福建省福州市连江二中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015-2016学年福建省福州市连江二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|x≥0}，Q={x|≥0}，则P∩Q=（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，﹣1）C．[0，+∞）D．（2，+∞）2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣13．已知sin（+α）=，cosα=（）A．B． C．D．4．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或 D．或5．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．6．设数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（）A．15 B．60 C．63 D．727．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．148．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A．B．C．D．710．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q11．已知正数a，b满足+=1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）12．已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q=．15．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，=2，=3，则•的值为．16．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC的面积为2，求边长c的值．18．已知数列{a n}中，a1=1前n项和S n=n2﹣n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=2，求证：b1+b2+…+b n＞．19．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．20．已知几何体E﹣ABCD如图所示，其中四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=，△ABE 为等边三角形，平面ABCD⊥平面ABE，点F为棱BE的中点，（1）求证：BE⊥平面AFD；（2）求四面体D﹣AFC的体积．21．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？22．设函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=e x﹣ax，其中a为正实数．（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2﹣ax在（1，+∞）交点个数．2015-2016学年福建省福州市连江二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|x≥0}，Q={x|≥0}，则P∩Q=（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，﹣1）C．[0，+∞）D．（2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出Q中不等式的解集确定出Q，找出P与Q的交集即可．【解答】解：由Q中的不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，且x﹣2≠0，解得：x≤﹣1或x＞2，即Q=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），∵P=[0，+∞），∴P∩Q=（2，+∞），故选：D．2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C3．已知sin（+α）=，cosα=（）A．B． C．D．【考点】诱导公式的作用．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．4．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或 D．或【考点】正弦定理．【分析】先由正弦定理求得sinC 的值，进而求得C ，根据三角形内角和求得A ，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==，∴C=，A=，S=AB •ACsinA=或C=，A=，S=AB •ACsinA=．故选D5．设=（1，2），=（1，1），=+k ，若，则实数k 的值等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k 的方程，解方程可得．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k =（1+k ，2+k ）∵，∴•=0，∴1+k +2+k=0，解得k=﹣故选：A6．设数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（ ） A ．15 B ．60 C ．63 D ．72【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出a n ，b n ，再由通项公式即可得到所求．【解答】解：数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列， 则a n =3+（n ﹣1）×1=n +2，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 则b n =2n ﹣1，则b a1+b a2+b a3+b a4=a 3+b 4+b 5+b 6 =22+23+24+25=60． 故选B ．7．设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=3x +y 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．8．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明ABC都不对．【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中：令底面A′B′C′D′=αA、令m=AB，n=BC，满足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，A错误；B、令m=AA′，n=A′B′，满足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，B错误；C、令m=AB，n=AD，满足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，C错误；故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A．B．C．D．7【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，故几何体的体积V=8﹣=，故选：A10．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【考点】不等关系与不等式．【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B11．已知正数a，b满足+=1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为m≥﹣x2+4x+2对任意实数x恒成立，再利用配方法求出﹣x2+4x+2的最大值得答案．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且+=1，∴a+b=（a+b）（）=10+．当且仅当3a=b，即a=4，b=12时，（a+b）min=16．