补充例题

例1 一平面曲线上任一点的切线垂直于该点与原点的连线，即其上任意一点的法线通过原点，试建立该曲线满足的方程式；又若已知该曲线过点(1,2)，求出该曲线方程。

解 设所求曲线为()y y x =,其上任一点(,)p x y 处的切线斜率为'y ，而点p 与原点的连线的斜率为y x，由题意应有'1yy x =-即dy ydx x=- (1.1) 这就是所求曲线应满足的方程，它包含自变量x ，未知函数y 及未知函数的导数dy dx。

为求解方程(1.1)，将(1.1)变形为22''()'yy x y x =-=-或 () (1.2) 将(1.2)式两边积分得22()x y C C +=为任意常数. (1.3) 又已知曲线过点(1,2),即当x=1时y=2,代入(1.3) 式得1+4=C ，于是所求曲线方程为225x y +=.例 2 某缉私艇雷达发现距c 海里处有一艘走私船正以匀速度a 沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度b 追赶。

若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰的追逐路线和追上时间。

解 如图所示，选取走私船逃跑的方向为y 轴，缉私舰在(c,o)位置时发现走私船在(0,0)处，显然缉私舰、走私船的大小比它们运动的范围小得多，可视为两个质点，设时间从缉私舰发现走私船时算起，在时刻t ，走私船到达点，缉私船到D(x,y)，因直线DR 与路线相切，由几何关系有tan dy y at dx xα-== 或dy x y at dx==- （1.4） 为消去t ，先把（1.4）对x 求数得22d y dtx a dx dx=- （1.5） 又dsb dt =，从而1dt dt ds dx ds dx b =⋅=- （1.6） 这里有负号是因为s 随着x 的减小而增大，结合（1.5）与（1.6）得到追击路线的微分方程22d y x dx = （1.7） 其中ak b=，而且还知曲线方程()y y x =满足条件 ()0,'()0y c y c == (1.8)例 3 求解方程dy xdx y= 解 将方程变量分离，得到ydy xdx =，两边积分，得 221222x Cy =+. 因而通解为22y x C -=， 这里C 为任意常数。

或者解出y ，写成显函数形式的解2y =.例 4求dy dx=的通解。

解 若210y -≠，将原方程变量分离，得到dx =，两边积分，得arcsin y x C =+ 或 sin()y x C =+.这就是原方程的通解。

此外，易验证±y=1也是原方程的解，但并未包含在通解中，故应补上。

例 5 求解初值问题2'cos 1x y y x y =⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解 当0y ≠时，将方程分离变量，得到2cos dy xdx y =两边积分，得 1sin x C y -=+.因而通解为 1sin y x C =-+.这里C 为任意常数。

此外，方程还有解0y =.将初始条件:x=0,y=1代入通解中，得到C=-1，因而所求初值问题的解为11sin y x =-。

例 6（生物总数的Logistic 方程）设某生物种群的总数y(t)随时间t 而变化，变化率与y 和(m-y)的乘积成正比，求y （t ）的表达式.解 由题设条件知y(t)满足微分方程()dyky m y dt=- 其中0k >为比例常数，将方程分离变量后得()dykdt y m y =-两端积分，得 111ln ln ln y m y kt C m m m--=+ 化简得mkt yCe m y=- 从而可得通解为11mkt my C e --=+对通解的表达式取极限得lim ()t y t m →+∞=这时称y(t)是动态稳定的，称m 为容纳量。

例 7 解初值问题'(1ln ),(1).y yy y e x x=+=解 令yu x=，即y xu =，方程化为(1ln ).du u x u u dx+=+分离变量，得,ln du dxu u x=两边积分，得lnln ln ln u x C =+ 或,Cxu e =则原方程通解为 .Cxy xe =将1,xy e ==代入通解得1C =，初值问题的解为.xy xe =例 8 求方程()()x y dy x y dx -=+的通解 解 将原方程写为,dy x y dx x y+=- 所以 1,1y dy x y dx x+=- 这是一个其次方程。

令yu x=，代入原方程得1'.1uu xu u++=-分离变量，得 221,1u dxdu u x+=- 两边积分，得21arctan -ln(1)ln 2u u x C +=+ 将yu x =代入上述表达式中，得221arctan ln()ln ln 2y x y x x C x -++=+所以原方程的通解为221arctan ln()2y x y x -+。

例 9 求方程522(1)1dy y x dx x -=++的通解 解 这是一个非齐次线性方程，由通解公式（1.13）得方程的通解为22511252ln 12ln 12122322[(1)] [(1)](1)[(1)]2(1)[(1)].3dx dx x x x x y eC x edx eC x edx x C x dx x C x -+++-+⎰⎰=++=++=+++=+++⎰⎰⎰例 10 求方程22dy y dx x y =-的通解.解 原方程不是未知函数y 的线性方程，但我们可以把它改写为22dx x y dy y -=，即 2dx x y dy y -=-， 1.14）把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样对于x 及dxdy 来说，方程（1.14）就是一个线性方程，利用通解公式（1.13）便得所求通解为(ln ).zx y C y =-例 11求方程4dy y dx x-=的通解. 解原方程是伯努利方程，令112zy-==24.dz z xz dx x-= 当0z ≠时，得到关于z 的线性方程2.2dz x z dx x -= 由通解公式（1.13）得2221()(ln ),22dx dx xxx y eC edx x C x -⎰⎰=+=+⎰原方程通解为421(ln ).2y x C x =+此外，对应于z=0，还有y=0.第二节例题例 1 求''xy xe=的通解解 对原方程两端相继几分两次，得'111212(1)[(1)](2)x x x x y xe dx C x e C y x e C dx C x e C x C =+=-+=-++=-+++⎰⎰这就是所求的通解。

