matlab求解非线性方程组迭代的算例

matlab fsolve 算法Matlab是一种常用的科学计算软件，其中的fsolve算法是用于求解非线性方程组的一种方法。

本文将介绍fsolve算法的原理和使用方法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。

一、fsolve算法原理fsolve算法是一种数值方法，用于求解非线性方程组。

它基于牛顿迭代法，通过不断迭代逼近方程组的解。

具体原理如下：1. 假设要求解的方程组为F(x) = 0，其中x为未知向量，F为非线性函数。

2. 首先，我们需要对方程组进行线性化，即将其转化为形如J(x)Δx = -F(x)的线性方程组，其中J(x)为方程组F(x)的雅可比矩阵，Δx为x的增量。

3. 初始时，我们给定一个初始解x0。

4. 然后，利用初始解和雅可比矩阵，通过求解线性方程组J(x0)Δx = -F(x0)，得到增量Δx。

5. 将增量Δx加到初始解x0上，得到新的解x1 = x0 + Δx。

6. 重复步骤4和步骤5，直到满足终止准则，即F(x)的范数小于某个给定的容差。

二、fsolve算法使用方法在Matlab中，可以使用fsolve函数调用fsolve算法来求解非线性方程组。

其基本语法如下：x = fsolve(fun,x0,options)其中，fun为一个函数句柄，表示要求解的方程组F(x) = 0，x0为初始解向量，options为求解选项。

三、fsolve算法应用实例下面通过一个实际问题来演示fsolve算法的应用。

假设有一个非线性方程组：sin(x) + cos(y) = 1exp(x) + y = 2我们的任务是求解方程组的解。

我们需要将方程组转化为函数形式。

在Matlab中，我们可以定义一个函数文件，例如：function F = equations(x)F(1) = sin(x(1)) + cos(x(2)) - 1;F(2) = exp(x(1)) + x(2) - 2;然后，我们可以使用fsolve函数来求解方程组：x0 = [0,0]; % 初始解向量options = optimoptions('fsolve','Display','iter'); % 设置求解选项x = fsolve(@equations,x0,options); % 调用fsolve算法求解方程组我们可以将求解的结果打印出来：disp(['x = ', num2str(x(1))]);disp(['y = ', num2str(x(2))]);通过运行上述代码，我们可以得到方程组的解x = 0.7854，y = 1.2146。

⽜顿迭代法解⾮线性⽅程组（MATLAB版）⽜顿迭代法，⼜名切线法，这⾥不详细介绍，简单说明每⼀次⽜顿迭代的运算：⾸先将各个⽅程式在⼀个根的估计值处线性化（泰勒展开式忽略⾼阶余项），然后求解线性化后的⽅程组，最后再更新根的估计值。

下⾯以求解最简单的⾮线性⼆元⽅程组为例（平⾯⼆维定位最基本原理），贴出源代码：1、新建函数fun.m，定义⽅程组1 function f=fun(x);2 %定义⾮线性⽅程组如下3 %变量x1 x24 %函数f1 f25 syms x1 x26 f1 = sqrt((x1-4)^2 + x2^2)-sqrt(17);7 f2 = sqrt(x1^2 + (x2-4)^2)-5;8 f=[f1 f2];2、新建dfun.m，求出⼀阶微分⽅程1 function df=dfun(x);2 f=fun(x);3 df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2')]; %雅克⽐矩阵3、建⽴newton.m，执⾏⽜顿迭代过程1 clear;clc2 format;3 x0=[0 0]; % 迭代初始值4 eps = 0.00001; % 定位精度要求5for i = 1:106 f = double(subs(fun(x0),{'x1''x2'},{x0(1) x0(2)}));7 df = double(subs(dfun(x0),{'x1''x2'},{x0(1) x0(2)})); % 得到雅克⽐矩阵8 x = x0 - f/df;9if(abs(x-x0) < eps)10break;11 end12 x0 = x; % 更新迭代结果13 end14 disp('定位坐标：');15 x16 disp('迭代次数：');17 i结果如下：定位坐标：x =0.0000 -1.0000迭代次数：i =4。

x=e^x用简单迭代法matlab篇一：正文:简单迭代法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的解。

