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高数下册第七章微分方程习题课

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高等数学课件--D7习题课(2)

高等数学课件--D7习题课(2)
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
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y
dx dy

d x dy
y
2
2
( y ) 0
2
dx dy
2

d x dy
2
2

( y )

y ( y )
3
代入原微分方程得
y y sin x
①
x
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 e C2 e
d x dx
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为

高数下册 第七章 第六、七节 高阶微分方程

高数下册 第七章 第六、七节 高阶微分方程
两端积分得
利用 y
t 0
y l y y l arccos l l , 得 C 2 0, 因此有
2
13
d2 y kmM m 2 , 2 dt y
y l
R
o
由于 y = R 时 由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
y R
1 l ( l R R 2 l arccos R 2g
d x
C1 x C 2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
2
例1.
解: y e 2 x cos x d x C1
1 2x e sin x C1 2 1 2 x cos x C x C y e 1 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 8
1 p2 1 e 2 y C 1 2 2 利用初始条件, 得 C1 0, 根据 p y 0 y x 0 1 0, 得 dy p ey dx 积分得 e y x C 2 , 再由 y x 0 0, 得 C 2 1
积分得 故所求特解为
a n 1 ( x ) y a n ( x ) y f ( x )
f ( x ) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x ) 0 时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P ( x ) y Q( x ) P ( x )d x P ( x )d x P ( x )d x d x e 通解: y C e Q( x ) e 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度

高数下册第七章微分方程一、二、三节

高数下册第七章微分方程一、二、三节

Xxyy
x y y x ,即 yy2x0 思考与练习 P263 (习题12-1)
Qo
P xx
1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6
8
例3. 已知函数 y x 是微分方程 y y ( x )
ln x
xy
A 的解,
则
(
x y
)
的表达式为（
）
(A)
y2 x2
当G(y) 与F(x) 可微且 G (y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝ (x) 是①的解.同样,当F (x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝ (y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
11
例1. 求微分方程 d y 3 x2 y 的通解. dx
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
10
分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的 则有恒等式
解, g (( x ) ( ) x ) d x f ( x ) d x
两边积分, 得 g(y)dyf(x)dx
则有
G( y)
F(x)
G (y)F (x )C ②
f( x ) 1 2 ( 1 x 2 ) [ l n ( 1 x 2 ) 1 ]
13
例3. 求下述微分方程的通解: ysi2(n xy1 )
解: 令 uxy1,则 u1y
故有
1u si2u n
即
se2cududx
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ) ( x C ( C 为任意常数 )

高等数学 第七章 第八节 常系数非齐次线性微分方程习题课

高等数学 第七章 第八节 常系数非齐次线性微分方程习题课

0
+
C2
cos
0
+
1 2
e0
1 = 1 C1 = 2
=
1
C2
=
1 2
f ( x) = 1 cos x + 1 sin x + 1 ex
2
2
2
第七章 第八节
7
对于 y + y − 2 y = 6xex (1)
设 (1) 的特解为：y1 = x( Ax + B)e x
A
=
1,
B
=
−
2 3
y1
=
x( x
−
2)e x 3
对于 y + y − 2 y = −4x (2)
设 (2) 的特解为：y2 = Cx + D 叠加原理
C = 2 , D = 1 y2 = 2x + 1
第七章 第八节
4
Q( x) + (2 + p)Q( x) + (2 + p + q)Q( x) = Pm ( x) y = Q( x)eλx = xkQm ( x)e λx
3 求 y + y − 2 y = x(6ex − 4)的通解。
解 特征方程 r2 + r − 2 = 0
特征根 r1 = −2 , r2 = 1
A
=
3 2
y = x( 3 x − 3)e− x
B = −3
2
原方程通解为
y
=
C1e−
x
+
C2e−2 x
+
x(
3 2
x
−
3)e− x
第七章 第八节

高数下册_第七章_微分方程习题课_(一)(二)

高数下册_第七章_微分方程习题课_(一)(二)


