2011上海大同杯数学竞赛试题

G A B CDE F2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a ＋b ＝2，(1－a )2b ＋(1－b )2a ＝-4,则ab 的值为( )(A) 1 (B) -1 (C) -1 2(D)1 22. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 83. 方程│x 2－1│＝(4－23) (x ＋2)的解的个数为( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个4. 今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组5. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝3， DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE ＝( )(A) 1＋2 (B) 6 (C) 23－1 (D) 1＋36. 已知1x ＋1y ＋z ＝12, 1y ＋1x ＋z ＝13,1z ＋1x ＋y ＝14，则 2x ＋3y ＋4z 的值为( )(A) 1 (B)3 2(C) 2 (D)52二．填空题1. 在△ABC 中，已知∠B ＝2∠A ，BC ＝2，AB ＝2＋23，则∠A ＝ ．2. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则 b ＋2c ＝ ．3. 能使2n ＋256是完全平方数的正整数n 的值为 ．OA BCDEF4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果DE ＝34CE ，AC ＝85，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．第二试1. 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足a －b ＋c ＝3，方程x 2＋ax ＋1＝0和x 2＋bx ＋c ＝0有一个相同的实根，方程x 2＋x ＋a ＝0和x 2＋cx ＋b ＝0也有一个相同的实根．求a ,b ,c 的值．PABCDS2. 如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，对角线AC ,BD 交于点S ，且DS ＝2SB ，P 为AC 的中点． 求证：（1）∠PBD ＝30°；（2）AD ＝DC ．3. 已知m ,n ,p 为正整数，m ＜n ．设A (－m ,0)，B (n ,0)，C (0,p )，O 为坐标原点．若∠ACB ＝90°，且OA 2＋OB 2＋OC 2＝3(OA ＋OB ＋OC ) （1）证明： m ＋n ＝p ＋3；（2）求图象经过A ,B ,C 三点的二次函数的解析式．参考答案一．选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空题1. 15°2. 23.114. 24第二试1.解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得ba c x --=11． 设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。

