北京昌平区2011年中考数学二模试题及答案(word版)

一、找规律问题（平谷区二模）12．如图，将连续的正整数1,2,3,4……依次标在下列三角形中，那么2011这个数在 第 个三角形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）．答案: 671，上分析：因为三个数一组，所以2011除以3等于670余1，因此2011这个数在第671个三角形的上顶点处. (顺义区二模)12. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（5）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．（1）（2） （3）……答案: 15 ，31n +分析：因为每一个图形比前一个图形中的黑色瓷砖多3个，且第(1)个图形中有黑色瓷砖4块，所以，第n 个图形中需要黑色瓷砖(3n+1)块，第（5）个图形中有黑色瓷砖15块.（昌平区二模）12．如图，点E 、D 分别是正三角形ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD ，DB 的延长线交AE 于点F ，则图1中∠AFB 的度数为 ；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n 边形”，其他条件不变，则∠AFB 的度数为 ．（用n 的代数式表示，其中，n ≥3，且n 为整数）图1E FB ADC图2AC DB FEM图3NAC DB F EM答案: 60°，2180n n-⋅︒（）分析：图1证明△ABE ≌△BCD ，得到∠E=∠D ，又因为∠FBE=∠CBD ，所以∠EFB=∠BCD=120°，即B321∠AFB=60°.同理可得∠AFB 等于正多边形的一个内角度数.(延庆县二模)12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为)0,1(，点D 的坐标为)2,0(．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形C C B A 111；延长11B C 交x 轴于点2A ，作正方形1222C C B A …按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为______；第n 个正方形的面积为_________（用含n 的代数式表示）．答案: 4235）（ , 22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n分析：图中△DOA ∽△ABA 1∽△A 1B 1A 2∽△A 2B 2A 3，这些三角形的三边比等于1:2:5，可求出A 1B 1:AB=3:2，同理可知每一个正方形与后一个正方形的相似比等于3:2，因为第1个正方形的面积为5，所以第2个正方形的面积为2235）（，第3个正方形的面积为4235）（，第n 个正方形的面积为22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(丰台区二模)12. 已知：如图，在R t ABC △中，点1D 是斜边A B 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点E 1，联结1B E 交1C D 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，联结2BE 交1C D 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点45、D D 、…、n D ，分别记112233△、△、△、BD E BD E BD E …、n n BD E △的面积为123、、、S S S …n S ．设△ABC 的面积是1, 则S 1= ，n S = （用含n 的代数式表示）. 答案:211,4(1)n +分析：由平行知，123、、、S S S …n S 分别等于112233C D E C D E C D E △、△、△、…、n n C D E △，因为△CD 1E 1∽△ABC ，相似比D 1E 1: BC=1:2，△ABC 的面积是1，所以S 1=14；同理△CD 2E 2∽△ABC ，相似比D 2E 2:BC=E 1D 2:E 1B=1:3，所以S 2=19，…n S =21(1)n +.(西城区二模)12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n yx x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n AB = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++ 的值为 ．答案:()20122011,11+n n分析: 令y=0，则2211(1)(1)0n n n n n x x +++-+= ，解得1211,1x x nn ==+，所以n n A B =1111(1)nn n n -=++；112220112011A B A B A B +++ =11111122320112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=12011120122012-=. （怀柔区二模）12. 如图，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ） 在函数y =x4（x ＞0）的图象上，⊿OP 1A 1，⊿P 2A 1A 2，⊿P 3A 2A 3……⊿P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n -1A n ， 都在x 轴上，则y 1= ．y 1+y 2+…y n = ． 答案: 2 ,分析：过P 1点向x 轴作垂线，交x 轴于点B 1，由于△OP 1A 1为等腰直角三角形，所以P 1B 1=OB 1，即11x y =，代入函数xy 4=，解得112x y ==.过P 2点向x 轴作垂线，交x 轴于B 2点，可知224x y -=，代入函数xy 4=，解得22y =-，22x =+.同理可得32y =，4y =，……，n y =-12n y y y +++=二、相似求比值问题（房山区二模）12．如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）联结DE ，作DE 的中垂线，交AD 于点F ．（1）若E 为AB 中点，则D F A E= ． （2）若E 为AB 的n 等分点(靠近点A)，则D F A E= ．答案: 251,42n n+分析：本题用相似或∠D 的三角函数求解（详见图1、图2）.(门头沟区二模)12．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 的内部，延长BG 交DC 于点F ．若DC=2DF ，则A D A B= ；若DC=nDF ，则A D A B= （用含n 的式子表示）． 答案:n11分析：本题用勾股定理建立方程求解，或结合双垂直图用相似求解（详见图1、图2）.三、求距离问题(大兴区二模)12．如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角板ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A=30°，AC=10时，则此时两直角顶点C 、C’间的距离是 .答案: 5分析：由旋转和中点M 知，MC=MA=MC’=MA ’=5,连接CC’，根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，所以△A ’CC’是直角三角形，且∠A ’CC’=90°，又因为∠A ’=∠A=30°，所以CC’=21A ’C’=5.(燕山二模)12.如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形， 当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________；若将△ABP 的PA 边长改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为________. 答案: 1+3， 1+5分析：由于Rt △ABO 的斜边AB 长度不变，所以取线段AB 的中点M ，连接OM 、PM ，可求出OM=1，PM=3，所以当O 、M 、P 三点共线时，点P 到原点的最大距离是1+3.若将△ABP 的PA 边长改为22，图2nxx图1GE DCBAF另两边长度不变，则△ABP 是等腰直角三角形，同理可得，点P 到原点的最大距离变为1+5.四、阴影问题（朝阳区二模）12．如图，扇形CAB 的圆心角∠ACB=90°，半径CA=8cm ，D 为弧AB 的中点，以CD 为直径的⊙O 与CA 、CB 相交于点E 、F ，则弧AB 的长为cm ，图中阴影部分的面积是 cm 2． 答案: 4π，（16π-32）分析：弧AB 所对的圆心角等于90°，半径等于等于8，所以弧长等于4π； 把原图中的两个弓形沿EF 翻折，得到图2,则阴影部分的面积等于扇形CAB 的面积减去正方形DECF 的面积，等于16π-32.(东城区二模)12. 如图，R t ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2B C =，O H ，分别为边A B A C ，的中点，将A B C △绕点B 顺时针旋转120 到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段O H 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为 ．111答案: π分析：阴影部分面积＝ODEO 1的面积＝扇形BDE 的面积－扇形BOO 1的面积＝π. （通州区二模）12．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图3摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图4摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 答案: =分析：利用平移，阴影部分可拼成一个正方形，边长等于正方形盒底的边长减去正方形卡片的边长，所以S 1=S 2.(第12题图)B (图2)图3图4。

