2019-2020学年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(文科)

甘肃省2019年高考数学一模试卷（文科）(解析版)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x＞1或x≤0}D．{x|0≤x≤1} 2．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q3．已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A．¬P：有的三角形不是等边三角形B．¬P：有的三角形是不等边三角形C．¬P：所有的三角形都是等边三角形D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形4．在△ABC中，•＞0，则该三角形的形状是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定5．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．6．函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）7．将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为（）A． B． C．D．8．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=288，S9=162，则S6=（）A．18 B．36 C．54 D．7210．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C．[1，3]D．（1，3）12．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A 的范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为．14．在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0（m＞0）且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD．21．（12分）椭圆H： +y2=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，﹣1），点N（a，0）．（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程．22．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x＞1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合M，N，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|≥0，x∈R}={x|x＞1或x≤0}，N={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}，M∩N={x|x＞1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，不等式的解法，是基础题．2．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A．¬P：有的三角形不是等边三角形B．¬P：有的三角形是不等边三角形C．¬P：所有的三角形都是等边三角形D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形【考点】命题的否定．【分析】特称命题的否定是全称命题，即“∃x，使f（x）成立”的否定是“∀x，使f（x）不成立”，对照此结论即可得正确结果【解答】解：∵有的三角形是等边三角形，即存在一个三角形是等边三角形，是一个特称命题，¬P是它的否定，应为全称命题“所有的三角形都不是等边三角形”故应选D【点评】本题考查了特称命题的否定方式，解题时要对照否定形式规范作答，本题属基础题4．在△ABC中，•＞0，则该三角形的形状是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积运算性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：∵•＞0，∴﹣cacosB＞0，∴cosB＜0．又B∈（0，π）．∴B为钝角．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的减法及其几何意义．【分析】利用D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，及向量的减法三角形法则，可得结论．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点∴∴==∵D、F分别是△ABC的边AB、CA的中点∴∵E是△ABC的边BC的中点∴∴故选D．【点评】本题考查向量的减法三角形法则，考查共线向量，属于基础题．6．函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】求三角函数的单调区间，一般要将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间．【解答】解：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）令，k∈Z解得，k∈Z函数的递增区间是，]（k∈Z）故选D．【点评】本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z．7．将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为（）A． B． C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出φ的值．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=，将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到函数，函数是偶函数，∴．当k=0时，φ=．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象平移变换，函数的基本性质的应用．8．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，做出两个几何体的体积求和．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，∴半圆柱的体积是==36π下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，∴四棱柱的体积是6×8×6=288，∴组合体的体积是36π+288故选A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查的几何体是一个组合体，上面的圆柱的一半比较特殊，需要仔细观察，圆柱的摆放方式和常见的摆放方式不同．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=288，S9=162，则S6=（）A．18 B．36 C．54 D．72【考点】等差数列的性质．【分析】由题意和等差数列的求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得a1和d，代入求和公式计算可得S6【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得S12=12a1+d=288，S9=9a1+d=162，解得a1=2，d=4，∴S6=6a1+d=72，故选：D．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．10．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，是基础题．11．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C．[1，3]D．（1，3）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．【解答】解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．12．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A 的范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）【考点】余弦定理．【分析】已知不等式去分母后，整理得到关系式，两边除以2bc，利用余弦定理变形求出cosA的范围，即可确定出A的范围．【解答】解：由+≥1得：b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），化简得：b2+c2﹣a2≥bc，同除以2bc得，≥，即cosA≥，∵A为三角形内角，∴0＜A≤，故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为m＞﹣2．【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】由题意可得f（x）为R上的奇函数和增函数，故原不等式可化为f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3），即2m﹣1＞m﹣3，解之即可．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣3x﹣sinx=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，又f′（x）=3+cosx＞0，可得f（x）为R上的增函数．故不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0可化为：f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3）故2m﹣1＞m﹣3，解得m＞﹣2．故答案为：m＞﹣2【点评】本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．14．在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=1008．【考点】数列的求和．【分析】a1=1，a n+1﹣a n=，可得a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，可得a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．∴S2015=503×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2+a3=503×2+2=1008．故答案为：1008．【点评】本题考查了数列的周期性、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，把目标函数z=化为，其几何意义是可行域内的动点与定点M（﹣2，0）连线的斜率，数形结合得到使z=最大的点，联立方程组求出点的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．联立，解得B（2，3）．的几何意义是可行域内的动点与定点M（﹣2，0）连线的斜率．∴目标函数z=的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如右图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．三．解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016•静宁县一模）已知p：|1﹣|≤2，q：（x ﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0（m＞0）且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据q是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴p：﹣2≤x≤10；∵（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0，∴q：﹣m+1＜x＜m+1，（m＞0），若q是p的必要不充分条件，则[﹣2，10]⊆（﹣m+1，m+1），故，解得：m＞9．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．18．（12分）（2016•衡水校级模拟）已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n （n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）先把n=1代入求出a1，再利用a n+1=S n+1﹣S n求解数列的通项公式即可．（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，故直接利用数列求和的错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=1﹣a n①∴S n+1=1﹣a n+1②②﹣①得a n+1=﹣a n+1+a n⇒a n；n=1时，a1=1﹣a1⇒a1=（6分）（Ⅱ）因为b n==n•2n．