示：方法一()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n()()()()R A 1,R B 1R A n 1,R B n 1≥≥⎧⎪⇒⎨≤-≤-⎪⎩，故选A . 方法二设1212n n A (,,,)O,B O β⎛⎫⎪β⎪=ααα≠=≠ ⎪ ⎪β⎝⎭，i1i2in 1j 2j nj (a ,a ,,a ),(b ,b ,,b )⇒∃≠ο≠οi11i22in n 1j 12j 2nj n a a a ,b b b ,β+β++β=ο⎧⇒⎨α+α++α=ο⎩故选A .4.设n 维列向量组α1,α2,…,αm (m<n)线性无关，n 维列向量组β1,β2,…,βm 线性无关的充要条件为[D ].（2000 数一）(A) 向量组α1,α2,…,αm 可由向量组β1,β2,…,βm 线性表示； (B) 向量组β1,β2,…,βm 可由向量组α1,α2,…,αm 线性表示； (C) 向量组α1,α2,…,αm 与向量组β1,β2,…,βm 等价； (D) 矩阵A=(α1,α2,…,αm )与矩阵B=(β1,β2,…,βm )等价.提示：因为m m E E A ~,B ~A,B O O ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，故选D .(A)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(A).例如，100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭与　1　，0，1.(B)⇒β1,β2,…,βm 线性无关.(C)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(C). **注意向量组等价与矩阵等价的差别5.设四维向量组α1=(1+a,1,1,1)T ,α2=(2,2+a,2,2)T ,α3=(3,3,3+a,3)T ,α4=(4,4,4,4+a)T ，问a 为何值时α1,α2,α3,α4线性相关？当α1,α2,α3,α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出.（2006 数一）提示：()12341a23412a 34,,,123a 41234a +⎛⎫ ⎪+ ⎪αααα= ⎪+ ⎪+⎝⎭ i 11i r r c c i 2,3,4i 2,3,41a23410a234a a 000a 00a0a 000a 0a00a 000a -+==++⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒当a=0或a=-10时，α1,α2,α3,α4线性相关.且当a=0时，R (α1,α2,α3,α4)=1，一个极大线性无关组为α1；当a=-10时，R (α1,α2,α3,α4)=3，一个极大线性无关组为α2,α3,α4.6. 设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p +2)T,α4=(-2,-6,10,p)T ，问：(1)p 为何值时，该向量组线性无关? 此时用α1,α2,α3,α4表示向量α=(4,1,6,10)T .(2) p 为何值时，该向量组线性相关? 此时求它的秩和一个极大线性无关组. (1999)(答案：p≠2,p=2) 提示：方法一 初等行变换法(1)()12341132413261,,,15110631p 2p 10--⎛⎫⎪--⎪ααααα= ⎪-⎪+⎝⎭()()())p 2113 24021 43001 01000p 21p 10002010021p p 2~0010100011p p 2≠--⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭故p≠2，这时()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--. (2) p=2，秩为3，一个极大线性无关组为α1,α2,α3.（另一个极大线性无关组为α1,α3,α4.） 方法二 行列式法 计算1234,,,αααα113211321326021415110001031p 2p 0p 20p 20p 2---------==-+-≠⇒≠⎧⎨=⇒=⎩当p≠2，令()1234,,,x αααα=α，计算()())()()12341132413261,,,15110631p 2p1010002010021p p 2,0010100011p p 2--⎛⎫⎪-- ⎪ααααα=⎪-⎪+⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭得()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--.7.