1《集合与简易逻辑》

第一章集合与简易逻辑在数学的广阔天地中，集合与简易逻辑就像是两座基石，支撑着我们探索更复杂、更深入的数学领域。

它们看似简单，却蕴含着深刻的思想和广泛的应用。

让我们先来聊聊集合。

集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些确定的、不同的对象放在一起组成的一个整体。

比如说，一个班级里的所有同学就可以组成一个集合，一个水果篮里的各种水果也能组成一个集合。

集合有一些特别的表示方法。

我们可以用列举法，把集合中的元素一个一个地列出来。

比如，由数字 1、2、3 组成的集合，就可以写成{1, 2, 3}。

还有一种方法叫描述法，通过描述元素的共同特征来表示集合。

比如，小于 5 的正整数组成的集合，可以写成{x ｜ x 是小于 5 的正整数}。

集合之间有着各种各样的关系。

如果一个集合中的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合就是另一个集合的子集。

比如说，集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4, 5}的子集。

如果两个集合的元素完全一样，那它们就是相等的集合。

在集合的运算中，交集、并集和补集是非常重要的概念。

交集就是两个集合中共同的元素组成的集合。

比如集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的交集就是{2, 3}。

并集则是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合，上述两个集合的并集就是{1, 2, 3, 4}。

补集呢，是在一个给定的全集里，某个集合之外的元素组成的集合。

说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。

逻辑在我们的日常生活和数学思考中都起着至关重要的作用。

简易逻辑中，命题是一个核心的概念。

命题就是能够判断真假的陈述句。

比如“今天是晴天”，这可以是一个命题，因为它能判断出真假。

而“你吃饭了吗？”这就不是命题，因为它不是陈述句，没法判断真假。

命题有真有假。

如果一个命题为真，那么它的否定就是假；如果一个命题为假，那么它的否定就是真。

比如命题“2 大于1”是真命题，它的否定“2 不大于1”就是假命题。

在逻辑关系中，“且”和“或”是两个重要的连接词。

知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。

第一章集合与简易逻辑在我们探索数学的奇妙世界时，集合与简易逻辑就像是两座重要的基石，为更深入的数学学习打下坚实的基础。

首先，咱们来聊聊什么是集合。

集合啊，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。

比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，这个集合里的元素就是每一个同学。

再比如，所有正整数也能组成一个集合。

集合通常用大写字母来表示，像 A、B、C 等等。

而集合里的元素呢，就用小写字母表示。

如果一个元素 a 属于集合 A，咱们就记作a∈A，如果不属于，那就记作 a∉A。

集合的表示方法有好几种。

一种是列举法，就是把集合里的元素一个一个列出来，像{1, 2, 3, 4, 5}，这就很清楚地表示了一个由 1 到 5 这几个数字组成的集合。

还有一种是描述法，通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如{x ｜ x 是大于 0 的整数}，意思就是这个集合里的元素都是大于 0 的整数。