所以T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③故2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1④③﹣④﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=整理得T n=（n﹣1）2n+1+2．（12分）【点评】本题的第一问考查已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．（12分）（2016•衡水校级模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1+=． （1）求角A 的大小；（2）若函数f （x ）=2sin 2（x +）﹣cos2x ，x ∈[，]，在x=B处取到最大值a ，求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA 的值，进而求得A ．（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B ，C 和a 的值，进而利用正弦定理求得c ，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）因为1+•=，所以=2sinC ，又因为sinC ≠0，所以cosA=，所以A=．（2）因为f （x ）=2sin 2（x +）﹣cos2x=1+2sin （2x ﹣），所以，当2x ﹣=，即x=时，f （x ）max =3，此时B=，C=，a=3．因为=，所以c===，则S=acsinB=×3××=．【点评】本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．20．（12分）（2016•静宁县一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD 为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明EF∥面PAD，可用线面平行的判定定理，由题设及图，可先证明EF∥AP再由线面平行的判定定理证明；（2）证明面PDC⊥面PAD，由判定定理知要先证明线面垂直，由题设及图知，可先证AP⊥面PCD，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直．【解答】解：（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F．（2分）又E是PC的中点，所以，EF∥AP．（4分）∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD（6分）（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，（8分）又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD．（9分）又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD．（11分）又AD⊂面PAD，所以，面PDC⊥面PAD．（12分）【点评】本题考查线面平行与面面垂直，掌握线面平行的判定定理与面面垂直的判定定理是解决本题的关键，立体几何的证明题主要考查定理的使用及空间立体感知能力，观察能力，推理判断能力21．（12分）（2016•静宁县一模）椭圆H： +y2=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，﹣1），点N（a，0）．（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线MN的方程为： +=1，即x﹣ay﹣a=0．由=，解得a=．利用，即可的得出．H的离心率e=．（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由=+，可得C，利用A，B，C都在椭圆上整理化简可得：x1x2+3y1y2=0．设直线l的方程为：x=my+，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my﹣1=0，利用根与系数的关系代入可得m，对直线l的斜率为0时，直接验证即可．【解答】解：（1）直线MN的方程为： +=1，即x﹣ay﹣a=0．∵=，解得a=．又b=1，则=．∴该椭圆H的离心率e===．（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵=+，∴C，由A，B，C都在椭圆上，∴=3，①=3，② +3=3，③，由③化简整理可得：（）+（）+（x1x2+3y1y2）=3，x2+3y1y2=0，④．设直线l的方程为：x=my+，把①②代入化简可得：x+y2=，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my﹣1=0，∴yy1•y2=+3，x2==m2y1y2+m（y1+y2）+2，∴x•y2+m（y1+y2）+2=0，∴（m2+3）y∴（m2+3）•+m•+2=0，解得m=±1．∴直线l的方程为x=±y+．当直线l的斜率为0时，其方程为：y=0，此时A（，0），B（﹣，0），不满足④，舍去．综上可得：直线l的方程为x=±y+．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2016•静宁县一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即得单调区间；（2）由（1）可知x=为f（x）的极值点，按照极值点在区间[t，t+2]的右侧、内部、左侧三种情况进行讨论，由函数的单调性即可求得其最小值；【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=lnx +1，令f′（x ）＜0，解得0＜x ＜，令f′（x ）＞0，解得x ＞，所以f （x ）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（2）由（1）知f （x ）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞），则（ⅰ）当0＜t ＜t +2＜时，t 无解；（ⅱ）当0＜t ＜＜t +2，即0＜t ＜时，f （x ）在[t ，]上递减，在[，t +2]上递增，所以f （x ）min =f （）=﹣；（ⅲ）当≤t ＜t +2，即t ≥时，f （x ）在[t ，t +2]上单调递增， 所以f （x ）min =f （t ）=tlnt ，所以f （x ）min =．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．。

2019年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．65．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．26．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．48．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4=．14．若tanθ+=4，则sin2θ=．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB ﹣ccosB ． （Ⅰ）求cosB 的值； （Ⅱ）若，且，求a 和c 的值．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，又PD ⊥底ABCD ，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN ∥平面PMB ；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2019年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】求出|z|，可判断p1的真假；化简z2，可判断p2的真假；，可得z的共轭复数为1﹣i，z的虚部为1，由此可得结论．【解答】解：p1：|z|==，故命题为假；p2：z2===2i，故命题为真；，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；∵，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．故真命题为p2，p4故选：C．【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．3．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A，写出命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．5．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知将，|+2|=2，两边平方，得到，的模的等式，解之即可．【解答】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；故选D．【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．7．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；导数的概念及应用．【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：C．【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．10．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵．【专题】计算题；新定义；三角函数的图像与性质．【分析】由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f （x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值．【解答】解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据f （x ）•f （y ）=f （x+y ），令x=n ，y=1，可得数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【解答】解：∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），∴令x=n ，y=1，得f （n ）•f （1）=f （n+1），即==f （1）=，∴数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n =f （n ）=（）n ，∴S n ==1﹣（）n ∈[，1）．故选C ．【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a ⊗b 的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= 14 ．【考点】选择结构．【专题】图表型．【分析】通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，求出5⊗3+2⊗4的值．【解答】解：有框图知S=a⊗b=∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14故答案为14【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．14．若tanθ+=4，则sin2θ=．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：若tanθ+=4，则sin2θ=2sinθcosθ=====，故答案为．【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．【解答】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB ﹣ccosB ．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若，且，求a 和c 的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB ﹣2RsinCcosB ，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a 2+b 2=12，再根据完全平方式易得a=c=．【解答】解：（I ）由正弦定理得a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，则2RsinBcosC=6RsinAcosB ﹣2RsinCcosB ，故sinBcosC=3sinAcosB ﹣sinCcosB ，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB ，即sin （B+C ）=3sinAcosB ，可得sinA=3sinAcosB ．又sinA ≠0，因此． （II ）解：由，可得accosB=2，，由b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，可得a 2+c 2=12，所以（a ﹣c ）2=0，即a=c ，所以．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．【解答】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题．【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解答】解：（1）当m=2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增故（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则，故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0此时f（x）在上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m＞0∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立令，则对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”∴x1+x2的取值范围为【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。

