第七章 假设检验一、教材说明本章主要讲假设检验的基本思想与概念、正态总体参数的假设检验这2节的内容. 1、本章的教学目的与要求（1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤；（4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系；（5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定；（6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题. 2、本章的重点与难点本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定.二、教学内容下面主要分2节来讲解本章的主要内容.§7.1 假设检验的基本思想与概念教学目的：要求学生了解假设检验的基本思想，理解假设检验的基本概念，认识假设检验问题，熟悉假设检验的基本步骤.教学重点：基本概念，假设检验的基本步骤. 教学难点：基本概念的理解.教学内容：本节内容包括假设检验的基本概念，假设检验的基本步骤. 7.1.1 假设检验的基本概念1.统计假设、原假设、备择假设把任意一个有关未知分布的假设统称为统计假设，简称假设.例7.1.1 某厂生产的合金强度服从正态分布)16,(θN ，其中θ的设计值为不低于110（Pa ），为保证质量，该厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生产是否正常进行，即该合金的平均强度不低于110（Pa ），某天从生产中随机抽取25块合金，测得强度值为2521,,,x x x ，其均值为)(108Pa x =，问当时生产是否正常？如果生产是正常进行的，则合金平均强度不低于110（Pa ），而合金强度服从)16,(θN ，故平均强度110≥θ，如果生产不正常，则110<θ.现在的问题是据样本得到的信息来判断110≥θ还是110<θ，此问题不是参数估计问题，而是一假设检验问题.这样对未知参数，提出两个对立的假设：称110:0≥θH 为原假设，110:1<θH 为备择假设.通常将不应轻易加以否定的假设做为原假设，以0H 记，当0H 被拒绝时而接受的假设称为备择假设，用1H 表示.2.参数假设、非参数假设参数假设：总体分布类型已知，对分布中的未知参数的假设. 非参数假设：不同于参数假设的其他假设（包括对母体分布函数的类型及分布的某些特征的假设）.我们的任务就是根据样本得到的信息，在原假设0H 与备择假设1H 两者中做出一个判断：拒绝还是接受0H .7.1.2 假设检验的基本步骤1、建立假设依据实际问题建立一对假设，例7.1.1的假设为110:110:10<≥θθH vsH2、选择检验统计量，给出拒绝域形式在0H 与1H 两者中做出一个选择，也即完成一次判断，必须建立一个检验法则，而由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，该统计量称为检验统计量.一般而言，检验统计量的选择应该使在0H 、1H 分别成立时，统计量的值有较大差异，从而能够做出判断.在例7.1.1中，样本均值x 就是一个很好的检验统计量，它是总体参数θ的无偏估计.样本均值x 愈大，意味着总体均值θ也大；样本均值愈小，意味着总体均值θ也小.由于样本的随机性，只有当x 小到一定程度，则应认为原假设0H 不正确.故在样本均值x 的取值中有一个临界值C （待定），使得当C x ≤时，认为0H 不正确，也即拒绝0H ，此时称}:{C x x W ≤=为该检验的拒绝域，当C x >时，认为0H 正确，则接受0H ，对应的}:{C x x W >=为该检验的接受域.一般地，使原假设0H 被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域，记为W ，从而规定：当W x x n ∈),,(1 时，拒绝0H ；当W x x n ∈),,(1 时 ，接受0H .从而一个拒绝域W 唯一确定一个法则.3、选择显著性水平 α 通常=α0.05，0.01，0.1.4、给出拒绝域W利用统计量),,(1n x x T ，使得01),,((H W x x T P n ∈ 为真）α=5、做判断将样本观测值代入检验统计量，看该统计量的值是否落入拒绝域W ，当W x x T n ∈),,(1 时，拒绝0H ，当W x x T n ∉),,(1 时，接受0H .三、假设检验的两类错误与势函数 1、两类错误对给出的拒绝域W ，由于样本的随机性，我们做出的判断不可能100%正确，它可能会犯两类错误：第一：0H 为真时，W x x n ∈),,(1 ，从而拒绝0H .这种错误称为第一类错误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率或拒真概率，通常记为α，即α=P （拒绝0H 0H 为真）=01),,((H W x x T P n ∈ 为真）=01],),,[(Θ∈∈θθW x x P n第二：在0H 不真时，W x x n ∈),,(1 ，从而接受0H .