即
( 欧拉方程 )
26
解初值问题:
则原方程化为
通解: 利用初始条件得特解:
12
练习题: P326 题1，2(1)，3(1), (2), (3), (4), (5), (9),
(10)
(题3只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以 为通解的微分方程. 2 2 (xC) y 1 消去 C 得 提示: 2 ( x C ) 2 y y 0 P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中
dp f ( x , p) dx
21
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 代数法 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程 2 x y p x y q y f ( x ) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (e t )
练习题: P327 题 2
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
4
例1. 求下列方程的通解
1 y x (1) y 2 e 0; y 1 ( 3 ) y 2 ; 2x y
3
2 2 ( 2) x y x y y ;
思考
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y * A cos 2 x B sin 2 x D
24
2 y a y 0 P327 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C 2 . 再解 dx 1 a x

同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程

同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程

1 1 = [ ∫ sin xd x + C ] = [C − cos x] x x
7
例3： 求微分方程 ( x − sin y )d y + tan yd x = 0
6 解： 上式不是一阶线性方程的形式， 若将 x 看成 y 的 dx 函数，方程可写为： + cot y ⋅ x = cos y dy 此方程为一阶线性微分方程。 用通解公式有：
即
f ′( t ) − 8π tf ( t ) = 8π te
8π ∫ tdt
4πt 2
4π t 2 −8π ∫ tdt
从而求得通解 f (t ) = e
(8π ∫ te
e
dt + c)
13
=e
4πt 2
( 4π t + c )
2
又 f (0 ) = 1 + 0 故
4πt 2
c=1
所以
f (t ) = e
代入原方程整理得：
′ + x 3 = 2 cos y 3x x
2
dz + z = 2cos y, dy
z = e −∫ d y [2 ∫ cos ye ∫ d y d y + c]
18
原方程的通解： x 3 = sin y + cos y + ce − y
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy′ + 2 xy = xe
z = y1− n , 令
化为线性方程求解. ( n −1) ∫ P ( x ) d x (1− n ) ∫ P ( x ) d x 1− n y =e dx + C ] [ (1 − n) ∫ Q( x) e 21

微分习题课ppt课件


y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
0 设 y x k e x Q m (x ), k 1
2
不是根 是单根 , 是重根
2021精选ppt
22
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) s sx i ] 型 n
x x x2
所求通解为 xycosy C. x
2021精选ppt
27
例2. 求下列方程的通解
(1)yy12ey3x 0; (3) y2x1y2 ;
(2 )xyx2y2y; (4) y36xx23y3x2yy23.
提示: (1) 因 ey3xey3ex,故为分离变量方程:
y2ey3dyexdx
通解
1ey3 ex C 3
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
2021精选ppt
2
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
2021精选ppt
3
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
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高等数学第七章微分方程习题

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1． 说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x.0)32()67()3(=++-dy y x dx y x2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2为任意常数C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：点横坐标的平方。

处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x轴平分。

被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：平方成反比。

温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1(。

速度成反比（比例系数同时阻力与，成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x2．求解下列初值问题： ;0,)1(02=='=-x y x ye y;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e平分，求这曲线方程。