集合之间有一些关系，比如子集。

如果集合 A 里的所有元素都在集合 B 里，那 A 就是 B 的子集，记作 A⊆B。

要是 A 是 B 的子集，而且B 里还有 A 没有的元素，那 A 就是 B 的真子集，记作 A⊂B。

集合的运算也是很重要的一部分。

比如并集，就是把两个集合里的所有元素合在一起组成的新集合。

集合A 和集合B 的并集记作A∪B。

交集呢，就是两个集合里共同拥有的元素组成的集合，记作A∩B。

补集则是在一个给定的全集 U 中，属于 U 但不属于集合 A 的元素组成的集合，记作∁UA。

接下来再说说简易逻辑。

逻辑在我们的日常生活和数学思考中都起着至关重要的作用。

命题是简易逻辑中的一个重要概念。

命题就是能够判断真假的陈述句。

比如“2 加 2 等于4”，这就是一个真命题；“地球是方的”，这显然就是个假命题。

命题有原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

原命题为“若 p，则q”，逆命题就是“若 q，则p”，否命题是“若¬p，则¬q”，逆否命题是“若¬q，则¬p”。

【关键字】精品第一节集合1、有关集合的记号：∈，，N，N*，Z，Q，R，Z+，R-，等.2、集合分有限集与无限集.3、集合的表示法：列举法、描述法(公式描述或语言描述)、图示法.4、集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.5、子集设集合A、B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，就称集合A是集合B的子集.记为AB(或BA).6、真子集设集合A、B，如果AB,且AB(即B中含有A中不含有的元素)，则集合A叫做集合B的真子集，记为AB ；7、子集、真子集的性质：(1)AA(即任何一个集合是它本身的子集)；(2)A(其中叫做空集，即空集是任何集合的子集)；(3)A(A 不是空集，即空集为任何非空集合的真子集)；(4)传递性：若AB，且BC，则 A B(5)集合相等：AB，且BAA=B；(6)集合的子集个数公有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.8、全集在研究某一问题的过程中，所有集合都包含于某一个集合，这个集合就叫做全集（在不同的问题中，可以有不同的全集；但在确定的问题中，全集只能有一个）.9、补集记全集为U，在全集中，由所有不包含于全集U的元素组成的集合叫做全集U中集合A的补集(简称A补)，记为CUA .10、全集和补集的性质(1)AU，CUAU；(2)CU(CUA)= A，称A与CUA 互补；(3)CU= U，CUU= (与U互补)；(4)在全集U中，若CUA=B，则CUB=A，称集合A与B 互补11、交集由所有A、B中公有的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|xA，且xB}.12、并集由所有A、B中的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B={x|xA，或xB}.13、交集和并集的性质：(1)A∩A=A，A∪A=A；(2)A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；(3)A∩= ；A∪= A ；(4)A∩B A，A∩B B；A A∪B，B A∪B，A∩BA∪B；(5)若A∩B=A，则A B，反之亦然；若A∪B=A，则BA，反之亦然；(6)CU(A∩B)=CU A ∪ CUB，CU(A∪B)= CU A∩ CUB (对偶律)；(7)若将集合A的元素的个数记为card(A)，则card(A)、card(B)、card(A∩B)、card(A∪B)之间有下列关系(经研究找出结论，即容斥原理)：.练习：1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．4．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．5.设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．6．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．7．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．8．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．9．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．10．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝______11．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．第二节简易逻辑1、逻辑联结词：或、且、非，引进符号，分别为“∨、∧、﹁”.2、用逻辑联结词将简单命题组成复合命题的三种形式：p∨q、p∧q、﹁p.3原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ6(1)提出反设：针对要证结论提出反设(即要证结论的“否”)；(2)找到矛盾：从反设出发，经过推理，得出矛盾(与已知矛盾，或与已知定理、公理矛盾，或自相矛盾)，由矛盾判定假设不成立，从而肯定欲证结论的正确性.7.充分必要条件的四种形态：(1)若p⇒q，且q⇒p，则称p和q 充要条件，记为p⇔q；(2)若p⇒q，但q⇒p，则称p是q的充分不必要条件；(3)若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的必要不充分条件；(4)若p ⇒q ，且q ⇒p ，即p 、q 间无因果关系，那么p(q)既不是q(p)的充分条件，又不是q(p)的必要条件.8、证明充要条件的两种情况：要证p 是q 的充要条件(1)分开证明，两步到位：1o 证充分性(即由p ⇒q)；2o 证必要性(即由q ⇒p)；由1o 、2o 知，p 是q 的充要条件.(2)等价转化，一步到位：p ⇔s ⇔t ⇔u ⇔v ⇔…r ⇔q ，则p 是q 的充要条件.求充要条件 要求q 成立的充要条件：先由q 推出p ，从而知p 是q 的必要条件；再证充分性，即由p 推出q.综上知q 成立的充要条件是p.习题1.如果命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，那么p 、q( ) A 都是真命题 B 都是假命题C 中至少有一个假命题D 中必为一真一假2.要用反证法证明“某数是偶数，且不能被6整除”，提出的反设应是假设 ( )(A)某数是偶数，且能被6整除 (B)某数不是偶数，且能被6整除(C)某数不是偶数,且不能被6整除 (D)某数不是偶数，或能被6整除3.设p ：031>-+x x ，q ：1|1|>-x ，则﹁p 是﹁q 的 ( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件4.关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件是( )(A)1≤a (B)10≤<a (C)1<a (D)1≤a ，且0≠a5.用反证法证明“ab ≠0”所提出的反设可以是：①ab=0；②a 、b 都为0；③a 、b 中至多有一个为0；④a 、b 中至少有一个为0，其中错误的是 _____________此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集．定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈ [证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3． 因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ． 6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=n i k j i j i n k j i j i i n i i A A A A A A A111 .)1(11 n i i n A =--+-定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：}.2)1(,,2,1{}1}{-=≤<≤-n n n j i a a j i 【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件． 令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾，所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．（ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________． 10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则=B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由．12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围． 四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx x A ，且A B ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________． 4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足： （1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。

