平面向量与复数

平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。

通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。

本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。

比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。

它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。

3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。

5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。

6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。

复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。

即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。

2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。

3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。

如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。

复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。

一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。

复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。

2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。

共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。

3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。

复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。

4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。

欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。

二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。

平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。

减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。

2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。

数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。

3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。

4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。

第06讲-平面向量与复数(解析版)第06讲-平面向量与复数(解析版)平面向量与复数是数学中的两个重要概念，它们在解析几何和复数运算中起着重要的作用。

平面向量用来描述平面上的位移和方向，而复数则是由实部和虚部构成的数，可以表示平面上的点与向量。

平面向量的定义与性质平面向量可以理解为带有方向的位移量，它由两个点确定，可以用向量箭头表示。

一个平面向量可以表示为AB(向量上面带有箭头)，其中A和B为向量的起点和终点，也可以使用向量的分量形式表示为向量的横坐标和纵坐标。

平面向量有一些重要的性质，首先，向量的大小用向量的模表示，表示为|AB|，即向量的长度。

其次，向量可以进行加法和乘法运算，向量的加法是指向量与向量相加的运算，向量的乘法是指向量与标量相乘的运算。

向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。

向量的乘法也满足一些性质，标量与向量相乘，可以改变向量的大小和方向，但是不改变其方向。

平面向量可以表示为有向线段，即从起点指向终点的线段。

向量的方向可以用角度来表示，称为向量的方向角。

向量的方向角可以通过三角函数来计算，其中正弦和余弦分别表示向量的纵坐标和横坐标与向量模的比值。

复数的定义与性质复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数在解析几何和电路等领域有广泛应用。

复数有一些重要的性质，首先，复数可以进行加法和乘法运算。

复数的加法满足交换律和结合律，即a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i。

复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。

复数可以表示为平面上的点，其中实部对应点的横坐标，虚部对应点的纵坐标。

复数的大小用模表示，表示为|a + bi|，即复数的距离原点的距离。

平面向量与复数的联系与应用一、引言平面向量和复数是高中数学中常见的概念，它们在几何学和代数学中有着密切的联系与应用。

本文将探讨平面向量和复数之间的联系，以及它们在数学和物理中的应用。

二、平面向量与复数的定义和表示方法1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。

平面向量也可以用坐标表示，如A B⃗= (x,y)，其中(x,y)为向量的坐标。

2. 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中a 和b为实数，i为虚数单位。

复数可以用平面上的点表示，其中实数部分对应横坐标，虚数部分对应纵坐标。

三、平面向量与复数的联系平面向量和复数之间有着密切的联系，具体体现在以下几个方面。

1. 向量的加法与复数的加法向量的加法满足平行四边形法则，即A B⃗ +B C⃗ =A C⃗。

复数的加法满足实部相加，虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

2. 向量的数量积与复数的乘法向量的数量积满足A B⃗·B C⃗=|A B⃗||B C⃗|cosθ，其中θ为两向量夹角。

复数的乘法满足(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 平面向量与复数的相互转换对于平面上的向量A B⃗，可以与点B对应的复数表示形式相互转换。

即向量A B⃗对应的复数表示为z=x+yi，其中x和y分别为向量的分量。

四、平面向量与复数的应用平面向量和复数在数学和物理中有广泛的应用。

1. 平面向量的应用平面向量常用于解决几何学中的问题，如直线的判定、线段的长度和夹角的计算等。

此外，在力学和电磁学中，平面向量也被广泛应用于力的合成、力矩的计算等物理问题的求解。

2. 复数的应用复数在代数学的求解中有重要的应用。

它可以用于解决各类代数方程，如一元二次方程、三角方程等。

复数的应用平面向量复数的应用——平面向量复数是数学中的一个重要分支，它在平面向量的研究中起到了关键作用。

平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，它可以用复数来表示。

本文将介绍复数在平面向量中的应用。

一、复数的定义与基本运算复数是由实数和虚数构成的数，形式可表示为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。

复数的加减法与实数的加减法相似，乘法与实数的乘法也遵循相同的规律。

二、复数表示平面向量复数可以表示平面向量的长度和方向。

对于平面上的向量AB，可以用复数表示为a+bi，其中a和b分别为向量的水平分量和竖直分量。

复数的模表示向量的长度，辐角表示向量的方向。

三、复数的加法平面向量的加法可以转化成复数的加法。

设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相加的结果为(a+c)+(b+d)i，即两个复数实部相加得到新复数的实部，虚部相加得到新复数的虚部。