十九、创新题1、（2011丰台二模理14）．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为_(1),2(3),2n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数._秒．2、（2011顺义二模理14）.给定集合A ，若对于任意A b a ∈,，有A b a ∈+，且A b a ∈-,则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合{}4,2,0,2,4--=A 为闭集合；②集合{}Z k k n n A ∈==,3|为闭集合； ③若集合21,A A 为闭集合，则21A A ⋃为闭集合；④若集合21,A A 为闭集合，且R A R A ⊆⊆21,,则存在R c ∈,使得()21A A c ⋃∉. 其中正确结论的序号是______ ②④__________________. 3、（2011昌平二模文14）给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题： ①函数y =)(x f 的定义域为R ，最大值是21；②函数y =)(x f 在]1,0[上是增函数；③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y =)(x f 的图象的对称中心是（0，0）. 其中正确命题的序号是___①③_______4、（2011朝阳二模文8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC . 设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SSλ=，33S Sλ=，定义123()(, , )M P λλλ=．当23λλ⋅取最大值时，则()M P 等于(A) （A ）111(,,)244 （B ）111(,,)442 （C ）111(,,)333 （D ）111(,,)222OA 1A 2A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB5、（2011丰台二模文14）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于P 1，然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是_8__，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为_(1)4n n +π6、（2011顺义二模文14）给定集合A ，若对于任意A b a ∈,，有A b a ∈+，且A b a ∈-,则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{}4,2,0,2,4--=A 为闭集合；②集合{}Z k k n n A ∈==,3|为闭集合； ③若集合21,A A 为闭集合，则21A A ⋃为闭集合；其中正确结论的序号是____②______. 7、1、(2011朝阳二模理20)（本小题满分14分）对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若AB C D P 1 P 2P 3P 4P 512||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”. 求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由. （Ⅰ）解：因为201191229=⨯+,所以22,9q r ==. ……………………………………2分（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠.设(1)f a =，{1,2,3}a ∈，(2)f b =，{1,2,3}b ∈，由已知a b ≠, 由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1)f f ≠，(3)(2)f f ≠. 不妨令(3)f c =，{1,2,3}c ∈，这里c a ≠，且c b ≠， 同理，(4)f b ≠，且(4)f c ≠，因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =. 即(1)(4)f f =，但是|41|3-=，与已知矛盾.因此假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠. ……………………………………8分（Ⅲ）当8m =时，记}16,,2,1|7{⋅⋅⋅=+=i i M ，}4,3,2,1|)7(2{=+=i i N 记P =M N C ，则12)(=P card ，显然对任意116i j <≤≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立. 故P 是非“和谐集”，此时{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.同样的，当9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此7m ≤. ……………………………………10分 下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 设}7,,,,{1121a a a B ⋅⋅⋅=，若1，14，21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集”.现考虑1，14，21都不属于集合B ，构造集合}16,8,4,2{1=B ，}12,6,3{2=B ，}20,10,5{3=B ，}18,9{4=B ，}22,11{5=B ，}23,19,17,15,13{='B .以上54321,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B B '⊆的情况，也即B '中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从54321,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7. ……………………………………14分 2、（2011丰台二模理20）.（本小题共13分）用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[i f m k ==∑，集合{|N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；（Ⅲ）求证：在数列{}n a中，不大于m 00(,)f m k 项． 解：（Ⅰ）由已知知(1,2)f =++++ 110002=++++=．所以(f =． ………………4分（Ⅱ）因为数列{}n a是将集合{N*,}A m k P =∈∈中的元素按从小到大的顺序排成而成，<<<<<<<<<<‥‥所以9a =．………………8分（Ⅲ）任取12,*m m ∈N ，12,k kP ∈，若m m =，则必有1212,m m k k ==． 即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．对于m 1m 的数不大于m 则1m m ≤1m ≤，所以1m =，同理，第二行共有2m 的数不大于m 2m =，第i 行共有i m 的数不大于m i m =．所以，在数列{}n a 中，不大于m 51[i m =∑项，即00(,)f m k 项．………………13分3、（2011海淀二模理20）(本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k =，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+， 所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+312l l =+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+-，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数……4、（2011西城二模理20）.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A =；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===.（Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）（Ⅰ）解：集合组1具有性质P . ………………1分所对应的数表为：………………3分集合组2不具有性质P . ………………4分 因为存在{{2,3}1,2,3,4}⊆， 有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}A A A ===∅，与对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3}i ∈，有}{},{x y x A i = 或}{y 矛盾，所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===不具有性质P . ………………5分（Ⅱ）……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}A A A ===. ………………8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设12,,,t A A A 所对应的数表为数表M ，因为集合组12,,,t A A A 为具有性质P 的集合组， 所以集合组12,,,t A A A 满足条件①和②，由条件①：12t A A A A =，可得对任意x A ∈，都存在{1,2,3,,}i t ∈有i A x ∈，所以1=xi a ，即第x 行不全为0，所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0.………………9分由条件②知，对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3,,}i t ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y ，所以yi xi a a ,一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同. ………………10分 因为由0,1所构成的t 元有序数组共有2t 个，去掉全是0的t 元有序数组，共有21t-个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以10021t≤-，所以7t ≥.1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 01 1 0 0 00 1 1 0 0 1又7t =时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P .所以7t =. ………………12分 因为12||||||t A A A +++等于表格中数字1的个数，所以，要使12||||||t A A A +++取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而7t =时，在数表M 中，1的个数为1的行最多7行； 1的个数为2的行最多2721C =行；1的个数为3的行最多3735C =行； 1的个数为4的行最多4735C =行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304+⨯+⨯+⨯+⨯=个1. 所以12||||||t A A A +++的最小值为304. ………………14分5、（2011昌平二模文20） (本小题满分14分)已知函数)()(2R x a ax x x f ∈+-=，在定义域内有且只有一个零点，存在21x x 0<<， 使得不等式)x (f )x (f 21>成立. 若*N n ∈，)(n f 是数列}{n a 的前n 项和.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+k k c c 的正整数k 的个数称为这个数列{}n c 的变号数，令nn a c 41-=（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数； （Ⅲ）设61n +=n a T （2≥n 且*n ∈N ），使不等式 321)1)...(1()1(30732+∙++∙+≤n T T T m n 恒成立，求正整数m 的最大值． 