高一数学复习考点知识讲解课件第2课时 圆的一般方程考点知识1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题．导语 我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？一、圆的一般方程的理解问题1如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0能表示圆的方程，有什么条件？提示将方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，当D2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆．问题2当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示什么图形？ 提示当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.知识梳理1．圆的一般方程的概念方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)叫作圆的一般方程(generalequationofcircle)．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F .3．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明方程条件 图形x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＜0 不表示任何图形D 2＋E 2－4F ＝表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2D 2＋E 2－4F ＞0 表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x 2和y 2的系数相同且不为0，没有xy 这样的二次项． (2)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0. 例1若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆．(1)求实数m 的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解(1)由表示圆的充要条件， 得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m ,1)，半径r ＝1－5m .反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，在x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中，若D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．跟踪训练1(1)若方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，2|a |2解析方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)，可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝a 22，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，半径为2|a |2.(2)点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案9π解析圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1，由圆的性质，知直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4， 圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π.二、求圆的一般方程例2已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．解设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0， 即(x ＋3)2＋(y －1)2＝25，∴△ABC 的外接圆圆心为(－3,1)． 反思感悟应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求△ABC 的外接圆的方程． 解设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.三、圆的一般方程的实际应用例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB ＝20m ，拱高OP ＝4m ．建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m)．解建立如图所示的直角坐标系，使线段AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，由题意知， P (0,4)，B (10,0)，A (－10,0)，设圆拱所在圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为点A ，B ，P 在圆上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧42＋4E ＋F ＝0，102＋10D ＋F ＝0，(－10)2－10D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝21，F ＝－100，故圆拱所在圆的方程为x 2＋y 2＋21y －100＝0， 将P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程得y ≈3.86(m)． 故支柱A 2P 2的高度约为3.86m. 反思感悟解应用题的步骤 (1)建模．(2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论．跟踪训练3赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m ．求这座圆拱桥的拱圆的方程．(精确到0.01)解建立如图所示的坐标系，则A (－18.7,0)，B (18.7,0)，P (0,7.2)， 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧(－18.7)2－18.7D ＋F ＝0，18.72＋18.7D ＋F ＝0，7.22＋7.2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ≈41.37，F ＝－349.69所以圆的方程为x 2＋y 2＋41.37y －349.69＝0.1．知识清单：(1)圆的一般方程的理解． (2)求圆的一般方程．(3)圆的一般方程的实际应用．2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．3．常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件．1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在答案A解析方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是()A．m＜12B．m≤12C．m＜2D．m≤2 答案A解析由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜12，故选A.3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝________.答案－2解析由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2. 4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________. 答案4解析以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16.即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F ＝4.课时对点练1．(多选)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a的值可以为() A ．－2B ．0C ．1D.23 答案ABD解析根据题意，若方程表示圆，则有(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得a <1，又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，则a 的值可以为－2,0，23.2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为() A ．3B.5C ．5D ．4 答案D解析圆的方程x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0， 即(x ＋a )2＋y 2＝a 2－9，它的圆心坐标为(－a ,0)，可得a ＝－5， 故它的半径为a 2－9＝25－9＝4.3．(多选)下列结论正确的是()A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B．圆的一般方程和标准方程可以互化C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0答案ABD解析AB显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)；D正确．4．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为()A．2B．－1C．－2D．0答案D解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．∴2－2＋m＝0，解得m＝0.5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5答案C解析把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1)．设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)， ∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.6．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α等于()A.π2B.π4C.3π4D.π5答案C解析x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2，所以当k ＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为3π4.7．方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a ＋b ＋c ＝________. 答案2解析根据题意，得方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，－b 2＝2，14(a 2＋b 2－4c )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－4，c ＝4.∴a ＋b ＋c ＝2. 8．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的一般方程为________________．答案x 2＋y 2－4x －5＝0解析设圆C 的圆心坐标为(a ,0)(a >0)， 由题意可得|2a |5＝455， 解得a ＝2(a ＝－2舍去)，所以圆C 的半径为22＋(－5)2＝3，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0.9．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．解(1)圆的方程化为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝1＋6t －7t 2.由7t 2－6t －1<0，得－17<t <1.故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t ＋3,4t 2－1)，半径为1＋6t －7t 2.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1 ＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167≤477. 所以r 的最大值为477，此时t ＝37，故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. 10．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0.(1)求此圆的圆心与半径．(2)求证：无论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆．(1)解x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为[x ＋(m －1)]2＋(y －2m )2＝9， 所以圆心为(1－m ,2m )，半径r ＝3.(2)证明由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－m ，b ＝2m ，即2a ＋b ＝2.所以无论m 为何值，方程表示的是圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且半径都等于3的圆．11．圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3答案C解析由于圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心为N (2,0)，又两圆关于直线x －y －1＝0对称，故有1－0a 2－2×1＝－1，解得a ＝2.12．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为() A.5B ．5C ．25D ．10答案B解析圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.13．已知圆C 经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C 与两坐标轴的四个截距之和为________． 答案－2解析设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0，25＋1＋5D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，则y 2＋4y －20＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－4；令y ＝0，则x 2－2x －20＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，故圆C 与两坐标轴的四个截距之和为y 1＋y 2＋x 1＋x 2＝－4＋2＝－2.14．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是____________．答案3x －2y －3＝0解析圆的方程x 2＋y 2－2x －3＝0，化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1,0)，由k AB ＝－23，得AB 的垂直平分线的斜率为32，且过圆心，从而所求直线方程为y －0＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.15．已知点P (7,3)，圆M ：x 2＋y 2－2x －10y ＋25＝0，点Q 为圆M 上一点，点S 在x 轴上，则SP ＋SQ 的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案C解析由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q<S′P′＋S′Q＝S′P＋S′Q.故(SP＋SQ)min＝P′M－1＝(1－7)2＋(5＋3)2－1＝9.16．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(3)求曲线W 的最小覆盖圆的方程．解(1)由题意，得t ＝－2，由于△ABC 为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC 的最小覆盖圆． 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，4＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－3，E ＝0，F ＝－4.所以△ABC 的最小覆盖圆的方程为x 2＋y 2－3x －4＝0.(2)因为线段DB 的最小覆盖圆就是以DB 为直径的圆，所以线段DB 的最小覆盖圆的方程为x 2＋y 2＝16.又因为OA ＝OC ＝2<4(O 为坐标原点)，所以点A ，C 都在圆内． 所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程为x 2＋y 2＝16.(3)由题意，知曲线W 为中心对称图形．设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 40＝16.所以OP 2＝x 20＋y 20(O 为坐标原点)，且－2≤y 0≤2.故OP 2＝x 20＋y 20＝16－y 40＋y 20＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－122＋654，所以当y20＝12时，OP max＝652，所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝654.。