【证明】这里仅证（ 1）、（ 3），其余由读者自己完成。
（1）若 x A ( B C ) ，则 x A ，且 x B 或 x C ，所以 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
即 x ( A B ) ( A C ) ；反之， x ( A B ) ( A C ) ，则 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
An I ，且 Ai A j
(1 i , j n,i
这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。
定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理 6 抽屉原理：将 mn 1 个元素放入 n(n 1) 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于
j ) ，则 m1
个元素，也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素；将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽
y和 x y 4k 2 ，
2．利用子集的定义证明集合相等，先证 A B ，再证 B A ，则 A=B。
例 2 设 A， B 是两个集合，又设集合 M 满足
A M B M A B, A B M A B ，求集合 M （用 A，B 表示）。 【解】先证 ( A B ) M ，若 x ( A B ) ，因为 A M A B ，所以 x A M , x
乘法原理，子集共有 210 1024 个，非空真子集有 1022 个。
5．配对方法。
例 5 给定集合 I {1,2,3, , n} 的 k 个子集： A1 , A2 , , Ak ，满足任何两个子集的交集非
空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求
k 的值。
【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得
考虑 a n 3 ，有 an 3 a n 2 或 an 3 a n a3 ，即 a 3 3 ，设 an 3 a n 2 ，则

1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。

故ξ的分布列为：
11分
13分
【分析点评】
求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．对集合概念和运算的考查 多以选择题和填空题的形式，其难度是中低档的，也有可能与排列组合，解析 几何等问题进行综合考查，特别值得关注的是近两年北京与福建等省份是以解 答题的形式进行综合考查，难度较大．
1.本题主要考查排列与组合、概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算
1
2
解决集合的运算问题，一般要先化简集合以确定集合中的元素，可借助韦恩图、数轴等手段使问题直观化，然后根据题目要求进行求解．
【例3】设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于( ) A．R B．{x|x∈R，x≠0} C．{0} D．∅ 解析：B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}＝[－4,0]，则A∩B＝{0}， ∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，x≠0}． 答案：B
第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念与运算
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
无序性
描述法
∈
∉
⊆
＝
相等关系
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、 ． 2．集合的表示法：列举法、 、图示法． 提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集． (2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为{1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号 和 表示． 4．集合与集合之间的关系有：包含关系、 、真包含关系，分别用符号 、 、 表示．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a， x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) Байду номын сангаас A．(－∞，－ ] B. C. D．(－∞，－2] 解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－ ，或x＝－2， ＝ . 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅， 知a ≤ － . 答案：A