这种错误称为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概率或受伪概率，通常记为β，即β=P （接受0H 0H 不真）=01),,((H W x x T P n ∈ 不真）=111],),,[(1]),,[(Θ∈∈-=∈θθθW x x P W x x P n n2、势函数定义7.1.1 设检验问题1100::Θ∈Θ∈θθH vs H 的拒绝域为W ，则样本观测值),,(1n x x 落入拒绝域W 内的概率称为该检验的势函数，即101],),,[()(Θ⋃Θ=Θ∈∈=θθθW x x P g n其中10,ΘΘ是参数空间两个互不相交的子集. 注 由以上α、β及势函数的定义知⎩⎨⎧Θ∈-Θ∈=10),(1),()(θθβθθαθg3、两类错误的关系对例7.1.1，}:{c x x W ≤=，故)4()44(][)(θθθθθ-Φ=-≤-=≤=c c c x P c x P g ，从而犯两类错误的概率)(θα，)(θβ分别为：0),54()(Θ∈-Φ=θθθαc1),54(1)(Θ∈-Φ-=θθθβc从而当α减少时，c 也减少，而c 的减少必导致β的增大；当β减少时，c 会增大，而c 的增大必导致α的增大，故得到两类错误的关系：（１）在样本容量n 一定时，α、β不能同时小，α的增大必导致β的减少；α的减少必导致β的增大；（２）要使α、β同时小，则必须n 充分大，但这又是不现实的.为此，采用折中的方法：控制α，使β尽量小，但有时这样的检验也不存在，从而我们只控制α，而不管β，此时求拒绝域W 只涉及原假设0H ，而不管备择假设1H .４、水平为α的显著性检验 定义7.1.２ 对检验问题1100::Θ∈Θ∈θθH vs H ，如果一个检验满足对任意的0Θ∈θ，都有αθ≤)(g则称该检验是显著性水平为α的显著性检验，简称水平为α的检验. 在例7.1.1 取=α0.05，则110≥∀θ有05.0)54()(≤-Φ=θθc g ，由于)(θg 是θ的减函数，故只须05.0)54110()110(=-Φ=c g ，即05.0)]110(45[=-Φc从而684.108645.18.0110645.1)110(4595.0)]110(45[=⨯-=⇒=-⇒=-Φc c c 拒绝域为}684.108:{≤=x x W ，又因为684.108108<=x ，所以拒绝0H ，认为该日生产不正常.§７.2 正态总体参数假设检验教学目的：理解和掌握单个以及两个正态总体均值的假设检验的方法与思想，掌握正态总体方差检验的方法.教学重点：检验方法的掌握，检验方法思想的理解. 教学难点：检验方法的掌握.教学内容：本节内容包括单个正态总体均值的假设检验，两个正态总体均值差的检验，正态总体方差的检验.参数假设检验常见的有三种基本形式 （1）0010::H vs H θθθθ≤>（2）0010::<H vs H θθθθ≥ （3）0010:=:H vs H θθθθ≠一般来说，对这三种假设采取的检验统计量是相同的，差别在拒绝域上.当备择假设1H 在原假设0H 一侧时的检验称为单侧检验，当备择假设1H 分散在原假设0H 两侧时的检验称为双侧检验.（1），（2）是单侧检验，（3）是双侧检验.7.2.1 单个正态总体均值的假设检验设n x x x ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，对均值μ考虑如下的检验： 0100::μμμμ>≤H vs H （１） 0100::μμμμ<≥H vs H （２） 0100::μμμμ≠=H vs H （３）一 2σ已知时的u 检验对单侧检验（１），由于x 是μ的无偏估计，选取统计量u=故当样本均值x 不超过设定均值0μ时，应接受0H ，而当样本均值x 超过设定均值0μ时，应拒绝0H ，但由于样本的随机性，x 比0μ大一点就拒绝0H 似乎不当，只有当x 比0μ大到一定程度时拒绝0H 才是恰当的.故存在临界值c ，拒绝域12{(,,,);}n W x x x u c =≥ ，常简记为{}u c ≥.若要求水平为α，则c 应满足0()=P u c μα≥，因为21~(,)x N nμσ，故0μμ=时~(0,1)x u N =知1c u α-=，所以拒绝域1{;}W u u u α-=≥.该检验用的检验统计量是u 统计量，一般称为u 检验. 易验证1{;}W u u u α-=≥是检验0100::μμμμ>≤H vs H 的显著性水平为α的检验.类似地对0100::μμμμ<≥H vs H 的显著性水平为α的拒绝域{;}W u u u α=<；0100::μμμμ≠=H vs H 的显著性水平为α的拒绝域12{;}W u u u α-=≥.例7.2.1 从甲地发送一个讯号到乙地，设乙地接受到的讯号值是一个服从正态分布)2.0,(2μN 的随机变量，其中μ为甲地发送的真实讯号值.