参考答案1． 【解析】试题分析：方程解得，则2{40}{2,2}B x x =-==-，{}{}|202A x x =+==-，{}2{2,2}{2}A B =--=-.考点：集合的运算. 2．D 【解析】试题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可． 解：，故选D ． 3．A ． 【解析】试题分析：∵等差数列，，，∴22291a d a d d +++=⇒=，∴， ，∴．考点：等差数列的通项公式． 4．A 【解析】试题分析：1cos(21)cos 2()2y x x =+=+，所以应该向左平移个单位长度，选A.考点：函数图象的变换. 5．B 【解析】试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为21121222123422S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+故选：B. 考点：由三视图求面积、体积． 6．B 【解析】试题分析：对于，直线可能平行、相交、异面，不对；对于，由面面垂直性质得正确；对于没有内，不对；对于，没有说明是两条相交直线，不对，故答案为B. 考点：空间中直线与直线、平面与平面的位置关系. 7．B解：cos AB AC AB AC A ⋅==1sin 12ABC S AB AC A ∆∴==， =()(1442252518y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当时等号成立取最值 考点：向量数量积及均值不等式 8．B解析：因为，所以函数在上单调递增，故可排除C 选项；又因为时，，故可排除A 选项；当时，，故此时函数的图像在直线的上方，故D 错误，B 正确． 考点：函数的图像． 9． C 解析： 10. C 【解析】试题分析：程序在执行过程中的值依次为：；；；，程序结束，输出．考点：程序框图． 11．C 【解析】试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且，所以，因为，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==26,2524m a c e ，所以选C ．考点：双曲线性质的应用． 12．B解析：因为111111111(){}2222222--<≤-+∴-=--=f 故命题1正确 111111111(){}2222222113 3.43{3.4} 3.430.4222111111110-0{}0(),()24244444311,(,]2211(){}(,],422--<≤-+∴-=--=-<≤+∴=-=∴<≤+∴-=∴-=-==+∈-∴=-=∈-命题错误同理可得命题正确令命题错误f f f x m a a f x x x a 二、填空题 13． 14．解析：设，又抛物线的准线方程为，焦点，则根据抛物线的定义可知12||1,||1AF x BF x =+=+,所以12||11222226m AB x x x =+++=+=⨯+=.考点：1.抛物线的定义；2.直线与抛物线的位置关系. 15．3解析:向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3 16．.解析：函数与的图象，如图：由图可以看出，函数的零点有个.考点：分段函数，函数的零点，函数的图象. 三、解答题 17．1．（1），；（2） 【解析】 试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减． 试题解析：解：（1）由题意知数列是公差为2的等差数列 又因为所以 当时，； 当时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对不成立所以，数列的通项公式: （2）时， 时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 仍然适合上式 综上，116120101520(23)n n n T n n --=+=++ 考点：1、求数列的通项公式；2、裂项法求数列的和． 18．（1）3（2）【解析】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。

2020年高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．若集合M＝{y|y＝3x}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[0，]B．（0，]C．（0，+∞）D．（﹣∞，] 2．若复数z的虚部小于0，且，则iz＝（）A．1+3i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则＝（）A．2017B．2018C．2019D．20204．若x，y满足约束条件的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[3，+∞）D．[2，+∞）5．如图，半径为r的圆O内有一内接正六边形ABCDEF，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O成中心对称，在圆内随机取一点，则次点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．6．已知α终边与单位圆的交点，且sinα•tanα＜0，则的值等于（）A．B．C．3D．﹣37．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，且有，若，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．19．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝（ab）0.25，则x，y，z的大小关系是（）A．x＞y＞z B．x＜y＜z C．y＞x＞z D．y＜z＜x10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线为m，n，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F．m与抛物线交于点A（异于坐标原点），n与抛物线的准线交于点B，且|AB|＝|AF|，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．11．已知半径为4的球面上有两点A、B，AB＝，球心为O，若球面上的动点C满足二面角C﹣AB﹣O的大小为60°，则四面体OABC的外接球的半径为（）A．B．C．D．12．已知函数若关于x的方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，5）C．（2，3）D．（2，5）二、填空题13．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据x1，x2，…，x100的方差为16，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x100﹣1的方差为．14．在等比数列{a n}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为．15．对于任意正实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2019]＝．16．已知函数，若点是函数y＝f （x）图象的对称中心，直线是函数y＝f（x）的对称轴，且y＝f（x）在区间上单调，则实数ω取最大值时φ的值为．三、解答题17．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝﹣．（1）求∠B的大小；（2）若AM＝，求△ABC的面积．18．某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70），第二组[70，80），……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试求出a的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（Ⅱ）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中的概率是多少？19．已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，SB＝，点E是楼AD的中点，点F在棱SC上，满足SA∥平面BEF （1）求证：平面SBE⊥平面ABCD：（2）求三棱锥F﹣SEB的体积．20．设f（x）＝x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜1时，在[]内是否存在一实数x0，使f（x0）＞e﹣1成立？请说明理由．21．已知圆A：（x+2）2+y2＝32，过B（2，0）且与圆A相切的动圆圆心为P．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设过点A的直线l1交曲线E于Q、S两点，过点B的直线l2交曲线E于R、T两点，且l1⊥l2，垂足为W（Q、S、R、T为不同的四个点），求四边形QRST的面积的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为（1，0），若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值．参考答案一、单选题1．若集合M＝{y|y＝3x}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[0，]B．（0，]C．（0，+∞）D．（﹣∞，]解：由M中y＝3x＞0，得到M＝（0，+∞），由N中y＝，得到1﹣3x≥0，解得：x≤，即N＝（﹣∞，），则M∩N＝（0，]，故选：B．2．若复数z的虚部小于0，且，则iz＝（）A．1+3i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【分析】设z＝a+bi（a，b∈R，b＜0），由已知列式求得a，b的值，则答案可求．解：设z＝a+bi（a，b∈R，b＜0），由已知可得，解得，∴iz＝i（2﹣i）＝1+2i．故选：C．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则＝（）A．2017B．2018C．2019D．2020【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求a1，d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．解：因为a1+a4＝4，a2+a5＝8，所以，解可得，d＝2，a1＝﹣1，所以，所以＝﹣1+2019＝2018．故选：B．4．若x，y满足约束条件的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[3，+∞）D．[2，+∞）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解：根据线性约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．由解得A（，）作出直线l：x+3y＝0，将直线l向上平移至过点A位置时，z min＝+3×＝2，x+3y的取值范围是[2，+∞）．故选：D．5．如图，半径为r的圆O内有一内接正六边形ABCDEF，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O成中心对称，在圆内随机取一点，则次点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】由几何概型中的面积型及三角形面积公式得：P（A）＝＝＝，得解．解：由三角形面积公式可得：S阴＝3×r2＝，又S圆＝πr2，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：A．6．已知α终边与单位圆的交点，且sinα•tanα＜0，则的值等于（）A．B．C．3D．﹣3【分析】先根据条件判断角α所在的象限，再对所求式子利用二倍角公式化简即可．解：由题意可知，α为第二象限角，且，原式＝|sinα﹣cosα|+2|cosα|＝sinα﹣3cosα＝3，故选：C．7．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，且有，若，则＝（）A．B．C．D．【分析】可画出图形，可设，从而可得出，从而得出，从而得出，这样即可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案．