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k 1
∴
2
二、二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向 顶点坐标 (0,0)
y轴
y ax
2
y ax c y a( x h)
2
2
y a( x h) k
2
y ax bx c
2
b 2 4ac b 2 y a( x ) 2a 4a
当a>0时开口向上，并向上无限延伸； 当a<0时开口向下，并向下无限延伸.
四、数形结合
一、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次 函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若 △AOP的面积为6.(1)求二次函数的解析式.
解;由已知,A(4,0),B(0,4)得直线AB的解 析式为 y=-x+4, y 作PE⊥OA于E, 则 0.5OA×PE=6, 可得PE=3 B 当y=3时,3=-x+4, ∴ X=1, ∴ P(1,3) P ∵P在抛物线上, ∴把x=1,y=3代入y=ax2 ,得a=3, O E A 2 ∴ y=3x
开口向上
对称轴是：直线x 1
二次函数的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c与图象的关系
a决定开口方向：a＞０时,开口向上，a＜０时,开口向下 a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
泉上初级中学九年级：数学组
一、二次函数的定义
1.定义：一般地,形如 y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做二式一定是整式,a,b,c为常数, 且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
如： y＝－x2， y＝2x2－4x＋3 ， y＝100－5x2， y=－2x2＋5x－3 等等都是二次函数。
b 4ac b 2 x 时，ymax 2a 4a
y y x x
x 0时 x 0时 a<0 y max 0 ymax c
a>0
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 增 减 性 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
x=h时 x=h时 ymax=0 y=k
在对称轴左侧，y随x的增大而增大 a<0 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
(三)由函数图象上的点的坐标求函数解析式
求下列条件下的二次函数的解析式: 1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0）， （1，﹣3），（2，﹣8）。 2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3）， 且图象过点（－3，－2）。 3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且 经过点(2,12)
a
a,b
c
c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
练习：
1.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）. A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
2.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2 －4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ ） A.y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a>0) C.y=-x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
y
x -2 -1 o 1 2
三、二次函数解析式的几种基本形式:
1 ax bx c(a 0) 、y
2
一般式
已知任意三点坐标
2、y a( x m) k (a 0)
2
顶点式 （配方式）
已知顶点坐标、对称轴或最值
练习：
根据下列条件选择合适的方法求二次函数解析式： 1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，3）三点。 2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个 交点的横坐标是8。 3、抛物线经过点（4，-3），且x=3时y的最大值是4。
0 k ① 解：根据题意，得 2 2 k 2 k 1 2 ②
1 2 k 2 k 1 例1、函数y (k ) x 是二次函数， 2 -1 则k _______ . 1
1 由①，得：k 2 1 由②，得： 1 k , k 2 1
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
练习： 1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如上图所示，那么下列判断正确的有（填 ② ③ 序号） . ① abc>0, ② 4a-2b+c<0, ③ 2a+b>0, ④ a+b+c<0,⑤ a-b+c>0, ⑥ 4a+2b+c<0,
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 y 图所示，则a、b、c的符号为（ ） C
A、a>0,b=0,c>0 C、a>0,b=0,c<0 B、a<0,b>0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
o
x
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数 y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（ C）
(0,c)
y轴
(h,0)
直线x=h
(h,k)
直线x=h
对称轴
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a b 直线 x 2a
最 值
x 0时， 0时， x a>0 ymin 0 ymin c
x=h时 y=0
x=h时 y=k
b 4ac b2 x 时，ymin 2a 4a
练习： 5、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
y
y x
x
o
6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0
1 2 2 x x 例2、函数 y 的开口方向向上 2 3
1 ( 1, ) 顶点坐标是 ，对称轴是 直线x 6 1 2 解： a , b 1, c 2 3
，
1 .
a 0,
1 2 2 4 1 2 b 1 4ac b 1 2 3 又 1 ， 1 1 2a 4a 6 2 4 2 2 1 ∴ 顶点坐标为: (1, 6 )
(二)根据函数性质判定函数图象 之间的位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y y y y
O
x O x O
x O x
A B C D
答案: B