（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。

2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。

5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。

8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。

二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。

x (1+ x ) - e (1- ln(1+ x )) e x ln(1+x ) ln(1+x )-2 - e x e x x = 2e lim 1+ x = 2e lim x ®0 x ®0 x 2x × cos 2 × × cos n , 求 lim a n . 2 2 2解：若q = 0, 则lim a n = 1. 若q ¹ 0 ，则当 n 充分大，使得 2 >|k | 时，时， a n = cos × cos 2 × × cos n = cos × cos 2 × × cos n n × q q qq q qq 1qsin n× cos 2 × × cos n -1 × sin n -1 × qsin n= sin q × cos 2 × × cos n -2 2 sin n -2 × q q q q 1 q q2 sin n sin n 这时这时,, lim a n = lim sin q sin qq q n ®¥ n ®¥2 sin n1第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2011）一、（本题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）计算题2 (1+ x ) x -e 2 (1- ln(1+ x )) 1. lim .x ®0 解：因为2 2 x = 2 l n(1+x ) x - e 2 (1- l n(1+ x )) x,lim x ®0 e 2 ln(1+ x ) x= e 2,………………………………………………3 分lim x ®0 e 2 x 2 = e 2 lim x ®0 2 -12 = e 2 lim x x ®0ln(1+ x ) - 2 x2 ln(1+ x ) - x 2 2 1 -1= -e 2 , ………………5 分所以lim x ®0 2 (1+ x ) x - e 2 (1- ln(1+ x )) x=0. ………………………………6 分2. 设 a n = cos q q qn ®¥n ®¥ ……………………1 分n×s in 2222222 2q qq q 1= cos . ………………………4 分2 2 2 2 2 2= cos × 2 2 2 2 2 n 2 2= . ………………………6 分n 21£ x £ 2, 0 £ y £ }£ x £2, dxdxdy = 1+ ò ò òòòòòò 2n -1 2n -2 2n -1 å 的和函数，并求级数 åx 2 n =1 2 解：令 S (x ) = å2n -1 2n -2 x x æ x 2 ö 2n -1 2n -2 S (t )dt = å ò t dt = åå=n 1ç 2 ÷ò001=n2n -1x3. 求òòsgn(xy -1)dxdy ，其中 D = {(x , y ) | 0 £ x £ 2, 0 £y£ 2} D解：设 D 1 = {(x , y ) | 0 £ x £ 1 2,0 £ y £ 2} D 2 = {(x , y ) | 1 12 xD 3 = {(x , y ) | 1 12 x £ y £ 2} ……………………………2 分 D 1ÈòD 2 2 1 x = 1+ 2 ln 2 ， òò dxdy =3 - 2 ln 2 . D 3………………………4 分 2sg n(x y-1)dx d y =d x d y -DD 3D 2ÈD3dxdy= 2 - 4 l n 2 . ………………………6 分4. 求幂级数¥¥n =1n2n -1的和的和..¥n =12nx ，则其的定义区间为 (- 2, 2) . "x Î(- 2, 2) ，æ ö¢ 2 + x 2 è 2 - x ø ， x Î (- 2, 2) . 于是， S (x ) = ç÷ = (2 - x ) 2n -1 2n -1 æ 1 ö æ 1 ö 10 ¥¥å=n1 2 2n çèø÷èn1. 如果 lim a n = a ，则lim 2. 如果存在正整数p ，使得 lim(a n + p n) = l，则 lim a n l n ®¥n p 证明：证明：1.1. 由 lim a n = a ， $M > 0 使得 | a n |£ M ，且 "e > 0, $N 1 Î，当 n > N 1 时， | a n -a |< e因为 $N 21 ，当n > N 2 时， N 1(M + | a |) e a 1 + +a n N 1(M + | a |) e (n - N 1) e222 2…………………………4 分2n-2n =12 2 ø 9 . ………………………………6 分二、（本题 2 两问，每问 8 分，共 16 分）设{a n }¥=0 为数列， a , l为有限数，求证： n ®¥ n ®¥a 1 + a 2 + + a n n= a ;-a = .n ®¥n ®¥. ……………………………………4 分2>N < .n2于是，- a £ + < e ,n n n 222.2.对于对于 i = 0,1, , p -1，令 A n = a (n +1) p +i -a np +i ，易知{A n } 为{a n + p - a n } 的子列的子列.. 由 lim(a n + p - a n ) = l ，知 lim A n = l ，从而 lim A 1 + A 2i ) + + A ni ) 而 A + A 2 + + A n = a (n +1) p +i - a p +i .所以， lim n a (n +1) p +i l a m lf ¢¢(0) + f ¢¢(0) - m £ ( f ¢¢¢(h 1 2 )) £ M )+ f ¢¢¢(hf ¢¢¢(x 0 12 )) =3 . ………………………15 分) = ( f ¢¢¢(h ) + f ¢¢¢(h所以，limn ®¥a 1 + a 2 + +a n n=a . …………………………………………8 分 (i ) (i ) n ®¥ n ®¥ n ®¥ (i ) (i ) n= l.