北京市东城区2017届高三上学期期末考试数学文试题
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东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）集合{}11Αx x =-<<，{}|(2)0Βx x x =->，那么ΑΒ=（A ）{}|10x x -<< （B ）{}|12x x -<< （C ）{|01}x x << （D ）{|0x x <或2}x > （2）在复平面内，复数i(1i)z =+，那么||z = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3）已知实数,x y 满足3,2,2.x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩那么2z x y =+的最小值为（A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5（4）已知函数()sin(),R f x x x ωϕ=+∈ (其中0,ωπϕπ>-<<)的部分图象,如图所示.那么)(x f 的解析式为（A ）()sin()2f x x π=+（B ）()sin()2f x x π=-（C ）()sin(2)2f x x π=+ （D ）()sin(2)2f x x π=-（5）下列四个命题：①0x ∃∈R ，使200230x x ++=；②命题“00,lg 0x x ∃∈>R ”的否定是“x ∀∈R ，0lg <x ”；③如果,a b ∈R ，且a b >，那么22a b >；④“若βα=，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是（A ）① （B ）②（C ）③ （D ）④（6）过抛物线24yx =的焦点作一条直线与抛物线相交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（A ）有且仅有一条 （B ）有且仅有两条 （C ）有无穷多条 （D ）不存在（7）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图， 下面三个结论：① 估计样本的中位数为4800元； ② 如果个税起征点调整至5000元，估 计有%50的当地职工会被征税； ③ 根据此次调查，为使%60以上的职 工不用缴纳个人所得税，起征点应 调整至5200元. 其中正确结论的个数有（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（8）对于给定的正整数数列{}n a ，满足1n n n a a b +=+，其中n b 是n a 的末位数字，下列关于数列{}n a 的说法正确的是（A ）如果1a 是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n必有相同的项； （B ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n必没有相同的项； （C ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n只有有限个相同的项； （D ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n有无穷多个相同的项.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为___.（10）一个四棱锥的三视图如图所示(单位：cm )，这个四棱锥的体积为____3cm .（11）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5,7,8a b c ===，则AB AC ⋅等于____.（12）双曲线22217x y a -=)0(>a 的右焦点为圆22(4)1x y -+=的圆心，则此双曲线的离心率为 .（13）每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间，在这个时间窗口内，飞机均有可能降落.甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点，如果它准点降落时间为上午10点40分，那么甲航班晚点的概率是____；若甲乙两个航班在上午10点到11点之间共用一条跑道降落，如果两架飞机降落时间间隔不超过15分钟，则需要人工调度，在不考虑其他飞机起降的影响下，这两架飞机需要人工调度的概率是_____.（14）已知函数1)(||)(+-=a x x x f .当0=a 时，函数)(x f 的单调递增区间为 ；若函数a x f x g -=)()(有3个不同的零点，则a 的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）已知数列{}n a 是等差数列，其首项为2，且公差为2，若2n a n b =（n *∈N ）. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n A . （16）（本小题13分） 已知函数()sin(),3f x x x π=+∈R（Ⅰ）如果点)54,53(P 是角α终边上一点，求)(αf 的值； （Ⅱ）设()()sin g x f x x =+，求)(x g 的单调增区间. （17）（本小题13分）2016年10月3日，诺贝尔生理学或医学奖揭晓，获奖者是日本生物学家大隅良典，他的获奖理由是“发现了细胞自噬机制”.在上世纪90年代初期，他筛选了上千种不同的酵母细胞，找到了15种和自噬有关的基因，他的研究令全世界的科研人员豁然开朗，在此之前，每年与自噬相关的论文非常少，之后呈现了爆发式增长，下图是1994年到2016年所有关于细胞自噬具有国际影响力的540篇论文分布如下：（Ⅰ）从这540篇论文中随机抽取一篇来研究，那么抽到2016年发表论文的概率是多少？ （Ⅱ）如果每年发表该领域有国际影响力的论文超过50篇，我们称这一年是该领域的论文“丰年”.若从1994年到2016年中随机抽取连续的两年来研究，那么连续的两年中至少有一年是“丰年”的概率是多少？（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年论文数量方差最大？（结论不要求证明） （18）（本小题13分）已知ABD ∆和BCD ∆是两个直角三角形，2BAD BDC π∠=∠=，E 、F 分别是边AB 、AD的中点，现将ABD ∆沿BD 边折起到1A BD 的位置，如图所示，使平面1ABD ⊥平面BCD .（Ⅰ）求证：//EF 平面BCD ； （Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1ACD ； （Ⅲ）请你判断，1AC 与BD 是否有可能垂 直，做出判断并写明理由.（19）（本小题14分）已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的右焦点为F ，离心率12e =，点(0,3)D 在椭圆E上．（Ⅰ） 求椭圆E 的方程；（Ⅱ） 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于,A B 两点，DAF ∆的面积为DAF S ∆，DBF ∆ 的面积为DBF S ∆，且:2:1DAF DBF S S ∆∆=，求直线AB 的方程.