2006年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)1(含答案)

2006年全国高中数学联赛试题第一试（考试时间：上午8：00—9：20）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2B AC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1C C 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段A C 和A B 上的动点（不包括端点）. 若G D E F ⊥，则线段D F 的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。

2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ C ）【解】令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D 。

由BA ≥-，推出22222BA tBA BC t BC AC -+≥,令2BA BC t BC=，代入上式，得2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥，即 222sin BA AC α≥, 也即 sin BA AC α≥。

从而有AD AC ≥。

由此可得 2ACB π∠=。

2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为20,1210x x x x >≠⎧⎨+->⎩，解得 1,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->-32log (2)log 2x x x x x ⇒+-> 320122x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩ 解得 01x <<； 或 32122x x x x >⎧⎨+->⎩解得 1x >，所以x 的取值范围为 1, 12x x >≠且. 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为A. 20B. 25C. 30D. 42 【答】 （ C ） 【解】 50x a -≤5a x ⇒≤；60x b ->6bx ⇒>。

2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）以0B 和1B 为焦点的椭圆与△01A B B 的边i A B 交于i C （0,1i =）. 在0AB 的延长线上任取点0P ，以0B 为圆心，00B P 为半径作圆弧 00P Q 交10C B 的延长线于0Q ；以1C 为圆心，10C Q 为半径作圆弧 01Q P 交1B A 的延长线于1P ；以1B 为圆心，11B P 为半径作圆弧 11P Q 交10B C 的延长线于1Q ；以0C 为圆心，01C Q 为半径作圆弧 10Q P '，交0AB 的延长线于0P '. 试证：（1） 点0P '与点0P 重合，且圆弧 00P Q 与 01P Q 相内切于0P ； （2） 四点0011,,,P Q Q P 共圆.【证明】（1）显然0000B P B Q =，并由圆弧 00P Q 和 01Q P ， 01Q P 和 11P Q ， 11P Q 和 10Q P '分别相内切于点011,,Q P Q ，得1000C B B Q C P +=,11111001B C C P B C C Q +=+以及0100.C Q C B B P '=+ 四式相加，利用11101000B C C B B C C B +=+以及0P '在00B P 或其延长线上，有0000B P B P '=.从而可知点0P '与点0P 重合。