解：如图，设，则，∴，又，∴，∴，∴，∵AD是∠BAC的平分线，且，∴，∴，且∠BAC＝60°，∴＝＝＝＝．故选：B．8．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【分析】利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简，可得f（﹣2017）＝f（1），代入已知解析式，求解即可得到答案解：由已知函数是偶函数，且x≥0时，都有f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），所以f（﹣2017）＝f（2017）＝f（4×504+1）＝f（1）＝log22＝1．故选：D．9．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝（ab）0.25，则x，y，z的大小关系是（）A．x＞y＞z B．x＜y＜z C．y＞x＞z D．y＜z＜x【分析】可通过平方法，结合不等式的性质，即可得到所求大小．解：a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝（ab）0.25，可得x2＝，y2＝a+b，z2＝，即x2＞z2，y2﹣x2＝＝＞0，由x，y，z＞0，可得y＞x＞z．故选：C．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线为m，n，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F．m与抛物线交于点A（异于坐标原点），n与抛物线的准线交于点B，且|AB|＝|AF|，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】结合|AB|＝|AF|，可得AB垂直准线，A，B两点关于y轴对称．联立可得B（﹣，）．A（，）．由点A在抛物线上，可得，即可求解．解：如图，根据抛物线定义，结合|AB|＝|AF|，可得AB垂直准线，故A，B两点关于y轴对称．联立可得B（﹣，）．故A（，）．点A在抛物线上，∴．，∴双曲线的离心率是．故选：D．11．已知半径为4的球面上有两点A、B，AB＝，球心为O，若球面上的动点C满足二面角C﹣AB﹣O的大小为60°，则四面体OABC的外接球的半径为（）A．B．C．D．【分析】由球面动点C想到以O为顶点，以A，B，C所在球小圆O′为底面的圆锥，作出图形，取AB中点E，∠OEO′＝60°，进而求得高和底面半径，列方程求解不难【解答】如图，设A，B，C所在球小圆为圆O′，取AB中点E，连接OE，O′E，则∠OEO′即为二面角C﹣AB﹣O的平面角，为60°，由OA＝OB＝4，AB＝4，得△AOB为等腰直角三角形，∴OE＝2，∴OO′＝，EO′＝，∴BO′＝，设O﹣ABC的外接球球心为M，半径为r，在Rt△BO′M中，有，解得：r＝．故选：C．12．已知函数若关于x的方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，5）C．（2，3）D．（2，5）【分析】根据条件可得x＝0，x＝﹣4时方程的两个根，则需f（x）＝m有3个根，即函数f（x）图象与y＝m有3个交点，数形结合即可．解：方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0即为f（x）＝1，f（x）＝m，当f（x）＝1时，即﹣x2﹣4x+1＝1，解得x＝0，x＝﹣4，或2﹣2﹣x＝1，解得x＝0（舍），若关于x的方程（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0恰有5个不同的实根，则f（x）＝m有3个根，即函数f（x）图象与y＝m有3个交点，作出图象：由图可知，m∈（1，2），故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据x1，x2，…，x100的方差为16，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x100﹣1的方差为64．【分析】根据样本数据x1，x2，…，x100的方差s2，得出数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x100﹣1的方差为22s2，计算即可．解：样本数据x1，x2，…，x100的方差为s2＝16，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x100﹣1的方差为s′2＝22s2＝4×16＝64．故答案为：64．14．在等比数列{a n}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为1或．【分析】当等比数列{a n}的公比q＝1时，满足题意；当q≠1时，可得S3＝++7＝21，解方程可得q值．解：当等比数列{a n}的公比q＝1时，显然满足题意；当q≠1时，S3＝++7＝21，解得q＝，或q＝1（舍去）综合可得q＝1或故答案为：1或．15．对于任意正实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2019]＝4950．【分析】由于[lg1]＝[lg2]＝[lg3]＝[lg4]＝…＝[lg9]＝0，有9个0；[lg10]＝[lg11]＝…[lg99]＝1，有90个1；[lg100]＝[lg101]＝…＝[lg999]＝2，有900个2；[lg1000]＝[lg1001]＝…＝[lg2009]＝3，有1010个3，代入可求和可得答案．解：∵[lg1]＝[lg2]＝[lg3]＝[lg4]＝…＝[lg9]＝0，有9个0．[lg10]＝[lg11]＝…[lg99]＝1，有90个1．[lg100]＝[lg101]＝…＝[lg999]＝2，有900个2．[lg1000]＝[lg1001]＝…＝[lg2019]＝3，有1020个3．则[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2019]＝9×0+90×1+900×2+1020×3＝4950．故答案为：4950．16．已知函数，若点是函数y＝f（x）图象的对称中心，直线是函数y＝f（x）的对称轴，且y＝f（x）在区间上单调，则实数ω取最大值时φ的值为﹣．【分析】根据三角函数的单调性，对称性的定义进行判断即可．解：∵函数，且y＝f（x）在区间上单调，∴•≥﹣＝，∴ω≤11．∵点是函数y＝f（x）图象的对称中心，直线是函数y＝f（x）的对称轴，∴+＝（2k+1）•，即ω＝2k+1，k∈Z．则实数ω的最大值为11，此时，f（x）＝3sin（11x+φ）．再根据11•（﹣）+φ＝nπ，且11•+φ＝mπ+，m、n∈Z，∴φ＝nπ﹣11•；且φ＝mπ+﹣11•＝mπ﹣，m、n∈Z，∵|φ|≤．∴φ＝﹣．故答案为：﹣三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝﹣．（1）求∠B的大小；（2）若AM＝，求△ABC的面积．【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换和差角的余弦公式的应用求出结果．（2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝﹣．利用同角三角函数的关系式，解得，．由于∠AMC＝∠BAM+∠B，所以cos∠B＝cos（∠AMC﹣∠BAM）＝cos∠AMC•cos∠BAM+sin∠AMC•sin∠BAM＝，由于0＜∠B＜π．所以B＝．（2）在△ABM中，利用正弦定理，得因为M是边BC的中点，所以S△AMC＝S△ABM，所以．18．某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70），第二组[70，80），……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试求出a的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（Ⅱ）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中的概率是多少？【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a、众数和中位数．（2）成绩在[120，130）的同学数有3人，成绩在[130，140）的同学数有2人，成绩在[140，150）的同学数有1人，从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，基本事件总数n＝＝15，抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中包含的基本事件个数m＝＝8，由此能求出抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中的概率．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.004+a+0.016+0.024+0.018+0.012+0.006+0.004+0.002）×10＝1，解得a＝0.014，众数为：＝95，（60，90）的频率为：（0.004+0.014+0.016）×10＝0.34，（90，100）的频率为：0.024×10＝0.24，∴中位数：90+＝．（2）成绩在[120，130）的同学数有0.006×10×50＝3人，成绩在[130，140）的同学数有0.004×10×50＝2人，成绩在[140，150）的同学数有0.002×10×50＝1人，从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，基本事件总数n＝＝15，抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中包含的基本事件个数；m＝＝8，抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中的概率是p＝．19．已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，SB＝，点E是楼AD的中点，点F在棱SC上，满足SA∥平面BEF （1）求证：平面SBE⊥平面ABCD：（2）求三棱锥F﹣SEB的体积．【分析】（1）推导出SE⊥AD，SE⊥BE，从而SE⊥平面ABCD，由此能证明平面SBE ⊥平面ABCD．（2）连结AC，设AC∩BE＝G，连结GF，由V F﹣SEB＝V A﹣DFB＝V F﹣ABD＝，能求出三棱锥F﹣SEB的体积．解：（1）证明：∵E是AD的中点，SA＝SD＝，∴SE⊥AD，∵AE＝1，∴SE＝2，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝，∵，SE2+BE2＝SB2，∴SE⊥BE，∵BE∩AD＝E，∴SE⊥平面ABCD，∵SE⊂平面SEB，∴平面SBE⊥平面ABCD．（2）解：连结AC，设AC∩BE＝G，连结GF，∵SA∥平面EFB，且平面SAC∩平面EFB＝GF，∴SA∥GF，∵四边形ABCD是菱形，∴△GEA∽△GBC，∵E是AD的中点，∴，∵SA∥GF，∴△GCF∽△ACS，∴，∴＝，∵SE⊥平面ABCD，∴三棱锥F﹣SEB的体积为：V F﹣SEB＝V A﹣DFB＝V F﹣ABD＝＝＝．20．设f（x）＝x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜1时，在[]内是否存在一实数x0，使f（x0）＞e﹣1成立？请说明理由．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣lnx，求得切点，得到曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线的斜率，再由直线方程点斜式求解；（Ⅱ）假设当a＜1时，在[]存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立，则只需证明x∈[]时，f（x）max＞e﹣1即可．利用导数证明函数f（x）在（）上递减，在（1，e）上递增，则f（x）max＝max{，f（e）}．于是，只需证明f（e）＞e﹣1或f（）＞e﹣1即可．然后证明f（e）＞e﹣1成立，可得当a＜1时，在x∈[]上至少存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣lnx，f（1）＝1，∴切点为（1，1），又∵f′（x）＝．∴曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线的斜率为f′（1）＝0．∴所求切线方程为y﹣1＝0×（x﹣1），即y＝1；（Ⅱ）假设当a＜1时，在[]存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立，则只需证明x∈[]时，f（x）max＞e﹣1即可．f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝0得，x1＝1，x2＝a﹣1，当a＜1时，a﹣1＜0，当x∈（）时，f′（x）＜0，当x∈（1，e）时，f′（x）＞0．函数f（x）在（）上递减，在（1，e）上递增，∴f（x）max＝max{，f（e）}．于是，只需证明f（e）＞e﹣1或f（）＞e﹣1即可．∵f（e）﹣f（e﹣1）＝e﹣﹣a﹣（e﹣1）＝＞0．∴f（e）＞e﹣1成立．∴假设正确，即当a＜1时，在x∈[]上至少存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立．21．已知圆A：（x+2）2+y2＝32，过B（2，0）且与圆A相切的动圆圆心为P．