四、复数的乘法平面向量的乘法可以通过复数的乘法运算来实现。

设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相乘的结果为(ac-bd)+(ad+bc)i，即两个复数的实部和虚部按照一定规律相乘。

五、复数的共轭与模的平方复数的共轭指将复数的虚部取相反数，记作z*。

对于复数z=a+bi，其共轭为z*=a-bi。

复数的模表示复数到原点的距离，可以通过复数的实部和虚部计算得到，即|z|=√(a²+b²)。

复数的模的平方可以表示为|z|²=a²+b²。

六、复数表示向量的旋转复数的辐角可以表示向量的旋转角度。

将平面上的向量表示为复数z=a+bi，其辐角θ可以通过计算得到，即θ=arctan(b/a)。

同时，可以通过构造模为1的复数来表示旋转角度θ的向量，即z=cosθ+isinθ。

七、复数的应用举例1. 平面向量的加减法可通过复数的加法和减法来实现，简化了运算过程。

2. 复数的乘法可以用于向量的缩放和旋转操作，方便了平面向量的变换。

第五章 平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.数系的扩充和复数的引入 (1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义.§5.1 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念 (1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________.(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的.(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________.－a|a |是一个与a ________的单位向量.(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量.平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量____________.(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量.(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量.(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示.2.向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1).推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝___________.图1 图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2).在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式.③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图).3.向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4.两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________.自查自纠：1.(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2.(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3.(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4.b ＝λa如果a ，b 是两个单位向量，则a 与b 一定( )A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等 解：|a |＝|b |＝1，故选D.如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝()A.0B.BE →C.AD →D.CF →解：BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，故选D.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A.a ＝－b B.a ∥bC.a ＝2bD.a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线.故选C.(2013·四川)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝__________.解：由向量加法的平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.故填2.如图，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C在AB 上，OC ⊥AB ，用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →等于__________________.解：OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.故填34OA →＋14OB →.类型一 向量的基本概念下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量a ≠b ，则a 与b 的方向必不相同； ③|a |＞|b |，则a ＞b ；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量.其中正确的是( )A.①⑤B.④C.⑤D.②④解：温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错；a ≠b ，a 与b 的方向可以相同，②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错；正方形ABCD 中AB →与CD →共线，但A ，B ，C ，D 四点不共线，④错；作图易得⑤正确.故选C.点拨：(1)与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质；(2)概念是学习新理论的基础，概念又衍生出公式、定理、性质、新概念甚至新理论体系，因此应重视对概念的学习；(3)课本上给出的概念(定义)都是非常准确、简洁的，熟记这些概念(定义)并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯.给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||a ＝||b ，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确．．．的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5解：两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故①不正确；||a ＝||b ，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.类型二 向量的线性运算(1)如图所示，下列结论正确的是()①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A.①②B.③④C.①③D.②④解：由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误.故正确的为①③，故选C.(2)(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解：易知OA →＝OM →＋12CA →，OB →＝OM →＋12DB →，OC →＝OM →＋12AC →，OD →＝OM →＋12BD →，而CA →＝－AC →，DB →＝－BD →，∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.点拨：向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础.对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握.(1)(2013·北京模拟)如图，在△ABC中，BD ＝2D C.若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A.23a ＋13bB.23a －13bC.13a ＋23bD.13a －23b 解：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →，又∵AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A .类型三 向量共线的充要条件及其应用 已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性. 若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性. 若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →， ∴BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线.综合(1)(2)可知，原命题成立.点拨：证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合.注意：本例的结论可作定理使用.(1)如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511C.311 D.211解：注意到N ，P ，B 三点共线，因此我们有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.故选B.(2)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线.故选A.(3)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A.－1或3B. 3C.－1或4D.3或4解：∵向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，∴m a－3b ＝λ[]a ＋（2－m ）b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－3＝λ（2－m ）.解得m ＝－1或m ＝3.故选A.1.准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/ a ＝±b ；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，向量的共线与向量的平行是一致的.2.向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.3.