集合与简易逻辑16

集合与简易逻辑⼀、集合集合的概念及表⽰⽅法A.集合的相关概念集合：某些指定的对象集中在⼀起就成为⼀个集合。

构成集合的这些对象成为集合的元素。

不含任何元素的集合叫做空集，记作$ \phi $。

B.集合中元素的性质确定性:设A是⼀个给定的集合,x是某⼀个具体的对象,则x或者是集合A的元素或者不是,两种情况必须满⾜⼀种。

互异性：⼀个给定的集合中，各个元素互不相同。

⽆序性：⼀个给定的集合中，元素之间不存在排列顺序的关系。

C.集合的表⽰⽅法列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，卸载⼤括号内。

描述法：把集合中的元素的公共属性特征描述出来，写在⼤括号内。

图⽰法D.集合间的关系全集:含有我们所研究的各个集合的全部元素的集合。

⼦集：对于两个集合A与B，若A中任何⼀个元素都是集合B的元素，则集合A是B的⼀个⼦集，记作$ A \subseteq B$。

真⼦集：对于两个集合A与B，若A是B的⼦集且B中⾄少存在⼀个元素不属于集合A,则称集合A是B的真⼦集。

由n个元素组成的集合，其⼦集的个数为$ 2^n $个，真⼦集的个数为$ 2^{n-1} $个。

（其中减去的那个⼦集是是全部元素构成的。

）E.集合与元素之间的关系F.集合与元素间的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作$ a\in A $,否则$ a \notin A$集合的运算⼆、简易逻辑逻辑联结词：“或（$ \vee $）”“且（$ \wedge $）”“⾮（$ \neg$）”命题A.命题的概念可以判断真假的语句称为命题。

