三年级下册数学思维拓展训练 简单的三阶幻方 全国通用

三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。

同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。

因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e 36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

第四讲奇妙的幻方专题解析：在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等（这个相等的和叫做幻和），通常这样的图形叫做三阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶，还有四阶、五阶，……，直到任意阶。

开心进入：1、把1－5这5个自然数，分别填入图2－4中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。

问如何填法？开心探究：例1、请你将1～9这九个数字填在方格里，使每横行、每竖行和对角线上的三个数的和都相等。

小结：（1）幻和=九个数之和÷3（2）幻和=中心数×3（3）九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。

（4）相邻边上两个中间数的平均数=对角上的数例2、将7～15九个数填入左图空格中使每横行、纵列、对角线的和都相等。

练一练：将10～18九个数填入左图空格中使每横行、纵列、对角线的和都相等。

例3、请你编出一个三阶幻方，使其幻和为24。

例4、在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图9。

请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36。

练一练：请你编出一个三阶幻方，使其幻和为45。

例5、根据所给数字，完成下面三阶幻方。

小结：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。

利用幻和=中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。

练一练：下图每行每列，对角线的和都是18，请填出空格中的数。

课后练习：一、体验成功1、用1～9这九个数字补全图12中的幻方，并求出幻和。

2、将2～10这九个数分别填入3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

3、将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。

三阶幻方20道题一、基础数字型1. 用1 - 9这九个数字组成一个三阶幻方，使每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等。

这就像是把9个性格各异的小伙伴（1 - 9这些数字）安排在一个九宫格的小房间里，让每行、每列、每条对角线上的小伙伴凑在一起的力量（数字之和）都一样呢。

2. 请用3、4、5、6、7、8、9、10、11这九个连续的数字构建一个三阶幻方。

想象一下，这就像把九个连续的小怪兽按照特殊的规则（幻方规则）关在九宫格的笼子里，让它们横竖斜都保持一种神秘的平衡。

3. 用5、6、7、8、9、10、11、12、13构建三阶幻方。

这九个数字就像九个魔法小精灵，要让它们在九宫格这个魔法阵里站好位置，使得每行、每列、每条对角线小精灵的魔力总和（数字之和）是一样的哦。

二、给定和值型4. 构建一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上的数字之和为15。

这就像是一场数字的聚会，每个数字都要找到自己的位置，让三个数字凑在一起的总和是15这个神奇的数字。

5. 构造一个三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的数字之和为18。

你可以把它想象成一个数字拼图游戏，把合适的数字放进九宫格，让它们达到18这个“小目标”。

6. 制作一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的数字之和为21。

这就像要把数字当作小砖头，砌成一个九宫格的小房子，而且这个小房子的每条边（行、列、对角线）所用砖头数量之和（数字之和）得是21呢。

三、部分数字给定型7. 在三阶幻方中，左上角的数字是1，其他数字未知，请完成这个幻方。

这就像在一个神秘的九宫格迷宫里，你已经知道了入口（左上角数字1），现在要根据幻方的魔法规则找到其他数字的出口。

8. 已知三阶幻方中间一格的数字是5，构建完整的幻方。

这个5就像九宫格的中心小太阳，你要围绕着它放置其他数字，就像行星围绕太阳一样，让整个幻方符合规则。

9. 三阶幻方的右下角数字是9，请完成这个幻方。

这个9就像一个小尾巴，你得从这个小尾巴开始倒推，把其他数字合理地安排在九宫格中。

三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。

同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。

因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e 36045⨯=-ee =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

三年级幻方奥数题一、幻方基础概念。

幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。

在小学三年级奥数中，幻方主要涉及到一些简单的数字组合与规律探索。

1. 用1 - 9这九个数字构造一个三阶幻方。

- 解析：求幻和。

1+2+3+…+9 = 45，因为三阶幻方每行、每列、每条对角线上的数字之和相等，且三阶幻方有三行，所以幻和为45÷3 = 15。

- 中间数是5（因为1 - 9的中间数是5），然后根据幻和是15来凑数。

例如，1+9+5 = 15，2+8+5 = 15等。

一种常见的三阶幻方为：816.357.492.2. 在一个三阶幻方中，已知左上角的数字是1，幻和是15，求其他数字。

- 解析：因为幻和是15，左上角是1，那么第一行中间数为15 - 1 - （15 - 1 - 9）= 5（先根据幻和与已知数求出第一行第三个数是9，再求中间数）。

然后根据幻和依次求出其他数字。

第一列中间数为15 - 1 - 7 = 7（因为第三个数是9，幻和15，所以求出这个数），第三列中间数为15 - 9 - 3 = 3等。

完整的幻方为：159.753.753.3. 用3、4、5、6、7、8、9、10、11构造一个三阶幻方。

- 解析：先求幻和，3 + 4+5+…+11=(3 + 11)×9÷2 = 63，幻和为63÷3 = 21。

中间数是7。

然后凑数，3+11+7 = 21，4 + 10+7 = 21等。

幻方如下：1038.579.6114.4. 一个三阶幻方的幻和是18，已知中间数是6，求这个幻方的其他数字。

- 解析：因为幻和是18，中间数是6。

设左上角数字为x，第一行中间数为y。

则x + y+ (18 - x - y)=18，根据幻和与中间数的关系可知，与6在一条直线上的两个数之和为12。

例如，若左上角为4，第一行中间为8，然后根据幻和求出其他数。