分解:析使命:使题命甲题成立甲的成条立件是的：m的1 集m2合 4为 A0 ,使m命题2 ∴ 乙集合成A=立{m的|m>m2}的．集合为Bx1， x有2 且m只 0有一个 使3．命命∴题题集乙成合成立B立={的是m|条1求<件mA<是3∩}:C．△R若B2=与命16题C(mR甲－A∩、2)B乙2的－有1并且6<只集0，有．∴一1个＜成m立＜
知识纲要
集合的概念、 集合的包含关系、 集合的运算． 绝对值不等式的解法， 一元二次不等式的解法． 命题、四种命题、 四种命题间的关系． 充分条件与必要条件．
1
（一）要注意理解、正确运用集合概念
[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R}, N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．(0，1),（1，2） B．{（0，1）,（1，2）} C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
分解析：：正有确的解同法学应一为接：触此题马上得到结论
P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的
yP=表x2示,x∈函R相数同y=，x2而的没值有注域意，到Q构表成示两抛个集物合线 的y=元x2素上是的不点同组的成，的P集点合集是，函因数此值P域∩集Q=合．，Q
集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根
17
[例16] 集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x >0}，求A∪B和A∩B．
解:∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}， B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3或x>0}． 如右图所示，
∴A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3,或x>0}=R， A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}

集合的基本概念
定义和符号表示
掌握集合的定义和符号表示是 进一步学习的基础。
集合的运算
集合的性质
我们将详细探讨集合的运算， 包括并集、交集、补集和差集。
掌握集合的包含、相等和子集 关系是理解整个数学领域的基 本要素。
简易逻辑的基本概念
命题定义
什么是命题？本节将带您深入理解命题的含义。
符号表示和真值表
基本法则
我们将深入探讨假言推理、 Modus Ponens 和 Modus Tollens。
例题解析
我们将提供一些实际命题推理 的例子，并深入探讨解题策略。
结论
1 重点概念总结
我们将总结本课程的重点概念，以帮重要性，并解释其对职业发展的影响。
3 练习建议提醒
我们最后会提醒学生进行相关练习和操练，并提供一些练习建议。
掌握命题的符号表示和真值表是理解逻辑运算的基础。
逻辑运算
我们将深入研究命题的逻辑运算，包括否定、合取、析取和蕴含。
命题的等价性
1
定义和符号表示
等价命题的定义和符号表示是进一步学习的基础。
2
判定法
我们将详细讨论等价命题的判定法。
3
应用
我们将提供几个有关命题等价性的实际案例。
命题推理
定义和符号表示
掌握推理的定义和符号表示是 进一步学习的基础。
《集合与简易逻辑》PPT 课件
欢迎来到本课程！本课程将深入浅出地讲解集合和简易逻辑的基本概念，让 你对数学领域中的这两个关键概念有更深入的理解和应用。
引言
1 集合与逻辑概念
2 学习的重要性
本节将介绍集合和逻辑的基本概念，为接 下来的学习奠定基础。
我们解释为什么要掌握这些知识，以及它 们如何影响日常生活和职业发展。