设R(A m×n )=m<n ，则下述结论正确的是[C ]. (A)A m×n 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A m×n 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足BA=O ，则B=O.(D)A m×n 通过初等行变换必可以化为(E m O)的形式. 提示：T T BA OA B O =⇒=T T T R(A)R(B)R(A )R(B )A ⇒+=+≤的列数m =R(B)0B O ⇒=⇒=，故选C .(D)的正确说法是A m×n 通过初等变换必可以化为(E m O)的形式.8.设A 是m×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B=AC 的秩为r 1，则[C ]. (A)r>r 1；(B)r<r 1； (C)r=r 1；(D)r 与r 1的关系依C 而定.(1994 数三)提示：由B=AC 及C 是n 阶可逆矩阵知B ～A ，故选C .9.设A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O ，则A 和B 的秩(A)必有一个等于零； (B)都小于n ；(C)一个小于n ，一个等于n ； (D)都等于n.(1994 数四)提示：由A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O⇒()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n⇒()()()()R A 1,R B 1,R A n 1,R B n 1,≥≥⎧⎪⎨≤-≤-⎪⎩故选B .10.设A 是4×3矩阵，且R(A)=2，而102B 020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则R(AB)=2. (1996 数一)提示：B 可逆.11.已知矩阵123Q 24t 369⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及3阶非零矩阵P 满足PQ=O ，则[C ].(A) t=6时，P 的秩必为1； (B) t=6时，P 的秩必为2； (C)t≠6时，P 的秩必为1；(D) t≠6时，P 的秩必为2. (1993 数一)提示：t=6时，R(Q)=1, R(P)≤2；t≠6时，R(Q)=2, R(P)≤1. 又因P ≠O ⇒R(P)≥1，故选C.12.设122A 4t3311-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为3阶非零矩阵，且AB=O ，则t=-3. (1997 数一) 提示：AB OR(A)R(B)A =⇒+≤的列向量数3B O R(B)1≠⇒≥所以R(A)2≤.但显然R(A)2≥，故R(A)2=.于是由A 0t 3=⇒=-.或由21331r r r r 3r 122122122A 4t 30t 1401131107700t 3------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭R(A)2t 30t 3=⇒+=⇒=-.13.设矩阵k1111k 11A 11k 1111k ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，且R(A)=3，则k=-3.提示：k 3k 3k 3k 31k 11A ~11k 1111k ++++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k 30001k 100~10k 10100k 1+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭()R A 3k 3=⇒=-.14.设n(n ≥3)阶矩阵1a a a a1a a A aa 1a a a a1⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若矩阵A 的秩为n-1，则a 必为 (A)1； (B)11n -； (C) -1； (D)1n 1-. (1998 数三) 提示：()()()n 1a 1n 1a 1n 1a 1a1a A ~a a1⎛-+-+-+⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭11101a 01,a n 1001a ~000a 1a 01,a=n 1a 01a ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪≠-⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎪-⎪-⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎩ n 31,a 1,1R(A)n,a 1a ,n 11n 1,a=.n 1≥⎧⎪=⎪⎪⇒=≠≠-⎨-⎪⎪--⎪⎩-且 故选B.。