不含逻辑联结词的命题称为简单命题；含有的称为复合命题。

B.四种命题原命题：若p,则q。

若x>3,则x>4。

否命题：若$ \neg p$,则$\neg q$。

若x<=3,则x<=4。

逆命题：若q,则p。

若x>4,则x>3。

逆否命题：若$\neg q$,则$\neg p$。

若x<=4,则x<=3。

C.四种命题之间的相互关系原命题与其逆否命题的真假性⼀致。

知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。

【关键字】精品第一节集合1、有关集合的记号：∈，，N，N*，Z，Q，R，Z+，R-，等.2、集合分有限集与无限集.3、集合的表示法：列举法、描述法(公式描述或语言描述)、图示法.4、集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.5、子集设集合A、B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，就称集合A是集合B的子集.记为AB(或BA).6、真子集设集合A、B，如果AB,且AB(即B中含有A中不含有的元素)，则集合A叫做集合B的真子集，记为AB ；7、子集、真子集的性质：(1)AA(即任何一个集合是它本身的子集)；(2)A(其中叫做空集，即空集是任何集合的子集)；(3)A(A 不是空集，即空集为任何非空集合的真子集)；(4)传递性：若AB，且BC，则 A B(5)集合相等：AB，且BAA=B；(6)集合的子集个数公有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.8、全集在研究某一问题的过程中，所有集合都包含于某一个集合，这个集合就叫做全集（在不同的问题中，可以有不同的全集；但在确定的问题中，全集只能有一个）.9、补集记全集为U，在全集中，由所有不包含于全集U的元素组成的集合叫做全集U中集合A的补集(简称A补)，记为CUA .10、全集和补集的性质(1)AU，CUAU；(2)CU(CUA)= A，称A与CUA 互补；(3)CU= U，CUU= (与U互补)；(4)在全集U中，若CUA=B，则CUB=A，称集合A与B 互补11、交集由所有A、B中公有的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|xA，且xB}.12、并集由所有A、B中的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B={x|xA，或xB}.13、交集和并集的性质：(1)A∩A=A，A∪A=A；(2)A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；(3)A∩= ；A∪= A ；(4)A∩B A，A∩B B；A A∪B，B A∪B，A∩BA∪B；(5)若A∩B=A，则A B，反之亦然；若A∪B=A，则BA，反之亦然；(6)CU(A∩B)=CU A ∪ CUB，CU(A∪B)= CU A∩ CUB (对偶律)；(7)若将集合A的元素的个数记为card(A)，则card(A)、card(B)、card(A∩B)、card(A∪B)之间有下列关系(经研究找出结论，即容斥原理)：.练习：1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．4．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．5.设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．6．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．7．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．8．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．9．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．10．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝______11．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．第二节简易逻辑1、逻辑联结词：或、且、非，引进符号，分别为“∨、∧、﹁”.2、用逻辑联结词将简单命题组成复合命题的三种形式：p∨q、p∧q、﹁p.3原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ6(1)提出反设：针对要证结论提出反设(即要证结论的“否”)；(2)找到矛盾：从反设出发，经过推理，得出矛盾(与已知矛盾，或与已知定理、公理矛盾，或自相矛盾)，由矛盾判定假设不成立，从而肯定欲证结论的正确性.7.充分必要条件的四种形态：(1)若p⇒q，且q⇒p，则称p和q 充要条件，记为p⇔q；(2)若p⇒q，但q⇒p，则称p是q的充分不必要条件；(3)若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的必要不充分条件；(4)若p ⇒q ，且q ⇒p ，即p 、q 间无因果关系，那么p(q)既不是q(p)的充分条件，又不是q(p)的必要条件.8、证明充要条件的两种情况：要证p 是q 的充要条件(1)分开证明，两步到位：1o 证充分性(即由p ⇒q)；2o 证必要性(即由q ⇒p)；由1o 、2o 知，p 是q 的充要条件.(2)等价转化，一步到位：p ⇔s ⇔t ⇔u ⇔v ⇔…r ⇔q ，则p 是q 的充要条件.求充要条件 要求q 成立的充要条件：先由q 推出p ，从而知p 是q 的必要条件；再证充分性，即由p 推出q.综上知q 成立的充要条件是p.习题1.如果命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，那么p 、q( ) A 都是真命题 B 都是假命题C 中至少有一个假命题D 中必为一真一假2.要用反证法证明“某数是偶数，且不能被6整除”，提出的反设应是假设 ( )(A)某数是偶数，且能被6整除 (B)某数不是偶数，且能被6整除(C)某数不是偶数,且不能被6整除 (D)某数不是偶数，或能被6整除3.设p ：031>-+x x ，q ：1|1|>-x ，则﹁p 是﹁q 的 ( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件4.关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件是( )(A)1≤a (B)10≤<a (C)1<a (D)1≤a ，且0≠a5.用反证法证明“ab ≠0”所提出的反设可以是：①ab=0；②a 、b 都为0；③a 、b 中至多有一个为0；④a 、b 中至少有一个为0，其中错误的是 _____________此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