若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则﹣x2+4x+18﹣m≤16，即m≥﹣x2+4x+2对任意实数x恒成立，∵﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6≤6，∴m≥6．∴实数m的取值范围是[6，+∞）．故选：D．12．已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]【考点】分段函数的应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q=．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】依题意有，从而2q2+q=0，由此能求出{a n}的公比q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S1，S3，S2成等差数列，∴依题意有，由于a1≠0，故2q2+q=0，又q≠0，解得q=﹣．故答案为：﹣．15．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，=2，=3，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将所求的向量分别利用，表示，结合已知求，计算即可．【解答】解：因为====×2×2cos120°﹣2+×2×2×cos120°==；所以的值为；故答案为：．16．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为．【考点】导数的运算．【分析】先确定函数y=x2f（x）在（一∞，0）上是减函数，再根据（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0，可得（x+2014）2f（x+2014）＞（﹣2）2f（﹣2），即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，2f（x）+xf′（x）＞x2，∴2xf（x）+x2f′（x）＜0，∴[x2f（x）]′＜0，∴函数y=x2f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∵（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0∴（x+2014）2f（x+2014）＞（﹣2）2f（﹣2），∴x+2014＜﹣2，∴x＜﹣2016，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2016）．故答案为：（﹣∞，﹣2016）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC的面积为2，求边长c的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．【解答】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=﹣，∴cos（2C+）=﹣1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absinC=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=12，∴c=218．已知数列{a n}中，a1=1前n项和S n=n2﹣n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=2，求证：b1+b2+…+b n＞．【考点】数列的求和．【分析】（I）利用递推式即可得出；（II）利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：∵S n=n2﹣n．=n2﹣n﹣=3n﹣2，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当=1时，也成立．∴a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：∵=23n﹣2，∴==8，∴数列{b n}是以2为首项，以8为公比的等比数列，∴b1+b2+…+b n==．19．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．20．已知几何体E﹣ABCD如图所示，其中四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=，△ABE 为等边三角形，平面ABCD⊥平面ABE，点F为棱BE的中点，（1）求证：BE⊥平面AFD；（2）求四面体D﹣AFC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直的性质证明DA⊥BE，由正三角形的性质证明AF⊥BE，再由线面垂直的判断得答案；（2）利用等积法把四面体D﹣AFC的体积转化为三棱锥F﹣ADC的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，且DA⊥AB，∴DA⊥平面ABE，则DA⊥BE，又△ABE为等边三角形，且F为BE的中点，∴AF⊥BE，又DA∩AF=A，∴BE⊥平面AFD；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=，∴，又等边三角形ABE的边AB上的高h=，∴F到平面ABCD的距离为．∴．21．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S，则S=100x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．【解答】解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．（2）设该单位每月获利为S，则S=100x﹣y==因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值﹣40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．22．设函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=e x﹣ax，其中a为正实数．（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2﹣ax在（1，+∞）交点个数．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出g（x）的导数，令它为0，求出a=1，再求f（x）的导数，令它大于0或小于0，即可得到单调区间；（2）求出f（x）的导数，讨论a的范围，由条件得到a≥1，再由g（x）的导数不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令即a=，令h（x）=，求出导数，求出单调区间，判断极值与e的大小即可．【解答】解：（1）由g′（x）=e x﹣a，g′（0）=1﹣a=0得a=1，f（x）=x﹣lnx∵f（x）的定义域为：（0，+∞），，∴函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（2）由若0＜a＜1则f（x）在（1，+∞）上有最小值f（），当a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增无最小值．∵g（x）在（1，+∞）上是单调增函数∴g'（x）=e x﹣a≥0在（1，+∞）上恒成立∴a≤e，综上所述a的取值范围为[1，e]，此时即a=，令h（x）=，h′（x）=，则h（x）在（0，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，极小值为．故两曲线没有公共点．2016年10月14日。