习题三 A 组1. 设1232()3()2()αααααα-++=+，求α，其中1110α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3340α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭。

解123103423221312430103αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关。

(1)131-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，210⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，141⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（2）230⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，140-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭解（1）121121121101101314077011011011101022000000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭::::, R(A)=2，线性相关（2）210210*********00102002000002-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭::, R(A)=3，线性无关 3. a 取什么值时，下列向量组线性相关？111a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 211a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311a α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 (法一)求系数行列式3211112(1)(2)11a a a a a a a a-=-+=+-+，令其为0，得1a =-。

由此可知，当1a =-时，R(A)<3，即题给向量组线性相关。

(法二)()23121212311110110101,,111101101111111111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a ααα-+--+-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭:::向量组线性相关，所以10a +=，即1a =-4. 设123,,ααα线性无关，证明：1α，12αα+，123ααα++也线性无关. 证明：设112123123()()0,k k k αααααα+++++=即123123233()()0.k k k k k k ααα+++++=由123,,ααα线性无关，有1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===，即112123,,αααααα+++线性无关. 5.设1(1,1,1)α=，2(1,2,3)α=，3(1,3,)t α=，问： (1) t 为何值时向量组123,,ααα线性相关。

第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。

分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。

请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。

习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。

一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。

矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。

两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。

n 维向量组的线性组合也是n 维向量。

定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。

判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。

反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。

第三章练习题1.已知R (α1,α2,α3)=2,R (α2,α3,α4)=3,证明：(1)α1能由α2,α3线性表示；(2)α4不能由α1,α2,α3线性表示.证明：(1)因为R (α2,α3,α4)=3,于是α1可由α2,α3唯一的线性表示(2)反证，若α4可由α1,α2,α3线性表示,则α4可由α2,α3线性表示，与R (α2,α3,α4)=3矛盾2.a 取什么值时下列向量组线性相关？α1=(a,1,1)T ,α2=(1,a,−1)T ,α3=(1,−1,a )T解： a 111a −11−1a−→01+a 1−a 201+a −(1+a )1−1a那么a =−1或a =2,则三个向量线性相关3.设α1,α2线性无关，α1+β,α2+β线性相关，求向量β用α1,α2线性表示的表示式.解：因为α1+β=k (α2+β),于是β=1k −1α1+k1−k α24.举例说明下列各命题是错误的：(1)若向量组α1,α2,...,αm 是线性相关的，则α1可由α2,α3,...,αm1线性表示；解：例如α1=0,α2,α3为零向量，显然α1不能用其余向量线性表示(2)若有不全为0的数λ1,λ2,...,λm,使得λ1α1+λ2α2+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0成立，则α1,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,β1=(−1,0,0)T,β2= (0,−1,0)α1+α2+β1+β2=0,但α1,α2线性无关，且β1,β2也线性无关(3)若只有当λ1,...,λm全为0时，等式λ1α1+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0才能成立，则α1,α2,...,αm线性无关，β1,β2,...,βm 亦线性无关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(1,0,0)T,α3=(0,0,0)Tβ1=(0,1,1)T,β2= (0,0,1)T,β3=(0,0,1)T(4)若α1,α2,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关，则有不全为0的数λ1,...,λm,使得λ1α1+···+λmαm=0,λ1β1+···+λmβm=0同时成立.解：取α1=(0,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(1,1,0)Tβ1=(1,0,0)T,β2=2(0,0,0)T ,β3=(−1,−1,1)T5.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组线性表示.