集合与简易逻辑知识点知识点内容典型题元素与集合、集合与集合的关系①、∈只能表示元素与集合的关系，而、、?、?、＝只能表示集合与集合的关系.②0、{0}、的关系是常见题型，如：数集{0}与空集的关系是（）A.{0}＝B.{0}∈C.∈{0}D.?{0}③常用数集：R、R*、R＋、R＋、Q、Z、N.（注意*、＋、＋的不同含义）④是任何集合的子集，是任何非．空．集合的真．子集.⑤n个元素的集合的真子．．集．个数为：2n－1.1.下列关系中正确的是（）A.0B.0∈C.0＝D.0≠2.已知a＝－3，A＝{x│x2＝9}，则下列关系正确的是（）A.a AB.{a}AC.{a}∈AD.a A3.下列命题为真命题的是（）A.3{3}B. 3∈{3}C.3{1，2，3}D. 3∈4.若a＝1，集合A＝{x│x＜2}，则下列关系中正确的是（）A.a AB.{a}AC.{a}∈AD.{a}A集合的运算①掌握好求交、并、补集的基本含义和方法，特别是C U A的含义.②有限元素集之间的运算，常根据定义解答，如：⑴{0，1，2}∩{0，3，5}＝.⑵{x∈N│x＜3}∩{x∈Z│0＜x＜10}＝.③无限元素集之间的运算，可用数轴法，如：设集合A＝{x│－1＜x≤2}，B＝{x│－2＜x≤1}则A∩B＝.④点集运算，常联立解方程组，如：A＝{(x，y)│x＋y＝2}，B＝{(x , y)│x－y＝1}，则A∩B＝.5.设集合A＝{x∈Z│0＜x＜4}，B＝{2,3,4,5,6}，则A∩B＝.6.已知集合A＝{x│x＞0}，B＝{x│x＝0}，则A∩B是（）A.{x│x≥0}B.{x│x＞0}C.{0}D.7.设M＝{x│2≤x≤5}，N＝{x│－1≤x≤3}，则M∪N等于 .8.设集合U＝R，A＝{x│－2＜x＜3}，则集合C U A＝.9.若全集U＝{x∈Z│x≥0}，则C U N＋＝.10.已知全集U＝N，集合A＝{x∈N│x＞10}，B＝{x∈N│x≥3}，则C U(A∪B)＝.知识点内容典型题逻辑连结词且或p q p∧q1 1 11 0 00 1 00 0 0p q p∨q1 1 11 0 10 1 10 0 011.设命题p：2＞3，q：－5是有理数，则命题p∧q的真假是.12.命题p：李明是三好学生，命题q：李明不是优秀班干部，则命题p∧q为 .逻辑连结词非蕴含p p1 00 1p q p→q1 1 11 0 00 1 10 0 113.设命题p：甲乙二人至少有一个击中目标，则p：.14.设命题p：一个实数x，使x2－3＝0，则p：.15.命题P ：一个实数x，使得2x2－2x＋1≤0，则P：.两个结论(p∧q)＝p∨q(p∨q)＝p∧q16.设命题p:他在学校，q:他在家，则(p∨q)：.充分必要条件与充要条件对命题p、q有：p→q（真），则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.若p?q（真），且q?p（真），则说p是q的充分且必要条件，简称“充要条件”，记作“p q”.p是q的充要条件，又常说q当且仅当p，或p与q等价. 例如：⑴│x│＞a的充要条件是.⑵“ab＞0”是“a＞0且b＞0”的条件.17.x＝y是x2＝xy的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件18.命题p：ab＝0，命题q：a＝0或b＝0，则p是q的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件19.x＝y是x2＝xy的条件.20.x＞0是x2＞0的条件.简易逻辑常见符号存在()、任意()、使得()、非()、且(∧)、或(∨)、若…则…(→)、推出(?)、等价()。