现甲地重复发送同一讯号5次，乙地接受到的讯号值为8.05 8.15 8.2 8.1 8.25设接受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8，问能否接受该猜测？=α0.05 分析 此时正态分布的方差已知，对均值进行检验，利用U —检验. 解 总体2~(,0.2)X N μ ，待检验的原假设0H 与备择假设分别为1H ：01:8:8H vs H μμ=≠.这是一个双侧检验问题，检验的拒绝域为12{;}u u uα-≥，取0.975=0.05,=1.96u α，计算得=8.15,15-8)/0.2=1.68x u ，u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设，及接受原假设，可认为猜测成立.２、σ未知时的t 检验若2σ未知，则上述的随机变量x u =不再是统计量，自然我们要用2σ的无偏估计2211()1n ii s x x n ==--∑代替2σ，此时有0()x t s μ-=，且0μμ=时~(1)t t n =-，类似于2σ已知时均值μ的检验问题的讨论得到：0100::μμμμ>≤H vs H 的水平为α的拒绝域为1{;(1)}W t t t n α-=≥- 0100::μμμμ<≥H vs H 的水平为α的拒绝域为{;(1)}W t t t n α=≤-0100::μμμμ≠=H vs H 的水平为α的拒绝域为12{;(1)}W t t tn α-=≥-例7.2.2 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布，其均值设定为240cm ，现从该厂抽取5件产品，测得其长度为（单位：cm ）239.7 239.6 239 240 239.2试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？=α0.05分析 此时正态分布的方差未知，对均值进行检验，利用T —检验. 解 略.综上，关于单个正态总体均值的假设检验问题可汇总成如下的表：7.2.2 两个正态总体均值差的检验设m x x x ,,,21 是来自总体X 服从),(211σμN 的样本，n y y y ,,,21 是来自总体Y 服从),(222σμN 的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：0:0:211210>-≤-μμμμH vs H （１）0:0:211210<-≥-μμμμH vs H （２）0:0:211210≠-=-μμμμH vs H （３）主要分两种情况讨论.12,σσ已知时的两样本u 检验此时21μμ-的估计y x -的分布完全已知，),(~222121nmN y x σσμμ+--，由此可采用u 检验法，检验统计量为x yu =在21μμ=时，~(0,1)x yu N =.检验的拒绝域取决于备择假设的形式.上述三对假设检验的拒绝域分布为：1{;}W u u u α-=≥ {;}W u u u α=<12{;}W u u uα-=≥σσσ==21但未知时的两样本t 检验在22221σσσ==未知时，类似于单个正态总体方差未知时均值的检验，我们仍用2σ的无偏估计代替2σ，而此时可以证明2σ的无偏估计为：2222211(1)(1)1[()()]22m n x y wi i i i m s n s s x x y y m n m n ==-+-=-+-=+-+-∑∑ 于是有~(2)x y t t m n =+-从而检验统计量为x yt =在021=-μμ时，)2(~11-++-=n m t nm S y x T w.上述三对假设检验的拒绝域分布为：1{;(2)}W t t t m n α-=≥+-{;(2)}W t t t m n α=≤+-12{;(2)}W t t tm n α-=≥+-例7.2.3 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度（一种耐磨性指标）为：镍合金 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34铜合金 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平=α0.05下判断镍合金的硬度是否有明显提高？ 解 略.一、 单个正态总体方差的2χ检验设总体),(~2σμN X ，n x x x ,,,21 是来自该总体的样本，对方差2σ考虑如下的三种检验：221220::σσσσ>≤H vs H （１） 221220::σσσσ<≥H vs H （２）2212020::σσσσ≠=H vs H （３）1、均值μ未知时方差的检验由于μ未知，2211()1n ii s x x n ==--∑是2σ的无偏估计，且202σσ=有)1(~)1(22022--=n S n χσχ对于显著性水平α，对应上述三种假设检验的拒绝域分布为：2221{;(1)}W n αχχχ-=≥- 222{;(1)}W n αχχχ=≤-22212{;(1)W n αχχχ-=≥-或222(1)}n αχχ≤-例7.2.4 某类钢板每块的重量X 服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0.0162kg .