基础梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：．2．集合间的基本关系3．集合的基本运算(1)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A ⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A ＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．4．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系5．充分条件、必要条件与充要条件一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与┐q⇒┐p，q⇒p与┐p⇒┐q，p⇔q与┐q⇔┐p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．6．简单的逻辑联结词(1)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q ¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真7.全称量词与存在量词8．全称命题与存在性命题9．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q. 一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假则假；(2)对“p∨q”命题：一真则真；(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．一、集合的概念与运算集合的概念【例1】►已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【训练1】设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋2}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．集合的基本运算【例2】►(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈R|x＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)，则集合A∩B＝________.【训练2】 (2011·江西)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )．A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}集合间的基本关系【例3】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．【训练3】 (2011·江苏)设集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪ m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，⎭⎬⎫x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．【示例】► (2011·浙江)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )． A ．|S |＝1且|T |＝0 B ．|S |＝1且|T |＝1 C ．|S |＝2且|T |＝2 D ．|S |＝2且|T |＝3二、命题及其关系、充分条件与必要条件命题正误的判断【例1】►(2011·海南三亚)设集合A 、B ，有下列四个命题：①A ⃘B ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ； ②A ⃘B ⇔A ∩B ＝∅； ③A ⃘B ⇔B ⃘A ；④A ⃘B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．【训练1】 给出如下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ；②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b ＜1，则ba ＞1；③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中不正确命题的序号是( )． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．①③四种命题的真假判断【例2】►已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )．A ．否命题是“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3充要条件的判断【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件高考中充要条件的求解一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词含有逻辑联结词命题真假的判断【例1】►(2010·新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是()．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的是()．A．②③B．②④C．③④D．①②③全称命题与存在性命题【例2】►写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.【训练2】写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：∀x∈R，x不是3x－5＝0的根；(2)q：有些合数是偶数；(3)r：∃x0∈R，|x0－1|＞0.考向三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】►(2012·浙大附中月考)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【训练3】 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．借助常用逻辑用语求解参数范围问题 【问题研究】 利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象., 【解决方案】 解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题.【示例】► (本题满分12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．【试一试】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．课后作业 一、选择题1．若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A 等于( )A ．(－∞，0]∪(22，＋∞)B ．(22，＋∞)C ．(－∞，0]∪[22，＋∞)D ．[22，＋∞)2． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件3．已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则( ) A ．綈p ：∃x ∈R ，x <sin x B ．綈p ：∀x ∈R ，x ≤sin x C ．綈p ：∃x ∈R ，x ≤sin x D ．綈p ：∀x ∈R ，x <sin x 答案 C4．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1,2,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．设集合M ＝{x |2x 2－2x <1}，N ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则( )A ．M ∪N ＝MB ．(∁R M )∩N ＝RC ．(∁R M )∩N ＝∅D ．M ∩N ＝M 6．下列命题错误的是( )A ．命题“若m ≤0，则方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m >0”B ．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中必有一真一假D ．对于命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥07．已知命题p ：无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等差数列，则点列{(n ，S n )}在一条抛物线上；命题q ：若实数m >1，则mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是( )A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题8．已知命题p ：关于x 的不等式x 4－x 2＋1x 2>m的解集为{x |x ≠0，x ∈R }；命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)9．已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．{(1,1)} B ．{(1,1)，(－2，－2)} C ．{(－2，－2)} D ．∅10．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}， Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( ) A ．t ≤0 B ．t ≥0 C ．t ≤－3 D ．t ≥－311．若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．已知f (x )＝(12)x ，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1 B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1 二、填空题13．“lg x >lg y ”是“10x >10y ”的________条件． 14．命题“∃x <0，有x 2>0”的否定是______________．15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件．16．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题17．已知A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，若3∈A ，求a 的值．18．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围．19．设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20．(12分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．21．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 求c 的取值范围．22．已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问同时满足B A ，A ∪C ＝A 的实数a 、b 是否存在？若存在，求出a 、b ；若不存在，请说明理由．。

第1章集合与简易逻辑课题1.1 集合的概念与表示【教学目标】1．理解集合、元素的概念及其关系。

2．掌握列举法和描述法等两种集合的表示方法。

【教学重点】集合的表示方法。

【教学难点】集合表示法的选择与规范书写。

【教学方法】首先通过生活中的实例引入集合的概念，使学生自然地认识集合与元素的关系；在此基础上学习用列举法和描述法来表示集合，并通过例题和练习题巩固所学知识。

【教学工具】电脑、投影仪、课件。

【教学时间】2课时（90 min）。

【教学过程】0的解集；1上的点组成的集合。

教师通过例4的分析讲解，概括列举法的特点及其适学生完成教材中练习1.1.1和课题1.2 集合之间的关系【教学目标】1．理解子集、真子集以及两个集合相等的概念；2．会判断两个集合之间的关系。