2017-2018学年福建省高三（上）第三次联考试卷]（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）经过点P（2，﹣2），中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=的双曲线方程是（）A．B．C．D．3．（5分）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．44．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．5．（5分）若•+=0，则△ABC为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形6．（5分）数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．10087．（5分）不等式组x，y满足，所围成的平面区域面积是（）A．3 B．C．D．58．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（2）＜f（5）＜f（8）B．f（5）＜f（8）＜f（2）C．f（5）＜f（2）＜f（8）D．f（8）＜f（2）＜f（5）10．（5分）已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真 B．“p∨q”为假 C．p真q假D．p假q真11．（5分）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，） C．（﹣∞，] D．（0，3）12．（5分）已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若＜，＞=60°，则直线：xcosα﹣ysinα+=0与圆：（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a= ．14．（5分）椭圆的离心率为，则m= ．15．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题（1）f（1）=0（2）f（x）在[﹣2，2]上有4个零点（3）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1，（1）求{a n}，{b n}的通项公式．（2）若{c n}={}，{c n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．20．（12分）已知抛物线C的准线方程为x=﹣．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．21．（12分）已知a是大于0的实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，求a值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设g（x）=f（x）+是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．请考生在第（22）、（23）两题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．《选修4-4》22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．《选修4-5》23．选修4﹣5；不等式选讲已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R．（I）求实数m的取值范围：（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论．2017-2018学年福建省高三（上）第三次联考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2014•西藏一模）已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【分析】化简集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，根据两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣4≤2x≤4，x∈R}={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}={x|0≤x≤8，x∈Z}={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={x|0，1，2}，故选D．【点评】本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2015秋•福建月考）经过点P（2，﹣2），中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=的双曲线方程是（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的离心率设出双曲线的方程，考虑到焦点在x轴和在y轴两种情况，再代入P（2，﹣2），求出双曲线方程即可．【解答】解：由双曲线离心率e=，焦点在x轴时，设双曲线的方程为=λ，代入点P（2，﹣2），解得，λ=1故双曲线的方程为=1．故选C．【点评】本题考查了求双曲线的标准方程，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．3．（5分）（2015秋•福建月考）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】由基本不等式可得2x+4y=2x+22y≥2=2=8，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵x+2y=4，∴2x+4y=2x+22y≥2=2=2=8当且仅当2x=22y即x=2且y=1时取等号，∴2x+4y的最小值是8故选：B【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．4．（5分）（2012•和平区校级四模）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．【点评】本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．5．（5分）（2012春•舟山期末）若•+=0，则△ABC为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【分析】由向量式易得•=0，可得∠BAC为直角，可判三角形形状．【解答】解：∵•+=0，∴•（+）=0，∴•=0，∴∠BAC为直角，∴△ABC为直角三角形．故选：A【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及向量的数量积与垂直关系，属基础题．6．（5分）（2016春•武汉校级月考）数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．1008【分析】将数列中相邻的两项两两组合，即可得出结果．【解答】解：S2016=﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016=（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…+（﹣2015+2016）=1+1+1+…+1=1008．故选：D．【点评】本题考查了分项法数列求和，属于中档题．7．（5分）（2015秋•福建月考）不等式组x，y满足，所围成的平面区域面积是（）A．3 B．C．D．5【分析】先画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形面积公式求之即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，解得A（﹣2，2）、B（3，﹣2）、O（0，0），所以S△ABO=×5×2=5．故选：D．【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得解．8．（5分）（2011•浙江）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos （α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解．9．（5分）（2012秋•天山区校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（2）＜f（5）＜f（8）B．f（5）＜f（8）＜f（2）C．f（5）＜f（2）＜f（8）D．f（8）＜f（2）＜f（5）【分析】根据f（x﹣4）=﹣f（x），可得f（5）=﹣f（1），f（8）=f（0）．结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，再由[0，2]上f（x）是增函数，得f（2）＞f（1）＞0，所以f（5）＜0，f（8）=0，而f（2）＞0，可得正确选项．