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夹逼定理：一个数学分析中的神奇工具数学分析是高等数学的基础和核心，它主要研究函数、极限、微积分等概念。
在数学分析中，有一个非常重要而又有趣的定理，叫做夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理。
这个定理由法国数学家、物理学家拉格朗日于1835年提出，它可以用来求解一些看似复杂或难以直接计算的极限问题。
夹逼定理的内容如下：一个函数（设它为f）被夹在另外两个函数（设它们分别为g和h，其中g≤h）之间，即g≤f≤h。
如果当自变量x趋于某个值a时，g和h都趋于同一个值A，则f也必然趋于A。
用数学符号表示就是：如果g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim_{x→a} g(x)=lim_{x→a} h(x)=A，则lim_{x→a} f(x)=A这个定理的直观意义就是：如果你大哥和你弟弟是同一天出生的，那么可以证明你们仨是三胞胎，你也是那天出生的！夹逼定理有什么用呢？它可以帮助我们求解一些看似复杂或难以直接计算的极限问题。
例如：1.求lim_{n→∞} (1+1/n)^n 的值。
这个极限问题很经典，它其实就是自然对数e的定义之一。
但如果直接用定义来计算它，会非常麻烦。
我们可以利用夹逼定理来简化计算过程。
首先我们观察到(1+1/n)^n 是一个单调增加的函数（因为当n增大时，括号内大于1的部分增大），而(1+1/(n+1))^(n+1) 是一个单调减少的函数（因为当n增大时，括号内小于1的部分减小）。
所以对任意正整数n都有：(1+1/n)^n ≤ (1+1/(n+1))^(n+1)同时我们还知道当n趋于无穷大时，lim_{n→∞} (1+1/n)^n = lim_{n→∞} (1+1/(n+1))^(n+1)因为两者只相差了一个无穷小量。
所以根据夹逼定理，我们可以找到一个介于两者之间且易于计算极限的函数f(n)，使得(1+1/n)^n ≤ f(n) ≤ ( 0.5 + 0.5 * sqrt(4 + 4 / n) ) ^ n其中最后一项是利用二次方程求根公式得到的，并且可以证明当n 趋近无穷大时lim_{n→∞} ( 0.5 + 0.5 * sqrt(4 + 4 / n) ) ^ n = e 因此我们得到lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e这就是夹逼定理的一个应用例子。
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点1为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。
有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。
夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。
要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在n>0，当n>n时，找到xn，zn，且xn→a，zn→b，a≠b，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。
这一点一定要注意，防止理解偏差。
单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知x1=a,xn=f(xn-1)，n=1,2,.....，求数列{xn}的极限。
当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。
综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将xn=f(xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。
上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。
很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。
第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e nn n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→（3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