（20）（本小题14分）设函数ax x x x f +⋅=ln )(，a ∈R .（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f y =在],1[e e上的最小值； （Ⅲ）若x a ax x f x g )12(21)()(2+-+=，求证：0≥a 是函数)(x g y =在)2,1(∈x 时单调递增的充分不必要条件.东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）A （5）D （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） 20 （10）72 （11）44 （12）43（13）13；716（14）(),-∞+∞,{}2221a a -<< 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）（Ⅰ）证明：因为等差数列{}n a 的首项和公差都为2， 所以2(1)22n a n n =+-=， 又因为22n n b =，所以2(1)12242n n n n b b ++==，所以数列{}n b 是以4为首项和公比的等比数列； …………………8分 （Ⅱ）解：因为=n c 24n n n a b n +=+， 等差数列{}n a 的前n 项和22(1)2n nS n n n +=⋅=+， 等比数列{}n b 的前n 项和4(14)4(41)143n nn T -==-- 所以{}n c 的前n 项和4(1)(41)3nn n n A S T n n =+=++-. …………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由已知：53cos ,54sin ==αα ---2分ααπααcos 23sin 21)3sin()(+=+=∴f =53235421⨯+⨯10334+= ---6分（Ⅱ）x x x x g sin )cos 23sin 21()(++==x x cos 23sin 23+ =)cos 21sin 23(3x x + ------------8分 =)6sin(3π+x -----------10分由πππππk x k 22622+≤+≤+-得：ππππk x k 23232+≤≤+----12分 ∴()g x 的单调增区间为()22,233k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z --13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设抽到2016年发表的论文为事件A ，依题意可知，361()54015P A ==； ………5分 （Ⅱ）设至少抽到一个“丰年”为事件B ，依题意可知，1994-2016的23年中随机抽取连续两年共有22种可能，至少一个“丰年”的可能情况有：20092010-，20102011-，20112012-，20122013-，20132014-，20142015-，20152016-共计7种可能，7()22P B =； ………11分（Ⅲ）814857，，三个数方差最大， 所以从2013年开始，连续三年论文数方差最大. ………13分 （18）（共13分）（Ⅰ）因为E 、F 分别是边AB 、AD 的中点， 所以//EF BD因为EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以//EF 平面BCD . -----4分（Ⅱ）因为平面1A BD ⊥ 平面BCD ， 平面1A BD 平面BCD BD =， CD ⊂平面BCD ， CD BD ⊥，所以CD ⊥平面1A BD . 因为1A B ⊂平面1A BD ， 所以1CD A B ⊥，因为11A B A D ⊥，1A D CD D = ， 所以 1A B ⊥平面1ACD . 因为1A B ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面1ACD . ----10分 （Ⅲ）结论：1AC 与BD 不可能垂直. 理由如下： 假设1AC BD ⊥， 因为CD BD ⊥，1AC CD C = ， 所以BD ⊥平面1ACD ， 因为1A D ⊂平面1ACD ， 所以1BD A D ⊥与11A B A D ⊥矛盾，故1AC 与BD 不可能垂直. -------13分 （19）（共14分） 解：（Ⅰ）因为13,2b e ==， 所以2a =所以椭圆E 的方程为13422=+y x . --- 4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为)0(1≠+=t ty x )， 代入13422=+y x ， 整理得096)43(22=-++ty y t 因为直线AB 过椭圆的右焦点，所以方程有两个不等实根．设),(),,(2211y x B y x A ，则439,436221221+-=+-=+t y y t t y y ， 因为:2:1DAF DBF S S ∆∆=，所以2AF FB =，所以122y y =-， 解得255t ±=， ∴直线AB 的方程为1552+±=y x ------ 14分 （20）（共14分）解：（Ⅰ）由ax x x x f +⋅=ln )(得1ln )('++=a x x f . 当1=a 时，2ln )('+=x x f ，1)1(=f ，2)1('=f ， 求得切线方程为12-=x y……………………4分 （Ⅱ）令0)('=x f 得)1(+-=a e x .∴ 当e e a 1)1(≤+-，即0≥a 时，],1[e e x ∈时0)('≥x f 恒成立，)(x f 单调递增， 此时ea e f x f 1)1()(min -==.当e ea ≥+-)1(，即2-≤a 时，],1[e ex ∈时0)('≤x f 恒成立，)(x f 单调递减， 此时e ae e f x f +==)()(min . 当e e e a <<+-)1(1，即02<<-a 时，),1[)1(+-∈a e ex 时0)('<x f ，)(x f 单减； ),()1(e e x a +-∈时0)('>x f ，)(x f 单增，此时)1()1(min )()(+-+--==a a e e f x f .……………………9分（Ⅲ）)1(ln ln )12()(')('-+=-+=+-+=x a x a ax x a ax x f x g .∴ 当0≥a 时，)2,1(∈x 时0ln >x ，0)1(≥-x a ，0)('>x g 恒成立，函数)(x g y =在)2,1(∈x 时单调递增，充分条件成立；又当21-=a 时，代入2121ln )1(ln )('+-=-+=x x x a x x g .设2121ln )(')(+-==x x x g x h ，)2,1(∈x ，则022211)('>-=-=xx x x h 恒成立∴ 当)2,1(∈x 时，)(x h 单调递增.又0)1(=h ，∴当)2,1(∈x 时，0)(>x h 恒成立. 而)(')(x g x h =，∴当)2,1(∈x 时，0)('>x g 恒成立，函数)(x g y =单调递增.∴ 必要条件不成立综上，0≥a 是函数)(x g y =在)2,1(∈x 时单调递增的充分不必要条件. ……………………14分。