【教学重点】集合与集合之间关系的判断及表示符号的使用。

【教学难点】如何判断两个集合之间的关系。

【教学方法】首先通过问题导入知识，引导学生认识子集和真子集；在此基础上学习集合相等的关系，并通过例题和练习题巩固所学知识。

【教学工具】电脑、投影仪、课件。

【教学时间】2课时（90 min）。

【教学过程】A的元素。

探索新知1．子集的概念及表示一般地，如果集合B中的每一个元素都是集合A的元素，那么集合B称为集合A的子集，记作B A⊆（或A B⊇），读作“B包含于A”（或“A包含B”）。

☞说明：（1）任何一个集合都是它自身的子集，即A A⊆；（2）空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，都有A⊆∅；（3）对于集合A，B，C，若有C B⊆，B A⊆，则必有C A⊆。

➢例题解析例1用适当的符号（⊆、⊇、∈、∉）填空：（1）{}2|16x x=_____{}4；（2）{}|3x x>_____{}|2x x>-；（3）∅_____{}012，，；（4）{}25，_____{}2357，，，；（5）b_____{}a b c，，；（6）*N_____Q；（7）0_____{}12，。

集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 学会运用集合的基本运算。

3. 理解简易逻辑的定义和性质。

4. 学会运用简易逻辑解决问题。

教学内容：第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的概念1.2 集合的表示方法1.3 集合的性质第二章：集合的基本运算2.1 集合的并集2.2 集合的交集2.3 集合的补集2.4 集合的幂集第三章：简易逻辑的基本概念3.1 简易逻辑的定义3.2 简易逻辑的性质3.3 简易逻辑的判定方法第四章：简易逻辑的应用4.1 简易逻辑在几何中的应用4.2 简易逻辑在代数中的应用4.3 简易逻辑在概率中的应用第五章：集合与简易逻辑的综合应用5.1 集合与简易逻辑的结合5.2 集合与简易逻辑在实际问题中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。

2. 利用案例分析，让学生通过具体例子理解集合的基本运算和简易逻辑的判定方法。

3. 引导学生运用集合与简易逻辑解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力。

教学评估：1. 课堂练习：每章结束后，安排课堂练习，巩固所学知识。

2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

3. 课后作业：布置课后作业，检验学生对知识的掌握程度。

4. 期中期末考试：评估学生对整个课程的学习效果。

教学资源：1. 教材：《集合与简易逻辑》2. 课件：教师自制课件3. 案例分析：相关实际问题案例4. 练习题库：相关习题和解答教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 学会运用集合的基本运算。

3. 理解简易逻辑的定义和性质。

4. 学会运用简易逻辑解决问题。

教学内容：第六章：集合的分类6.1 集合的分类标准6.2 有序集合与无序集合6.3 集合的划分与覆盖第七章：集合与函数7.1 函数的定义与性质7.2 函数的图像与特征7.3 函数与集合的关系第八章：集合与数系8.1 自然数系8.2 整数系8.3 有理数系8.4 实数系第九章：集合与逻辑推理9.1 逻辑推理的基本形式9.2 集合与逻辑推理的关系9.3 集合逻辑推理的应用第十章：集合与简易逻辑的综合应用10.1 集合与简易逻辑在科学研究中的应用10.2 集合与简易逻辑在日常生活中的应用10.3 集合与简易逻辑在其它学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。