一、夹逼准则及第一个重要极限1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞=则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞= .证明 由lim n n x a →∞=⇒0ε∀>,1N ∃,当1n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<又由lim n n z a →∞=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<取12{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,故 lim n n y a →∞=.上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0,()U x x δ∈ (或x M >)时）；(2)0()lim ()x xx f x A→∞→=，0()lim ()x xx h x A→∞→=.则 0()lim ()x x x g x →∞→存在且等于 A .上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求2n n→∞++++解因为2111n nn≤+++≤+又因为 lim1,lim 1n n→∞→∞==所以 由夹逼准则得21111n n →∞+++=+.3、第一个重要极限： 0sin lim 1x xx→=证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以111sin tan 222x x x <<， 即 sin tan x x x <<,从而得 sin cos 1xx x <<.因为函数sin xx 与cos x 都是偶函数，所以在区间(,0)2π-内，sin cos 1xx x<<也成立.135图-故对于一切满足不等式 02x π<<的x 都有sin cos 1xx x<< 由 0limcos 1x x →= 及夹逼准则可得0sin lim 1x xx→=.特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例例1 求 0tan lim x xx →解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x→→=⋅=.例2 求201cos lim x xx →-解 201cos lim x x x →-2202sin 2lim x x x →=20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭211122=⋅=.例3 求 1lim(1)tan 2x x x π→-解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则1lim(1)tan2x x x π→-0(1)lim tan2y y y π→-=0lim cot2y yy π→=2lim coslim cos22sin sin222y y yyyyyy ππππππ→→=⋅=⋅2π=.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
夹逼定理与单调有界收敛定理目录1夹逼定理21.1定理内容及证明 (2)1.2典型例子 (2)2单调有界收敛定理62.1定理内容及证明 (6)2.2典型例子 (6)11夹逼定理21夹逼定理1.1定理内容及证明定理1.1若数列{a n},{b n},{c n}满足条件：(1)a n≤b n≤c n；(2)limn→∞a n=limn→∞c n=A则数列{b n}极限存在，且有limn→∞b n=A证明：∀ε>0，由于limn→∞a n=limn→∞c n=A，根据极限的定义有，∃N>0，使得当n>N时，总有|a n−A|<ε,|c n−A|<ε成立，再由a n≤b n≤c n，可得A−ε<a n≤b n≤c n<A+ε从而数列{b n}极限存在，且有limn→∞b n=A1.2典型例子例1：证明：limn→∞a nn!=0证明：对于常数a，∃N1>0，使得|a|≤N1，因此，当n>N1时，有0≤a nn!=|a|1|a|2···|a|N1|a|N1+1···|a|n≤|C|n成立，由于limn→∞|C|n=limn→∞0=0根据夹逼定理，可以得到limn→∞a nn!=01夹逼定理3从而有lim n →∞a n n !=0得证。
例2：证明：limn →∞n !n n =0证明：当n >2时，有0≤n !n n =1n 2n ···n n ≤1n由于limn →∞1n =lim n →∞0=0根据夹逼定理，可以得到limn →∞n !n n =0得证。
例3：证明：lim n →∞n k a n=0(k >0,a >1)证明：令a =1+b (b >0)，当n >[k ]+1时，因为a n =(1+b )n >C [k ]+1nb [k ]+1所以0<n k a n <n k C [k ]+1n 1b [k ]+1<n k (n −[k ])[k ]+1([k ]+1)!b [k ]+1=n k −([k ]+1)(1−[k ]n )[k ]+1([k ]+1)!b [k ]+1由于lim n →∞(1−[k ]n)[k ]+1=1,lim n →∞n k −([k ]+1)=0从而有lim n →∞n k −([k ]+1)(1−[k ]n)[k ]+1([k ]+1)!b [k ]+1=0根据夹逼定理，可以得到limn →∞n ka n=0得证。
数学教案：左右夹逼定理的证明左右夹逼定理是数学中经典的定理之一，它在高等数学、微积分和数学分析课程中都有应用。
本文将就左右夹逼定理进行阐述及证明。
一、左右夹逼定理的定义左右夹逼定理是指：如果对于两个函数 f(x)和g(x)，它们同时满足以下条件：1.存在 a 和 b，使得 a ≤ x ≤ b。
2.对于 a ≤ x ≤ b，f(x) ≤ g(x)。
3.lim(f(x))= lim(g(x))= l（l为常数），则 lim(f(x))=l。