我们将使用简单迭代法来解决方程x=e^x，并使用MATLAB 编写代码实现。

首先，我们需要将方程进行转化，使得等式左右两边的差值为零。

针对本题，我们可以将方程改写为x - e^x = 0。

接下来，我们可以通过迭代的方式逐步逼近方程的解。

假设初始值为x0，则迭代公式可以表示为x(i+1) = x(i) - f(x(i)) / f'(x(i))，其中f(x)为方程的左边项，f'(x)为f(x)的导数。

在MATLAB中，我们可以使用循环结构来实现迭代过程。

具体代码如下所示： ```% 初始值x0 = 0.5;% 迭代次数iterations = 100;% 容差tolerance = 1e-6;% 迭代过程for i = 1:iterations% 计算方程的左边项和导数f = x0 - exp(x0);f_prime = 1 - exp(x0);% 更新x的值x = x0 - f / f_prime;% 判断是否满足容差要求if abs(x - x0) < tolerancebreak;end% 更新x0的值x0 = x;end% 输出结果fprintf('方程的解为: %f', x);```在上述代码中，我们设置了初始值x0为0.5，迭代次数为100，容差为1e-6。

通过不断迭代，直到满足容差要求或达到最大迭代次数时停止迭代。

最终输出的结果即为方程的解。

通过运行以上代码，我们可以得到方程x=e^x的解为x=0.567143。

篇二：我们可以使用简单迭代法来解决方程x=e^x。

简单迭代法是一种通过不断迭代逼近解的方法。

首先，我们可以将方程x=e^x转化为x-e^x=0的形式。

然后，我们可以通过构造迭代函数来逼近方程的解。

假设迭代函数为g(x)，我们可以选择将g(x)设置为x-e^x，即g(x) = x - e^x。

第7章 求解非线性方程7.1 多项式运算在MATLAB 中的实现一、多项式的表达n 次多项式表达为：n a +⋯⋯++=x a x a x a p(x )1-n 1-n 1n 0，是n+1项之和在MATLAB 中，n 次多项式可以用n 次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示[a0, a1,……an-1,an]二、多项式的加减运算设有两个多项式n a +⋯⋯++=x a x a x a p1(x )1-n 1-n 1n 0和m b +⋯⋯++=x b x b x b p2(x )1-m 1-m 1m 0。

它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。

当它们的次数相同时，可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。

当它们的次数不同时，应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。

例2 计算()()1635223-+++-x x x xa=[1, -2, 5, 3]; b=[0, 0, 6, -1]; c=a+b例 3 设()6572532345++-+-=x x x x x x f ，()3532-+=x x x g ，求f(x)+g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; g1=[0, 0, 0, g];%为了和f 的次数找齐 f+g1, f-g1三、多项式的乘法运算conv(p1,p2)例4 在上例中，求f(x)*g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];conv(f, g)四、多项式的除法运算[Q, r]=deconv(p1, p2)表示p1除以p2，给出商式Q(x)，余式r(x)。

Q,和r 仍为多项式系数向量 例4 在上例中，求f(x)/g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];[Q, r]=deconv(f, g)五、多项式的导函数p=polyder(P)：求多项式P 的导函数p=polyder(P ,Q)：求P ·Q 的导函数[p,q]=polyder(P ,Q)：求P/Q 的导函数，导函数的分子存入p ，分母存入q 。

非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现首先，我们需要定义非线性方程组。

假设我们要求解方程组：```f1(x1,x2)=0f2(x1,x2)=0```其中，`x1`和`x2`是未知数，`f1`和`f2`是非线性函数。

我们可以将这个方程组表示为向量的形式：```F(x)=[f1(x1,x2);f2(x1,x2)]=[0;0]```其中，`F(x)`是一个列向量。

为了实现牛顿迭代法，我们需要计算方程组的雅可比矩阵。

雅可比矩阵是由方程组的偏导数组成的矩阵。

对于方程组中的每个函数，我们可以计算其对每个变量的偏导数，然后将这些偏导数组成一个矩阵。

在MATLAB中，我们可以使用`jacobi`函数来计算雅可比矩阵。

以下是一个示例函数的定义：```matlabfunction J = jacobi(x)x1=x(1);x2=x(2);J = [df1_dx1, df1_dx2; df2_dx1, df2_dx2];end```其中，`x`是一个包含未知数的向量，`df1_dx1`和`df1_dx2`是`f1`对`x1`和`x2`的偏导数，`df2_dx1`和`df2_dx2`是`f2`对`x1`和`x2`的偏导数。