解：（I ）∵)(x f 函数在定义域内有且只有一个零点40042===-=∆∴a a a a 或得 ……1分当a =0时，函数2)(x x f =在),0(+∞上递增 故不存在210x x <<， 使得不等式)()(21x f x f >成立 …… 2分 综上，得44)(,42+-==x x x f a …….3分442+-=∴n n S n⎩⎨⎧≥-==-=∴-2,521,11n n n S S a n n n …………4分（II ）解法一：由题设⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=2n ,5n 2411n ,3c n 3n ≥ 时，0)3n 2)(5n 2(83n 245n 24c c n 1n >--=---=-+ 3n ≥∴时，数列{}n c 递增 031c 4<-=由505241≥>--n n 得 可知0a a 54<⋅即3n ≥时，有且只有1个变号数； 又3c ,5c ,3c 321-==-= 即0c c ,0c c 3221<⋅<⋅ ∴此处变号数有2个综上得数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3 ……9分解法二：由题设⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=2n 5n 2411n 3c n 当2n ≥时，令03272529201<--⋅--<⋅+n n n n c c n n 得4229272523==<<<<n n n n 或解得或即 又5c ,3c 21=-= 1n =∴时也有0c c 21<⋅ 综上得数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3 …………9分（Ⅲ）2≥n 且*n ∈N 时，121+=n T n321)1211)...(711)(511(307+∙++++≤n n m 可转化为 3211222122...9107856307+∙++∙-∙∙≤n n n n n m ． 设=)(n g 3211222122...9107856+∙++∙-∙∙n n n n n ， 则当2≥n 且*n ∈N ，3211222...910785652132421222...9107856)()1(+∙++∙∙+∙++∙++∙∙=+n n n n n n n n n g n g2423n n +==+24124n n +=>===+. 所以)()1(n g n g >+，即当n 增大时，)(n g 也增大． 要使不等式321)1)...(1)(1(30732+∙+++≤n T T T m n 对于任意的*n ∈N 恒成立，只需 min )(307n g m ≤即可．因为3576775671)2()(min =∙=∙=g n g ， 所以3576307≤m . 即 71535180=≤m 所以，正整数m 的最大值为5．6、（2011朝阳二模文20）（本小题满分14分）对于整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0||r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3, , 23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191q r =+(091)r <≤，试求q ，r 的值；（Ⅱ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，b a ，则称B 为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”0B 和一个含有元素8的非“谐和集”C ，并求最大的m A ∈，使含m 的集合A 有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.（Ⅰ）解：因为201191q r =+，所以201191229=⨯+. ………………………2分又因为q A ∈，所以22, 9q r ==. ……………………………4分（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”0{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}B =.…5分含有元素8的一个非“和谐集”{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}C =.…7分 当8m =时，记{7|1, 2, , 16}M i i =+=⋅⋅⋅，{2(7)|1, 2, 3, 4}N i i =+=，记P =M N C ，则12)(=P card .显然对任意116i j <≤≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立. 故P 是非“和谐集”，此时{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23}P =.同理，当9, 10, 11, 12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此7m ≤. …………………………………………………10分 下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”.设1211{, , , , 7}B a a a =⋅⋅⋅，若1，14，21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集” . 现考虑1，14，21都不属于集合B ，构造集合1{2, 4, 8, 16}B =，2{3, 6, 12}B =， 3{5, 10, 20}B =，4{9, 18}B =，5{11, 22}B =，{13, 15, 17, 19, 23}B '=.…12分以上54321,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B B '⊆的情况，也即B '中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从54321,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7. …………………………………………7、（2011西城二模文20）（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P .（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①(1)xy a a =>； ②3y x =. （Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x具有性质P . ……………1分 111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a-+-++-=+-=+-， 因为1>a ，1(2)0x a a a+->， ……………3分 即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-， 2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ，此函数不具有性质P .（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值， ……………6分 则0)1()(>--i f i f ，因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ，所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>， 与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分（Ⅲ）不成立. 例如2()()x x n x f x xx -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数. ……………10分 证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=， 当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分（其他反例仿此给分.如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()0()x x f x x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。

二、函数1、（2011昌平二模理7）．已知函数|lg |)(x x f =，若b a <<0,且)()(b f a f =，则的取值范围是b a +2（B ）A. ),22(+∞B. ),22[+∞C. ),3(+∞D. ),3[+∞.2、（2011东城二模理、文 8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13、（2011丰台二模理3）．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是（C ）(A)(B)(C)(D)4、（2011丰台二模理8）．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是（D ）(A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3](D) [3,)+∞5、（2011海淀二模理3）函数21()log f x x x=-的零点所在区间（C ） A ．1(0,)2 B. 1(,1)2 C. (1,2) D. (2,3) 6、（2011昌平二模文4） 若b a b a >是任意实数，且、,则下列不等式成立的是（ D ） A ．22b a > B ．1<a b C ．0)lg(>-b a D ．b a )31()31(< 8、（2011朝阳二模文7）已知函数2()cos f x x x =-，则(0.5)f -，(0)f ，(0.6)f 的大小关系是(A)OO O O x x xxyyyy1 11 11111（A）(0)(0.5)(0.6)f f f<-<（B）(0.5)(0.6)(0)f f f-<<（C）(0)(0.6)(0.5)f f f<<-（D）(0.5)(0)(0.6)f f f-<<9、（2011丰台二模文3）已知a>0且a≠1，函数log ay x=，xy a=在同一坐标系中的图象可能是(D)(A) (B) (C) (D)10、（2011丰台二模文8）用max{}a b，表示a，b两个数中的最大数，设22()max{84,log}f x x x x=-+-，若函数()()g x f x kx=-有2个零点，则k的取值范围是(C)(A) (0,3)(B) (0,3](C) (0,4)(D) [0,4]11、（2011海淀二模文3）函数21()logf x xx=-的零点所在区间为(C)A．1(0,)2 B.1(,1)2 C. (1,2) D. (2,3)12、（2011顺义二模文8）已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,ππ上的函数)(xfy=的图像关于直线4π-=x对称，当4π-≤x时，xxf sin)(=，如果关于x的方程axf=)(有解，记所有解的和为S, 则S不可能．．．为(A)A π45- B π- C π43- D2π-13、（2011西城二模文7）若2a>，则函数3()33f x x ax=-+在区间(0,2)上零点的个数为(B)（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个1、（2011东城二模文9）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=,那么(0)(1)f f += -2 ．2、（2011昌平二模理14）.给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y =)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y =)(x f 的图象关于直线2kx =（Z k ∈）对称. 其中正确命题的序号是____①③④______3、（2011东城二模理14）对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = 34． 4、（2011海淀二模理14）已知函数sin ()xf x x= （1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有__________①②__________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为______ 9_____. 5、解答 1、（2011顺义二模理20）. （本小题满分13分）对于定义域分别为N M ,的函数)(),(x g y x f y ==，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈⋅=,),(,),(,),()()(N x M x x g N x M x x f N x M x x g x f x h 且当且当且当 (1) 若函数R x x x x g x x f ∈++=+=,22)(,11)(2,求函数)(x h 的取值集合； (2) 若22)(,1)(2++==x x x g x f ，设n b 为曲线)(x h y =在点()()n n a h a ,处切线的斜率；而{}n a 是等差数列，公差为1()*∈Nn ，点1P 为直线022:=+-y x l 与x 轴的交点，点n P 的坐标为()n n b a ,。