集合与简易逻辑知识点总结集合与简易逻辑集合是由一些指定的对象组成的集合体。

集合中的每一个对象都被称为该集合的元素。

元素与集合的关系可以表示为a∈A或a∉A。

集合常用的表示方法有列举法和描述法。

集合元素的特征包括确定性、互异性和无序性。

常用的数集及其代号有非负整数集或自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q和实数集R。

子集是指集合A的所有元素都是集合B的元素，记为A⊆B。

真子集是指A⊆B且A≠B，记为A⊂B。

空集是任何集合的子集，但是是非空集合的真子集。

如果集合A中有n个元素，则A的子集个数为2^n个，真子集个数为2^n-1个。

补集是指由集合S中不属于集合A的所有元素组成的集合，记为S的子集A的补集，即C_s A={x|x∈S且x∉A}。

全集是指包含我们所要研究的各个集合的集合，通常记作U。

交集是指由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，记作A∩B。

并集是指由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合，记作A∪B。

记住两个常见的结论：A∩B=A⇔A⊆B；A∪B=A⇔B⊆A。

命题是可以判断真假的语句。

全称命题和特称命题是两种命题形式。

全称命题使用“∀”表示，“∀x∈M，p(x)”表示“对于集合M中的任意一个元素x，p(x)成立”。

全称命题的否定使用“∃”表示，“∃x∈M，¬p(x)”表示“存在集合M中的一个元素x，使得p(x)不成立”。

特称命题和特称命题的否定使用同样的符号表示。

逻辑联结词包括“或”、“且”、“非”，不含有逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

在“或”、“且”、“非”的真值判断中，非p与p真假相反；“p且q”：同真才真，一假即假；“p或q”：同假才假，一真即真。

命题的四种形式包括原命题、逆命题、反命题和对偶命题。

原命题“若P则Q”表示如果P成立，那么Q也成立。

逆命题是一种逻辑推理关系，表述为“若q，则p”。

否命题是另一种逻辑推理关系，表述为“若非p，则非q”。

第一章 集合与简易逻辑知识要点复习一、集合：1、集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。

2、元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。

3、常用数集的记法：N 表示 、*N 表示 、Z 表示 、Q 表示 、R 表示 。

4、a 是集合A 的元素，记做 、a 不是集合A 的元素，记做 。

5、元素性质：集合的元素具有 、 、 。

6、集合的表示方法：常用的有 与 。

7、方程0652=+-x x 的解集，可用描述法表示为 、用列举法表示为 。

8、集合的分类：按元素的多少，集合可分为 、 、 三类。

二、子集、全集、补集9、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的 元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 集合B ，或集合B 集合A 。

也说集合A 是集合B 的子集。

即：若“B x A x ∈⇒∈”则B A ⊆。

10、任何一个集合是 的子集。

11、空集是 集合的子集。

12、相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的 元素都是集合B 的元素，同时集合B 的 元素都是集合A 的元素，我们就说A B 。

即：若A B ，且B A ，那么B A =。

13、真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ，并且A B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集。

14、空集是 集合的真子集。

15、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的 ，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

16、补集：设S 是一个集合，A 是S 的子集，由S 中所有 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集。

即：=A C S 。

三、交集、并集17、交集：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。

即：=B A 。

18、并集：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。

即：=B A 。

19、性质：=A A ，=φ A ，=B A ； =A A ，=φ A ，=B A ； A （A C U ）= ， A （A C U ）= ；（A C U ） （B C U ）= ，（A C U ） （B C U ）= 。

集合和简易逻辑
集合是由一组确定的元素组成的。

集合中的元素是无序的，且每个元素在集合中只能出现一次。

集合可以以各种形式表示，例如用大括号{}包围元素列表，或使用特定的集合符号表示。

例如，给定两个集合A和B，可以定义集合的交集（表示为A∩B）为包含同时属于A和B的所有元素的集合。

集合的并集（表示为A∪B）是包含属于A或B （或两者）的所有元素的集合。

集合的差集（表示为A-B）是指所有属于A但不属于B的元素的集合。

简易逻辑是一种基于真和假的推理系统。

它使用逻辑运算符（如与、或、非）对命题进行组合，并根据预定义的逻辑规则推导出其他命题。

简易逻辑中的命题可以是真（真命题）或假（假命题）。

逻辑运算符包括：
- 与运算（表示为∧或&&）：只有在两个命题都为真时，整个表达式才为真。

- 或运算（表示为∨或）：只要有一个命题为真，整个表达式就为真。

- 非运算（表示为¬ 或!）：将真命题变为假命题，将假命题变为真命题。

逻辑推理可以通过应用真值表来确定整个逻辑表达式的真假。

真值表列出了逻辑表达式中各个命题的真值，并根据逻辑运算符确定整个表达式的真值。

集合和简易逻辑在数学和计算机科学中都有广泛的应用，用于构建和解决各种问题。

{}9B =,;B A =B B =)()();U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+()()card B card A B -()U A =ð()U A =ð13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B).有两相)(,2121x x x x <有两相等ab x x 221-==无实根有意义的①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题⇔逆命题.）②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（原命题⇔逆否命题.）4.反证法是中学数学的重要方法。

会用反证法证明一些代数命题。

充分条件与必要条件答案见下一页数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案例1选A;例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9AB =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-,{}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-.[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。

例4C 例5C 例6①∉,②Ü,③Ü,④例7填2 例8C 例9∅例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。