【解答】解：∵f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），∴取x=5，得f（1）=﹣f（5），即f（5）=﹣f（1）取x=8，得f（4）=﹣f（8）．再取x=4，得f（0）=﹣f（4），可得f（8）=f（0）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0，得f（8）=0∵函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，∴f（0）＜f（1）＜f（2），可得f（1）是正数，f（5）=﹣f（1）＜0，f（2）＞0，因此f（5）＜f（8）＜f（2）故答案为：B【点评】本题在已知抽象函数的单调性和奇偶性的前提下，比较几个函数值的大小，考查了函数的单调性、奇偶性等知识，属于基础题．10．（5分）（2016春•武汉校级月考）已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真 B．“p∨q”为假 C．p真q假D．p假q真【分析】根据对数函数的性质判断命题p，根据三角函数的性质判断命题q，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：x=﹣1，y=log a（﹣a+2a）=1，故命题p为真，命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为π，故命题q为假，故选：C．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数以及三角函数的性质，是一道基础题．11．（5分）（2016•三亚校级模拟）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，） C．（﹣∞，] D．（0，3）【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2012•顺庆区校级模拟）已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若＜，＞=60°，则直线：xcosα﹣ysinα+=0与圆：（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离【分析】利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=，求出圆心到直线的距离正好等于圆的半径，从而得出结论．【解答】解：由题意可得||=2，||=3，=2×3×cos60°=2×3×=3，又=（2cosα，2sinα）•（3cosβ，3sinβ）=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，∴cosαcosβ+sinαsinβ=．圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，﹣sinβ），半径为1；∵圆心（cosβ，﹣sinβ）到直线2xcosα﹣2ysinα+1=0的距离为==1，∴直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，故选 C．【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2012•梅州一模）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a= 2 ．【分析】复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．【解答】解：因为==，是纯虚数，所以a=2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的基本运算﹣﹣复数的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力．14．（5分）（2010•建德市校级模拟）椭圆的离心率为，则m= 3或．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得 m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得 m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．15．（5分）（2010•普陀区二模）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）（2015秋•福建月考）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f （x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题（1）f（1）=0（2）f（x）在[﹣2，2]上有4个零点（3）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确是（1）（3）．【分析】根据函数奇偶性和周期性，单调性之间的关系，分别进行判断即可得到结论．【解答】解：∵对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，∴对∀x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，∴f（1）=f（﹣1）．∵当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，∴在区间（0，1]上函数为减函数．又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（1）=﹣f（﹣1）．∴f（1）=0，即（1）正确；满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：由图可知：f（x）在[﹣2，2]上有：﹣2，﹣1，0，1，2，共5个零点，即（2）错误；所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（3）（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，正确；函数y=f（x）图象无对称轴，故（4）错误．∴正确的命题是：（1）（3）．故答案为：：（1）（3）．【点评】本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，单调性和对称性，综合考查函数的性质的综合应用，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015秋•福建月考）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1，（1）求{a n}，{b n}的通项公式．（2）若{c n}={}，{c n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出数列的首项与公差，求解通项公式；由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1求解数列{b n}的通项公式．（2）通过裂项法求解数列的前n项和即可．【解答】（12分）解：（1）因为{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．所以，解得，所以a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）．…（3分）在{b n}中，因为当n=1时，b1=2b1﹣1，所以b1=1．当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1可得b n=2b n﹣2b n﹣1，所以b n=2b n﹣1．所以{b n}是首项为1公比为2的等比数列，所以b n=2n﹣1（n∈N*）．…（6分）（2）c n=（），…（8分）T n=c1+c2+…+c n=…（10分）=（1﹣）．（n∈N*）．…（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．18．（12分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC 的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．【点评】本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（12分）（2016春•武汉校级月考）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．