北京2011-2012年中考数学模拟试卷（2）说明：本卷满分150分，考试时间为100分钟.题号 一 二 三四 五 总 分16 17 18 19 20 21 22 得分一、单项选择题(每小题4分，共20分，请将所选选项的字母写在题目后的括号内) 1．今年1至4月份，我省旅游收入累计达5163000000元，用科学记数法表示是( )A ．6105163⨯元 B ．910163.5⨯元 C ．810163.5⨯元 D ．1010163.5⨯元 2．函数x y -=2 中，自变量x 的取值范围是( )A ．2≠xB ．x ≥2C ．x ≤2D ．0<x3．为了了解某校300名初三学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中， 下列说法正确的是( )A ．300名学生是总体B ．300是众数C ．30名学生是抽取的一个样本D ．30是样本的容量4．如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共 有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对D ．4对5．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长 为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个 几何体的表面积是( )A ．π6B ．π4C ．π8D ．4二、填空题(每小题4分，共20分，请把下列各题的正确答案填写在横线上) 6．计算=+-+-- 30cos 2)142.3(2201π ．7．若()b a x x x -+=--2214，则b a -= ．8．若相交两圆的半径长分别是方程0232=+-x x 的两个根，则它们的圆心距d 的取值范EABDF G C（图1）围是 ．9．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是 ．10．如图2，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，分别以A 、C 为圆心，AO 、CO 为半径画圆弧，交菱形各边于点E 、F 、G 、H ，若AC=32，BD=2，则图中阴影部分的面积是 ．三、解答下列各题(每小题6分，共30分) 11．解不等式组(要求利用数轴求出解集)：5351x x -<+① 423322-+>-x x x ②12．已知13+=x ，求xx x x xx x 112122÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的值．13．观察下面的几个算式：13×17=221可写成100×1×(1+1)+21； 23×27=621可写成100×2×(2+1)+21； 33×37=1221可写成100×3×(3+1)+21； 43×47=2021可写成100×4×(4+1)+21； …… ……根据上面规律填空：AB CDO （图2）E FGH(1)83×87可写成 ．(2))710)(310(++n n 可写成 ． (3)计算：1993×1997=．14．如图3，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连接为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(－2，－2)． (1)把△ABC向左平移8格后得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1的图形，此时点B 1的坐标为 ．(2)把△ABC绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到△A 2B 2C ，画出△A 2B 2C 的图形，此时点B 2的坐标为． (3)把△ABC以点A 为位似中心放大为△AB 3C 3，使放大前后对应边长的比为1︰2，画出△AB 3C 3的图形．15．如图4，△ABC中，AB=AC ，D 、E 分别是BC 、AC 上的点， ∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE ？写出你的推理过程．四、解答下列各题(每小题7分，共28分)16．初三级一位学生对本班同学的上学方式进行了一次调查统计，图5①和图5②是他通过采A BxyOC（图3）ABD CE （图4）集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题： (1)该班共有多少名学生？(2)在图5①中将表示“骑车”的部分补充完整．(3)在扇形统计图中，“步行”部分对应的圆心角的度数是多少？ (4)如果全年级共有300名学生，请你估算全年级骑车上学的学生人数．(1)答： (3)答： (4)解：17．如图6，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xm y =的图象交于A 、B 两点。

考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、班级和姓名。

3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。

4．在答题纸上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．16 的算术平方根是 A ．4± B ．8± C ．4 D ．4- 2. 如果一个角等于72︒，那么它的补角等于A ．18︒B ．36︒C ．72︒D ．108︒ 3．若点(,2)M a 与点(3,)N b 关于x 轴对称，则,a b 的值分别是A ．3,2-B ．3,2-C ．3,2--D ．3,2 4. 把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是 A ．()222x +B ．()222x -C ．()224x -D ．()224x -5. 下列计算正确的是A ．44a a a ÷= B ．325(2)4a a = C ．223355+= D ．1025÷=6．从1～9这九个自然数中任取一个，是3的倍数的概率是 A ．13 B ．32 C ．92 D ． 94 7．如图是一个几何体的三视图，已知正视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的全面积为A ．2πB ．3πC ．23πD ．()123π+8．如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB BC CD DA →→→连续翻转（小正方形起始位置在AB 边上），那么这个小正方形翻转到DA 边的终点位置时，它的方向是DCBAA ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分, 每小题4分）9. 若分式22123x x x -+-的值为零 , 则x = .10．某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解频数 40 120 36 4 频率0.2m0.180.02本次问卷调查抽取的样本容量为_______，表中m 的值为_______11. 已知两圆内切，圆心距2d = ，一个圆的半径3r =，那么另一个圆的半径为 12. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（5）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．计算:011271tan 60( 3.14)()2π--︒+--14.求不等式组32451233x x x -≥-⎧⎪-⎨>-⎪⎩ 的正整数解.15. 已知13x x-=，求代数式2(23)(1)(4)x x x --+-的值. 16. 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F .求证：BE DF =.（1） （2） （3）……17. 列方程或方程组解应用题:在“彩虹读书”活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多3人， 甲班学生读书480本，乙班学生读书 360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的45倍．求甲、乙两班各有多少人？ 18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴的交点为(0,2)C ,与反比例函数在第一象限内的图象交于点(2,)B n ，连结BO ，若S 4=．（1）求直线AB 的解析式和反比例函数的解析式；（2）．求tan ABO ∠的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，矩形ABCD 中， 4AB =，7BC =，点P 是AD 边上一个动点，PE PC ⊥,PE 交AB 于点E ，对应点E 也随之在AB 上运动，连结EC ．（1）若PEC ∆是等腰三角形，求PD 的长； （2）当30PEC ∠=︒时，求AP 的长．20. 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，10AB =, DC 切O ⊙于点C AD DC ⊥，，垂足为D ，AD 交O ⊙于点E ．BE PDCBA DCBAFEDCBA（1）求证：BC EC =; （2）若4cos 5BEC ∠=, 求DC 的长．21. 为了解某住宅区的家庭用水量情况，从该住宅区中随机抽样调查了50户家庭去年每个月的用水量，统计得到的数据绘制了下面的两幅统计图．图1是去年这50户家庭月总用水量的折线统计图，图2是去年这50户家庭月总用水量的不完整的频数分布直方图．（1）根据图1提供的信息，补全图2中的频数分布直方图；（2）在抽查的50户家庭去年月总用水量这12个数据中，极差是 米3，众数是 米3，中位数是 米3；（3）请你根据上述提供的统计数据，估计该住宅区今年每户家庭平均每 月的用水量是多少米3？ 22．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x （x >0）. 依题意，割补前后图形面积相等, 有52=x , 解得5=x ．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．