任意角的概念与弧度制教案

《任意角和弧度制》导学案一、学习目标1、理解任意角的概念，包括正角、负角和零角。

2、掌握象限角的概念，能够判断给定角所在的象限。

3、理解终边相同角的概念，会用集合表示终边相同的角。

4、理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算。

5、能够熟练运用弧度制进行角度的计算和表示。

二、学习重点1、任意角、象限角和终边相同角的概念。

2、弧度制与角度制的换算。

三、学习难点1、对任意角概念的理解，特别是负角和零角。

2、终边相同角的表示。

3、弧度制的理解和应用。

四、知识回顾在初中，我们已经学习了角的概念，角可以看成是由平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

我们所学的角的范围通常是在\（0^｛＼circ}＼）到\（360^｛＼circ}＼）之间。

五、新课导入思考：在生活中，我们经常会遇到超出\（0^｛＼circ}＼）到\（360^｛＼circ}＼）范围的角，比如体操运动员转体\（720^｛＼circ}＼），钟表的指针旋转了\（－120^｛＼circ}＼）等。

那么，如何更广泛地定义角呢？六、任意角的概念1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2、正角、负角和零角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、角的表示：角\（＼alpha\）可以记为“角\（＼alpha\）”或“＼（＼angle\alpha\）”，也可以简记为“＼（＼alpha\）”。

4、象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与\（x\）轴的非负半轴重合。

那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

七、终边相同角的概念所有与角\（＼alpha\）终边相同的角（包括角\（＼alpha\）），均可表示为：＼（＼beta ＝＼alpha ＋ k\cdot 360^｛＼circ}＼），＼（k＼in Z\）。

【教学过程】
来
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．
运用知识强化练习
练习7-1
．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：
终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
写出终边在y轴上的角的集合．
轴正半轴上；当
【教学过程】
若圆的半径为r ，圆心角∠AOB 所对的圆弧长为的大小就是 2r r
弧度弧度．
：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． 由定义知道，角α的弧度数的绝对值等于圆弧长的比，即 l r
α=（）
． 半径为r 的圆的周长为，故周角的弧度数为 2π(rad)2π(rad)r
r
=
由此得到两种单位制之间的换算关系：
360°=2πrad ，即180°=πrad ．
1°=π(rad)0.01745rad ≈
378︒。

教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。

2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。

二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。

●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。

●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。

●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。

2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。

●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。

●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。

3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。

●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。

●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。

4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。

《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》1.1 《任意角和弧度制》教案【教学目的】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，推断象限角，掌握终边一样角的集合的书写.3.理解弧度制，能进展弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进展简单应用.对弧长公式只要求理解，会进展简单应用，不必在应用方面加深.5.理解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、处理征询题. 【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出征询题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的征询题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，构成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”能够简记为?．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转构成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转构成的角叫做负角；零角：假设一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，那么（1）象限角：假设角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.由于x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边一样的角的集合：由特别角30看出：所有与30角终边一样的角，连同30角本身在内，都能够写成30?k?360??????k?Z?的方式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边一样.从而得出一般规律：所有与角?终边一样的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边一样的角，都能够表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边一样的角不一定相等，相等的角终边一定一样.例1在0与360范围内，找出与以下各角终边一样的角，并推断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，因而，与?120角终边一样的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，因而，与640角终边一样的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????因而，?95012?角终边一样的角是12948?角，它是第二象限角.??例2 假设??k?360??1575?,k?Z，试推断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边一样，因而，?在第三象限.?例3 写出以下各边一样的角的集合S，并把S中适宜不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?ZS中适宜?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边一样的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合确实是夹在这两个终边一样的角中间的角的集合，我们表示为：?????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??因而，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．??二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴1?=?180rad?0.01745rad.??180 1rad?57.30?5718.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r180lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S?留意几点：1．今后在详细运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”能够省略，如：3表示3rad ，sin?表示?rad角的正弦；2．一些特别角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推行之后，不管用角度制仍然弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把以下各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1)/71? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）? 18720?；(3)?. 63例7 把以下各角从弧度化为度：（1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把以下各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：由于2R+2R=8,因而R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵敏运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。

1.1任意角和弧度制教学设计教案第一篇：1.1 任意角和弧度制教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.3.教学用具多媒体4.标签任意角教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。