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设过点A的直线l1交曲线E于Q、S两点，过点B的直线l2交曲线E于R、T两点，且l1⊥l2，垂足为W（Q、S、R、T为不同的四个点），求四边形QRST的面积的最小值．【分析】（1）利用定义法可得点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中a＝2，c ＝2，从而求出点P的轨迹E的方程；（2）对直线l1和直线l2的斜率分不存在和存在两种情况讨论，若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为8，若两条直线的斜率都存在，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y＝k（x+2），与椭圆方程联立，利用求根公式求出|QS|的长，同理可得|RT|的长，因为S QRST＝|QS||RT|，当再利用基本不等式即可求出四边形QRST的面积取到最小值．解：（1）设动圆半径为r，由于点B在圆A内，所以圆P与圆A内切，∴|PA|＝4﹣r，|PB|＝r，∴|PA|+|PB|＝4＞|AB|＝4，∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝4，∴点P的轨迹E的方程为：；（2）若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为8，若两条直线的斜率都存在，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y＝k（x+2），联立方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，设点Q（x1，y1），点S（x2，y2），∴，，∴|QS|＝＝4，同理可得|RT|＝4•，∴S QRST＝|QS||RT|＝＝，当且仅当2k2+1＝k2+2，即k＝±1时等号成立，综上所述，当k＝±1时，四边形QRST的面积取到最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为（1，0），若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（Ⅱ）利用一元二次方程的关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：（α为参数）．转化为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为y+x﹣1＝0．（Ⅱ）把直线x+y﹣1＝0的方程为转换为参数方程为（t为参数）．把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到，所以，t1t2＝﹣2，所以＝＝＝。

2023年甘肃省张掖市高考数学第一次联考试卷（文科）1. 已知集合，，那么等于( )A.B.C. D.2. 已知复数，则( )A. 1B.C. 2D. 4 3. 双曲线的离心率是( )A.B. C. 2D.4. 最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲、乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是( )A. 甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数B. 甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差C. 甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数D. 甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差5. ( )A.B.C.D. 16. 已知向量，满足，且，则，夹角为( )A.B. C. D.7. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线AC 与所成角的正切值为( )A. B. C. 3 D.8. 已知圆关于直线对称，则ab的最大值为( )A. 2B. 1C.D.9.椭圆的左、右顶点分别为，，点P在C上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是( )A. B. C. D.10. 已知等差数列满足，，则下列命题：①是递减数列；②使成立的n的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ①④D. ①②③11. 已知实数a，b，c满足，则( )A. B. C. D.12. 定义在R上的函数满足对任意的x恒有，且，则的值为( )A. 2026B. 1015C. 1014D. 101313. 函数，的值域是______ .14. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______ .15. 七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若随机地从5个等腰直角三角形板块中抽出2块，则这2块面积相等的概率为______ .16. 在棱长为1的正方体中，M是侧面内一点含边界则下列命题中正确的是把所有正确命题的序号填写在横线上______ .①使的点M有且只有2个；②满足的点M的轨迹是一条线段；③满足平面的点M有无穷多个；④不存在点M使四面体是鳖臑四个面都是直角三角形的四面体17. 已知向量，定义函数求函数的最小正周期；在中，若，且，CD是的边AB上的高，求CD长的最大值.18. 如图在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知，，，E是PB中点.求证：平面ACE；求四面体的体积.19. 某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数y与年份代号x之间的关系统计表.年份代号x12345高考人数千人3533282925其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为求y关于x的线性回归方程；根据的结果预测该市2023年参加高考的人数；试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.20. 已知点在抛物线C：上，且A到C的焦点F的距离与到x轴的距离之差为求C的方程；当时，M，N是C上不同于点A的两个动点，且直线AM，AN的斜率之积为，，D为垂足.证明：存在定点E，使得为定值.21. 已知函数讨论函数的单调性；求证：22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；求曲线的任意一点到曲线距离的最小值. 23. 已知a，b为非负实数，函数当，时，解不等式；若函数的最小值为6，求的最大值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为，因此，故选：求出集合A，利用交集的定义可求得集合本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，故选：由复数的运算结合模长公式求解即可．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意可知双曲线的标准方程为，，，，双曲线的离心率为故选：利用双曲线的标准方程及双曲线的离心率公式即可求解．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A：甲检测点的平均检测人数为，乙检测点的平均检测人数为，故甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数，故A正确；对于C：甲检测点数据为800，1200，1200，1200，1600，1600，2000，中位数为1200，乙检测点数据为800，800，1200，1600，1600，1600，1800，中位数为1600，故C错误；对于B：甲检测点的数据极差，乙检测点的数据极差，故B正确；对于D：通过观察平均数附近数据个数，极差等或计算甲乙数据的方差，可以判断乙检测点数据比甲检测点数据稳定性强，故甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差，故D正确．故选：根据题意分别求甲乙监测点的平均人数，极差，中位数及方差判断即可．本题考查平均数、极差、中位数、方差的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：故选：利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得．本题主要考查了诱导公式及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：，且，，，故选：根据向量的数量积及向量的夹角公式即可求解．本题考查向量的数量积及向量的夹角公式的应用，属基础题．7.【答案】C【解析】解：如图，连接AC，，，，由正四棱柱的结构特征可知，四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线AC与所成角或其补角，又在中，，，，所以，因为，则，所以，故异面直线AC与所成角的正切值为故选：根据异面直线所成角的定义，结合正四棱柱的几何性质求解即可．本题主要考查了求异面直线夹角，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意，在圆中，，圆心为，半径为1，在直线中，圆关于该直线对称，直线过圆心，，即：，，解得：，当且仅当时等号成立，的最大值为故选：由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出ab的最大值．本题考查直线与圆，基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：设，则，又，，，，，，又，故选：设，再根据题意，建立等式，通过函数思想，即可求解．本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，不等式思想，属基础题．10.【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，故，解得：，由于，故是递减数列，①正确；，令，解得：，且，故使成立的n的最大值是9，②正确；，当时，，当时，，故当时，取得最大值，③正确；，④错误．故选：设出公差为d，列出方程组，求出首项和公差，根据判断①正确，写出，解不等式求出成立的n的最大值是9，②正确；根据与，得到当时，取得最大值，③正确；利用通项公式求出的值，得到④错误．本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：因为，所以，，，即得，，得，因为是上的增函数，比较的大小关系即是a，b，c的大小关系，同时取15次幂，因为幂函数在上是单调递增的，比较，，即可，因为，，所以，即，即得故选：先应用指对数转换求出a，b，c，再转化成整数幂比较即可．本题主要考查数的大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：，又，，又，，，故数列是首项为4，公差为1的等差数列，，故选：由题意变形得，且，可得，再将其看成一个等差数列，即可得出答案．本题考查抽象函数问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，则，函数在单调递增，，，函数，的值域是故答案为：先对函数求导，结合导数求出函数的单调性，即可求出值域．本题主要考查了导数与单调性关系在函数最值求解中的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为命题“，成立”是假命题，所以命题“，恒成立”是真命题，当时，，显然成立，当时，恒成立，只须满足，解得，综上，实数a的取值范围是故答案为：由题意，“，恒成立”是真命题，然后分和两种情况讨论即可求解．本题主要考查存在量词和存在命题，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图：把5个等腰直角三角形编号，从中任取2个的基本事件有：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45共10个，其中面积相等的有12，45共两个，因此概率为故答案为：把5个等腰直角三角形编号，写出从中任取2个的基本事件并得出面积相等的基本事件，计数后计算概率．本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】②③【解析】解：对于①，由正方体可得平面，又平面，所以，则，又，所以，又M是侧面内一点，所以M在以B为圆心，1为半径的圆上，如图：有无数个这样的点M，故①错误；对于②，如图，连接，，，由正方体可得平面，又平面，所以，又由正方形，得，且，AB，平面，所以平面，则满足的点M在平面，又M在平面，且平面平面，则点M的轨迹是线段，故②正确；对于③，如图，连接，AC，，，，，在正方体中，有，，所以四边形为平行四边形，则，同理可得，又AC，平面，，平面，所以平面，平面，且，AC，平面，所以平面平面，则满足平面可得点M在平面，又M在平面，且平面平面，则点M的轨迹是线段，故③正确；对于④，如图，连接，，，在正方体中，有平面，且，平面，所以，，则，均为直角三角形，又平面，且，平面，所以，，则，均为直角三角形，所以四面体是鳖臑，由于M是侧面内一点含边界，故M与重合时，四面体是鳖臑，故④错误．故答案为：②③．根据正方体的线面关系可得，则，即可得满足的点M的轨迹，判断①即可；由正方体可证得平面，则满足的点M的轨迹可求得，判断②即可；由正方体可证得平面平面，则满足平面的点M的轨迹可求得，判断③即可；由正方体可求得四面体是鳖臑，由M是侧面内一点含边界，判断④即可．