550 500600 650 700 800 750 4 7 9 10 11 O•月总用水量（米3） • ••• • •• •• ••图1请你参考小东同学的做法，解决如下问题：（1） 如图4，是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图4上画出分割线，在图4的右侧画出拼成的正方形简图）；（2）如图5，是由边长分别为a 和b 的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图5上画出分割线，在图5的右侧画出拼成的正方形简图）.五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24题7分，第25题7分） 23．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-=. （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m 为整数，且抛物线2(31)22y mx m x m =--+-与x 轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；（3）若直线y x b =+与（2） 中的抛物线没有交点，求b 的取值范围.24． 已知：如图，ABC ∆内接于O e , AB 为O e 的直径，=52AC BC =点D 是»AC 图3图2图1图3图2图1上一个动点，连结AD 、CD 和BD , BD 与AC 相交于点E , 过点C 作PC CD ⊥于C ,PC 与BD 相交于点P ,连结OP 和AP .(1) 求证：AD BP =; （2）如图1，若1tan 2ACD ∠=， 求证：DC AP P ； （3) 如图2，设AD x = , 四边形APCD 的面积为y ,求y 与x 之间的关系式.25．已知，如图，抛物线24(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A B ，，点A 的坐标为(40)-，，对称轴是1x =-．（1）求该抛物线的解析式； （2）点M 是线段AB 上的动点，过点M 作MN ∥AC ，分别交y 轴、BC 于点P 、N ，连接CM ．当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标； （3）在（2）的条件下，求CPNABCS S ∆∆的值.图1图2O CD E P ABBAPEDC O。

六、数列1、（2011昌平二模理6）. 已知等差数列{}n a 的公差为3，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（D ）A ．9B ．3C ． -3D ．-92、（2011东城二模理5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ D ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 3、（2011顺义二模理4）.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于（D ）A 21+B 21-C 223+D 223-4、（2011西城二模理7）．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （ B ）（A ）有3个（B ）有2个（C ）有1个（D ）不存在 5、（2011西城二模理14）.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_120____； ②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是__(21,2),k k k -∈*N ___. 6、（2011昌平二模文3）数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足13n n a a +=+，且38a =，则10S 等于（ A ）A ．155B ． 160C ．172D ．240 7、（2011丰台二模文4）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a =(C) (A) 12-(B) 23-(C)35(D)528、（2011顺义二模文4）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则7698a a a a ++等于(C)A 21+B 21-C 223+D 223- 9、1(2011朝阳二模理12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =43 ；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a = 221n n - 2、（2011海淀二模理13）已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) .3、（2011东城二模文14）已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，那么a = 2 ；若对于任意的*N n ∈，总存在*N m ∈，使得 3n m b a =+成立，则n a = 5n-34、（2011海淀二模文13）已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ），则2a ；n a =__n_.5、（2011西城二模文9） 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为__3___.6、（2011西城二模文14）数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是__①③____.（写出所有正确命题的序号） 解答1（2011昌平二模理20）. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+． (Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(Ⅱ）试问数列{}n a 中()1k k a a k *+⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由． （Ⅲ）令21(5),3n nb a =+证明：对任意2*,2n b n n N b ∈>都有不等式成立.解: （Ⅰ）111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， ……1分所以11132n n a a +-=， ……. 2分 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． ……3分 （II ）由（Ⅰ）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+．…… 4分 ()122243231292110k k a a k k k k +⋅=⋅=+++++ …….5分22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． …… 7分因为()2213723122k k k k k k +++=+++， …… 8分当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数，所以23722k k ++是正整数．(也可以从k 的奇偶性来分析)所以1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项． …… 9分(Ⅲ)证明：由（2）知：232n a n =+，21232(5)(5)4332n n n b n a +=+=+=+…..10分下面用数学归纳法证明：422(4)n n +>+对任意*n N ∈都成立。

昌平区2010-2011学年第二学期初三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 2011.5一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABCBADA二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9 101112x ≠1049≠≤m m 且 260°， 2180?n n-⋅（） 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13.解:原式= 21332+-+ ……………………………………4分= 133+ ……………………………………5分14. 解： x -4x +2≤-4,x ≥2……………………………………2分 1+3x ＞2xx >-1……………………………………2分∴不等式组的解集为：x ≥2……………………………………5分 15. 已知220x x -+=，求（2414x +-）⋅（x +2）的值 解： （2414x +-）⋅（x +2） =244(2)(2)x x x -++-⋅（x +2） ………………………2分=22x x - …………………………3分∵ 220x x -+=，∴22x x =-. ………………………4分∴ 原式=1． …………………………5分16．证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°, ∴EC =CD ,AC =CB ， …………………………2分∠ACB-∠ACD =∠ECD-∠ACD .∴∠ACE =∠BCD . ………………………………………3分 ∴△ACE ≌△BCD . ………………………………4分 ∴AE=BD ．………………………………5分 17.解：(1)设直线l 1的解析式为：y =kx +b (k ≠0) ． ……………………………………1分∵直线l 1经过点A (-1,0)与点B (2,3), ∴⎩⎨⎧+==+bk b k 230- ……………………………………1分解之得 ⎩⎨⎧==11b kE DCBA∴直线1l 的解析式为：y =x +1…………………………………… 3分(2) ∵(23)B ，,(0)P m ，,APB △的面积为3, ∴AP =2. ……………………………………4分 ∴P (1,0)或P （-3,0）∴m =1或-3. ……………………………………5分18.解: 设每天应比原计划多加工x 件衣服． …………………………………1分 据题意，得72072448058x -=+．……………………………………………3分解这个方程，得 x =24． ……………………………………………………4分经检验，x =24是所列方程的解，且符合题意．答：每天应比原计划多加工24件衣服． ………………………5分四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）19．解：过点C 作CP ∥BD 交AB 的延长线于P . …………… 1分 ∵DC ∥AB ，∴四边形BPCD 是平行四边形. ∴ DB ∥CP , DC =BP . ∵AB =2DC ，设DC =x ， ∴BP =x ,AB =2x . ∴AP =3x .∵EF ∥BD ，CP ∥BD ， ∴EF ∥CP .又∵点H 为AC 的中点，∴12AE AH AP AC ==. ∴AE =21AP =32x .∴33224xAE AB x ==. …………… 3分 ∵EF ∥BD ， ∴BDEFAB AE =. ∵BD =4， ∴344EF =. ∴EF =3. …………………5分 20.（1）∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA .∴∠COB =2∠OCA .∵2COB PCB =∠∠∴∠OCA =∠PCB ．………………………1分∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB =90°,∴∠OCA +∠OCB =90°．