《集合与简易逻辑》数学教学教案章节一：集合的概念与表示方法教学目标：1. 了解集合的概念，理解集合中元素的特点。

2. 学习集合的表示方法，包括列举法和不完全列举法。

3. 能够正确运用集合的表示方法表示给定的集合。

教学内容：1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

2. 集合的表示方法：列举法：将集合中的所有元素按照一定的顺序列举出来，用大括号括起来，如{1, 2, 3}。

不完全列举法：列举集合中的一部分元素，并用省略号表示还有其他元素，如{1, 2, 3, }。

教学活动：1. 引入集合的概念，通过实际例子讲解集合的定义。

2. 讲解集合的表示方法，包括列举法和不完全列举法。

3. 练习题：让学生运用所学的表示方法表示给定的集合。

章节二：集合的运算教学目标：1. 学习集合的运算，包括并集、交集和补集。

2. 理解并集、交集和补集的定义和性质。

3. 能够正确计算给定集合的并集、交集和补集。

教学内容：1. 并集：由两个或多个集合中所有的元素组成的集合。

2. 交集：属于两个或多个集合的元素组成的集合。

3. 补集：在全集之外的部分组成的集合。

教学活动：1. 引入集合的运算，通过实际例子讲解并集、交集和补集的定义。

2. 讲解并集、交集和补集的性质，如交换律、结合律等。

3. 练习题：让学生运用所学的运算方法计算给定集合的并集、交集和补集。

章节三：简易逻辑教学目标：1. 学习简易逻辑的基本概念和定理。

2. 理解简易逻辑中的推理和证明方法。

3. 能够运用简易逻辑解决实际问题。

教学内容：1. 简易逻辑的基本概念：包括命题、定理、公理等。

2. 推理和证明方法：包括直接证明、反证法、归纳法等。

3. 常用逻辑符号：包括且、或、非、蕴含等。

教学活动：1. 引入简易逻辑的基本概念，通过实际例子讲解命题、定理、公理等。

2. 讲解推理和证明方法，通过实际例子演示直接证明、反证法、归纳法等。

3. 练习题：让学生运用所学的逻辑推理和证明方法解决实际问题。

集合与简易逻辑、函数一、复习策略1、集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容，在过去的教材中散见于各章知识。