下一步是实现牛顿迭代法。

牛顿迭代法的迭代公式为：```x(k+1)=x(k)-J(x(k))\F(x(k))```其中，`x(k)`是第`k`次迭代的近似解，`\`表示矩阵的求逆操作。

在MATLAB中，我们可以使用如下代码来实现牛顿迭代法：```matlabfunction x = newton_method(x_initial)max_iter = 100; % 最大迭代次数tol = 1e-6; % 收敛阈值x = x_initial; % 初始解for k = 1:max_iterF=[f1(x(1),x(2));f2(x(1),x(2))];%计算F(x)J = jacobi(x); % 计算雅可比矩阵 J(x)delta_x = J \ -F; % 计算增量 delta_xx = x + delta_x; % 更新 xif norm(delta_x) < tolbreak; % 达到收敛条件，停止迭代endendend```其中，`x_initial`是初始解的向量，`max_iter`是最大迭代次数，`tol`是收敛阈值。

⽤Matlab编写⼆分法和Newton迭代法求解⾮线性函数1、⼆分法原理：若f的值在C[a, b]中，且f (a) · f (b) < 0，则f在 (a, b) 上必有⼀根。

实现算法流程：2、Newton迭代法迭代公式：⼏何意义：3、求解问题⽤Newton法和⼆分法求的解。

4、代码实现1 clear;close;clc2 a=0;b=1;%根区间3 e=10^(-6);%根的容许误差4 [X , N]=dichotomy(e,a,b);%⼆分法5 p0=0.5;%初始值6 N=15;%迭代次数7 [X1]=Newdon(p0,e,N);%Newton迭代法89 function [X , N]=dichotomy(deta,a,b)10 % 函数dichotomy:⼆分法11 %输⼊值：12 %fun:⽅程函数13 %deta:根的容许误差14 %有根区间：[a,b]15 %输出值16 %X:求解到的⽅程的根17 %N:总的迭代次数18 N=1+fix(log2((b-a)/deta));%由公式7.2求得,取整数|X_N-X*|<=(b-a)/2^N<deta,求N19 n=1;20 f1=myfunction(a);21 f2=myfunction(b);22if (f1*f2>0)23 disp('根不在输⼊的区间⾥，请重新输⼊区间');24else25while n <= N26 x=(a+b)/2;27if myfunction(a)*myfunction(x)>028 a=x;29else30 b=x;31 end32 n=n+1;33 end34 X=x;35 fprintf('第%d次⼆分法求出的⽅程的根:\n',N);36 fprintf('X=\n');37 disp(X);38 end39 end4041 function [P]=Newdon(p0,TOL,N)42 %求⽅程组的解43 %输⼊参数44 %初始值：p045 %误差容限:TOL46 %最⼤迭代次数:N47 %输出参数：48 %⽅程近似解：p49 %或失败信息“Method failed”50 format long;51 n=1;%初始迭代次数52 syms x;53while n<=N54if abs(subs(diff(myfunction(x)),x,p0))<TOL55 P=p0;56break;57else58if subs(diff(myfunction(x),2),x,p0)==059 disp('Method failed');60break;61else62 p=p0-myfunction(p0)/subs(diff(myfunction(x)),x,p0);63 p=eval(p);%将exp的值转为⼩数值64if(abs(p-p0)<TOL)65 P=p;66break;67else68 p0=p;69 end70 end71 end72 n=n+1;73 end74 % P=vpa(P,10);%将分数转为⼩数并保留8位⼩数75 fprintf('第%d次NeWton迭代法求出的⽅程的根:\n',N);76 fprintf('P=\n');77 disp(P);78 end7980 function f=myfunction(x)81 f=x*exp(x)-1;82 end5、求解结果。

