趣味数学 有趣的拓扑学

有趣的拓扑原理
拓扑原理是一门研究空间形态和结构的数学学科。

虽然它看起来有些抽象，但是其实它涉及到我们日常生活的很多方面。

下面就介绍一些有趣的拓扑原理。

首先，我们来谈谈“无缝”连接的问题。

如果我们有一个圆环和一个球形物体，它们之间可以互相变形成为彼此。

这是因为它们都是同一种拓扑结构的。

但是，如果我们有一个球和一个面包圈，它们就不能变形为彼此，因为它们的拓扑结构不同。

这个原理非常有趣，它告诉我们两个物体之间是否可以变形为彼此。

接下来，我们来看看“马蜂窝”原理。

如果我们把一个平面图形覆盖上许多小圆，就像马蜂窝一样，那么这个图形上至少有一个圆点，如果我们把它扯开，就可以把这个图形变成一个平面，而不会影响其他圆点的位置。

这个原理告诉我们，一个平面图形的某些部分可以被拉伸和变形，而不会影响其他部分。

还有一个有趣的原理叫“四色定理”。

这个定理告诉我们，任何一个平面图都可以用最多四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。

这个定理看起来很简单，但是证明它需要很多复杂的数学技巧。

总之，拓扑原理是一门非常有趣的学科，它可以帮助我们更好地理解空间形态和结构。

这里介绍的只是其中的一些有趣原理，如果你对这个学科感兴趣，可以了解更多相关的知识。

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试一试吧，关于数学拓扑学的有趣游戏难题（37-46）编者按：你知道多年的窗户玻璃为什么会变得上薄下厚吗？你有办法使曲别针自己勾在一起吗？你见过在水泥地上扔灯泡而不使灯泡摔破吗？这里的游戏，妙就妙在无论是谁，几乎都没法在这些游戏中取胜。

这些游戏初看很简单，似乎很容易做，但是真正做起来，往往事与愿违，办不到。

你会玩得很开心，并从回答为什么办不到中学到许多有趣的科学知识。

首先奉劝各位读者，不要把这里的游戏跳过去！不少人觉得数学枯燥无味，似乎看见数字就讨厌。

我们在这一章里不讲什么加、减、乘、除，因为加减乘除四则运算只不过是数学的一部分，其实，数学内容范围很广，连打赌都是数学研究的范畴，这一点你也许没有想到吧。

打赌就是计算事情发生的可能性，科学上叫做概率，它是数学的一个分支——统计学所研究的问题。

数学上有几个数学分支是完全不用数字的。

以拓扑学为例，这是一门非常有趣的学科，它是专门研究物体形状的一门数学。

拓扑学中有许多有趣的问题，比如一张只有一面的纸，不用浆糊，把一个纸环剪成两个套在一起的纸环，等等。

实际上拓扑学对于大家来讲并不陌生，你们大概都玩过迷宫游戏和拼七巧板吧，这些就是拓扑学研究的范围。

来吧，让我们一起到一个新的数学天地中去游玩吧。

游戏三十七你能让两枚曲别针不勾在一起吗？拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S 形。

用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。

准备好了之后，两手分别抓住卷成S 形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。

虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地勾在一起了。

这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。

原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。

如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。

慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。

展示内容通过数组充满趣味性的数学益智游戏，锻炼观众的脑、眼、手等，增强逻辑分析能力与思维敏捷性。

科学原理九连环用九个圆环相连成串，以解开为胜。

华容道是古老的汉族民间益智游戏。

鲁班锁是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑，就像一张纸对折一下就能够立得起来。

榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫；凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用。

科技馆展品制作生产源头工厂-上海惯量自动化有限公司提示大家在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。