也就是说，如果 f(x)和g(x)在[a,b]上夹逼一个定值l，那么当x趋近于a或b时，f(x)和g(x)的极限都趋近于l。
二、左右夹逼定理的应用左右夹逼定理的应用很广泛，其中最重要的应用是求解极限问题。
如果已知两个函数 f(x)和g(x)，它们满足左右夹逼定理的条件，那么就可以直接使用左右夹逼定理来求解极限。
例如，我们可以使用左右夹逼定理来求解 1/x 的极限。
我们知道，当 x 趋近于正无穷时，1/x 的值趋近于0。
而当 x 趋近于负无穷时，1/x 的值趋近于0。
因此，我们可以构造两个函数 f(x)=0 和 g(x)=1/x，它们在[-1,1]上夹逼一个定值0。
根据左右夹逼定理，我们可以得出极限lim(1/x) =0。
三、左右夹逼定理的证明为了证明左右夹逼定理，我们需要使用两个重要的定理：单调有界准则和夹逼准则。
1.单调有界准则：如果一个函数在一个区间内单调递增（或递减），并且在该区间内有上下界，那么该函数就是收敛的。
2.夹逼准则：如果一个函数 f(x)是在区间(I，+∞)或(-∞，I)内定义的，并且满足以下条件：1）存在一个函数 g(x)和 h(x)，它们在区间(I，+∞)或(-∞，I)内定义。
2）对于所有在该区间内的x，f(x) ≤g(x) 且f(x)≥h(x)。
3）lim(g(x))= lim(h(x))=L，则 lim(f(x))=L。
下面，我们就使用单调有界准则和夹逼准则来证明左右夹逼定理。
夹逼定理知识点总结夹逼定理的表述如下：设函数 f(x), g(x), h(x) 在某个区间内，且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 对于该区间内的所有 x 成立，如果极限lim(x→a)g(x) = L，且lim(x→a)h(x) = L，那么lim(x→a)f(x) = L。
其中 a、L 只是为了方便说明而取的符号，实际上 a 可以是任意实数，L 也可以是任意实数或者正无穷大或者负无穷大。
夹逼定理的证明过程会使用引理，引理是基本的、次要的、辅助的命题和定理集合，夹逼定理的有很多的引理，对夹逼定理有很好的辅助。
夹逼定理的应用：1. 比较函数的极限：夹逼定理可以用于证明函数的极限存在，并且确定其值。
通过找到两个辅助函数，分别小于要求的函数和大于要求的函数，来限制被求极限的函数，进而确定其极限值。
2. 计算极限：夹逼定理可以用于计算一些复杂函数的极限，通过找到趋近点的两个函数，来限制被求极限的函数，然后利用极限性质求解。
3. 证明函数的极限不存在：夹逼定理可以用于证明函数的极限不存在。
通过找到两个函数，分别大于和小于被求极限的函数，并证明其极限不相等，从而得出被求极限的函数的极限不存在。
夹逼定理在微积分的教学和研究中具有重要的地位，它不仅是解决很多函数的极限存在和极限计算的利器，更是锻炼学生逻辑思维和数学证明能力的利器。
通过学习夹逼定理，可以更好地理解和掌握极限的概念和性质，提高数学分析、微积分等领域的学习和研究能力，对于提高数学素养和解决实际问题有着积极的意义。
在证明夹逼定理时，我们需要用到一些基础知识和引理。
下面我们将介绍一些相关的基础知识和引理。
1. 函数的极限：夹逼定理的基础是函数的极限概念。
函数 f(x) 在 x=a 处的极限为 L，表示当 x 充分靠近 a 时，对应的函数值 f(x) 充分靠近 L，通常用极限符号lim(x→a)f(x) = L 表示。
极限的基本性质包括唯一性、局部有界性、保号性、夹逼性等。
夹逼定理,也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。
定义,一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：（1）当n>No时，其中No∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，（2）当n→+∞，limYn =a；当n→+∞ ，limZn =a,那么，数列{Xn}的极限存在，且当n→+∞，limXn =a。
证明.,因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1，N2，当n>N1时，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε，∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，有a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。
也就是说limXn=a二.函数的夹逼定理F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有F(x)≤f(x)≤G(x)则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)即A≤limf(x)≤A故limf(Xo)=A简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理.应用1.设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
夹逼定理常用放缩夹逼定理是微积分中的重要定理之一，它常被用于求解极限、证明不等式等问题。
在实际应用中，我们经常需要对函数进行放缩，以便更好地利用夹逼定理求解或证明问题。
本文将介绍夹逼定理的基本概念和常用放缩技巧。
