第十章 相关与回归分析

（二）测定现象相关关系的密切程度 相关关系是一种不严格的数量关系，统计分析的任务之一就是要确
定这种数量关系的密切程度，通常是计算相关系数或相关指数以反映相
关关系的密切程度。
（三）构建现象相关关系数学模型 依据相关的密切程度，研究确定相关变量之间数量关系的表现形 式，确立恰当的数学模型，以便对其进行回归分析。
一、相关关系的判断
进行相关关系分析，首先要判断现象之间是否存在相关关系，这是 相关分析的出发点。判断现象之间是否存在相关关系，一般是对现象进 行定性分析、编制相关表和绘制相关图等到。
（一）定性分析
对现象进行定性分析，就是根据现象质的规定性，运用理论知识、 专业知识、实际经验来进行判断和分析。例如，根据经济理论来判别居 民的货币收入与社会商品购买力是否存在相关关系；根据生物遗传理 论，来判别父辈的身高与子辈的身高是否存在相关关系等。定性分析是 进行相关分析的基础，在此基础上，根据需要通过编制相关表和绘制相 关图来进行分析。
（三）按相关变量变化的方向不同分为正相关和负相关
当一个现象的变量数值增加或减少，另一个现象的变量数值也增加 或减少，两个变量的变动方向一致，有同增或同减的关系，称为正相 关。如在一定范围内，施肥量增多，亩产量也增多；单位产品原材料消 耗量降低，单位成本也随之降低等等，都是属于正相关现象。
当一ห้องสมุดไป่ตู้现象的变量数值增加时，另一个现象的变量数值相应地减 少，即两个变量是一增一减或一减一增的关系，称为负相关。如劳动生 产率的提高，产品成本降低；商品价格降低，商品的销售量增多；总产 量增加等等，都是属于负相关现象。
四、相关分析的任务 相关分析的目的，就是要在错综复杂的客观现象中，通过大量观察 的统计资料，探讨现象之间相互依存关系的形式和相关的密切程度，并 找出合适的表达形式，为推算未知和预测未来提供数据，具体任务有以 下几方面
（一）揭示现象之间是否具有相关关系 这要从两个方面加以判断：一方面要对现象之间的联系开展理论研 究，按照经济理论，专业知识和实践经验，进行定性分析和判断；另一 方面要对大量的实际统计资料，通过编制相关表，绘制相关图等一系列 统计分析方法，对被研究的现象变量之间是否真正存在相关关系作出统 计判断。
表10.2 某公司A产品广告费与销售收入单变量分组相关表
年广告费（万元）
年数累计
年销售收入（万 元）
2
2
50
3
1
52
4
1
53
5
1
53
6
3
55
7
2
56
表10.2将年广告费进行分组，并计算相同年广告费出现的次数。年
销售收入不分组，但要计算各组年销售收入的平均数。从表10.2可以看
出，随着年广告费的增加年销售收入的平均数也增加，二者之间具有线
（二）按相关的形式不同分为直线相关和曲线相关
直线相关又称线性相关指两个变量的对应取值在坐标轴上大致呈一 条直线。曲线相关指两个变量的对应取值在坐标轴上大致呈一条曲线， 如抛物线，双曲线、指数曲线等。
相关关系表现为直线或某一种曲线，这是客观现象本身所固有的， 不是由人的主观意识所决定的。现象表现为不同形式的相关关系，就要 用不同的统计方法去研究。因此，进行相关分析时，首先要确定相关关 系的表现形式。
依据表10.1的统计资料，绘制相关散点图如下：
图10.1相关散点图 上图的横轴表示产量，纵轴表示单位成本，两变量值的坐标点显示 两个变量的相关关系，从上图可以看出，与之间的相关关系近似于一条 直线，它们属于线性正相关。 在相关图中，若相关点呈现出一定的规律性，如大致为一条直线或 一条曲线，就表明现象之间存在相关关系，且为直线相关或曲线相关。 相关点越密集，表明相关关系越密切。若相关点分布没有规律，表明现 象之间没有相关关系或存在低度相关关系。 从以上分析可以看出，用相关表和相关图均能粗略观察出现象之间 相关关系。相关图与相关表相比较，都有能用来观察相关形态的作用， 但相关图应以相关表提供的资料为依据。
（四）按相关的程度分为完全相关、不完全相关和不相关
两个变量之间，当自变量为一定量时，因变量的改变量也随之完全 确定，这两个变量之间的关系，称之为完全相关。实质上就是确定性的
函数关系，也就是说，函数关系是特殊的相关关系。两种现象的变量各 自独立，互不影响，就称为不相关。例如，苹果的脆与甜是不相关的。 两个现象之间的关系，介于完全相关与不相关之间，称为不完全相关。 一般的相关现象都属于这种不完全相关关系。这类相关现象是相关分析 的主要研究对象。
数量表现形式，又往往需要使用函数关系的近似表达式。而且当我们对 现象之间的内在联系和规律性了解得比较清楚时，相关关系又可能转化 为函数关系。
二、相关关系的种类
现象之间的相关关系可以从不同的角度进行分类，不同种类的相关 关系需要用不同的方法进行研究。
（一）按相关的因素多少分为单相关和复相关