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算，在学习的时候要注意它们的联系与区别.4.对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线.因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件.1.下列命题中正确的是( ) A.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB.若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC.对于任意向量a ，b ，有|a ＋b |≥|a －b |D.对于任意向量a ，b ，有|a |＋|b |≥|a ＋b | 解：对于选项A ，若b ＝0，结论不一定成立，A 错；对于选项B ，模相等方向不一定相同或相反，B 错；对于选项C ，若非零向量a 与b 方向相反，则|a ＋b |＜|a －b |，C 错；D 正确.故选D.2.(2014·武汉调研)如图所示的方格纸中，有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝()A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解：如图，取点M ，由向量加法的平行四边形法则有OP →＋OQ →＝OM →＝FO →，故选C.3.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A.点M 在线段AB 上B.点B 在线段AM 上C.点A 在线段BM 上D.O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上.故选B.4.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →＝()A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD 为菱形，故AD →＝AO →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.5.(2013·湖北八校联考)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A.平行且方向相反B.平行且方向相同C.互相垂直D.既不平行也不垂直解：由题意得AD →＝AE →＋ED →＝13AC →＋23AB →，BE →＝BD →＋DE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝CD →＋DF →＝23CB →＋13CA →，则AD →＋BE →＋CF →＝－13BC →.故选A.6.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解：∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴BD AD ＝BC AC ＝12，∵AB →＝CB →－CA →＝a －b ，∴AD →＝23AB →＝23a －23b ，∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23a －23b ＝23a ＋13b ，故选B.7.如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝______.解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填12.8.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP→|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD→⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1，故填1.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a＝14a －b .10.在△ABC 中，设D 为边BC 的中点，求证：3AB →＋2BC →＋CA →＝2AD →.证明：∵D 为BC 的中点， ∴AB →＋AC →＝2AD →.左边＝3AB →＋2BC →＋CA →＝AB →＋2(AB →＋BC →)＋CA →＝AB →＋2AC →＋CA →＝AB →＋AC →＝2AD →＝右边，得证.11.已知线段AB 和AB 外一点O ，求证：(1)若M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)；(2)若AP →＝tAB →(t ∈R )，则OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.证明：(1)如图甲，由三角形法则可得OA →＋AM →＝OM →，OB →＋BM →＝OM →，图甲∴OA →＋OB →＋AM →＋BM →＝2 OM →. ∵M 是AB 的中点， ∴BM →＝－MB →＝－AM →， ∴AM →＋BM →＝0.于是OA →＋OB →＝2OM →，故OM →＝12(OA →＋OB →).(2)如图乙，∵AP →＝tAB →，图乙∴OP →＝OA →＋AP → ＝OA →＋tAB → ＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB→(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确.故选D.§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________.2.向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图).(2)向量夹角θ的范围是_______________.a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________.3.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解.(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为________.显然，i ＝______， j ＝______，0＝______.4.平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________.※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y ).当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).自查自纠：1.a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2.(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3.(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4.(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2013·辽宁)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解：AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是( )A.若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B.空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C.对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解：依平面向量基本定理，选项B ，C ，D 都错，只有A 的表述是正确的，故选A.已知点A (－1，1)，点B (2，y )，向量a ＝(1，2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A.5B.6C.7D.8解：AB →＝(3，y －1)，a ＝(1，2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C.(2014·广东)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝________.解：易知b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).故填(2，－1).(2013·北京模拟)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2).若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.解：k a ＋b ＝k (1，3)＋(－2，1)＝(k －2，3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.故填－1.类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A.－2B.－13C.－1D.－23解：λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)－2λ×1＝0，∴λ＝－1，故选C.(2)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，m )，若2a －b 与a ＋3b 共线，则m ＝ ____________.解：2a －b ＝(5，2－m )，a ＋3b ＝(6，1＋3m )，由2a －b 与a ＋3b 共线得5(1＋3m )－6(2－m )＝0，解得m ＝13.故填13.点拨：此类题目在近几年高考中多次出现，既考查了向量的线性运算及向量的坐标表示，又考查了学生对向量共线充要条件的理解及计算能力.解决此类题目，我们只需要牢记向量共线充要条件的坐标表示形式：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0即可.(1)(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A.－ 2B. 2C.－2或 2D.0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.故选C.(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C.1 D.2 解：因为a ＋λb ＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)，又∵(a ＋λb )∥c ，∴(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.故选B.类型二 平面向量基本定理及其应用 (1)设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，e 1绕起点沿逆时针方向旋转90°到e 2.