【分析】（1）连结BD1，则∠D1BC位所求线面角，在Rt△BCD1中计算tan∠D1BC；（3）证明CF⊥平面BDD 1B1，则V=．【解答】解：（1）连接BD1，∵E，F分别为线段DD1，BD的中点，∴EF∥BD1，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角．∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．∵正方体棱长为2，∴CD1=2，∴tan∠D1BC==，所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为．（2）∵BB1⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴BB1⊥CF，∵CB=CD，F是BD中点，∴CF⊥BD，又BB1∩BD=B，BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，∴CF⊥平面BDD1B1，又CF=BD=，S==2．∴V===，所以三棱锥C﹣B1D1F的体积为．【点评】本题考查了空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2014秋•福建校级期末）已知抛物线C的准线方程为x=﹣．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．【分析】（Ⅰ）直接利用抛物线的准线方程，求解抛物线C的标准方程即可；（Ⅱ）设出直线方程与抛物线联立，转化原点O落在以AB为直径的圆上，得到=0，求出t的值即可证明结果．【解答】解：（Ⅰ）由准线方程为可设抛物线C的方程y2=2px，（p＞0）．求得p=，…（2分）故所求的抛物线C的方程为：y2=x；…（4分）（Ⅱ）证明：依题意可设过P的直线l方程为：x=my+t（m∈R），…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得：y2=my+t，依题意可知△＞0恒成立，且y1•y2=﹣t，…（8分）原点O落在以AB为直径的圆上．令=0即x1x2+y1y2=（y1•y2）2+y1•y2=（﹣t）2﹣t=0．…（10分）解得：t=1，t=0即t为常数，∴原题得证．…（12分）（说明：直线l方程也可设为：y=k（x﹣t），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）【点评】本题考抛物线的标准方程的求法，直线与椭抛物线的位置关系，抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2014秋•福建校级期末）已知a是大于0的实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，求a值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设g（x）=f（x）+是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．【分析】（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义和条件列出方程，求出a的值；（Ⅱ）由f′（x）=0求出临界点，根据已知的区间和临界点进行分类讨论，由导数的符号判断出函数f（x）的单调性，再分别求出函数f（x）的最小值；（Ⅲ）由题意和求导公式求出g′（x），利用导数与函数单调性的关系，将条件转化为：g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，设t=（x﹣1）2代入g′（x）化简后，分离出参数m后，利用二次函数的性质求出实数m 的范围以及m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=x2（x﹣a）+x=x3﹣ax2，所以f′（x）=3x2﹣2ax，…（1分）因为在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，所以f′（2）=3×4﹣2a×2=0，解得a=3；…（3分）（Ⅱ）令f′（x）=3x2﹣2ax=0，解得x1=0，，…（5分）①当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，则f min=f（2）=8﹣4a …（6分）②当，即0＜a＜3时，f（x）在[0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，从而f min=f（）=…（7分）综上所述，当0＜a＜3时，f min=f（）=，当a≥3时，f min=f（2）=8﹣4a；…（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）得a=3，所以g（x）=x3﹣3x2+，则…（9分）∵g（x）是[3，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，即在[3，+∞）上恒成立．…（10分）设t=（x﹣1）2，t∈[4，+∞），∴在[4，+∞）上恒成立．∴在[4，+∞）上恒成立…（12分）令，t∈[4，+∞），∴h（t）min=h（4）=36，则m≤36，∴实数m的最大值是36．…（14分）【点评】本题考查求导公式和求导法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、最值的关系，考查分离参数法，分类讨论思想和化简计算能力，属于中档题．请考生在第（22）、（23）两题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．《选修4-4》22．（10分）（2015•开封模拟）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【分析】（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．【解答】解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．【点评】本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．《选修4-5》23．（2009•锦州一模）选修4﹣5；不等式选讲已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R．（I）求实数m的取值范围：（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论．【分析】（I）由绝对值不等式的性质：|a±b|≤|a|+|b|，可得已知不等式左边的最小值为3，由此结合题意可得m的取值范围是（﹣∞，3]．（II）在（I）条件下，即证明成立，注意到不等式两边都是正数，所以证明不等式左边的平方大于右边的平方，再开方即可得到不等式成立．【解答】解：（I）由绝对值不等式性质知：|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3对x∈R恒成立故不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R，只须m≤3即可∴m的取值范围是（﹣∞，3]…（4分）（II）由（I）知实数m的最大值为3当m=3时，不等式即这是一个正确的不等式，证明如下：∵2＞2∴6+2+7≥3+2+10，即（）2＞（）2两边开方得，故原不等式成立．…（10分）【点评】本题以含有绝对值的不等式恒成立为载体，求参数的最大值，并在此情况下证明含有根式的不等式正确，着重考查了绝对值不等式的性质和不等式证明的常用方法等知识，属于基础题．。