∴∠PCB +∠OCB =90°．PHO FED C BAN MO PCB A∴∠PCO =90°, ………………………2分∵点C 在⊙O 上，∴PC 是⊙O 的切线. ………………………3分 (2) 连结BM ．∵M 是⊙O 下半圆弧中点 ∴ 弧AM =弧BM , ∴AM=BM ．∵AB 是⊙O 直径， ∴∠AMB =90°.∴∠BAM=∠ABM =45° ∵AC =PC ,∴∠OAC =∠P =∠OCA =∠PCB . ∵OC =OB ,∴∠OBC =∠OCB =2∠PCB . ∵∠PCO =90°,∴∠PCB =∠P =∠OAC =∠OCA =30°. ∠OBC =∠OCB =60 °. ∵PB =3， ∴BC =3,∴AB =6. ……………………………4分 在R t △ABM 中, ∠AMB =90°,根据勾股定理，得AM =23 . ……………………………5分21． (1)100°. ………………… 1分(2) 如图. …………………… 3分（3）85.5，80． ……………… 5分22．解：（1）AB=2米， AC=3米.（2）A 点的路径如图中的粗线所示，路径长为（433π+）米. 五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）23.解：（1）21. ……………………2分（2）如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ． ……………3分∴∠DEC =90 °. 设PB =x . ∵BC =3， ∴PC =3-x . ∵PD ∥AB ， ∴PC DC BC AC =. ∴323DC x -=.300 250 150 10050 200 0115 60260 40人数年级七年级 八年级 九年级61－70分 71－80分 81－90分 91－100分 预赛成绩统计图50200 180185 250 300100200E图2AB P CDB 2A 2C 2C 1A 1A B Cm∴2(3)3x DC -=. 在R t △DEC 中, ∠DEC =90°, ∠C =α,∴DE =2(3)sin 3x α-⋅. ……………………4分∴S △BDP =12BP DE ⋅⋅=2sin sin 3x x αα⋅-+⋅. ……………………5分 ∵α为任意锐角,∴0＜sin a ＜1.∴03sin <-a. ∴当x =sin 3sin 22()3αα-=⋅-时，S △BDP 有最大值．即P 在BC 中点时，△BDP 的面积最大．……………………6分24. （1）45°；…………………… 2分 （2）答：不会变化.证明：如图２，过点F 作F Ｍ∥ED 交CD 于Ｍ,连接G Ｍ. ∵ 正方形ABCD 中，AB ∥CD ,∴ 四边形EFMD 为平行四边形. ……………3分∴EF =DM ， DE =FM .∴∠3=∠4，∠EHF =∠HFM=α.∵EF =25CD ，GD =25AE ， ∴52==AE GD CD EF .∴DM GD AD AE=∵∠A =∠GDM=90°,∴△DGM ∽△AED. ……………………5分∴,52=DE GM ∠1=∠2∴.52=FM GM∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4. ∴∠1+∠4=90°． ∴∠GMF=90°． 在R t △GFM 中, tan α = 52=FM GM ． ……………………7分∴α = arc tan52.……………………8分25.解：(1)D (6,3),n =2. ……………………2分 (2) 设直线OM 的解析式为y =kx , k ≠0.∵M (3,3)在直线OM 上，yDEM 4321MHFGE DCB A图2∴y =x .即直线OM 的解析式为：y =x .∵x x y 2412+-=的顶点坐标为（4,4）， ∴抛物线C 的顶点在直线OM 上． ……………………4分 （3）∵点E 在OM 上， 当x =m 时，y=m ， ∵PE ⊥x 轴， ∴EP =m .∴S =OMN OEH S S ∆∆-=239m-. ……………………6分 (4) m 取值范围：m =33-,m =94,3≤m ＜4． …………8分。

参考答案一、选择题1. C ;2. A;3. D;4. B ;5.B ;6.A ;7.D ;8.C .二、填空题9. x=1；10.n(m+1)(m-1) ；12. 7 911. 4-π；11 176三、解答题13.解:原式=3+⨯-+232512------------------4分=334-------------------5分14. 解：7-3x＜2x-8 ---------------------------1分-3x-2x＜-8-7-5x＜-15 ---------------------------2分x＞ 3 ----------------------------3分原不等式的解集在数轴上表示如下：------------------5分15. 解方程组：33,24x y x y -=⎧⎨-=-⎩解：由方程3x-y=3得：y=3x-3 ①------------------1分把①代入x-2y=-4得：x-2(3x-3)=-4 ∴x=2------------------3分把x=2代入①得：y=3 ------------------4分∴原方程组的解为：23x y =⎧⎨=⎩------------------5分16. 证明: ∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE∴∠ABC=∠DEF=90°-------------------1分∵BF ＝CE ∴BC=EF-------------------2分3又∵AB ＝DE ∴△ABC ≌△DEF------------------3分∴∠ACB=∠DFE------------------4分∴GF ＝GC------------------5分17. 解：原式=22(3)21(2)(3)2x x x x x x +-∙--+- ------------------1分=21(2)2x x x --- --------------------2分=2(2)xx x -- --------------------3分=1x---------------------4分当x=-2时，原式=12 -------------------5分四、解答题18. 解：过点D 作DG ⊥BC 于点GOEDCBA∵AD ∥BC∴四边形ABGD 是矩形 ∴AB=DG ，AD=BG在△CDG 中，∠DGC=90°，CD=BC=10，4sin 5C =∴DG=8，CG=6 ----------------1分 ∴AD=BG=4 ----------------2分 ∴AD+BC=14∴梯形ABCD 的面积S=56 -----------------3分 ∵AF ⊥BC ，EF ⊥DC ∴∠DGC=∠EFC=90° 又∠C=∠C ∴△DGC∽△EFC------------------------------------4分∴DG CE EF CD ∙=∙ ∴AB CE EF CD ∙=∙-----------------------5分19. 证明：（1）∵AB 为⊙O 的直径∴∠D=90°, ∠A+∠ABD=90°∵∠DBC =∠A∴∠DBC+∠ABD=90°∴BC ⊥AB -----------------1分∴BC是⊙O的切线-----------------2分（2）∵OC∥AD，∠D=90°，BD=6∴OC⊥BD∴BE=1BD=32-----------------------------------------------3分∵O是AB的中点∴AD=2EO -∵BC⊥AB ，OC⊥BD∴△CEB∽△BEO，∴2BE CE OE=∙∵CE=4，∴9OE=4----------------------------------------------4分∴AD=92----------------------------------------------5分五、解答题20.解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时.由题意得1515-=x x1.5-----------------------2分解得，x＝20-----------------------3分经检验x＝20是原方程的根，并且符合题意.------------------------4分当x ＝20时， 1.5x ＝30----------------------5分答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.六、解答题21. 解：（1）直线1y x =+向左平移2个单位后得到直线l 的解析式为：y=x+3 - ----1分直线l 与y 轴的交点为：（0，3），与x 轴的交点为：（-3，0） ---------------3分（2）∵直线l 与反比例函数ky x=的图象的交点为（2，-m ） ∴m=-5-----------------------4分∴k=10∴反比例函数的解析式为：10y x=-----------------------5分22.（1）垂直（CD ⊥OM ） -------------------------------------2分 （2）CM=290tanα-⋅ m ；------------------------------------3分900<<α-------------------------------------4分七、解答题23. 解：（1）当n=-1时，抛物线为1232-+=x x y ，方程01232=-+x x 的两个根为：x=-1或x=13． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········· 2分 （2）∵抛物线与x 轴有公共点．∴对于方程 2320x x n ++=，判别式△=4-12n ≥0， ∴n ≤31． --------------------------------3分①当13n =时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 4分 ②当n ＜13时，11-=x 时，132y n =-+=1+n12=x 时，2325y n n =++=+由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1y ≤0，且2y ＞0 即1+n ≤0,且5+n ＞0 ---------------------------------------5分 解得：-5＜n≤-1． -------------------------------------------------6分综合①、②得n 的取值范围是：13n =或-5＜n ≤-1． -----------------------------7分八、解答题24. 解：（1）抛物线的解析式为：214y x x =- -----------------------2分 （2）1(2,5)E ，2(2,5)E ------------------------4分 （3）存在.①当1(2,5)E 时，1(0,4)G ，设点B 关于直线x=2的对称点为D ，其坐标为（6，3）-------------------5分直线1DG 的解析式为：146y x =-+，∴1P （2，113） ------------------6分②当2(2,5)E -时，2(0,1)G -,直线2DG 的解析式为：213y x =- ∴2P （2，13）-------------------------7分综合①、②存在这样的点P ，使得△PBG 的周长最小，且点P 的坐标为（2，113） 或（2，13）-----------------------------------------8分九、解答题25.解：（1）证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°, AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF, ∠1＝∠2．--------------------1分∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．D G2Gy∴∠GAE=∠EAF ．又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF.∴EG ＝EF ． -----------------2分∵EG=BE+BG ．∴EF= BE ＋FD --------3分(2) (1)中的结论EF= BE ＋FD 仍然成立. ---------------------------4分（3）结论EF=BE ＋FD 不成立，应当是EF=BE －FD ．--------------------5分 证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．∵∠B+∠ADC ＝180°,∠ADF+∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF.∴∠BAG ＝∠DAF,AG ＝AF ．∴∠BAG+∠EAD ＝∠DAF+∠EAD=∠EAF =1 2∠BAD ． ∴∠GAE=∠EAF ．∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF.∴EG ＝EF ---------------------6分∵EG=BE －BG∴EF=BE －FD ． ---------------------7分。