由于圆弧 10Q P 的圆心0C ,圆弧 00P Q 的圆心0B 以及0P 在同一直线上，所以圆弧 10Q P 和 00P Q 相内切于点0P . （2）现在分别过点0P 和1P 引上述相应相切圆弧的公切线0P T 和1P T 交于点T.又过点1Q 引相应相切圆弧的公切线11R S ，分别交0P T 和1P T 于点1R 和1S .连接01P Q 和11P Q ，得等腰三角形011P Q R 和111P Q S . 基于此，我们可由()()0110111111010101110 P Q P P Q R P Q S P P T Q P P P PT Q P P ππ∠=-∠-∠=-∠-∠-∠-∠而 011101110P Q P Q P P Q P P π-∠=∠+∠，代入上式后，即得()011100112P Q P P P TP P Tπ∠=-∠+∠.同理可得()001100112P Q P P P T P P T π∠=-∠+∠.所以四点0011,,,P Q Q P 共圆.二、（本题满分50分）已知无穷数列{}n a 满足y a x a ==10,，1111--+++=n n n n n a a a a a ,,2,1=n .1) 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数0n ，使当0n n ≥时n a 恒为常数？ 2) 求通项n a . 【解】1) 我们有2111111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -+--+--=-=++，1,2,.n = （2.1）所以，如果对某个正整数n ，有1n n a a +=，则必有 21n a =, 且 10n n a a -+≠.如果该1n =，我们得1y = 且 x y ≠-.（2.2）如果该1n >，我们有121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------+---=-=++, 2n ≥ （2.3）和121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------++++=+=++, 2.n ≥ （2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得222121212111n n nn n n n a a a a a a a ---------=⋅++, 2.n ≥ （2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或1x = 且 y x ≠-. （2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当2n ≥时，必有n a =常数，且常数是1或－1. 2）由（2.3）和（2.4），我们得到1212111111n n n n n n a a a a a a -------=⋅+++, 2.n ≥ （2.7）记11n n n a b a -=+, 则当2n ≥时，2232122322334334()()n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b ------------======由此递推，我们得到12111111n n F F n n a y x a y x --⎛⎫---⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 2,n ≥（2.8）这里12n n n F F F --=+，2n ≥, 011F F ==. （2.9）由（2.9）解得111122n n n F ++⎛⎫⎛⎫⎛+-⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. （2.10） 上式中的n 还可以向负向延伸，例如120,1F F --==.这样一来，式（2.8）对所有的0n ≥都成立.由（2.8）解得21212121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n F F F F n F F F F x y x y a x y x y --------+++--=++---, 0n ≥. （2.11）式（2.11）中的12,n n F F --由（2.10）确定.三、 （本题满分50分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-.66,20,6,2444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x 【解】 令 ,,p x z q xz =+=我们有222333444222,3,42,p x z q p x z pq p x z p q q =++=++=++-同样，令 ,,s y w t yw =+=有222333444222,3,42.s y w t s y w st s y w s t t =++=++=++-在此记号系统下，原方程组的第一个方程为2p s =+. （3.1）于是2233244344,6128,8243216,p s s p s s s p s s s s =++=+++=++++现在将上面准备的234,,p p p 和234,,s s s 的表达式代入，得2222333324422442232244,336128,42428243216,x z q y w t s x z pq y w st s s x z p q q y w s t t s s s ++=++++++=+++++++-=++-++++利用原方程组的第二至四式化简，得222223221, (3.2)244, (3.3)224121625, q t s pq st s s p q q s t t s s s =+-=++--=-+++- (3.4)将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得 1.2s t =- （3.5）将（3.5）代入（3.2），得5 2.2q s =- （3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得 2.s = 所以有 0,4, 3.t p q === 这样一来，,x z 和,y w 分别是方程2430X X -+=和220Y Y -=的两根 即3,1x z =⎧⎨=⎩ 或 1,3x z =⎧⎨=⎩且2,0y w =⎧⎨=⎩ 或 0,2.y w =⎧⎨=⎩详言之，方程组有如下四组解：3,2,1,0x y z w ====；或 3,0,1,x y z w ====；或 1,2,3,0x y z w ====；或 1,0,3,2x y z w ====.。

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，=+ii1（ ） A. i 2121+ B. i 2121+- C. i 2121- D. i 2121--2. 如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ） A. 36 B. 4 C. 2 D. 13. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x Z +=2的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 94. 设集合}20|{},30|{≤<=≤<=x x N x x M ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 将4个颜色互不相同的球全部放入编与为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 36种 D. 52种6. 设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A. βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B. n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C. n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D. ββαβα⊥⇒⊥=⋂⊥n m n m ,,7. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11N b a ∈、，设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A. 55B. 70C. 85D. 1008. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（b a 、为常数，R x a ∈≠,0）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A. 偶函数且它的图象关于点（0,π）对称B. 偶函数且它的图象关于点（0,23π）对称 C. 奇函数且它的图象关于点（0,23π）对称D. 奇函数且它的图象关于点（0,π）对称9. 函数)(x f 的定义域为开区间（b a ,），导函数)(x f '在（b a ,）内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间（b a ,）内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10. 已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2()()[()(-+=f x f x f x g 。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I 卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，=+ii1（ ） A. i 2121+ B. i 2121+- C. i 2121- D. i 2121--2. 如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）A. 36B. 4C. 2D. 13. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x Z +=2的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 94. 设集合}20|{},30|{≤<=≤<=x x N x x M ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 将4个颜色互不相同的球全部放入编与为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 36种 D. 52种6. 设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A. βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,, B. n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,// C. n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,, D. ββαβα⊥⇒⊥=⋂⊥n m n m ,,7. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11N b a ∈、，设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ） A. 55 B. 70 C. 85 D. 1008. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（b a 、为常数，R x a ∈≠,0）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A. 偶函数且它的图象关于点（0,π）对称 B. 偶函数且它的图象关于点（0,23π）对称 C. 奇函数且它的图象关于点（0,23π）对称 D. 奇函数且它的图象关于点（0,π）对称 9. 函数)(x f 的定义域为开区间（b a ,），导函数)(x f '在（b a ,）内的图像如图所示，则函数)(x f 在开区间（b a ,）内有极小值点（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 已知函数)(x f y =的图像与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图像关于直线x y =对称，记]1)2()()[()(-+=f x f x f x g 。