设向量v 的模|v |＝r ，e 1绕原点旋转到v 的方向所成的角为α.则v 在基e 1，e 2下的坐标为________.解：如图示，在平面上建立直角坐标系，O 是原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴正方向，e 1，e 2的模为单位长.设v ＝OP →，则v 的坐标就是点P 的坐标 (x ，y ).|OP |＝r ，α＝∠xOP.当r ＞0时，由三角函数定义知cos α＝x r ，sin α＝y r，从而x ＝r cos α，y ＝r sin α.v ＝OP →＝(r cos α，r sin α)，当r ＝0时显然也成立.故填(r cos α，r sin α).(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45bC.－25a ＋45bD.－25a －45b解：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25. 故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B.点拨：①平面上任意一个向量v 可分解为不共线向量e 1，e 2的线性组合：v ＝x e 1＋y e 2，若向量u ＝a e 1＋b e 2与v ＝x e 1＋y e 2相等，则对应系数相等，即a ＝x 且b ＝y ，一个平面向量方程相当于两个普通方程.②若e 1，e 2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一.特别地，当a ＝0即λ1e 1＋λ2e 2＝0时，必有λ1＝λ2＝0.③此题利用的是“基底方式”，即用a ，b 作为基底，选择两个参数λ，μ，然后将同一向量DH →作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组.应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现.(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解：选项A ，C ，D 中，e 1与e 2共线，故不存在实数λ，μ使得a ＝λe 1＋μe 2；选项B 中，e 1与e 2不共线，设存在实数λ，μ使得(3，2)＝λ(－1，2)＋μ(5，－2)，解得λ＝2，μ＝1，∴a ＝2e 1＋e 2.故选B.(2)(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12. 所以λμ＝4.故填4.类型三 求向量的坐标设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A.(2，6)B.(－2，6)C.(2，－6)D.(－2，－6)解：设d ＝(x ，y ).因为4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，依题意，有4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6.故选D.点拨：将三角形法则推广后，便可得：在如图所示的n 边形A 0A 1…A n 中，有A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n＝A 0A n →，A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 0→＝0.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( )A.(2，4)B.(3，5)C.(－3，－5)D.(－2，－4) 解：如图，BD →＝BC →＋CD →＝(AC →－AB →)＋BA →＝AC →＋2BA →＝(1，3)＋2(－2，－4)＝(－3，－5).故选C.1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸.(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2.向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标.两个向量相等，当且仅当其坐标相同.1.(2014·北京)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9) 解：2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).故选A .2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A.a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B.a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C.a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D.a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.故选B.3.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，且满足p ∥q ，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 解：由p ∥q 得4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)＝2ab sin C ，结合余弦定理得tan C ＝3，C ＝π3.故选B.4.(2014·安徽六校联考)“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：由向量a 与b 共线得(x ＋2)(2－x )－2＝0，∴x ＝±2，∴“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的充分不必要条件.故选A .5.(2013·北京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是( )A.3，1B.1, 3C.－1, 3D.－3，1 解：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.依题意，OC →＝(λ，μ)，λ＝|OC |cos 5π6＝－3，μ＝|OC |sin 5π6＝1.故选D.6.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A.若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B.a ⊙b ＝b ⊙aC.对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D.(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解：若a 与b 共线，则有a ⊙b ＝0，故A 正确；因为b ⊙a ＝pn －qm ，而a ⊙b ＝mq －np ，所以a ⊙b ≠b ⊙a ，故B 错误，易验证C ，D 皆正确.故选B.7.(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝____________.解：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ，tan θ＝12.故填12.8.(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23B C.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____________.解：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＋λ2＝12.故填12.9.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足什么条件？解：AB →＝OB →－OA →＝(2，1)，AC →＝OC →－OA →＝(1－m ，m ＋6)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则A ，B ，C三点不共线.当A ，B ，C 三点共线时，AB →＝λAC →，(2，1)＝λ(1－m ，m ＋6)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（1－m ），1＝λ（m ＋6），解得m＝－113.∴当m ≠－113时，点A ，B ，C 能构成三角形.10.已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t ).若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0. ∴t ＜－23. (2)∵OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2. 此方程无解. 故四边形OABP 不可能成为平行四边形.11.如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，试利用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标.解：设OP →＝tOB →＝t (4，4)＝(4t ，4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t －4，4t )， AC →＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6). ∵AP →与AC →共线，∴(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，得t ＝34.∴OP →＝(4t ，4t )＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3).在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A.(－72，－2)B.(－72，2)C.(－46，－2)D.(－46，2)解法一：将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则向量OQ →与向量OP →的模相等，夹角为3π4，设OQ →＝(x ，y )，由OP →·OQ →＝6x ＋8y ＝－502，||OP →＝||OQ →＝x 2＋y 2＝10，解得x ＝－72，y＝－2，或x ＝2，y ＝－72，结合图形知Q 点在第三象限.则A 正确.解法二：设OP →＝(10cos θ，10sin θ)⇒cos θ＝35，sin θ＝45，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝(－72，－2).故选A.§5.3 平面向量的数量积1.数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作____________，其中θ是a 与b 的夹角，||b cos θ叫向量b 在a 方向上的____________，即a ·b|a|. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于____________2.数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_________________________； ③分配律：______________________. (2)常用结论①(a ±b )2＝________________________； ②(a ＋b )·(a －b )＝_________________；③ a 2＋b 2＝0⇔______________________； ④|||a －||b |________||a ＋||b . 3.数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则① e ·a ＝____________. ② a ⊥b ⇔____________.③当a 与b 同向时，a ·b ＝____________； 当a 与b 反向时，a ·b ＝____________. 特别地，a ·a ＝____________或||a ＝____________.④ cos θ＝____________. ⑤||a ·b ≤____________. 4.数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ·b ＝________________；a 2＝________________；||a ＝________________.② a ⊥b ⇔____________________.③||x 1x 2＋y 1y 2≤________________________.自查自纠：1.||a ||b cos θ a ·b 投影 a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||b cos θ的乘积2.(1)①a ·b ＝b ·a ②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c(2)①a 2±2a ·b ＋b 2 ②a 2－b 2③a ＝0且b ＝0 ④≤3.①|a |cos θ②a ·b ＝0 ③|a ||b | －|a ||b ||a |2a ·a ④a ·b |a ||b |⑤|a ||b |4.①x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 21＋y 21②x 1x 2＋y 1y 2＝0 ③x 21＋y 21x 22＋y 22(2014·山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A.2 3B. 3C.0D.－ 3 解：a ·b ＝3＋3m ＝|a ||b |cosπ6＝2·9＋m 2·32，解得m ＝3.故选B. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解：AB →·BC →＋AB →2＝0⇒AB →·(BC →＋AB →)＝0⇒AB →·AC →＝0⇒AB →⊥AC →.则△ABC 必定是直角三角形.故选B.(2013·北京海淀一模)若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( )A.－12B.12C.－1D.1解：∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴2a ·b ＝－1，故a ·b ＝－12.故选A.(2014·江西)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解：∵a ＝3e 1－2e 2，∴|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12e 1·e 2＝9，∴|a |＝3.故填3.(2013·全国新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝____________.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则||a ＝||b ＝2.且a ·b ＝0.∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·(b －a )＝b 2－12a 2＝4－12×4＝2.故填2.类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________.(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数.故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||AC →，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为( )A.32B.32C.3D.－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形.且∠A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，∴∠C ＝π3，∠B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos π6＝32.故选A.点拨：数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)).其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题.(1)(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：设a 与b 的夹角为θ，则|a ·b |＝||a |·|b |cos θ|＝|a |·|b ||cos θ|＝|a |·|b |，则向量a ，b 夹角为0或π或者两个向量a ，b ，至少有一个为0，故a ∥b ，充分性成立；反之，若a ∥b ，则|a ·b |＝|a |·|b |，必要性成立.故选C.(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A.322B.3152C.－322D.－3152解：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴由向量数量积的几何意义知向量AB →在CD →方向上的投影为|AB→|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＋52＝322.故选A. 类型二 数量积的基本运算已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________.解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填54.点拨：实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等.(2014·全国)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A.－1B.0C.1D.2解：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos60°－|b |2＝2×1×1×12－12＝0.故选B.类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝5D.x ＝0 解：由向量垂直的充要条件得2(x －1)＋2＝0，所以x ＝0.故选D.(2)已知两个非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则下面结论正确的是( )A.a ∥bB.a ⊥bC.||a ＝||bD.a ＋b ＝a －b解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0，∴a ⊥b .解法二：a ＋b ，a －b 分别是以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线.∵|a ＋b |＝|a －b |，∴平行四边形的对角线相等.∴该平行四边形为矩形，∴a ⊥b .故选B.点拨：两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直.(1)(2014·湖北)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.解：由(a ＋λb )⊥(a －λb )，得(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0，即18－2λ2＝0，∴λ＝±3.故填±3.(2)(2013·广西)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：易知m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0，∴－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B.类型四 向量的夹角与模(1)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a－b )＝－2，则a 与b 的夹角为________.解：设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3.故填π3.(2)(2014·全国)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A.2B. 2C.1D.22解：∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，又|a |＝1，∴a ·b ＝－1.又(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴b 2＝2，即|b |＝2.故选B.点拨：由向量数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.(1)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________.解：由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.(2)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a－c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B.1C. 2D.2解：|a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ， 由于a ·b ＝0，a ，b ，c 为单位向量，所以上式＝3－2c ·（a ＋b ），又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·（a ＋b ）≤1，故选B.。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。