梵天塔游戏来源于印度的古老传说，在圣庙里有一块黄铜板上插着三根宝石针。

印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。

不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。

功能描述这是一个组合型益智游戏，包括九连环、华容道、鲁班锁、隼牟结构、解套等。

九连环：动手动脑，分别解开9个圆环。

华容道：移动各个棋子，用最少步数帮助曹操从出口逃走，期间不允许跨越棋子，且设法用最少的步数把曹操移到出口。

鲁班锁：开动脑筋，利用构件组装鲁班锁。

魔幻三角：将三角形装入盒子，移动、翻转、拼接各种三角图形，体验图形变化的乐趣。

解套：在不损坏金属架和绳子的条件下，将绳套从金属架上取下来。

完美正方形：将台面上的21个正方形模块置入凹槽，拼出一个完美的正方形。

三阶幻方：将圆形棋子放入嵌板内，组出一个三行三列的矩阵，满足“其对角线、横行、纵向的和都为15”的条件。

梵天塔：把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。

参与方式动手动脑，选择自己感兴趣的游戏进行体验。

表现形式模型互动。

生活中的拓扑现象
拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间和形状的性质，其中包括拓扑空间、连通性、紧致性、开集和闭集等概念。

尽管拓扑学最初是一门数学学科，但其概念和原理在日常生活中也有许多应用和体现。

以下是生活中一些拓扑现象的例子：
1. 咖啡搅拌：当你在一杯咖啡中搅拌糖或奶精时，你会观察到液体的拓扑变化。

最初的液体是连通的，但搅拌后，液体分成了数个不连通的部分。

2. 衣物的穿着：拓扑学可以解释为什么你可以把一双袜子套在脚上，而不需要把它们撕开。

这是因为袜子是一个连通的拓扑空间，可以伸缩并包裹在脚上，而不会破裂。

3. 电线的连接：当你连接电线或电缆时，你通常使用插头和插座。

这些插头和插座都设计成拓扑空间，以确保连接是稳固的。

例如，插头通常具有凸起和凹陷，以便正确连接。

4. 环形面包：环形面包是一个有趣的拓扑现象。

尽管它的形状是一个环，但从拓扑学的角度来看，它仍然是一个连通的拓扑空间，因为你可以在不断开面包的情况下穿越它。

5. 地图上的连通性：在地图上，拓扑学可以用来研究地理区域的连通性。

例如，分析一个城市的道路网络，以确定最佳路径或交通流量。

6. 软件界面设计：在用户界面设计中，拓扑学原理用于确定用户可以如何导航和互动。

例如，确定如何通过按钮、链接和菜单连接到不同的页面或功能。

7. 生物学中的DNA拓扑：DNA分子的结构也涉及拓扑学。

DNA可以被旋绕、交叉和环绕，这些过程会影响基因的表达和复制。

这些都是生活中拓扑学概念的一些实际应用和例子。

尽管拓扑学通常是一门抽象的数学学科，但它的原理在各种领域中都有实际价值。

【通俗数学】拓扑学介绍——从萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题谈起⼀、萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题萨姆·劳埃德是美国最杰出的趣题和智⼒玩具专家。

他死后由他⼉⼦印刷出版的《趣题⼤全》是⼀部包罗万象的开⼭巨作，我们现在所接触的趣题有相当⼀部分都是由⾥⾯的题⽬演化，延伸⽽来。

上⾯这本书就是马丁·加德纳从《⼤全》中精⼼挑选部分数学趣题编辑⽽成的。

我们今天要介绍的是其中的第82个数学趣题:不和睦的邻居们。

上图的三位邻居(他们的房⼦编号是A，B，C)住在同⼀个院⼦中，但他们不太和睦，经常吵架。

为了避免争执，他们决定分别从⾃⼰家门⼝修⼀条路到A，B，C三个⼤门，要求房⼦编号和⼤门编号相对应，且三条路互不相交。

问题1：如何画出这三条路吗？⼆、抽象成点和线的问题我们把院⼦简化成⼀个长⽅形，把三个房⼦和三个⼤门分别简化为A，B，C和A'，B'，C'六个点。

这时问题就变成：问题2：如何⽤三条互不相交的曲线分别连接AA',BB',CC'如果觉得这个问题很难的话，那是难在什么地⽅呢？嗯.....您可能会说A和C点的位置不好！呀，是的，如果A和C点对调⼀下，问题就简单了，三条线轻轻松松就连出来了。