(1)2531174375945313275945413425322048解：2531174375945313275945413425322048α1α2α3α4−→ 25311743012301350135−→ 25311743012300120000−→10085010−100120000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=85α1−α2+2α3(2) 112210215−1203−131104−1 解： 112210215−1203−131104−1α1α2α3α4α5−→ 112210215−100203000001104−10103−1001−1100000 −→ 100100103−1001−1100000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=α1+3α2−α3,α5=α3−α236.设α1,α2,...,αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,...,e n能由它们线性表示，证明α1,α2,...,αn线性无关.证明：因为n=R(e1,...,e n)≤R(α1,...,αn)≤n于是R(α1,...,αn)=n，则α1,α2,...,αn线性无关7.设向量组α1,α2,...,αm线性相关，且α1=0,证明：存在某一个向量αk(2≤k≤m)使得αk能由α1,α2,...,αk−1线性表示.证明：反证若∀αk都不能被α1,α2,...,αk−1线性表示，于是对于k1α1+k2α2+···+k mαm=0，则k m=0,若否αm可以被前面m−1个向量线性表示以此类推k2=k3=···=k m−1=k m=0,由于k1,k2,...,k m不全为零，于是k1=0,那么α1=0与题设矛盾，因此命题成立.8.设向量组B:β1,β2,...,βr能由向量组A:α1,α2,...,αs线性表示为(β1,β2,...,βr)=(α1,α2,...,αs)K,其中K为s×r矩阵，且A向量组线性无关，证明：向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为r证明：(=⇒)因为向量组B线性无关，于是R(β1,...,βr)=r,注意到r=R(B)≤R(K)≤r那么R(K)=r4(⇐=)若R (K )=r ,那么线性方程组KX =0只有零解，令KX =Y ,注意到向量组A 线性无关，于是线性方程组AY =0只有零解，由于BX =AY =AKX ,那么BX =0只有零解，于是R (B )=r ,即向量组B 线性无关.9.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1) x 1−8x 2+10x 3+2x 4=02x 1+4x 2+5x 3−x 4=08x 1+7x 2+6x 3−3x 4=0解 1−8102245−1876−3−→100−2083010−1783001583ξ=(−20,−17,5,83)T(2) 2x 1−3x 2−2x 3+x 4=03x 1+5x 2+4x 3−2x 4=03x 1+8x 2+6x 3−2x 4=0解 3−3−21354−2386−2−→100−12010−7201−214ξ=(2,14,−21,4)T10.求下列非齐次线性方程组的一般解(1) 2x 1+7x 2+3x 3+x 4=63x 1+5x 2+2x 3+2x 4=49x 1+4x 2+x 3+7x 4=2解 273163522494172 −→274161−2−11−21−24−113−221−2−11−20115−1100−22−102−20−→1−2−11−20115−11003齐次方程的基础解系为ξ1=(2111,511,1,0)T ,ξ2=(−911,111,0,1)T5非齐次方程的一个解为η=(−211,1011,0,0)T ,于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+η,其中C j (j =1,2)为任意常数(2) x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=73x 1+2x 2+x 3+x 4−3x 5=−2x 2+2x 3+2x 4+6x 5=235x 1+4x 2+3x 3+3x 4−x 5=12解1111173211−3−201226235433−112−→1111170122623000000000000齐次方程的基础解系为ξ1=(5,−6,0,0,1)T ,ξ2=(1,−2,0,1,0)T ,ξ3=(1,−2,1,0,0)T非齐次方程组的一个解为η=(−16,23,0,0,0)T于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+C 3ξ3+η,其中C j (j =1,2,3)为任意常数11.设n 阶矩阵A 满足：A 2=A,E 为n 阶单位矩阵，证明：R (A )+R (A −E )=n证明：因为A (A −E )=0若A =E ,所证命题显然成立若A =E ，则线性方程组AX =0有非零解，即矩阵A −E 的列向量组是AX =0的解集，必然可以由其基础解系线性表示，那么6R (A −E )≤n −R (A ),即R (A )+R (A −E )≤n又n =R (E )=R (A +E −A )≤R (A )+R (E −A )=R (A )+R (A −E )，于是R (A )+R (A −E )=n12.设A 为n 阶矩阵，求A 的伴随矩阵A ∗的秩R (A ∗)解：因为AA ∗=|A |E ,若|A |=0,则|A ∗|=0,所以R (A ∗)=R (A )=n若|A |=0则R (A )≤n −1,当R (A )<n −1时A 的所有n −1阶子式全为零，所以A ∗=0故R (A ∗)=0,当R (A )=n −1时A 至少有一个n −1阶子式不为零，故A ∗=0,则R (A ∗)≥1,而AA ∗=0即A (a ∗1,a ∗2,...,a ∗n )=0这说明A ∗的列向量a ∗j (j =1,2,...,n )是方程组AX =0的解，所以该列向量组可以被方程组AX =0的基础解系线性表示，那么该向量组的秩R (A ∗)≤(基础解系的秩）n −R (A )=n −(n −1)=1,由以上分析得知R (A ∗)=1综上所述R (A ∗)=n |A |=00R (A )<n −11R (A )=n −113.设a =(a 1,a 2,a 3)T ,b =(b 1,b 2,b 3)T ,c =(c 1,c 2,c 3)T .证明：三条直线ℓ1:a 1x +b 1y +c 1=0ℓ2:a 2x +b 2y +c 2=0ℓ:a 3x +b 3y +c3=0(a 2i +b 2i =0,i =1,2,3)相交于一点的充分必要条件是：向量组a ,b 线性无关，且向量组a ,b ,c 线性相关.7证明：(=⇒)因为三条直线相交于一点，于是必有两条直线彼此相交，不妨设ℓ1,ℓ2相交，那么a1 b1=a2b2,于是向量a与向量b线性无关，注意到齐次线性方程组x a+y b+1c=0有非零解(x,y,1)T,则向量a,b,c线性相关(⇐=)向量组a,b线性无关，且向量组a,b,c线性相关，则向量组−c可由向量组a,b唯一的线性表示，即x a+y b+c=0,中系数x,y,1是唯一确定的，即三条直线ℓ1:a1x+b1y+c1=0ℓ2:a2x+b2y+c2=0ℓ:a3x+b3y+c3=0相较于唯一点14.α1,α2...,αm,α1=0,αi(i=2,3...,m)都不能由α1,α2,...,αi−1线性表示，证明α1,α2...,αm线性无关。