现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差2S =0.0252kg .问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求？=α0.05.解 略.2、均值μ已知时方差的检验此时，检验统计量取为20212)(σμχ∑=-=ni ix，且220σσ=时)(~)(220212n xni iχσμχ∑=-=故对均值μ已知时方差的三种检验，我们只需将均值μ未知时方差的三种检验中2χ—分布的自由度变一下就可得到检验的拒绝域.)二 两个正态总体方差比的F 检验设m x x x ,,,21 是来自总体X 服从),(211σμN 的样本，n y y y ,,,21 是来自总体Y 服从),(222σμN 的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：2221122210::σσσσ>≤H vs H （１） 2221122210::σσσσ<≥H vs H （２） 2221122210::σσσσ≠=H vs H （３） 此处21,μμ均未知，22,x y s s 分别表示总体X 、Y 的样本方差，易知221()x E s σ=，222()yE s σ= 从而建立检验统计量22xys F s =当2212σσ=时，22~(1,1)xys F F m n s =--，此时，上述三个检验的拒绝域分别为：)}1,1(;{1--≥=-n m F F F W α )}1,1(:{--≤=n m F F F W α)1,1(:{21--≥=-n m FF F W α或)}1,1(2--≤n m F F α例7.2.5 甲、乙两台机床加工零件，零件的直径服从正态分布，总体方差反映了加工的精度，为比较两台机床的加工精度有无区别，现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8件产品，测得直径为：X （机床甲） 16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8Y （机床乙） 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0 取 =α0.05. 解 略.)1)1§7.3 其他分布参数的假设检验教学目的：了解指数分布参数的假设检验，比例的检验，大样本检验，会解决简单的实际问题.教学重点：对于检验方法的理解. 教学难点：解决简单的实际问题.教学内容：本节内容包括指数分布参数的假设检验，比例p 的检验，大样本检验，检验的p 值.7.3.1 指数分布参数的假设检验设n x x x ,,,21 是来自指数分布1()Exp θ的样本，现考虑关于θ的如下检验问题：0010::H vs H θθθθ≤>，拒绝域的自然形式是={}W x c ≥，下面讨论x 的分布.考虑θ的充分统计量x ，在0=θθ时，0=1=~(,1)ni i nx x Ga n θ∑，由咖玛分布的性质可知2202=~(2)nxn χχθ，于是可用2χ作为检验统计量并利用2(2)n χ的分位数建立检验的拒绝域221-={(2n)}W αχχ≥.类似可得，对关于θ的另两种检验问题：0010::<H vs H θθθθ≥， 0010:=:H vs H θθθθ≠检验统计量仍是2χ，拒绝域分别是22={(2n)}W αχχ≤，22221-22={(2n)(2n)}W ααχχχχ≤≥或.例7．3.1 设我们要检验某种元件的平均寿命不小于6000h ，假定元件寿命为指数分布，现取5个元件投入试验，观测到如下5个失效时间（h ） 395 4094 119 11572 6133 解：这是一个假设检验问题，检验的假设为 01:6000:<6000H vs H θθ≥经计算=4462.6x ，故检验的统计量为201044626===7.43776000xχθ， 若取=0.05α，查表得20.05(10)=3.94χ，由于220.05>(10)χχ，故接受原假设，可以认为平均寿命不低于6000h.7.3.2 比例p 的检验比例p 可看做某时间发生的概率，即看作二点分布(1,)b p 中的参数.作n 次独立重复试验，以x 记该事件发生的次数，则~(n,)x b p . 现考虑如下单边假设检验问题 0010::H p p vs H p p ≤>，找一个0c ，使得00--0000==+1(1-)>>(1-)nni n ii n i i c i c n n p p p p i i α⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，0=+1c c 可得水平为α的检验.