例 2 求解初值问题2''(')2,(0)0,'(0) 2.y y y e y y -⎧+=⎨==⎩解 方程中不显含自变量x ，令dy z dx =，则22''d y dz dzy z dx dx dy===，因此原方程化为22.y dzzz e dy-+= 这是未知函数z 关于y 的伯努利方程，即12.y dzz e z dy--+= 为求解此方程，我们令1(1)2,u z z --== 则方程是u 的线性方程24.ydu u e dy-+= 由第一节中的通解公式（1.13）得到上述方程的通解为22211(4)(4).dydy yy y u eC e e dy e e C ---⎰⎰=+=+⎰由(0)0,'(0)2,(0)2y y z ===，即(0)0u =，得10C =，于是24.yz u e -==又由初始条件(0)'(0)2z y ==可知z 应取正值，所以22.y dzz e dx-== 分离变量得21,2y e dy dx = 积分得此方程通解为222,2ln().y e x C y x C =+=+即由y(0)=0得21C =，因此所求初值问题的解为2ln(1)y x =+例 4 求下列方程的解：''''''''(1)40; (2)20; (2)2100y y y y y y y y -=++=++=解 （1）特征方程为240λ-=，解得特征根为122,2λλ==-，故原方程的通解为2212;x x y C e C e -=+（2）特征方程为2210λλ++=，解得特征根为121λλ==-，故原方程的通解为12();x y C x C e -=+（3）特征方程为22100λλ++=，解得特征根为1213,13i i λλ=-+=--，故原方程的通解为12(cos3sin3);x y e C x C x -=+例 5 求方程2'''2321x y y y xe x +-=+-的通解解 特征方程220r r +-=有特征根121, 2.r r ==- 右端自由项 212()321()(),x f x xe x f x f x =+-=+其中212()21,()3x f x x f x xe =-=由于对应于12()()f x f x 和的特解形式不同，我们分别求其解，然后用叠加原理.对于方程2'''221y y y x +-=-，右端自由项为22021(21).x x x e -=-由于0不是特征根，应设其特解的形式为*21y Ax Bx C =++其中A 、B 、C 为待定系数，将***111'''y y y 、、代入方程2'''221y y y x +-=-，得222(2)2221Ax A B x A B C x -+-++-=-2 令等式两端x 同时幂系数相等，得2220221A A B A B C -=⎧⎪-=⎨⎪+-=-⎩2由此解得，于是*212y x x =--- 对于方程'''23x y y y xe +-= （2.14）右端自由项3xxe 中3x 是一次多项式，又1是单特征根，应设特解的形式为*2()x y x Ax B e =+ 其中A 、B 是待定系数，将***222'''y y y 、、代入方程(2.14)，得 6(23)3x x x Axe A B e xe ++= 于是可确定11,23A B ==-，故*211().23x y x x e =- 由叠加原理，原方程通解为221211() 2.23x x x y C e C e x x e x x -=++----例 6 求微分方程''cos 2y y x x +=的一个特解.解 所给方程式二阶常系数非齐次线性方程，且()f x 属于[()c o s ()s i n x l n e P x x P x x λωω+型（其中0,2,(),()0l n P x x P x λω====）与所给方程对应的齐次方程为''0,y y += 它的特征方程为210.r+= 由于这里2i i λω+=不是特征方程的根，所以应设特解为 *()cos 2()sin 2.y ax b x cx d x =+++把它代入所给方程，得(334)cos 2(334)sin 2cos 2.ax b c x cx d a x x x --+-++= 比较两端同类项的系数，得31,340,30,340,a b c c d a -=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪--=⎩ 由此解得14,0,0,,39a b c d =-===，于是求得一个特解为 14*cos 2sin 2.39y x x x =-+例 7 求方程''2'2cos xy y y e x -+=的通解.解 特征方程2220r r y -+=有特征根1r i =±.右端自由项为 0()cos [()cos 0sin ]x x f x e x e P x x x ==+⋅，其中0()1P x =是零次多项式.由于1i ±是特征根，故特解应具有形式*(cos sin )x y xe A x B x =+，把***'''y y y 、、代入原方程并化简得2cos 2sin cos x x x Be x Ae x e x -=， 比较两端1,02B A ==，于是 1*sin 2x y xe x =， 从而原方程通解为121*(cos sin )sin 2x x y e C x C x xe x =++.。