高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程


x

2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y

x3

x
3e
1 x2
1
.
三、v

k1 k2
t

k1m k22
(1

k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2

C

2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y

e
P(
x)d
x

Q(
x
)
e

P
(
x
)
d
x
d
x

C

即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e

P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u

2(x
3
1)2

C
3
4
例2. 求方程
dx xy


2 y

x y3

d
y

高等数学课件D7习题课

与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 5400
提示: 设每分钟应输入 k m3, t 时刻车间空气中含 CO2
为x m3, 则在 [t , t t ]内车间内 CO2的改变量为
x k 0.04 t k x t 两端除以 t ,
100
5400
并令 t 0
得微分方程 dx k x k d t 5400 2500
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(2) y 3x2 y2 ; 2xy
(3) xy x2 y2 y ;
(4)
y
2x
1
y2
.
提示: (1) 因e y3x e y3 ex , 故为分离变量方程:
y2 ey3dy exdx
通解
1ey3 ex C 3
(2) 这是一个齐次方程 ，令 y = u x ,化为分离变量方程:
(2019考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g 2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F(x) 2F(x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F(x) e2d x 4e2xe2d xd x C e2x 4e4x d x C
e2x C e2x 将 F(0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
练习题: P353 题1，2，3 (1), (2), (3), (4), (6), (9), (10)
轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .
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令y=ut
可分离变量方程求解
9
( 4 ) y 2 ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y 2 ) d y 0 变方程为 y2xdxdy3y2(yd xx d y)0
两边乘积分因子 y2
x d x y 2 d y 3 ( y d x x d y ) 0 用凑微分法得通解:
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
2
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
3
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
(1)xyy2xy
提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : u2 u ( 2 ) x y lx n y a x ( lx n 1 )
提示: 这是一阶线性方程 , 其中
1
1
P(x) , Q(x)a(1 )
xlnx
lnx
13
(3)dy y
dx 2(lnyx)
提示:
可化为关于
x
的一阶线性方程
1 x 2 y 13xyC
2
10
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ( x ) g ( x ) g ( x , ) f ( x ) 且 f , ( 0 ) 0 , f(x)g(x)2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
通解
1ey3 exC 3Leabharlann 5(2)xyx2y2y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
x0时, y
1 y2y
xx
xu 1u2
x 0时，y 1 y2y
xx
xu1u2
(3)
y
1 2x
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx2x y2, dy
用线性方程通解公式求解 .
11
F (x ) 2 F (x ) 4 e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x ) e 2 d x 4 e 2 x e 2 d x d x C e 2x4 e4xd x C
e2xC2e x 将 F(0)f(0)g(0)0代入上 得C式 1，
于是
F (x)e2xe2x
12
dx2x2lny dy y y
(4)dyxyx3y30
dx
提示: 为贝努里方程 , 令 z y2
(5)xdxydyyd xy 2 x y2 dy0
微分倒推公式
提示: 为全微分方程 , 通解 1(x2y2)arctxan C
2
y
(9 )(y 4 3 x 2 )d y x y d x 0
提示: 可化为贝努里方程 ydx 3xy4
6
(4) y 63xx32y3x2yy32 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y x 方法 2 化为微分形式
( 6 x 3 3 x y 2 ) d x ( 3 x 2 y 2 y 3 ) d y 0
P6xyQ
y
x
故这是一个全微分方程 .
7
例2. 求下列方程的通解: ( 1 ) x y y y ( lx n ly n )
(2) 将方程改写为 dy 1 yy3 (贝努里方程) 令zy2 dx 2xlnx 2x
8
(3)y3x2y26x3 2xy2y
化方程为
dy 3(x1)2y2
dx 2y(x1)
令 t = x – 1 , 则 dydydt dy dx dt dx dt
dy 3t2 y2 (齐次方程) dt 2t y
练习题: P326 题1，2(1)，3(1), (2), (3), (4), (5), (9),
(10)
(题3只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以 (xC)2y21为通解的微分方程.
提示: 2 (( xx C C )) 2 2 yy 2y 1 0 消去 C 得 y2(y21)1
P327 题3 求下列微分方程的通解:
令 z x2
dy
x
14
(1)0 yxx2y
提示: 令 u x2yx, 即 y2xuu2,则
d y 2u2 x d u 2 u d u
dx
dx dx
原方程化为 2u2(xu)duu dx
dx 2 x 2 du u
xeu2du 2eu 2duduC
u12
2u2duC
2u2 3
C u2
故原方程通解 (x2y)3x33xyC 2
2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量
代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
4
例1. 求下列方程的通解
(1) yy12ey3x 0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2 )xyx2y2y; (4) y 63xx32y3x2yy32.
提示: (1) 因 ey3xey3ex, 故为分离变量方程: y2ey3dyexdx
(2) 求出F(x) 的表达式 .
(2019考研)
解: (1) F ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
g2(x)f2(x)
[ g (x ) f(x )2 ]2 f(x ) g (x )
(2ex)22F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
15
二、解微分方程应用问题
习题课 (一)
第七章
一阶微分方程的
解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
1
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
( 2 ) 2 x lx n d y y ( y 2 lx n 1 ) d x 0 (3)y3x2y26x3
2xy2y ( 4 ) y 2 ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y 2 ) d y 0
提示: (1) 原方程化为 (x y ) y l( n x y ) 令 u = x y , 得 du ulnu (分离变量方程) dx x