连江二中2017-2018学年第一学期期中考试高一 数学试卷【完卷时间：120分钟 满分：150分】第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分， 共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列表示错误的是（ ）A ．},{}{b a a ∈B ．},{},{a b b a ⊆C ．}1,0,1{}1,1{-⊆-D ．0{0}∈2．函数2()log (1)f x x +的定义域为 ( )A ．[)1,2-B ． (]1,2-C ． ()1,2-D ．[]1,2-3.下列各函数中，与y x =表示同一个函数的是 （ ） A. 2x y = B ．x a a y log = C ．1)1(--=x x x y D ．ln x y e = 4．函数2()1(0,x f x a a -=+>且)1≠a 必经过点（ ）.A ．)1,0(B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2,2)5．当10<<a 时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图象是（ ）6．已知⎩⎨⎧≤+>=0),2(0,2)(x x f x x x f 则)1(-f 的值等于 ( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－47．设全集为R ，函数f(x)=21x - 的定义域为M ，则∁R M 为（ ）A ．B ．（-1，1）C ．（-∞，-1]∪恒成立∴∈+--<x x x m 对222恒成立-----------5分又3)1(22)(22++-=+--=x x x x F 在∈x 上为单调递减∴1)1()(min -==F x F ， ∴1-<m ------------------7分（3）、由已知：2)(22)(222++--=++-=t t x tx x x h2)()(222+==≤≤-∴t t h t g t 时，当 -----------------------8分 24)2()(2-==>∴t h t g t 时，当 -----------------------9分 24)2()(2--=-=-<∴t h t g t 时，当 ----------------------10分⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-<--=∴)2(24)22(2)2(24)(2t t t t t t t g22)(222≥+=≤≤-∴t t g t 时，当 ----------------------11分 624)(2>-=>∴t t g t 时，当 -----------------------12分 624)(2>--=-<∴t t g t 时，当 -----------------------13分 2)(≥t g 综上得：02)(=∴t t g ，此时的最小值为 -----------------------14分。

福建省福州市马尾区 2018届高三数学上学期期中试题 文一、选择题:本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。

1.设集合 A {x | 2x 2 x 1 0}，集合 B {x | lg x 2}，则 (C A ) BR（） 1 1 A ．B ．C ． ( ，100) ( ，2) 22D ．1 [ ，100)22. 复数 为虚数单位）实部与虚部的和为（）A.B.C.D.3. 函数 f (x )＝(1－cos x )sin x 在－π，π]的图象大致为( )．4. 已知等边三角形△ ABC 的边长为，其重心为G ，则 BG CG （）A ．B.C.2 1D.4325.若 a 20.5 ，b log 3 ， c log sin，则（ ）25A. bc a B. b a cC.ca bD. ab c6. “a ＝－1”是“直线 a 2x －y ＋6＝0与直线 4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1157. 已知曲线，，则下列说法正确的是C yx C : y cos( x)1: sin226（ ）A ．把上各点横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向C 1右平移 个单位长度，得到曲线C23B ．把上各点横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线C12向右平移个单位长度，得到曲线C23C ．把曲线向右平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短C 131到原来的 ，纵坐标不变，得到曲线C22D ．把曲线向右平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到C 161原来的 ，纵坐标不变，得到曲线C228.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ． 24 3B ．8 3C ． 8 3D ．310 3 3 x y70,y9.设x，y满足约束条件x3y10,则的最大值是zx2x y50,（）A．5B．C．D．43 2342 5x y2210. 已知椭圆C：1(a b 0)的右焦点为F(c,0)，圆M:a b22(x a)yc222，双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（）212 A ．B ．C ． 2 23 2D ．3 311.对大于 1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：1373 15 23 9 43 ， 3 ， 3 ，. . .m 3仿此，若的“分裂数”中有一个是 2017，5 171119则 m 值为（ ）A ．45B ．46C ．47D ．48f xa x x 2 ax12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围ln2是（ ）A ． 1,0 B ．1,C ．2,D ．2,1二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 13.设单位向量，的夹角为，| a 2b | 7，则.14.函数 f (x ) e x ln x 在点1, f (1)处的切线方程为.15.已知直线 与圆交于两点，过 分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．16. 已知球O 的半径为 R ， A ,B ,C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面 ABC 的距离为 3 ,， ABACBC2 3 ，则球O 的表面积为_________．R 2三、解答题：17. （本小题满分10分）已知函数f(x)3sin x cos x sin2x．3（Ⅰ）求函数 f (x ) 的递增区间； （Ⅱ） ABC 的角 A ,B ,C 所对边分别是 a ,b ,c ，角 A 的平分线交 BC 于D ，3f A ， AD 2BD 2 ，求 cos C ． ( )218.（本小题满分 12分）在等差数列{ }中，，73 2 ， a a49 aa n（1）求数列{a }的通项公式； （2）求数列{2n a }的前项和 S .nnn19.（本小题满分 12分）在 ABC 中，角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c ,已知3cos B cos C2 3sin B sinC2 cos A2.(I)求角 A 的大小；(II)若5, s in sin 5 , ,求△ABC 的面积 . b B C S720.（本小题满分 12分） 如图，在多面体 ABCDM 中，BCD 是等边三角形， CMD 是等腰直角三角形， CMD 90 ，平面CMD 平面 BCD ， AB 平面 BCD ，点O 为CD 的中点．（1）求证：OM ∥平面 ABD ；（2）若 AB BC 2，求三棱锥 MABD 的体积．21. （本小题满分12分）已知定点Q（3，0），P为圆N：(x3)y2422上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M .（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M (x，y) 的轨迹C的方程；4（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且OA OB0，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.22.（本小题满分12分）已知函数,f(x)ax ln x(a R) 2（1）讨论f(x)的单调性；（2）若x (1,),f(x)a，求的取值范围.2017-2018学年度第一学期高三半期考试文科数学试题时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题二、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。