现象之间的相关因素，只涉及到一个自变量和一个因变量之间的依 存关系，就称为单相关。如果涉及到三个以上变量之间关系时，即一个 因变量与其中两个或多个自变量的复杂依存关系，就称为复相关，或多 元相关。在实际中，像施肥量与亩产量，身高与体重，总产量与单位成 本等都是单相关。资金周转速度、流通费用、销售量、销售价格与销售 利润间的关系即为复相关。从方法上讲，单相关是复相关的基础，在实 际工作中，如果存在多个自变量因素，常常都是抓住最主要的因素研究 其相关关系。也就是说，可以把多因素的复相关，抓住主要因素化成单 相关来加以研究和测定。
（3）r =＋1或r =－1，表明两现象完全相关。 （4）r = 0，表明两变量无直线相关关系。 （5）r＞0，现象呈正相关；r＜0，现象呈负相关。实践中，一般将 现象的相关关系分为四个等级：∣r∣＜0.3表示不相关，0.3≤∣r∣＜0.5 表示低度相关；0.5≤∣r∣＜0.8表示显著相关；∣r∣≥0.8表示高度相 关。
第十章 相关与回归分析
学习目标 知识目标： 了解相关分析的概念、内容和多元线性回归分析的基本思想；掌握 相关关系测定和一元线性回归分析的计算方法。 能力目标： 能够测定客观现象间是否具有相关关系；可以熟练地进行一元线性 回归计算和分析
第一节 相关分析的概念与内容
关键词：相关关系；函数关系；相关分析
一、相关关系的概念 在自然界和人类社会中，有许多现象之间存在着数量上的相互联 系，相互制约关系，这种关系可以概括为两种类型：一种是确定性的数 量依存关系，即函数关系；另一种是不确定的数量依存关系，即相关关 系。 函数关系指的是现象之间客观存在的，在数量变化上按一定法则严 格确定的相互依存关系。在这种关系中，当某一变量（自变量）取一个 值时，另一变量（因变量）就有一个完全确定的值与之对应，可以用数 学表达式表达出来。如，正方形面积S对于边长a的函数关系是，类似 地，在社会经济领域中，如工业总产值等于产品产量乘以产品出厂价 格，等等。也都属于这种函数关系。 相关关系是指现象之间客观存在的，在数量变化上受随机因素的影 响，非确定性的相互依存关系。当一个现象发生数量变化时，另一现象 也相应地发生数量变化，对于同一自变量值往往有一组不尽相同的因变 量值与之对应，这些因变量值在一定的范围围绕其平均数上下变动。例 如，家庭消费支出与家庭收入相关，但收入相同的家庭其消费支出并不 相同，原因在于影响家庭消费支出的因素除了收入以外，还有家庭成员 构成、生活方式、生活习惯、消费观念等一系列因素。从数量上分析现 象之间相关关系的理论和方法，我们称之为相关分析法。 相关关系与函数关系彼此有所不同，相关关系的范围比函数关系的 范围更广，函数关系可以说是相关关系的一个特例。但它们之间也是有 联系的，并没有严格的界限。一方面，有些现象从理论上说存在着函数 关系，可是在进行多次观察和测量时，由于存在测量误差等原因，实际 得到的数据往往也是非确定性的，这时就表现为相关关系。另一方面， 有些变量之间尽管没有确定性的函数关系，但为了找到相关关系的一般
（二）测定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间确实 存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对现象进行预测、 推算和决策。因此，判定现象间存在相关关系后，需要进一步测定相关 关系的表现形态和密切程度。统计上，一般是通过编制相关表、绘制相 关图和计算相关系数来做出判断。
表10.1 某公司A产品广告费与销售收入相关表
年份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年广告费 （万元）
2 23
4
5
6 6677
年销售收入 50 51 52 53 53 54 55 56 56 57
（万元）
表中资料表明，销售收入随着广告费的增加而增长，二者之间存在
着较明显的正依存关系。
根据对自变量是否分组，相关表分为简单相关表和分组相关表。表
三、相关分析的内容 相关分析是对客观经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种 统计方法。其目的在于对现象间所存在的依存关系以及所表现出的规律 性进行数量上的推断和认识，以便作出预测和决策。相关分析的内容包 括两个方面：
（一）判别现象间有无相关关系 现象间有无相关关系，这是相关分析的出发点。只有现象间确实存 在相关关系，才可能进行相关分析。所以进行相关分析时，首先要通过 定性分析，借助相关表和相关图来判别现象间是否确实存在相关关系， 否则就会产生认识上的偏差，得出错误的分析结论。
性相关关系。
表10.3 某公司A产品广告费与销售收入双变量分组相关表
年广告
年销售收入（万元）
合计
费（万 50～ 51～ 52～ 53～ 54～ 55～ 56～
元）
51 52 53 54 55 56 57
7
2
2
6 5
12 1 1
3 1
4
1
1
3
2
1
2
2
合计 2
1
1
1