对检验问题0010::<H p p vs H p p ≥，检验的拒绝域为={x }W c ≤，c 为满足-00=0(1-)ci n ii n p p i α⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑的最大正整数. 对检验问题0010:=:H p p vs H p p ≠，检验的拒绝域为12={x x c }W c ≤≥或，1c 为满足1-00=0(1-)2c i n i i n p p i α⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑的最大正整数，2c 为满足2-00=c (1-)2ni n i i n p p i α⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑的最小正整数.例7.3.2 某厂生产的产品优质品率一直保持在40%，近期对该厂生产的该类产品抽检20件，其中优质品7件，在=0.05α下能否认为优质品率仍保持在40%？解：这是一个假设检验问题，以p 表示优质品率，以x 表示20件产品中的优质品数，则~(20,)x b p ，待检验的原假设为01:=0.4:0.4H p vs H p ≠，拒绝域为12={x x c }W c ≤≥或，下求1c ，2c .由于(3)=0.0160<0.P x P x ≤≤，故取1=3c ，又由于(11)=0.0565>0.025>(12)=0.0210P x P x ≥≥，故取2=12c ，拒绝域为={x 3x 12}W ≤≥或由于观测值没有落入拒绝域，故接受原假设.7.3.2 大样本检验设12,,,n x x x 是来自某总体的样本，该总体均值为θ，方差为θ的函数，记为2σθ（），则对下列三类假设检验问题：(1)0010::H vs H θθθθ≤>； (2)0010::<H vs H θθθθ≥， (3)0010:=:H vs H θθθθ≠.在样本容量n 充分大时，利用中心极限定理2~(,()/n)x N θσθ故在0=θθ时.可采用检验统计量(0,1)u N，对应上述三类假设检验问题的拒绝域分别为1-={u}W uα≥，={u}W uα≤，1-2={}W u uα≥.例7.3.3例7.3.47.3.4 检验的p值例7.3.5 略从例7.3.5可以看到，对同一个假设检验问题，若取不同的显著水平α，会得到不同的结论，0.0179是能用观测值2.10做出“拒绝H”的最小的显著性水平，这就是p值.定义7.3.1 在一个假设检验问题中，利用观测值能够做出拒绝原假设的最小显著性水平称为检验的p值.引进检验的p值的概念有如下好处：（1）它比较客观，避免了事先确定显著水平.（2）由检验的p知与人们心目中的显著性水平α进行比较可以很容易做出检验的结论：如果pα≥，则在显著性水平α下拒绝H；如果<pα，则在显著性水平α下应接受H.例7．3.6 设nxxx,,,21是来自(1,)bθ的样本，要检验如下假设0010::H vs Hθθθθ≤>设检验的显著性水平为α，则检验的拒绝域为={}iW x c≥∑，在得到观测值0=i x t∑后，计算={}ip P x tθ≥∑，就是检验的p值.例如，00=40,=0.1,=8n tθ，则40397334040=1-0.9-0.10.9--0.10.9=0.0419 17p⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若取=0.05α，则>pα，应拒绝原假设.例7.3.7 略§7.4 分布拟合检验教学目的：了解有限离散总体分布的拟合检验、列联表的独立性检验和正态性检验.教学重点：列联表的独立性检验和正态性检验.教学难点：解决简单的实际问题.教学内容：本节内容包括总体分布只取有限个值的情况，列联表的独立性检验.正态性检验.前面讨论的检验问题都是在总体分布形式已知的前提下对分布的参数建立假设并进行检验，它们都属于参数假设检验问题.这一节我们对总体分布的形式建立假设并进行检验，这一类检验问题统称为分布的拟合检验，属于非参数假设检验.7.4.1 总体分布只取有限个值的情况设总体X 可以分成k 类，记为12,,,k A A A ，现对该总体做了n 次观测，k 个类出现的频数分别为12,n ,,n k n ，且=1=ki i n n ∑，要检验的假设为0:P(A )=,=1,2,,.i i H p i k （7.4.1）=1=1,p0.ki ii p ≥∑其备择假设是（7.4.1）诸等式不全成立.下面我们分两种情况讨论7.4.1的检验问题. 一 诸i p 均已知如果0H 成立,则对每一类i A ,其频率in n与概率i p 应较接近.据此,选用检验统计量22=1(-)=ni i i i n np np χ∑,可证明在0H 成立时,对充分大的n ,2χ近似服从自由度为-1n 的2χ分布.因此,对给定的显著性水平0<<1)αα（,该检验的拒绝域为221-={(-1)}W k αχχ≥. 