FEDC BA北京昌平区2011-2012年中考数学模拟题一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．3-的倒数是A ． 3- B ．3C ．13-D ．132．第29届北京奥运会火炬接力活动历时130天,传递行程约为137 000km ．用科学记数法表示137 000是A ．1.37×105 B ．13.7×104 C ．1.37×104 D ．1.37×1033． 已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( )A ．外离B ．外切C ．内切D ．相交4． 某电视台体育直播节目从接到的5000条短信（每人只许发一条短信）中，抽取10名“幸运观众” ．小明给此直播节目发了一条短信，他成为“幸运观众”的概率是A ．15000B ．1500C ．150D ．1105．如图，AB ∥CD ，BE 交CD 于点F ，∠B=45°，∠E=21°则的∠D 为A. 21°B. 24°C. 45°D. 66° 6． 如图所示圆柱的左视图是（ ）．A ．B ．C ．D ．7．某居民小区开展节约用水活动，对该小区200户家庭用水情况统计分析，3月份比2月份节约用水情况如下表所示：则3月份平均每户节水量为A. 1.5立方米B. 2 立方米C. 1.8立方米D. 1.6立方米 8. 如图， A 、B 、C 、D 为O e 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O --- 路线作匀速运动，设运动时间为t （秒），∠APB=y （度），则下列图象中表示y 与t 之间函数 关系最恰当的是二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．若分式11x x -+的值为0,则x 的值为 .10．分解因式：2m n n -= _______．11．如图,在△AOB中,∠AOB=90o,OA=OB=,以点O第8题AB C DOP Bt Dt ACt为圆心的圆与AB 相切于点C ,则图中阴影部分的面积是______________.12．填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.5675320531108975图1 图2 图3 图4三、解答题（共5道小题，共25分）13．（本小题满分5分）计算 ： 101122sin 60()(3.14)5π-+-+-o ．14．（本小题满分5分）解不等式：7－3x < 2（x －4），并把解集在数轴上表示出来．15．（本小题满分5分）解方程组： 33,24x y x y -=⎧⎨-=-⎩16．（本小题满分5分）已知：如图，AB ⊥BE 于点B ，DE ⊥BE 于点E ，F 、C 在BE 上，AC 、DF 相交于点G ，且AB ＝DE ，BF ＝CE ．求证： GF ＝GC ．17．（本小题满分5分）先化简, 再求值：222621·4432x x x x x x x +---++-, 其中2x =-．四、解答题（共2道小题，共10分）18．（本小题满分5分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=o ，10BC CD ==，4sin 5C =． ⑴ 求直角梯形ABCD 的面积；⑵ 点E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥DC 于点F.求证AB CE EF CD ⋅=⋅．ADCFBE 第18题图A19．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A .（1）求证： BC 是⊙O 的切线；（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.五、列方程（组）解应用题（本小题满6分）20． 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电，该地供电局组织电工进行抢修。

昌平区2010—2011学年第二学期初三年级第二次统一练习数 学 2011．5考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-2的绝对值是A ．-2B ．2C ．-12D ．122．下列运算正确的是A ．22()x x -= B ．33x x x ⋅= C ．326x x x =÷ D ．532x x x =+3．如图，已知直线AB ∥CD ，CE 交AB 于点F ，∠DCF =110°，且AE =AF ，则∠A 等于A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒ 4．若一个多边形的每个外角都等于45，则它的边数是Ａ．6 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．95．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是 A ．16B ．13C ．12D ．236．把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是 A ．2(2)a x - B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-7．将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为A ．2(1)4y x =++B ．2(1)4y x =-+C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =-+ ８．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD 交AB 于点D ；打开后，过点D 任意折叠，使折痕DE 交BC 于点E ，如图3；打开后，如图4；再沿AE 折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE 和AE 长度的和的最小值是FE DAB C图1ACB图2DA (B')BCE图3B'DA BC图4DACBE图5C'DABCE图6DACBEA ．10B ．1+5C ．22D ．32 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．10．若关于x 的一元二次方程m x 2－3x ＋1=0有实数根，则m 的取值范围是 ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是A B 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，1CF =，D F 交CE 于点G ，且EG =CG ，则BC = ． 12．如图，点E 、D 分别是正三角形ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN中以C 点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE =CD ，DB 的延长线交AE 于点F ，则图1中∠AFB 的度数为 ；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n 边形”，其他条件不变，则∠AFB 的度数为 ．（用n 的代数式表示，其中，n ≥3，且n 为整数）图1E FB ADC图2AC DB F EM图3NAC DB F EM三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算：01112tan 60(2010)()2-+︒--+．ADB CFG E14．解不等式组：2(21)413.2x x x x --⎧⎪⎨+>⎪⎩≤-，15．已知220x x -+=，求（2414x +-）⋅（x +2）的值．16．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°， D 为AB 边上一点．求证： AE=BD ．17．如图，已知直线1l 经过点(10)A -，和点(23)B ，，另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴相交于点(0)P m ，． （1） 求直线1l 的解析式；（2）若APB △的面积为3，求m 的值．18．列方程（组）解应用题某服装厂接到加工720件衣服的订单，原计划每天做48件，即可顺利交货．但还没开工，又接到客户提前5天交货的要求，所以，每天必需多加工几件衣服才能按时交货．问每天应比原计划多加工多少件衣服？E DCBAxyO BA 1234–1–2123–1–2–3l 1四、解答题（共4道小题，每小题均5分，共20分）19．梯形ABCD 中DC ∥AB ， AB =2DC ，对角线AC 、BD 相交于点O ， BD=4，过AC 的中点H 作EF ∥BD 分别交AB 、AD 于点E 、F ，求EF 的长.20．如图，已知点C 在⊙O 上，延长直径AB 到点P ，连接PC ，∠COB =2∠PCB ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若AC =PC ，且PB =3，M 是⊙O 下半圆弧的中点，求MA 的长．21．某中学开展了一次“诚信做人”的主题演讲比赛．赛程共分“预赛、复赛和决赛”三个阶段，预赛由各班举行，全员参加，按统一标准评分．统计后制成“预赛成绩统计图（未画完整）”，从预赛中各年级产生10名选手进行复赛，成绩见“复赛成绩统计表”．（采用100分制，得分都为60分以上的整数．）300 250150 10050200 0115 60 260 40 人数年级 七年级 八年级 九年级61－70分 71－80分 81－90分 91－100分 预赛成绩统计图50 200 180 185 250 300100 ABC D EFO HAB CPO M N（1）如果将九年级预赛成绩制成扇形统计图，则“90分以上的人数”对应的圆心角度数是___________．（2）如果八年级复赛成绩在90分以上的人数是预赛时同类成绩人数的0.5%，请补全预赛成绩统计图．（3）复赛成绩中，七年级选手的成绩的中位数是___________；九年级选手的成绩的众数是 ．22．