1. 夹逼定理的基本概念夹逼定理（又称为挤压定理或夹挤定理）是一种通过比较函数与其他已知函数之间的关系来研究函数性质的方法。
它的核心思想是找到两个已知函数，一个上界函数和一个下界函数，使得待研究的函数始终被这两个函数夹在中间。
形式化地说，设有三个函数f(x)、g(x)和ℎ(x)满足以下条件：g(x)≤f(x)≤ℎ(x),∀x∈I其中I是一个区间。
如果当x趋于某个数a时，g(x)和ℎ(x)的极限都等于某个数L，那么f(x)的极限也等于L。
即：lim x→a g(x)=limx→aℎ(x)=L⇒limx→af(x)=L夹逼定理的直观理解是，如果一个函数在某个点附近被两个函数夹住，而这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个相同的值。
2. 夹逼定理的常用放缩技巧夹逼定理常用于求解极限问题，下面介绍几种常见的放缩技巧。
2.1 利用已知函数和待求函数的关系当我们需要求解一个复杂函数f(x)的极限时，可以通过找到一个已知函数g(x)和另一个已知函数ℎ(x)，使得g(x)≤f(x)≤ℎ(x)。
然后我们可以利用已知函数的性质来推导出待求函数的极限。
我们要求解以下极限：lim x→0sinx x我们可以利用已知的三角函数性质sinx<x<tanx来放缩：cosx<sinxx<1因为lim x→0cosx=1，所以根据夹逼定理可得：lim x→0sinx x=1 2.2 利用已知函数的极限当我们已知一个函数的极限时，可以利用这个极限来放缩其他函数的极限。
我们要求解以下极限：lim x→0xsin 1x由于 −1≤sin 1x ≤1，所以我们有：−x ≤xsin 1x≤x 根据夹逼定理和 lim x→0x =0，可得：lim x→0xsin 1x=0 2.3 利用已知函数的导数当我们已知一个函数的导数时，可以利用导数来放缩其他函数的极限。
[精品]夹逼定理在人类历史上，夹逼定理一直是一个难题。
从一开始，人类就没有完全解决这个难题。
直到人类有了更好的解决办法，所以夹逼定理才能被我们不断地使用。
现在，我们来学习一下。
我们可以从一开始就给自己定位，明确自己的目标，从而制定相应方向进行努力。
这样做是为了让你在学习的过程中变得更好。
当一个人发现周围出现一种可以用来对付他的敌人时，应该如何采取行动呢？你一定会想找一个办法来对付他。
1.先确定敌人用什么武器。
当我们要向敌人发起进攻时，我们首先会去想这个武器是用来对付敌人的还是自己用来对付敌人的就非常重要了。
比如，你发现一位同学在考试中作弊。
这是你没有采取任何行动的结果。
这时候，这个同学会采取什么办法来报复呢？如果他使用自己的武力来攻击你，那么他也会受到相应的惩罚。
但是如果他使用的是一些其它的武器呢？那他就不会受到惩罚，甚至还会受到更加严重的惩罚。
所以我们必须确定敌人用的是什么武器了？这里有一个方法是：你得先找到一个敌人是谁用的武器或其使用方法最简单、最直接的方法来判断敌我双方都用了哪些武器或方法。
2.用什么武器把他们逼到夹逼定理中的夹逼地方。
假如敌人从一开始就处在夹逼定理的夹逼地，那我们应该如何做呢？首先，我们要先确定一下对手的位置和能力，然后再做相应的准备。
由于对手是在一个不太好的地方攻击他们的，所以我们需要找一个可以对付他的地方，然后从这个地方开始，一步步往上接近他，最后让对手掉到一个更差的地方去威胁他。
接下来我们说一下这个问题究竟有多难：如果敌人不喜欢被攻击，那么这个地方必须是他不喜欢被攻击到的位置上的地方；如果有一个敌人喜欢被攻击，那么这个地方就应该是他不喜欢被攻击到的位置上的地方了。
假如敌人喜欢被攻击到这里了，那么这个地方应该是他不喜欢被攻击到的地方，这就是这个问题给我们带来的一个陷阱。
然后将你找来的东西放在那个地方。
这个东西必须和被攻击的人一模一样才行哦！当我们用别的办法来对付他们时，我们应该做哪里呢？如果大家都已经把这个方法当成一个常规武器了，那就只有一个办法可以让大家这么做了：将你找来最好的武器（也就是最简单的）放在自己需要攻击的地方，然后再找一个最适合这一种情况的武器将他们压到最差位置去。
拉格朗日夹逼定理拉格朗日夹逼定理是微积分中的一个重要定理，也被称为夹逼定理或壳取定理。
它由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于1797年提出，是关于函数极限的一条重要定理。
这个定理可以帮助我们在某些情况下求得函数极限值，特别适用于那些较为复杂、难以直接计算的函数。
拉格朗日夹逼定理可以用如下形式表述：设在区间[a, b]上，函数f(x)、g(x)和h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且在这个闭区间上函数f(x)和h(x)的极限都等于L。
那么，当x趋向于a或b时，函数g(x)的极限也等于L。
换句话说，如果一个函数在一个区间上夹在两个其他函数之间，而这两个函数的极限相等，那么该函数的极限也等于这个相同的极限值。
现在我们来证明拉格朗日夹逼定理的正确性。
首先，根据f(x)≤g(x)≤h(x)，我们可以得到一个重要的结论：对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)≤g(x)≤h(x)。
接下来我们假设lim[x→a]f(x) = L，lim[x→a]h(x) = L。
我们需要证明lim[x→a]g(x) = L。