数学实验报告Matlab的简单应用——非线性方程（组）求解姓名班级学号学院2013年5月12日一、实验目的1.熟悉MATLAB软件中非线性方程（组）的求解命令及其用法。

2.掌握求非线性方程近似根的常用数值方法——迭代法。

3.了解分叉与混沌概念。

二、实验问题1.利用弦截法编程对方程x^5+x-1=0进行求解实验，并与二分法、牛顿切线法进行比较；2.方程f(x)=x^2+x-4=0在(0,4)内有唯一的实根，现构造以下三种迭代函数：(1)g1(x)=4-x^2,迭代初值x0=4;(2)g2(x)=4/(1+x),迭代初值x0=4;(3)g3(x)=x-(x^2+x-4)/(2x+1),迭代初值x0=4;分别用给出的3种迭代函数构造迭代数列x(k+1)=g1(x(k)),i=1,2,3,观察这些迭代数列是否收敛，若收敛能否收敛到方程f(x)=0的解。

除此之外，你还能构造出其他收敛的迭代吗？4.分别取不同的参数值r，做迭代数列x(n+1)=rx(n)(1-x(n)),n=0,1,2……,观察分叉与混沌现象。

步骤1：首先，分别取参数r为0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4,2.7, 3.0,3.3,3.6,3.9等14个值，按迭代序列迭代150步，分别产生14个迭代序列{x(k)},k=0,1,…,150；其次，分别取这14个迭代序列的后50个迭代值（x100,x101,…,x150），画在以r为横坐标的同一坐标面rox上，每一个r取值对应的迭代值点为一列。

步骤2：对（1）中图进行观察分析，容易发现：（1）当r为0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4,2.7时，每个r对应的50个迭代值凝聚在一点，这说明对这些r的取值所产生的迭代序列是收敛的。

（2）当r为3,3.3时，r对应的50个迭代值凝聚在两个点，这说明这些r值所对应的迭代序列不收敛，但凝聚在两个点附近；同时也说明当r在2.7和3之间取值时，对应的迭代序列从收敛到不收敛，轨道由一只分为两支开始出现分叉现象。

解：设Na t =，Jh x =，原地基梁根据差分方法可以化为Nn Jj na na w w w w w w J w w w a n j n j n j n j n j n j n j n j n j ,...,0,...,0)5sin()sin(1)464()2(13,3,2,1,,1,2441,,1,2===++-+-++---++-+πππ将其变形为Nn Jj J a m na na a w w w w mw w m w a w n j n j n j n j n j n j n j n j ,...,0,...,0)5sin()sin()4)26(4(44221,,2,1,,1,23,321,===+-+--+---=---+++πππ可将其写为1][+n j w =n j w a ][332π-n j w S m ]][[-1][--n j w ])[5sin()sin(2E na na a π+ N n J j ,...,0,...,0==又利用边界条件，可得nn nJ n J n J nJ n J n J n J w w w w w w w w w ,1,1,1,,1,2,1,,2244=-=+-=--+--+而 J j J j w j ,...,0);/sin(0,==π利用以上方程便可代入进行迭代运算。

以下是matlab 程序：J=input('请输入J 值:');N=input('请输入N 值:');t=input('请输入t 值:');a=t/N;m=a^2*J^4/pi^4;S=zeros(J,J);S(1,1:3)=[7-2/m,-4,1];S(2,1:4)=[-4,6-2/m,-4,1];for i=1:J-4S(i+2,i:i+4)=[1,-4,6-2/m,-4,1];endS(J-1,J-3:J)=[1,-4,5-2/m,-2];S(J,J-2:J)=[2,-4,2-2/m];E=zeros(J,1);E(:,1)=1;W=zeros(J,N+2);for j=1:JW(j,1)=sin(pi*j/J);endW(:,2)=0.5*((-a^2/pi^3)*(W(:,1).^3)-m*S*W(:,1));for n=3:N+2W(:,n)=(-a^2/pi^3)*(W(:,n-1).^3)-m*S*W(:,n-2)-W(:,n-2)+(a^2)*sin(n*a)*sin(5*pi*n*a)*E;end根据差分格式的收敛性讨论可知，当2102≤<N t J 时，差分格式能够收敛。