(i ) (i ) (i )n ®¥a (n +1) p +i - a p +i n= l . 由 lim n ®¥ a p +i n= 0 .知 lim n ®¥a (n +1) p +i n = l. ………………………………………12 分 从而 lim n ®¥ a (n +1) p +i (n +1) p + i= lim × = n ®¥ (n +1) p +i n p"m Î , $n , p , i Î ， (0 £ i £ p -1) ，使得 m = np + i ，且当 m ® ¥ 时， n ® ¥.所以， lim = .…………………………………………………………16 分m ®¥ m p三、（15 分）设函数f (x )在闭区间[-1,1]上具有连续的三阶导数，且 f (-1) = 0 ， f (1) = 1， f ¢(0) = 0 .求证：在开区间 (-1,1) 内至少存在一点 x 0 ，使得 f ¢¢¢( x 0 ) =3证. 由马克劳林公式，得f ( x ) = f (0) + 1 2!f ¢¢(0)x 2+ 1 3!f ¢¢¢(h )x 3 ，h 介于 0 与 x 之间， x Î[-1, 1] …3 分 在上式中分别取 x = 1 和 x = -1, 得1 = f (1) = f (0) + 1 12! 3! f ¢¢¢(h 1 ) , 0 < h 1< 1. ………………………5 分 0 = f (-1) = f (0) + 1 1 2! 3!f ¢¢¢(h 2 ) , -1 < h 2 < 0 . ………………………7 分 两式相减，得f ¢¢¢(h 1) + f ¢¢¢(h 2 ) =6 . ………………………10 分由于f ¢¢(x )在闭区间[-1,1] 上连续，因此 f ¢¢¢(x )在闭区间在闭区间[[h 2 ,h 1 ]上有最大值 M 最小值 m ，从而 12…………………………………13 分再由连续函数的介值定理，至少存在一点 x 0 Î[h 2 ,h 1 ] Ì (-1,1) ，使得 123解：在 x 轴的 x 处取一小段 dx , 其质量是 rdx ，到质点的距离为 h + x , 这一小段与质点的引力是 Gm r xdxGm r d (x 2 )2 -1/ 2 +¥ òa(h 2+ x 2 )3/ 2= - Gm r (h + x ) Gm r hdxh sec t Gm r æ a ö , z - ) = 0 确定的隐函数，其中 F 具有连续的二阶偏导数， ¶x ¶x ¶y ¶y, z - ) =0 两边分别关于 x 、 y 求偏导，得 - 2 )F u v = 0 ， + ¶x x ¶x+ 2 )F v = 0 . = 2 2 = + F ) ¶y y (F + F四、（15 分）在平面上分）在平面上,, 有一条从点 (a ,0) 向右的射线向右的射线,,线密度为 r. 在点 (0, h ) 处（其中 h > 0）有一质量为 m 的质点的质点.. 求射线对该质点的引力求射线对该质点的引力..2 2dF =Gm r dxh 2 +x 2 （其中 G 为引力常数）为引力常数）.. …………………5 分这个引力在水平方向的分量为 dF x = Gm r x dx (h 2 + x 2)3 2. 从而F x =+¥òòa(h 2+ x 2 )3/ 2= 2+¥2a=Gm r h 2 +a 2……10 分而 dF 在竖直方向的分量为 dF y =Gm r hdx (h 2 + x 2)3 2 ,故F y = +¥òa (h 2 + x 2 )3/ 2 = p/ 2 ò arctan a h Gm r h 2 sec 2 dt 3 3 = Gm r h p / 2 òcos tdt = a arctan hç1 - s in a rctan ÷ h è h ø 所求引力向量为 F = (F x , F y ) . …………………………15 分五、（15 分）设 z = z (x , y ) 是由方程 F (z +1 1x y且 F u (u , v ) = F v (u , v ) ¹ 0 .求证： x 2¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y = 0 和 x 2 2 2 + xy (x + y ) + y 3 2 2 = 0 .解：在方程 F (z +1 1x y ( ¶z 1 ¶z F ¶z ¶y F u + ( ¶z 1 ¶y y…………………5 分由此解得，¶z ¶x F u ¶z -F v, x (F u vu v )所以， x2 ¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y= 0 …………………………10 分 对上式两边关于 x 和 y 分别求偏导，得4¶x ¶x ¶y ¶y + xy (x + y ) + y 3 六、（15 分）设函数 f (x ) 连续， a , b , c 为常数， S是单位球面 x + y + z = 1. 记第一型曲面积分 这部分摊开可以看成一个细长条这部分摊开可以看成一个细长条.. 这个细长条的长是 2p 1 -u ，宽是 x 2¶2 z 2 + y 2¶2z ¶y ¶x= -2x ¶z ¶x ，x + y 2 2 = -2 y¶z ¶y 上面第一式乘以 x 加上第二式乘以 y ，并注意到 x 2 ¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y= 0 ，得到 x 3 ¶2z ¶2z ¶2z ¶x 2 ¶x ¶y ¶y 2= 0…………………………………………15 分2 2 2 1 I = òò f (ax + by + cz )dS . 求证： I = 2p òf ( a 2 + b 2 + c 2 u )du S-1解：由 S的面积为 4p 可见：当 a , b , c 都为零时，等式成立都为零时，等式成立.. …………………2 分当它们不全为零时当它们不全为零时,, 可知：原点到平面 ax + by + cz + d =0 的距离是 | d |a 2 +b 2 +c 2. …………………………5 分设平面 P u : u =ax + by +cz a 2 + b 2 +c 2 ，其中 u 固定固定.. 则 | u | 是原点到平面 P u的距离，从而-1 £ u £1 . …………………………8 分两平面 P u 和 P u +du截单位球 S 的截下的部分上的截下的部分上,, 被积函数取值为 f ( a 2 + b 2 + c 2 u ). (10)分2 du 1 -u 2，它的面积是 2p du ，故我们得证我们得证..…………………………15 分5。