由于lim[x→a]f(x) = L，根据函数极限的定义，对于任意ε>0，存在δ1>0，使得当0<|x-a|<δ1时，有|f(x)-L|<ε。
同样地，由于lim[x→a]h(x) = L，对于任意ε>0，存在δ2>0，使得当0<|x-a|<δ2时，有|h(x)-L|<ε。
我们可以取δ=min(δ1, δ2)，这样当0<|x-a|<δ时，满足上述两个条件。
对于这个取值的δ，我们现在来看函数g(x)。
根据f(x)≤g(x)≤h(x)，我们可以得到以下结论：f(x)-L≤g(x)-L≤h(x)-L根据上述条件，我们有|f(x)-L|≤|g(x)-L|≤|h(x)-L|。
由于|f(x)-L|<ε和|h(x)-L|<ε，根据三角不等式，我们可以得到|g(x)-L|<ε。
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较
一． 夹逼定理
定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：
（1）n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞
→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞
→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧
a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞
→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限
（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222n
n n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限
（1）1sin lim 0=→x
x x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e n
n n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限
（1） x x x tan lim
0→ （2） 3
0sin tan lim x x x x -→ （3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限
（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 21
2)2(lim -→x x x （3）x x x x )5
5(lim -+∞→
三． 无穷小的比较
在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。
尽管
,3,1,,,2x Cosx Sinx x x -都是0→x 时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。
设)(x α，)(x β是当0x x →时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：
)()(x x βα+，)()(x x βα-，)()(x x βα⋅都是当0x x →时的无穷小量。
但)(/)(x x βα当0x x →时是否是无穷小量呢？
,)(x x =α，2)(x x =β，x x sin )(=γ，x x cos 1)(-=δ当0→x 时都是无穷小量，0)()(lim 0=→x x x αβ，1)()(lim 0=→x x x αγ，21)()(lim 0=→x x x βδ，∞=→)
()(lim 0x x x βα。
1．定义：
设0lim =α，0lim =β，
（1）如果0lim
=α
β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβo =； （2）如果∞=α
βlim ，就说β是比α低阶的无穷小； （3）如果0lim ≠=c αβ，就说β是与α同阶的无穷小；
（4）如果1lim
=α
β，就说β与α是等价无穷小，记作βα~。
2．等价无穷小的重要性质
定理3：设/~αα , /
~ββ,且//lim αβ存在，则αβlim =//lim αβ。
推论（1）：设/~αα , /
~ββ,且//
)()(lim αβx g x f 存在，则αβ)()(lim x g x f 存在，且αβ)()(lim x g x f =/
/
)()(lim αβx g x f 。
注：在计算极限的过程中，可将分子或分母的的乘积因子换为与其等价的无穷小，这种替换有时可简化计算，但注意在加、减运算中不能用。
例4：求下列极限
（1） x
x x x x tan sin tan lim 20-→ （2） 1tan 1tan 1lim 0---+→x x e x x 例5：当0→x 时，试比较下列无穷小的阶
（1） 232x x +=α 2x =β （2）x x cos 2=α 2x =β
3．常用的等价无穷小替换
0→x ：x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x ~1-； 2
~cos 12
x x -，x x μμ~)1(+。
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