如图，一个横截面为Rt △ABC 的物体，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米，师傅要把此物体搬到墙边，先将AB 边放在地面（直线m 上），再按顺时针方向绕点B 翻转到△1A B 1C 的位置（B 1C 在m 上），最后沿射线B 1C 的方向平移到△2A 2B 2C 的位置，其平移距离为线段AC 的长度（此时，2A 2C 恰好靠在墙边）． （1）直接写出AB 、AC 的长；（2）画出在搬动此物体的整个过程中A 点所经过的路径， 并求出该路径的长度．五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）23． 如图，在△ABC 中，BC =3，AC =2，P 为BC 边上一个动点，过点P 作PD ∥AB ，交AC 于点D ，连结BD ．（1）如图1，若∠C =45°，请直接写出：当B P P C= 时，△BDP 的面积最大；（2）如图2，若∠C =α为任意锐角，则当点P 在BC 上何处时， △BDP 的面积最大？图1A BCDP 图2ABP CD年级 10名选手的复赛成绩（分） 七 81 85 89 81 87 99 80 76 91 86 八 97 88 88 87 85 87 85 85 76 77 九80 81 96 80 80 97 88 79 85 89复赛成绩统计表B 2A 2C 2C 1A 1ABCm24．现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sin α = m ，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m 来表示α，记作：α=arc sin m ；若cos α = m ，则记α = arc cos m ；若tan α = m ，则记α = arc tan m ．解决问题：如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 上一动点，点F 在AB 边或其延长线上，点G 在边AD 上．连结ED ，FG ，交点为H ．（1）如图1，若AE =BF =GD ，请直接写出∠EHF = °； （2）如图2，若EF =25CD ，GD =25AE ，设∠EHF =α．请判断当点E 在AB 上运动时， ∠EHF 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α．图1HFG ED CB A 图2A B CD EG FH25.如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN 的斜边ON 在x 轴上，顶点M 的坐标为（3，3），MH 为斜边上的高．抛物线C ：214y x nx =-+与直线12y x =及过N 点垂直于x 轴的直线交于点D ．点P （m ，0）是x 轴上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线OM 与点E ．设以M 、E 、H 、N 为顶点的四边形的面积为S ．（1）直接写出点D 的坐标及n 的值；（2）判断抛物线C 的顶点是否在直线OM 上？并说明理由； （3）当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式；（4）如图2，设直线PE 交射线OD 于R ，交抛物线C 于点Q ， 以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQFG ，其中RG =32，直接写出矩形RQFG 与等腰直角三角形OMN 重叠部分为 轴对称图形时m 的取值范围．图1yxDEM P HNO备用图1yxDMH NO O NH MDxy备用图2GF图2RE O NH P MQDxy昌平区2010-2011学年第二学期初三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 2011.5一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABCBADA二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9 1011 12x ≠1049≠≤m m 且260°，2180n n-⋅（）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13.解:原式= 21332+-+……………………………………4分= 133+ ……………………………………5分14. 解： x -4x +2≤-4,x ≥2……………………………………2分 1+3x ＞2xx >-1……………………………………2分∴不等式组的解集为：x ≥2……………………………………5分 15. 已知220x x -+=，求（2414x +-）⋅（x +2）的值解： （2414x +-）⋅（x +2）=244(2)(2)x x x -++-⋅（x +2） ………………………2分=22xx - …………………………3分∵ 220x x -+=，∴22x x =-. ………………………4分∴ 原式=1． …………………………5分16．证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°,∴EC =CD ,AC =CB ， …………………………2分 ∠ACB-∠ACD =∠ECD-∠ACD .∴∠ACE =∠BCD . ………………………………………3分 ∴△ACE ≌△BCD . ………………………………4分E DCBA∴AE=BD ．………………………………5分17.解：(1)设直线l 1的解析式为：y =kx +b (k ≠0) ． ……………………………………1分∵直线l 1经过点A (-1,0)与点B (2,3), ∴⎩⎨⎧+==+bk b k 230- ……………………………………1分解之得 ⎩⎨⎧==11b k∴直线1l 的解析式为：y =x +1…………………………………… 3分(2) ∵(23)B ，,(0)P m ，,APB △的面积为3, ∴AP =2. ……………………………………4分∴P (1,0)或P （-3,0）∴m =1或-3. ……………………………………5分18.解: 设每天应比原计划多加工x 件衣服． …………………………………1分 据题意，得 72072448058x -=+． (3)分解这个方程，得 x =24． ……………………………………………………4分经检验，x =24是所列方程的解，且符合题意．答：每天应比原计划多加工24件衣服． ………………………5分四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）19．解：过点C 作CP ∥BD 交AB 的延长线于P . …………… 1分 ∵DC ∥AB ，∴四边形BPCD 是平行四边形. ∴ DB ∥CP , DC =BP . ∵AB =2DC ，设DC =x ， ∴BP =x ,AB =2x . ∴AP =3x .∵EF ∥BD ，CP ∥BD ， ∴EF ∥CP .又∵点H 为AC 的中点， ∴12A E A H A PA C==.∴AE =21AP =32x .PHO FED C BA∴33224xAEAB x ==. …………… 3分 ∵EF ∥BD ， ∴BD EF AB AE =.∵BD =4， ∴344E F =.∴EF =3. …………………5分 20.（1）∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA .∴∠COB =2∠OCA .∵2COB PCB =∠∠∴∠OCA =∠PCB ．………………………1分∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB =90°,∴∠OCA +∠OCB =90°．∴∠PCB +∠OCB =90°．∴∠PCO =90°, ………………………2分∵点C 在⊙O 上，∴PC 是⊙O 的切线. ………………………3分 (2) 连结BM ．∵M 是⊙O 下半圆弧中点 ∴ 弧AM =弧BM , ∴AM=BM ．∵AB 是⊙O 直径， ∴∠AMB =90°.∴∠BAM=∠ABM =45° ∵AC =PC ,∴∠OAC =∠P =∠OCA =∠PCB . ∵OC =OB ,∴∠OBC =∠OCB =2∠PCB . ∵∠PCO =90°,∴∠PCB =∠P =∠OAC =∠OCA =30°. ∠OBC =∠OCB =60 °. ∵PB =3， ∴BC =3,∴AB =6. ……………………………4分 在R t △ABM 中, ∠AMB =90°,根据勾股定理，得AM =23 . ……………………………5分N MO PCB A21． (1)100°. ………………… 1分(2) 如图. …………………… 3分（3）85.5，80． ……………… 5分22．解：（1）AB=2米， AC=3米. （2）A 点的路径如图中的粗线所示，路径长为（433π+）米.五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）23.解：（1）21. ……………………2分（2）如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ． ……………3分∴∠DEC =90 °. 设PB =x . ∵BC =3， ∴PC =3-x . ∵PD ∥AB ， ∴P CD C B CA C=. ∴323D Cx -=.∴2(3)3x D C -=.在R t △DEC 中, ∠DEC =90°, ∠C =α,∴DE =2(3)sin 3x α-⋅. ……………………4分∴S △BDP =12B P D E ⋅⋅=2sin sin 3x x αα⋅-+⋅. ……………………5分∵α为任意锐角, ∴0＜sin a ＜1. ∴03sin <-a .∴当x =sin 3sin 22()3αα-=⋅-时，S △BDP 有最大值．即P 在BC 中点时，△BDP 的面积最大．……………………6分300250 150 10050 200 0115 60260 40人数年级七年级 八年级 九年级61－70分 71－80分 81－90分 91－100分 预赛成绩统计图50200 180185 250 300100200E图2ABP CDB 2A 2C 2C 1A 1ABCm24. （1）45°；…………………… 2分 （2）答：不会变化.证明：如图２，过点F 作F Ｍ∥ED 交CD 于Ｍ,连接G Ｍ. ∵ 正方形ABCD 中，AB ∥CD ,∴ 四边形EFMD 为平行四边形. ……………3分∴EF =DM ， DE =FM .∴∠3=∠4，∠EHF =∠HFM=α. ∵EF =25CD ，GD =25AE ，∴52==AE GD CD EF .∴D M G D ADAE=∵∠A =∠GDM=90°,∴△DGM ∽△AED. ……………………5分 ∴,52=DE GM ∠1=∠2 ∴.52=FMGM∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4. ∴∠1+∠4=90°． ∴∠GMF=90°． 在R t △GFM 中, tan α = 52=FMGM ． ……………………7分∴α = arc tan52.……………………8分25.解：(1)D (6,3),n =2. ……………………2分 (2) 设直线OM 的解析式为y =kx , k ≠0.∵M (3,3)在直线OM 上， ∴y =x .即直线OM 的解析式为：y =x .∵x x y 2412+-=的顶点坐标为（4,4），∴抛物线C 的顶点在直线OM 上． ……………………4分（3）∵点E 在OM 上， 当x =m 时，y=m ， ∵PE ⊥x 轴， ∴EP =m .∴S =OM N OEH S S ∆∆-=239m -. ……………………6分图1yxDEM P HNO4321MHFGE DCB A图29 4,3≤m＜4．…………8分(4) m取值范围：m=33,m=。