上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________．解答：做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

A 'B AM NPQ6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON内的两个定点，点P 、Q 分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。

应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。

要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。

从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。

//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。

上海市第二十五届初中物理竞赛（大同中学杯）复赛参考答案一、选择题（每小题4分，共32分）二、填空题（每题6分，共30分）9、 虚 ， 凸 。

10、 p 0 ， h 。

11、 圆弧 ， 932L π 。

12、 1062 。

13、 下降 ， 600 。

三、计算题（本题共36分） 14、（本题共9分）解：由投入含有石块的冰块可知，F 浮＝G （冰+石块）ρ水gS Δh ＝(m 冰＋m 石)gm 冰＋m 石＝ρ水S Δh ＝1.0×103×100×10-4×6×10-2kg ＝0.6kg 冰熔化后，水位下降的高度： mgph 3310528.510100.128.55-⨯=⨯⨯=∆='∆水ρ水位下降就是由于冰化成水体积减小引起的，即 V 冰－V 水＝S Δh ’S h m m ρρ'-=∆冰冰冰水kgkg h S m 498.010528.510100109.0100.1109.0100.1343333=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯='∆-=--冰水冰水冰ρρρρ石块的质量m 石＝0.6kg －0.498kg ＝0.102kg石块的体积35333241067.4109.0498.010610100S mmmm h V ---⨯=⨯-⨯⨯⨯=-∆=冰冰石ρ石块的密度335/1018.21067.4102.0mkg V m ⨯=⨯==-石石石ρ15、（本题共8分）设v 1=4km/s ，v 2=2km/s ，O 点为震中地点，t 和t ´分别为纵向地震波传至甲处(A 点)和(B 点)乙处的时间； 则kms km OA s v v t t v t v OA 164/4414)4(2121=⨯=⇒=-=⇒+==同理可得：km OB 40= O 点位置如图，由余弦定理可得：5.0401628.3440162cos 222222≈⨯⨯-+=⋅-+=OBOA ABOBOAθ，60≈⇒θ16．（本题共9分）解答：加热器在2分钟内所供应的总热量，等于水温升高所吸收的热量，加上散失到周围环境的热量，即 21()P t cm T T Q =-+若水温变化不大，则散失到周围环境的热量与时间成正比。

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）(x+y)ln(1+yxdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与两) 1．计算⎰⎰D-x-y坐标轴所围成三角形区域.⎛0解令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1⎝(x+y)ln(1+y)ulnu-ulnvD1⎫⎪dudv=dudv，⎪-1⎭⎰⎰D-x-yxdy=⎰⎰10-uudv==⎰(⎰10ulnu-uulnu-uu22⎰udv-u-u-u⎰ulnvdv)du-u(ulnu-u)du=⎰-udu （*）令t=-u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1-u)=t2(1-t)(1+t)，24(*)=-2⎰(1-2t+t)dt=2⎰102315⎤16⎡24(1-2t+t)dt=2⎢t-t+t⎥=3515⎣⎦02．设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2-解令A=A=⎰20f(x)dx-2, 则f(x)=____________.⎰20f(x)dx，则f(x)=3x-A-2，2⎰20(3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,2解得A=432。

因此f(x)=3x-103。

3．曲面z=x22+y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__________.x22解因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z=2+y-2在2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与(2,2,-1)平行，因此，由zx=x，zy=2y知2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0，即x0=2,y0=1，又z(x0,y0)=z(2,1)=5，于是曲面2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即曲面z=2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。