三、慢慢地对调回去但我们还是要回到原先的问题中，所以我们要把A和C点对调回去。

但这次我们要慢慢地对调回去，⽽且始终让这三条线连着这六个点，且保持不相交。

这时，连接BB'的直线慢慢地被弯曲..........慢慢地被弯曲了............⼀直弯曲到A和C点的位置完全对调回去为⽌。

好了，这个时候问题的答案已经揭晓了！四、把院⼦变成⼀块巨⼤的橡⽪刚才，我们是将A和C点的位置对调后，连线，再慢慢对调回去，才找到答案。

现在我们将尝试另⼀种办法，把整个院⼦变成⼀块巨⼤的平⾯橡⽪。

我们假设这块平⾯橡⽪有⾜够好的弹性，可以被任意的形变，⽐如：弯曲，拉伸，收缩，挤压等，我们还假设橡⽪上不同的两个点不能被挤成⼀个点。

拓扑学的思维趣味从小到大，我的数学都是成绩较好的，学数学对我来说没有太大的困难，因为想象力丰富，我总是能联想到一道数学题的关键解法，例如辅助线的选取，立体几何的建模想象，但对数学感兴趣是称不上的。

直到高三，我最喜欢的科目是地理，平时会找一些关于地理的趣味视频观看，从一个视频中，我知道了一个定理，那就是：地球上一定至少存在一对完全相对的某两点，它们的气温和气压完全相同。

我被这个定理惊吓到了，气温气压之间的关系要受到天气、风、地表环境等很多方面因素的影响，虽说地球很大，要找到气温气压都相同的两点不是没有可能，可要找到一对对跖点，它们的气温气压完全相同，这听上去让人感觉太不可思议了，为了满足自己的好奇心，我查找了很多资料，甚至翻墙到外网，终于找到了证明过程，我了解到，证明这一现象，用的是数学方法——拓扑学中的Bosuk-Ulam定理。

证明过程如下：地球是个不规则的椭圆球体，我们假设它是一个规则的球体，这并不影响证明。

建立空间直角坐标系，假设地球是一个球心为坐标(0,0,0)，半径为1的球体。

此时，选取一条经线圈，假设你和你的妹妹沿着经线圈朝着同一个方向行走，唯一的要求就是在这条经线圈上，你和你的妹妹的位置永远保持纬度对称，直到你和你的妹妹交换了位置，这过程中绝对有一对对跖点你和妹妹的气温是相同的，因为在地球上，气温是连续变化的函数，不存在连续位置的点温度数值不连续。

再重复走过所有的经线圈，记录所有气温相同的点，把得到相同气温所在的点连起来，得到的必是一个封闭的环（这里可用反证法证明，如果存在温度不连续的点，那么就可以得到一个温度不连续的经线圈，这与地球上的气温是一个连续函数的事实相违背）。

然后你和你的妹妹沿着纬线同方向走过这个圆环，还是要保持经度的对称，直到你们交换位置，记录下途中所有的气压，因为气压也是连续的函数，所以必有一点你和妹妹的气压也相同。

这样，在气温对称相同的圆环上，找到气压对称相同的点，就证明了地球上一定至少存在一对完全相对的某两点，它们的气温和气压完全相同。

[高中数学课程扩展模块之十一：]拓扑趣谈张远南在《奇异的莫比乌斯带》和《有趣的图论》等模块中，读者已经领略过一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑尺寸大小的新几何学的课题。