而在新教材中将其整合到一起，单独列为一章，置于高中数学教材之首，足见其在数学中的基础地位，是进一步学习近现代数学的必要基础知识。

其内容为集合的概念及其运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。

本单元内容还初步体现了中学数学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。

由于其在数学中的基础地位，在复习中不宜深入展开，只要灵活掌握知识点的小型综合即可。

2、函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：(1)深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．(2)系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．(3)通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．二、典例剖析考点一：集合的概念与运算例1、集合，集合，则等于（）A．B．C．D．解析：集合中的元素是，它表示函数的值域，从而，集合中的元素是，它表示函数的定义域，从而．易得=，因此，正确答案选C．点评：同学们在求解此题时，常常误认为是求两条曲线的交点，而导致解题产生差错．搞清楚集合中元素的特征，运用元素分析法，就可以有效地避免这样的解题错误．例2、已知集合．(1)若，求m的取值范围．(2)若点的坐标为且．集合、所表示的两个平面区域的边界交于点、N，求△QMN的面积的最大值．解析：(1)如图(a)，当射线与圆相切时，由，得m=－2或m=6(舍去)．当射线与圆相切时，由．得m=6或m=－2(舍去)．故所求m 的取值范围是(－2，6)．(2)显然点Q在圆的直径上，如图(b)所示，由对称性和圆幂定理可得．设，则，于是(当且仅当时取等号，故ΔQMN的面积的最大值为4).点评：本题是一个综合性题目．考查到了数形结合，转化与化归的思想方法；在这里，集合是一种工具，解题中善于把集合语言向函数语言转化，进而得出解题的思路与方向．考点二：简易逻辑与四种命题例3、已知条件和条件，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为构造命题：“若则”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解析：已知条件：，或，已知条件：，或；令，则即，或，此时必有成立，反之不然．故可以选取的一个实数是，设，则对应的命题“若则”是一个真命题，而其逆命题“若则”是一个假命题．注意：所找到的实数只需满足，且即可(请同学们思考这是为什么？) 点评：由于本题答案不唯一，使得求解的方法没有固定模式，考生既能在一般性的指导中找出一个满足条件的a，也能先猜后证．例4、已知函数．(1)若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求出和的解析式；(2)若，求的值；(3)命题：函数在区间上是增函数．命题：函数是减函数；如果命题有且仅有一个是真命题，求a的取值范围．解：(1)．(2)，故．(3)，∴若真，则或．即或(且)．若真，则(且)．而命题有且仅有一个是真命题，则真假时，；假真时．故所求a的取值范围是．考点三：函数的性质例5、定义在(－1，1)上的函数满足：对任意，都有：，且当时，．(1)求证：是奇函数；(2)判断在(－1，1)上的单调性，并加以证明；(3)设，试求不等式的解集．解：(1)证明：．又，．故是奇函数．(2)设且，且．而．故．故在（－1，0]上递减．又是奇函数，在[0，1)上也递减．故在(－1，1)上递减．(3)解：．例6、设是定义在[－1，1]上的偶函数，与的图象关于直线x=1对称，当时，为常数)．(1)求的表达式；(2)当时，求在[0，1]上取最大值时，对应的值；(3)当时，是否存在，使图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解析：(1)设是图象上任一点，则是图象上的一点，当时，，．又是偶函数，时，，．(2)当时，．由，得(负值已舍)，当时，为增函数；当时，为减函数．∴当时，取最大值．(3)当时，，在[0，1]上为增函数．又为偶函数，∴当x=±1时，取最大值，由题意知：，∴存在实数，使的最高点落在直线上．点评：由函数性质求函数解析式的题目多以解答题的形式出现，是高考考查的重点，求函数最值的方法较多，解题时要注意灵活多变，有选择地使用较为简便的方法，使解题快捷准确，解答此题时，要注意以下几个问题：(1)由函数的奇偶性及对称性，可较快求出函数表达式，应注意定义域的变化，准确求出定义域是解答以下各题的关键；(2)求函数最值的方法很多，如：配方法、数形结合法、判别式法、求导法、换元法、分离参数法、单调性法、有界性法、反函数法、基本不等式法等，此题便是利用导数法求最值的典型．求导时，应注意求导法则的应用．(3)分类讨论在解决此题中起了重要作用，分类时要注意：①不重不漏；②标准要统一，层次要分明；③不要盲目分类，能不分类的可整体解决．考点四：函数的图象例7、设定义域为R的函数．若关于的方程有3个不同的实数解，则（）A．4B．C．9D．答案：C解析：如图，作出函数的图象，可知关于的方程有一正根和零根，不妨设．∴由图象的对称性可知，又，∴．例8、已知二次函数的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8．．(1)求函数的表达式；(2)证明：当时，关于x的方程有三个实数解．解析：(1)由已知，易得．(2)证明：由得．即．在同一坐标系内作出和的大致图象，其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．因此，有一个负数解．又．当时，．所以当时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方．与的图象在第一象限有两个交点，即的两个正数解，因此，方程有三个实数解．点评：本题运用了待定系数法、数形结合法、函数思想、构建思想等思想方法，综合考查了学生的数学素养．考点五：抽象函数例9、定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，求的值．解析：由于为任意实数，可以取一些特殊值，按照题目中的条件的变化规律，反反复复进行下去．由这个“桥梁”，得，共进行670次，将上述同向不等式相加可得，即．由得共进行1005次，将上述同向不等式相加可得．，即．从而．点评：如果函数不易具体化或简约化，但可以根据题设中“桥梁”，使自变量取一些特殊值，使数值特殊化，反复进行，从而达到目标．到底取何特殊值，要经过多种尝试、探索，充分发挥学生的直觉、探索、逆向思维等方面的能力，有利于培养学生从一般到特殊解决问题的能力．例10、( 2006年重庆高考题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)=f(x)－x2＋x．(1)若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x)= x0，求函数f(x)的解析表达式．解：(1)因为对任意x ∈R ，有f(f(x)－x 2＋x)=f(x)－x 2＋x ，所以f(f(2)－22＋2)=f(2)－22＋2．又由f(2)=3，得f(3－22＋2)=3－22＋2，即f(1)=1．若f(0)=a ，则f(a －02＋0)=a －02＋0，即f(a)=a ． (2)因为对任意，有f(f(x)－x 2＋x)=f(x)－x 2＋x ．又因为有且只有一个实数x 0，使得f(x 0)= x 0。