例7.4.1 二 诸i p 不完全已知诸i p =1,2,,.i k 可由(<)r r k 个未知参数1,,r θθ 确定,即1=),i=1,k.i i r p p θθ （，， 为对假设(7.4.1)做检验,由样本给出诸i θ,=1,2,,r.i 的最大似然估计^^1,,r θθ ,再给出诸i p ,=1,2,,.i k 的最大似然估计^^^1=),r i i p p θθ （，，取检验统计量 ^22^=1(-)=ki i i in n p n p χ∑,可证明2χ近似服从自由度为k-r-1的2χ分布.因此,对给定的显著性水平0<<1)αα（,该检验的拒绝域为221-={(--1)}W k r αχχ≥.例7.4.27.4.2 列联表的独立性列联表是将观测数据按两个或更多属性(定性变量)分类时所列出的频数表. 一般,若总体中的个体可按两个属性,A B 分类, A 有r 个类1,,r A A , B 有c 个类1,,B c B ,从总体中抽取大小为n 的样本,设其中有ij n 个个体既属于A 类,又属于B 类,ij n 称为频数,将r c ⨯个ij n 排列为一个r 行c 列的二维列联表,简称r c ⨯表.对二维列联表,提出假设“,A B 两属性独立”,即0:=p p ,=1,2,,r,j=1,2, c.ij i j H p i 取检验统计量^22^=1=1(-)=rcij ij i j ijn n p n p χ∑∑，则在原假设成立时，2χ近似服从自由度为-(+-2)-1=(-1)(-1)rc r c r c 的2χ分布，其中^ij p 是ij p 的最大似然估计.因此,对给定的显著性水平0<<1)αα（,该检验的拒绝域为221-={((-1)(c-1))}W r αχχ≥. 例7.4.37.4.3 正态性检验用来判断总体分布是否为正态分布的检验方法称为正态性检验. 一正态概率纸概率纸是一种具有特殊刻度的坐标纸.使用这种坐标纸即可以很快判断总体分布的类型又能粗略地估计总体的参数，是检验总体分布的一种简单工具.正态概率纸是一张刻有直角坐标的图纸，它的横坐标轴的刻度是均匀的，表示观察值，纵坐标轴的刻度是不均匀的，表示概率，具体的刻度是按标准正态分布换算出来的，即在普通的直角坐标xot 的纵坐标轴（t 轴）上原坐标为t 的点刻度为du et u t2221)(-∞-⎰=Φπ，例如纵轴上，原坐标为1处的刻度为8413.0)1(=Φ，原坐标为2处的刻度为9772.0)2(=Φ，原坐标为-1处的刻度为1587.0)1(=-Φ，但习惯上，在正态概率纸上的纵坐标轴上标明的数字是换算出的刻度的100倍，又由于x 是在+∞∞-~取值，概率不可能为0，也不可能为1，故一般概率纸的纵轴的刻度都是从99.99~01.0.例7.4.4 随机选取10个零件，测得其直径与标准尺寸的偏差如下： 9.4 8.8 9.6 10.2 10.1 7.2 11.1 8.2 8.6 9.6 利用正态概率纸作正态性检验的步骤如下：1. 首先把样本观察值按从小到大的次序排列：(n)(2)(1)x x x ≤≤≤ 9.6 9.810.1 10.2 11.1具体数据为 7.2 8.2 8.6 8.8 9.42. 对每一个i ，计算修正的频率n ,,2,1i ),25.0n /()375.0i (F i=+-=结果为12345F =0.061F =0.159F =0.256F =0.354F =0.451 ，，，，，678910F =0.549F =0.646F =0.743F =0.841F =0.939 ，，，，3. 将点n ,,2,1i ),F ,x (i (i)=逐一点在正态概率纸上 4. 判断若诸点在一条直线附近，则认为该样本来自正态总体；若诸点明显不在一条直线附近，则认为该样本不是来自正态分布总体.如果从正态概率纸上确认总体是非正态分布时，可对原始数据进行变换后再在正态概率纸上描点，若变换后的点在正态概率纸上近似在一条直线附近，则可认为变换后的数据来自正态分布，这样的变换称为正态性变换.常用的正态性变换有：对数变换，倒数变换和根号变换.例7.4.5 利用对数变换二 夏皮洛-威尔克检验夏皮洛-威尔克检验也简称W 检验，这个检验当850n ≤≤时可以使用，过小样本对偏离正态分布的检验不太有效.W 检验是建立在次序统计量的基础上，将n 个独立观测值按非降次序排列，记为(1)(2)(n)x ,x ,,x ，检验统计量为2=1=122=1=1[(-)(-)]=(-)(-)n ni i i i n niii i a a x x W a a x x ∑∑∑∑，系数12,,,n a a a 在样本容量为n 时有特定的值，可查附表.系数12,,,n a a a 还具有性质：+1-=-,=1,2,,[]2i n i n a a i2=1=1=0,=1n ni ii i a a∑∑故可将统计量简化为[]22(+1-)()=12()=1[(-)]=(-)n i n i i i ni i a x x W xx ∑∑，可以证明，在原假设成立，即总体分布为正态分布时，W 的值应该接近1，因此在显著性水平α下，如果统计量W 的值小于其α分位数，则拒绝原假设，即拒绝域为{}W W α≤. 例7.4.6 略。