莱布尼茨和欧拉称之为“位置几何学”。

如今，这一新几何学已经发展成一门重要的数学分支——拓扑学。

它就是本模块要讲述的主题。

一、橡皮膜上的几何学1、拓扑学研究的范畴拓扑学研究的课题极为有趣。

比如：左手戴的手套能否在空间掉转位置后变成右手戴的手套？一个车胎能否从里面朝外头把它翻转过来？是否存在只有一个面的纸张？一只有耳的茶杯与救生圈或花瓶比较，与哪一个更相似些？诸如此类，都属于拓扑学研究的范畴。

许多难以置信的事情，在拓扑学中似乎都有可能。

下图是一幅超现实的图画，画的是一个人在地上走，并抬头仰望蓝天。

不过这里已经用拓扑学变换的方法，把宇宙翻转了过来。

图中的地球、太阳和星星，都被挤到了人体内一个狭窄的环形通道里，四周则是人体的内部器官。

该图选自美国著名物理学家盖莫夫教授的著作《One, Two, Three, ……Infinity 》一书。

拓扑学是一门研究一对一连续变换的几何学，所以在拓扑学中，人们感兴趣的只是图形的位置，而不是它的大小。

有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学，这是十分恰当的。

因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，虽然它上面的点一对一地连续变换，但其长度、曲直、面积等等都将发生变化，此时谈论“有多长”、“有多大”之类的问题，是毫无意义的！不过，在橡皮膜上的几何里，也有一些图形的性质保持不变。

比如，点变化后仍然是点，线变化后依旧为线，相交的图形绝不会因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学。

2、内部与外部一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两个部分。

如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”。

从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线。

有趣的拓扑原理拓扑学，是现代数学中的一个分支，探讨的是“空间形状”的概念。

而拓扑学表达的常常是超出常人的想象力的各种理论和定理。

但这些定理往往在解决一些实际问题时，显得游刃有余，这就令人惊奇了。

因为拓扑学在解决实际问题时，采用的是更加直观的方法。

本文将会介绍一些具有趣味性的拓扑原理，这些原理拓扑学家们用尽聪明才智，交织起来，形成了一系列神奇的结果。

1. 空间切刀定理：空间切刀定理可以用来描述一个普通的球体的一些非常奇特的性质。

这个球体表面可以被平均分成任意个平面的小片，只要所用的平面数量足够多，且切得足够小。

这给我们一个奇怪的想法：我们可以用平面不断切割空间中的任意形状，并且我们可以将这个形状分成尽可能小的碎块，只要所用的平面足够多，且切割得足够细。

但我们必须明确：空间切刀定理中的“足够多的平面”是一个数学含义。

而且，这个定理也有它的局限性。

例如，很难将一个包含两个异面的曲面切割成最小的碎块。

但是，这个定理很有用处，因为它证明了一个事实：几何的碎片可以被重新组合成不同的形状，而不改变它们原来的面积或体积。

这个思想为卡塔兰儿童乐园的设计提供了灵感。

2. 像素等价定理：在数字图像处理中，像素等价定理非常有用。

该定理说明，一张数字图像（尤其是黑白图像）是由一系列像素点组成的，如果两个像素点完全相同，则它们在图像处理中可以看作等价的。

例如，在对语音的音频信号进行数字化处理时，如果两个数字化的信号完全相同，它们可以视为相同的信号，然后可以根据分析出的特征信息进行声音识别。

像素等价定理也可以被用于学习如何制作各种类型的数字滤波器。

例如，在数字图像中，如果两个像素点的亮度值恰好相同，则这两个像素点可以视为相同的点。

根据这个想法，我们可以设计一种滤波器，只允许相邻两个像素点之间的亮度差小于某一特定阈值的像素通过。

这样，我们就可以轻松地滤除图像中的噪点和干扰，使它更清晰。

3. 索基定理：索基定理是拓扑学中的一个非常有用的定理，讨论的是连通性和完备性的关系。