本题考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：向量，，且，，函数的最小正周期；由得，，且，则，在中，，则，，解得，又，，在中，，当且仅当时等号成立，长的最大值为【解析】由题意得，根据正弦函数的性质，即可得出答案；由得，结合题意可得，利用面积公式可得，由余弦定理得，即可得出答案．本题考查三角函数的恒等变形和余弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图所示：是平行四边形，为BD中点，且E为PB中点，，又平面ACE，平面ACE，平面ACE；，，的面积，又面ABCD，，又E为PB中点，，四面体的体积为【解析】连接BD交AC于点O，连接OE，然后利用平行四边形的性质及线面平行的判断即可；利用等体积法求解即可，即本题考查线面平行的判定定理，等体积法求解点面距，属中档题．19.【答案】解：由已知可得，，，，所以，则，所以回归方程为；由题意可得2023年的代号为6，即时，，因此预测该市2023年参加高考的人数约为千人；受临近省会城市的影响，该市的人可能会迁往省会，从而导致该市参加高考的人数逐年下降．【解析】利用表格中的数据以及求解b的公式求出对应的值，由此即可求出a，b的值，进而可以求解；取即可求解；利用题干中的信息即可求解．本题考查了回归方程的求解以及应用，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：抛物线C：的焦点为，准线为，又点在抛物线C：上，即，所以，即，依题意可得，解得或，所以或证明：，，设MN：，，，联立，消去x整理得，①，且，，，，即，适合①，将代入得，令，解得，直线MN恒过定点又，所以点D在以为AQ直径的圆上，因为A、Q的中点为，，所以以AQ为直径的圆方程为，所以存在使得【解析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，再表示出A的坐标，依题意得到方程，解得p即可；依题意可得抛物线方程与A点坐标，设MN：，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据直线AM、AN的斜率之积为，得到m、n的关系，即可求出直线过定点，即可得到点D在以为AQ直径的圆上，求出圆心坐标与半径，即可得到定点E的坐标，即可得证．本题主要考查直线与抛物线的综合，抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：，令得，且当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减．证明：原不等式化为：当时，，，显然成立；当时，因为，所以只需证令，，则，且当，，所以存在唯一使，且时，，时，，即在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，即所以当时，，综上所述：【解析】求出导函数，利用导数判断单调性；利用分析法证明：先分类讨论，当时，直接证明；当时，转化为只需证构造函数，，利用导数判断单调性，求出最值，即可证明．本题主要考查了导数的应用，导数是研究函数的单调性、极值最值最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；利用导数求函数的最值极值，解决生活中的优化问题；利用导数证明不等式．22.【答案】解：由，消去t得，又曲线是经过原点且倾斜角为的直线其直角坐标方程为；设，则P到直线的距离，当且仅当，即时等号成立．【解析】利用消去参数的办法求曲线的普通方程，根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求直角坐标方程；利用点到直线距离公式和基本不等式求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于中档题．23.【答案】解：当，时，不等式可化为：，又表示数轴上的实数x到与3的距离之和小于7，而当实数x到与3的距离之和等于7时，或，不等式的解集为；，b为非负实数，根据三角不等式可得：，当且仅当时，等号成立，，a，b为非负实数，，当且仅当时，即时，等号成立，的最大值为【解析】根据绝对值的几何意义，即可求解；根据三角不等式可得：的最小值为，从而再利用柯西不等式，即可求解．本题考查绝对值不等式的求解，绝对值的几何意义的应用，三角不等式的应用，柯西不等式的应用，属中档题．。

张掖市2020年度高三第一次诊断考试数学（文科）第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =I （ ）A ．{}2-B ．{}2 C ．{}2,2-D ．∅2．i 是虚数单位，=（ ） A.1+2i B.﹣1﹣2iC.1﹣2iD.﹣1+2i3．等差数列}{n a 中，23a =，349a a +=，则61a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ． 21D ．274．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（ ） A. 向左平移21个单位长度 B. 向右平移21个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度5．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A.πB.34π+C.4π+D.24π+6．设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ．则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=u u u r u u u r，BAC 30∠=o，若MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y1,,2，则x y 14+的最小值为（ ）A.20B.18C.16 D .9 8．函数cos y x x =+的大致图像是（ ）9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A. 0.42B. 0.28C. 0.3D. 0.710．某程序框图如图所示，则输出的n 值是( )A ．21B ．22C ．23D ．2411．已知二次曲线224x y m +=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A．2 B．[2 C． D． 12．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m = 在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11[,]22-. 则其中真命题的序号是 （ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．已知函数212log ()y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ _____．14．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则||AB 等于 . 15．设a ρ为单位向量，①若a ρ为平面内的某个向量，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；②若0a ρ与a ρ平行，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；③若0a ρ与a ρ平行且|a ρ|＝1，则a ρ＝0a ρ.上述命题中，假命题个数是________．16．已知函数()()244,1,ln 43,1,x x f x g x xx x x ⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题12分） 已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n nS n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T18．（本大题12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD ACD -，且这个几何体的体积为10． （I ）求棱1A A 的长；（II ）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.19．（本大题12分）某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指 AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（I ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； （II ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率．20．（本大题12分）已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为22，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且△MN F 2的周长为4. (I) 求椭圆方程;(II) 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点P(0,m)(m ≠0),与椭圆C 交于相异两点A,B 且AP PB λ=u u u r u u u r .若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r,求m 的取值范围。

2019-2020学年甘肃省张掖市高三（上）第一次联考数学试卷2（1月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={y|y =log 2x,x >1}，B ={y|y =(12)x ,x >1}，则A ∩B =( )A. (0,12) B. (0,1)C. (12,1) D. ⌀2. 已知i 是虚数单位，复数z 满足z(1−i)=1+i ，则复数z 的共轭复数对应的点为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)3. 已知sinα=14，则cos2α的值为( )A. −78B. 78C. 12D. 15164. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数(单位：万人次)的变化情况，则下列给出的四个判断中错误的是( )A. 旅游总人数逐年增加B. 2017年旅游总人数超过了2015，2016两年的旅游总人数之和C. 年份数与旅游总人数成正相关D. 从2014年旅游总人数增长加快5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，，且a ≥b =2，则△ABC 面积的最大值为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 46. 已知点A (−1,1)、B (1,2)、C (−2,−1)、D (3,4)，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角是，则)A. 3√1010B. 3√32C. −3√22D.7. 函数y =sin2x −√3cos2x 的最小值为( )A. 2B. √3C. −2D. −√38.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P，Q，M，N是抛物线C上的4点，且线段PQ过点F，线段PM与线段QN交于A(p,0)，则直线PQ与直线MN的斜率(存在)之比为()A. 1B. 2C. pD. 2p9.如图所示，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为()A. π2B. 12C. π8D. π410.某几何体的三视图如图所示，其中小正方形的边长为1.现有一只蚂蚁在最短的棱的中点处，沿着棱爬到与该条棱所在直线互为异面直线的棱的中点处，则蚂蚁爬行的最短路程为()A. 7+2√2B. 132+2√2 C. 112+2√2 D. 5+2√211.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在C上，△PF1F2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为()A. √2−1B. √2+1C. √3D. √3+112.若函数f(x)=x2+aln(x+1)在(−1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (12,+∞) D. [12,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在(2√x−√x)6的展开式中，含x2项的系数是______ ．14.设x,y满足约束条件{x≥0x+2y≥42x+y≤5，则z=2x−y的最大值是_________．15.已知函数f(x)是奇函数，且当x<0时f(x)=(12)x，则f(3)的值是______．16.已知三棱锥D−ABC的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=3，AD=BC=3√2，AD⊥底面ABC，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a3=7，且a4是a1与27的等比中项．(1)求a n；(2)若b n=√a+√a，求数列{b n}的前n项和T n．18.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布．