任意角和弧度制教案教案标题：任意角和弧度制教案教案目标：1. 了解任意角的概念，能够在坐标系中表示和定位任意角。

2. 理解弧度制的概念，能够在弧度制和度数制之间进行转换。

3. 掌握任意角的三角函数值的计算方法。

教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、笔记本电脑、教学PPT等。

2. 学生准备：纸和铅笔。

教学过程：Step 1: 引入1. 教师通过展示一张钟表图，引导学生思考角度的概念。

提问：你们平时见过哪些角度的度量方式？2. 学生回答后，教师解释度数制的概念，并引出本节课学习的内容：任意角和弧度制。

Step 2: 任意角的表示和定位1. 教师通过示意图和坐标系，解释任意角的表示方法。

提醒学生注意正角、负角和零角的特点。

2. 学生跟随教师的指导，在纸上练习绘制不同角度的示意图，并用坐标系表示和定位这些角。

Step 3: 弧度制的介绍和转换1. 教师给出弧度制的定义：1弧度是半径等于1的圆的弧所对应的角。

2. 教师通过示意图和实际物体（如一根铁丝弯成的圆弧），展示弧度制的概念和计算方法。

3. 教师引导学生进行度数制和弧度制之间的转换练习，提供一些常见的转换例题。

Step 4: 任意角的三角函数值的计算1. 教师复习正弦、余弦和正切的定义，并介绍任意角的三角函数值的计算方法。

2. 教师通过示例演示三角函数值的计算步骤，引导学生进行练习。

Step 5: 拓展应用1. 教师提供一些与任意角和弧度制相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。

2. 学生个别或小组合作完成拓展应用题。

Step 6: 总结和归纳1. 教师带领学生总结本节课所学内容，并强调重点和难点。

2. 学生将所学知识进行整理和归纳，完成课堂笔记。

Step 7: 作业布置1. 教师布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。

2. 学生完成作业，以便巩固所学知识。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。

2. 教师检查学生完成的课堂练习和作业，评估学生的掌握情况。

任意角的概念与弧度制教案数学课程第7章第7.1.1节任意角的概念知识目标：1.了解角的概念推广的实际背景意义；2.理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。

教学备品：教学课件、研究演示用具（两个硬纸条一个扣钉）。

授课班级：海乘1601/轮机1601授课时间：10周授课方法：讲授法教学目的能力目标：1.能够判断角所在的象限；2.能够求指定范围内与已知角终边相同的角；3.培养观察能力和计算技能。

教学重点：终边相同角的概念。

教学难点：终边相同角的表示和确定。

教学过程】1.揭示课题：任意角的概念与弧度制。

2.创设情景兴趣导入：问题1：游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，___与___两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，___下了摩天轮，___继续乘坐一圈。

那么，___走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2：用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转10周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角。

如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角。

通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广。

3.动脑思考探索新知：任意角的概念：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α。

旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点。

4.讲解关键点：任意角的概念推广的实际背景意义，以及任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。

5.结合图形讲解角的图形，并可以加入学生的举例。

6.练和讨论深化、巩固知识，培养能力。

7.反思交流中，总结知识，品味研究方法。

动轴转动，主动轴每分钟转速为1800转，从动轴每分钟转速为1200转，试求主动轴和从动轴之间的转速比。

1、1任意角和弧度制一、教材说明：本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节二、三维目标（一）知识与技能（1）了解正、负角与零角的相关定义;（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合;（3）了解弧度制；（二）过程与方法（1）培养学生数型转化的思想；（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三;（3）培养学生思维的抽象与具体转化的过程；（三）情感态度与价值观（1）增强学生观察生活中事物的规律能力;（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；三、教学重难点（一）重点（1）根据图形写出任意角度数；（2）根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；（二）难点根据终边写角的集合（三）教学设计（1）情境设计（2）教学过程（3）给出相关定义（4）举出例题，深化正负角定义（5）提出要点（6）提出关于终边相同，写出所有角所在集合（7）通过练习（教师引导，并作为主体练习），能够独立进行习题练习（8）学生自主练习、教师个别指导、师生互动（9）习题讲解（10）归纳总结（11）引出下堂课知识点：弧度制（12）布置作业四、教学过程（一）创设情境（1）墙上挂钟，在某段时间内,指针转过角度；（2）当手表不准时,我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？方向如何？（二）揭示课题(1）1、1任意角和弧度制（2）1、1、1任意角（三）复习旧知识顺时针、逆时针（四）给出例题（1）当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度?（2）指针由“6”又调回到“12”是,转过角度如何?方向又怎样呢？（五）给出正角、负角定义（1）正角:逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（六）注意要点如果一条射线没有做任何旋转,则称它为零角。

（七）复习旧知识(1）0°—180°内所有角（2）周角（3）平角的整数倍所有角（八）新知识（1）任意角的表示方法;（2）判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同.（九）给出任意角及象限角概念注意角的终边在轴上不叫做象限角。

任意角和弧度制的教学设计5.1任意角和弧度制【考点梳理】大重点一：任意角考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．大重点二：弧度制考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad 2πrad＝360°180°＝πrad πrad＝180°1°＝π180 rad≈0.017 45 rad1 rad＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2.课堂练习：P21，第1，2题作业：P22 第3题。