19.如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，点D是SC的中点，且平面ABD⊥平面SAC(Ⅰ)求证：AB⊥平面SAC(Ⅱ)若SA=2AB=3AC，求二面角S−BD−A的余弦值．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，F1，F2分别为E的左、右焦点，过E的右焦点F2作x轴的垂线交E于A，B两点，△F1AB的面积为√2．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在与x轴不垂直的直线l与E交于C，D两点，且弦CD的垂直平分线过E的右焦点F2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.设函数f(x)=e x−1−x−ax2．(Ⅰ)若a=0，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosβy =3sinβ(β为参数)，将曲线C 1上的所有点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标缩短为原来的√33后得到曲线C 2，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=3√2sin(θ+π4)．(1)求C 2的极坐标方程和l 的直角坐标方程；(2)在极坐标系中，射线θ=π4与l ，C 2分别交于A ，B 两点(异于极点)，定点M (14,0)，求ΔMAB 的面积．23. 已知函数f(x)=|x +1|−2|x|．(1)求不等式f(x)≤−6的解集；(2)若存在实数x 满足f(x)=log 2a ，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A ={y|y =log 2x,(x >1)},B ={y|y =(12)x ,(x >1)}， ∴A ∩B ={y|y >0}∩{y|0<y <12}={y|0<y <12}． 故选：A ．由题设条件知A ={y|y >0}，B ={y|0<y <12}，由此能够得到A ∩B 的值． 本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用．2.答案：B解析： 【分析】本题主要考查复数的几何意义以及复数的四则运算，属于基础题． 【解答】解：因为z(1−i)=1+i ，所以z =1+i1−i =(1+i )2(1−i )(1+i )=1+i 2+2i 1−i 2=i所以z 的共轭复数z =−i ，所以共轭复数对应的点为(0,−1)． 故选B ．3.答案：B解析： 【分析】由已知可求sin 2α，利用同角三角函数基本关系式可求cos 2α的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【解答】 解：∵sinα=14，∴sin 2α=116，cos 2α=1516，∴cos2α=cos 2α−sin 2α=78． 故选：B ．解析：【分析】本题考查统计图表数据的分析，属于基础题．根据统计图表进行判断即可．【解答】解：从图中可以看出，旅游的总人数逐年增加，故A正确;2015，2016两年的旅游总人数之和明显大于10000万人次，超过2017年旅游总人数，故B错误;年份数与旅游的总人数成正相关，故C正确;从2014年起旅游总人数增长加快，故D正确;故选B．5.答案：A解析：【分析】本题考查正、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，属中档题．根据正、余弦定理得到4+ac=a2+c2，利用基本不等式结合三角形面积公式即可求出结果．【解答】解：，结合正弦定理可得：，又B为△ABC的内角，∴sinB≠0，即sinA cosC+cosA sinC=√32，即sin(A+C)=√32，又A+B+C=π，∴sinB=√32，又a≥b，∴B=π3，由余弦定理得，所以4+ac=a2+c2≥2ac，得ac≤4，当且仅当a=c=2时等号成立．三角形ABC面积最大值为：故选A．解析：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5)，∴cosθ=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×5√2=3√1010，故选A ...7.答案：C解析： 【分析】本题考查了三角函数的辅助角公式，两角差的正弦公式，以及利用三角函数的性质求最值． 【解答】解：∵y =sin2x −√3cos2x ， =2(12sin2x −√32cos2x)， =2(sin2x ·cos π3−cos2x ·sin π3)， =2sin (2x −π3)， ∴最小值为−2． 故选C ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查抛物线的性质，直线斜率，属于基础题． 根据抛物线的性质，联立题目条件求解即可． 【解答】设直线PM 的方程为x =my +p ，代入y 2=2px 得y 2−2mpy −2p 2=0, 设p (x 1,y 1),M(x 2,y 2),则y 1y 2=−2p 2. 设Q (x 3,y 3),N (x 4,y 4),同理可得，y 3y 4=−2p 2, 由线段PQ 过点F 得y 1y 3=−p 2. 又直线PQ 的斜率k PQ =y 3−y1x 3−x 1=y 32−y 12(y3+y 1)(x 3−x 1)=2py 1+y 3,直线MN 的斜率为k MN =y 4−y2x 4−x 2=2py2+y 4，所以K PQK MN=y 2+y4y 1+y 3=−2p 2y 1+−2p 2y 3y 1+y 3=2.故选B ．9.答案：C解析：【分析】本题考查几何概型，考查学生的理解分析能力，属于基础题． 分别计算出正方形的面积和半圆的面积，结合题意做比值即可． 【解答】解：根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1， 而阴影部分由半径为12的半圆围成，其面积为12×(12)2π=π8， 则正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为π81=π8．故选C ．10.答案：C解析： 【分析】本题考查空间几何体的三视图，还原几何体是关键，考查学生的空间想象能力和运算能力.属于基础题．【解答】解：由三视图可知原几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥，且AB垂直于底面BCD，其中AB=BC=4，BD=3，AD=CD=5，AC=4√2，因为蚂蚁在最短的棱BD的中点处，沿着棱爬到与该条棱所在直线互为异面直线的棱AC的中点处，所以最小值为32+4+2√2=112+2√2．故选C．11.答案：B解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题．根据F1F2=PF2列方程得出a，b，c的关系，从而得出答案．【解答】解：不妨设P在第一象限，∵△PF1F2为等腰直角三角形，F1F2=PF2，且F1F2⊥PF2，把x=c代入双曲线方程得y=b2a ，即PF2=b2a，∴2c=b2a =c2−a2a，即c2−2ac−a2=0，∴e2−2e−1=0，解得e=√2+1或e=−√2+1(舍)，故选：B．12.答案：D解析：解：f′(x)=2x +a x+1=2x 2+2x+ax+1，若函数f(x)=x 2+aln(x +1)在(−1,+∞)上是增函数， 则2x 2+2x +a ≥0在(−1,+∞)恒成立， 即a ≥−2x 2−2x 在(−1,+∞)恒成立， 令g(x)=−2x 2−2x ，(x >−1)， g(x)在(−1,−12)递增，在(−12,+∞)递减， 故g(x)的最大值是g(−12)=12， 故a ≥12， 故选：D ．求出函数的导数，问题转化为a ≥−2x 2−2x 在(−1,+∞)恒成立，令g(x)=−2x 2−2x ，(x >−1)，根据函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．13.答案：−192解析：解：∵T r+1=C 6r (2√x)6−r ⋅√x )r =(−1)r C 6r ⋅26−r ⋅x 3−r ， 由3−r =2，得r =1．∴含x 2项的系数是−C 61×25=−192．故答案为：−192．写出二项展开式的通项，由x 的次数为2求得r 值，则含x 2项的系数可求．本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．14.答案：3解析： 【分析】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键． 画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【解答】解：x ，y 满足约束条件{x ⩾0x +2y ⩾42x +y ⩽5,z =2x −y 得到y =2x −z ，所以当直线经过图中A(2,1)时，直线在y 轴上的截距最小， 所以z 的最大值为2×2−1=3； 故答案为3．15.答案：−8解析：解：根据题意，函数f(x)满足当x <0时，f(x)=(12)x ，则f(−3)=(12)−3=8， 又由函数f(x)为奇函数，则f(3)=−f(−3)=−8； 故答案：−8根据题意，由函数的解析式求出f(−3)的值，结合函数的奇偶性分析可得f(3)的值，即可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的求值，属于基础题．16.答案：36π解析：解：如图，由所给数据，易知AC ⊥AB ， 又AD ⊥平面ABC ，可知，所给三棱锥是球内接长方体的一角， 球直径为长方体的体对角线长， 长方体体对角线长为6， 得球半径为3，得球面积为36π．故答案为：36π．由所给数据结合勾股定理可得AC，AB垂直，进而得AC，AB，AD两两垂直，从而联想长方体内接于球，得解．此题考查了长方体外接球的问题，难度不大．17.答案：解：(1)设{a n}的公差为d，则d>0.据题意有{a3=7a42=27a1，即{a3=7(a3+d)2=27(a3−2d),解得d=2或d=−70，∵d>0，∴d=2，∴a n=a3+(n−3)d=2n+1．(2)b n=√a+√a =√2n+1+√2n+3=12(√2n+3−√2n+1)，∴数列{b n}的前n项和：T n=12(√5−√3+√7−√5+⋯+√2n+1−√2n−1+√2n+3−√2n+1)=12(√2n+3−√3)．解析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的性质、裂项相消法求和，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)首先设数列{a n}的公差为d，然后根据等差数列的通项公式及等比数列的性质建立方程组，解方程组可求得数列{a n}的公差，从而求得通项公式；(2)首先由(1)求出b n，然后利用裂项相消法求和．常见的裂项公式：(1)1n(n+k)=1k(1n−1n+k)；√n+k+√n =1k(√n+k−√n)；(3)1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)；(4)1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]．18.答案：解：(1)令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1⋅A2，P(A)=P(A1⋅A2)=P(A1)P(A2)=14；(2)X的所有可能值为0，1，2.令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P(X=0)=P(B1B2B3)=P(B1)P(B2)P(B3)=18．P(X=2)=P(B1B3)=P(B1)P(B3)=14．P(X =1)=1−P(X =0)−P(X =2)=58． 故X 的分布列为 X 012P185814解析：本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．(1)令A 1表示第2局结果为甲获胜，A 2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A 表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可． (2)X 的所有可能值为0，1，2.分别求出X 取每一个值的概率，列出分布列即可．19.答案：(Ⅰ)证明：如图，在平面SAC 中，过点S 作SH ⊥AD ，垂足为H ，∵平面ABD ⊥平面SAC ，平面ABD ∩平面SAC =AD ， ∴SH ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，∴AB ⊥SH ． 又SA ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥SA ． ∵SA ∩SH =S ，且SA ，SH ⊂平面SAC ，∴AB ⊥平面SAC ； (Ⅱ)解：不妨设AC =2，AB =3，AS =6，由(Ⅰ)知，AB ⊥平面SAC ，又AC ⊂平面SAC ，∴AB ⊥AC ， 分别以AB 、AC 、AS 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则有A(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,2，0)，S(0,0，6)，D(0,1，3)． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,3)， 设平面ABD 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 1=0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1+3z 1=0， 取z 1=1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,1)．同理可得平面SBD 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,−3,−1)．∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10×√14=4√3535． ∴二面角S −BD −A 的余弦值为−4√3535．解析：(Ⅰ)在平面SAC 中，过点S 作SH ⊥AD ，垂足为H ，由面面垂直和线面垂直的性质可得AB ⊥SH ，再由SA ⊥平面ABC ，得AB ⊥SA ，结合线面垂直的判定可得AB ⊥平面SAC ；(Ⅱ)不妨设AC =2，AB =3，AS =6，由(Ⅰ)知，AB ⊥平面SAC ，得AB ⊥AC ，分别以AB 、AC 、AS 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．求出两个平面ABD 与平面SBD 的一个法向量，由法向量所成角的余弦值可得二面角S−BD−A的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．20.答案：解：(1)设F1(−c,0)，F2(c,0)，S△F1AB =12×2c×|AB|=c⋅2b2a=√2，而ca =√22，则b2=1，a2=2，因此椭圆E的方程为x22+y2=1．(2)假设存在直线l满足条件，设直线l：y=kx+m，C(x1,y1)，D(x2,y2)，线段CD的中点M(x0,y0)．将直线l的方程代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，则2x0=x1+x2=−4km1+2k2，所以x0=−2km1+2k2，又y0=kx0+m，所以y0=m1+2k2，即M(−2km1+2k2,m1+2k2)．若CD的垂直平分线过右焦点F2(1,0)，则k⋅m1+2k2−2km1+2k2−1=−1，所以1+2k2=−km，即x0=−2km1+2k2=2，与x0∈(−√2,√2)矛盾．故不存在这样的直线l满足条件．解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的综合问题，是中档题．(1)由题意S△F1AB =12×2c×|AB|=c⋅2b2a=√2，又ca=√22，得出a，b，即可得出椭圆方程；(2)假设存在直线l满足条件，设直线l：y=kx+m，C(x1,y1)，D(x2,y2)，线段CD的中点M(x0,y0).联立得M(−2km1+2k2,m1+2k2)，若CD的垂直平分线过右焦点F2(1,0)，则k⋅m1+2k2−2km1+2k2−1=−1，即x0=−2km1+2k2=2，与x0∈(−√2,√2)矛盾．故不存在这样的直线l满足条件．21.答案：(Ⅰ)a=0时，f(x)=e x−1−x，f′(x)=e x−1．当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(−∞,0)单调减少，在(0,+∞)单调增加．(Ⅱ)f′(x)=e x −1−2ax 由(1)知e x ≥1+x ，当且仅当x =0时等号成立．故f′(x)≥x −2ax =(1−2a)x ，从而当1−2a ≥0，即a ≤12时，f′(x)≥0(x ≥0)， 而f(0)=0，于是当x ≥0时，f(x)≥0.由e x >1+x(x ≠0)可得e −x >1−x(x ≠0)． 从而当a >12时，f′(x)<e x −1+2a(e −x −1)=e −x (e x −1)(e x −2a)， 故当x ∈(0,ln2a)时，f′(x)<0，而f(0)=0， 于是当x ∈(0,ln2a)时，f(x)<0． 综合得a 的取值范围为(−∞,12].解析：本题考查了用导数研究函数的单调性以及最值，属于中档题．(Ⅰ)a =0时，f(x)=e x −1−x ，f′(x)=e x −1.由导函数的正负决定原函数的增减；(Ⅱ)f′(x)=e x −1−2ax 由(1)知e x ≥1+x ，当且仅当x =0时等号成立．故f′(x)≥x −2ax =(1−2a)x ，讨论x 的范围，得a 的不等式．22.答案：解：(1)将曲线C 1:{x =3cosβy =3sinβ(β为参数)，消去β得x 2+y 2=9，经过伸缩变换{x′=23xy′=√33y 后得曲线C 2:x 24+y 23=1， 化为极坐标方程为ρ2=123+sin θ，直线l 的极坐标方程为ρ=3√2sin(θ+π4)，即ρcosθ+ρsinθ−6=0，所以l 的直角坐标方程为x +y −6=0； (2)M 到射线θ=π4的距离d =14sin π4=7√2． 因为ρA =3√2，ρB =2√427， 所以|AB |=ρA −ρB =3√2−2√427， S ΔMAB =12|AB |⋅d =12×(3√2−2√427)×7√2=21−2√21．解析：本题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化，利用极坐标方程求距离再求三角形面积公式，属于中档题．(1)根据极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的转化关系即可求解；(2)求出M 到射线θ=π4的距离，结合极坐标方程求出|AB|=ρA −ρB =3√2−2√427即可求解面积．23.答案：解：(1)x ≥0时，f(x)=x +1−2x =−x +1≤−6，解得：x ≥7;−1<x<0时，f(x)=x+1+2x≤−6，无解;x≤−1时，f(x)=−x−1+2x≤−6，解得：x≤−7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤−7}；(2)x≥0时，f(x)=−x+1≤1，−1<x<0时，f(x)=3x+1，−2<f(x)<1，x≤−1时，f(x)=x−1≤−2，故f(x)的最大值是1，若存在实数x满足f(x)=log2a，只需log2a≤1即可，解得：0<a≤2．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想，是一道基础题．。

2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1、若集合{|12},{|21}A x x B x x =-<<=-<<，则集合A B =A ．{|11}x x -<<B ．{|21}x x -<<C ．{|22}x x -<<D ．{|01}x x <<2、如图所示，向量12,OZ OZ 所对应的复数分别为12,Z Z ，则12Z Z ⋅= A ．42i + B ．2i + C ．22i + D ．3i +3、某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响， 部分统计数据如下表：经计算210K =，则下列选项正确的是A ．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B ．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C ．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D ．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 4、已知4tan 3x =，且x 角的终边在第三象限，则cos x =A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 5、函数()3log (3),0(1),0x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则(3)f 的值为A ．-1B ．-2C ．1D ．26、如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的三视图（用①②③④⑤⑥代表图形）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 7、设D 为ABC ∆的所在平面内一点，4BC CD =-，则AD =A ．1344AB AC - B ．1344AB AC + C ．3144AB AC -D ．3144AB AC + 8、某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的S =A ．196B ．203C ．28D ．299、已知函数满足一下两个条件：①任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠时，1212()[()()]0x x f x f x --<；②对定义域内任意x 有()()0f x f x +-=，则符合条件的函数是 A ．()2f x x = B ．()1f x x =- C ．()1f x x x=- D ．()ln(1)f x x =+ 10、已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且(2,2),(4,),(22,2)A a B a C a -+，则ABC ∆的外接圆的方程是A ．22(3)5x y +-=B ．22(3)5x y ++=C ．22(3)5x y -+=D ．22(3)5x y ++=11、已知三棱锥S-ABC 的各顶点都在一个球面上，ABC ∆所在截面圆的圆心O 在AB 上，SO ⊥平面,1ABC AC BC ==，若三棱锥的体积是，则球体的表面积是 A ．254π B ．2512π C ．12548π D ．25π 12、将函数()3sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，在向上平移1个单位，得到()g x 的图象，若()()1216g x g =，且1233,[,]22x x ππ∈-，则122x x -的最大值为 A ．2312π B ．3512π C ．196π D ．5912π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分 的面积约为（14）已知函数若，则的取值范围是 .2,0,()1,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩()1f x ≤x（15）若点P 是椭圆上的动点,则P 到直线的距离的最大值是 .（16）△ABC 的顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，B ，C两点在直线3x+y+3=0上，若|AB －AC |＝4，则△ABC 面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知sin sin()2C B A A +-=，.2A π≠ （Ⅰ）求角A 的取值范围； （Ⅱ）若1,a ABC =∆的面积14S =，C 为钝角，求角A 的大小．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：1222=+y x 1:+=x y l（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60︒，AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）求证：平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ；（Ⅱ）若AB ＝2，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1体积． （20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数 x 轴是函数图象的一条切线． （Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知 ．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋ π4)＝2距离的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x )＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x )≤2；B C B 1BAC 1A 1A（Ⅱ）若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）参考答案一、选择题：1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.C 10. D 11. A 12.B 12.答案提示：由题可知2()3sin(2)13g x x π=++，因为12()()16g x g x =所以4)()(21==x g x g 都为最大值，令22232x k ππ+=π+，可得12x k π=π-，又因为1233,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以取得1311,,121212x πππ=--，则122x x -的最大值=1113352()121212πππ⨯--=，答案为B二、填空题： （13）4.6 ； （14） ； （15） ； （16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由sin sin()2,C B A A +-=得sin()sin()cos .B A B A A A ++-=即2sin cos cos .B A A A =因为cos 0,A ≠所以sin .B A = ……………3分由正弦定理，得.b = 故A 必为锐角。