高等数学第一章第6节夹逼准则

函数极限存在的夹逼准则首先，我们需要明确函数极限的定义。

设有函数$f(x)$在其中一点$a$的一些邻域内有定义，如果存在一个常数$L$，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<，x-a，<\delta$时，有$，f(x)-L，<\varepsilon$成立，则称$L$是函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。

现在，我们来介绍夹逼准则的概念。

设有三个函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$，在其中一点$a$的一些邻域内有定义。

如果存在正实数$\delta$，当$0<，x-a，<\delta$时，有$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$成立，且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$，则可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。

根据夹逼准则的定义，我们可以证明一个函数的极限存在或不存在。

具体地，当我们找到两个函数$f(x)$和$h(x)$，满足$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$时，我们可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。

这是因为当$x$趋近于$a$时，不等式$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$右侧的函数$h(x)$和左侧的函数$f(x)$的极限都趋近于$L$，由此我们可以推断出$g(x)$的极限也趋近于$L$。

夹逼准则的重要性在于它提供了一种判断函数极限存在的方法。

它适用于各种类型的函数，包括无穷的函数，可以广泛地应用于极限的证明中。

接下来，我们将通过一些例子来说明夹逼准则的应用。

例1：证明$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$。

解：由于$-1\leq\sin\frac{1}{x}\leq 1$，我们可以得到以下不等式：$-x\leq x\sin\frac{1}{x}\leq x$当$x$趋近于$0$时，左侧和右侧的极限都为$0$。

高数夹逼准则高数夹逼准则是微积分中的一个重要概念，它在求解极限、证明不等式等问题中具有重要的应用价值。

夹逼准则的核心思想是通过找到两个函数，一个从下方夹逼住待求的对象，另一个从上方夹逼住待求的对象，从而得到待求对象的极限或性质。

夹逼准则的应用非常广泛，不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着很多的应用场景。

下面将通过几个具体的案例来说明夹逼准则的应用。

我们来看一个经典的例子。

假设有一个数列{an}，其中an = 1/n，我们想要求这个数列的极限。

根据夹逼准则，我们可以找到两个函数，一个从下方夹逼住这个数列，另一个从上方夹逼住这个数列。

我们可以取下方的函数为0，上方的函数为1，即0<=an<=1，而且当n趋向于无穷大时，0和1也分别趋向于无穷大和无穷小。

因此，根据夹逼准则，我们可以得到an的极限为0。

除了求解极限，夹逼准则还可以用来证明不等式。

下面我们来看一个例子。

假设要证明对于任意的正实数x，都有x>0。

我们可以通过夹逼准则来证明这个不等式。

取下方的函数为0，上方的函数为x。

显然，0<=x，而且当x>0时，0和x也分别大于0和x。

因此，根据夹逼准则，我们可以得到x>0。

除了数列和不等式，夹逼准则还可以应用于求解极限的问题。

下面我们来看一个例子。

假设要求极限lim(x->0) [(sinx)/x]。

我们可以通过夹逼准则来求解这个极限。

首先，我们知道对于任意的实数x，都有-1<=sinx<=1。

因此，我们可以取下方的函数为-x，上方的函数为x，即-x<=sinx<=x。

而且当x趋向于0时，-x和x也分别趋向于0。

因此，根据夹逼准则，我们可以得到lim(x->0) [(sinx)/x]=1。

通过上面的例子，我们可以看到夹逼准则在求解极限、证明不等式等问题中的重要性。

夹逼准则的核心思想是通过寻找两个函数，一个从下方夹逼住待求对象，另一个从上方夹逼住待求对象，从而得到待求对象的极限或性质。

高数夹逼准则与两个重要极限高数中的夹逼准则和两个重要极限是数学中非常基础而重要的概念。

夹逼准则可以帮助我们求解函数在其中一区间上的极限，而两个重要极限则可以简化我们在计算极限时的计算过程。

下面将详细介绍夹逼准则和两个重要极限。

一、夹逼准则夹逼准则是数学中一种求函数极限的方法。

它适用于其中一区间上的函数。

夹逼准则的基本思想是，如果一个函数在其中一区间内被两个函数夹住，而这两个函数恰好有相同的极限，那么被夹住的函数也会有相同的极限。

具体地说，设函数f(x)在其中一区间[a, b]上有定义。

如果存在两个函数g(x)和h(x)，满足对于所有的x∈(a, b)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[x→a]g(x) = lim[x→a]h(x) = L，则有lim[x→a]f(x) = L。

夹逼准则的应用非常广泛，特别是可以用来求解一些比较复杂的极限。

1.正无穷大与无穷小之间的比较设函数f(x)在x→a时，当x趋于a时，f(x)的极限为正无穷大∞，即lim[x→a]f(x) = ∞。

那么对于任意的正数M，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有f(x)>M，即f(x)比任意的正数M都要大。

同样地，如果函数g(x)在x→a时，当x趋于a时，g(x)的极限为0，即lim[x→a]g(x) = 0。

那么对于任意的正数ε，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有，g(x)，<ε，即g(x)比任意的正数ε都要小。

这个极限的意义是，在计算极限时，如果我们发现函数f(x)在x→a时可以无限增大而无限接近正无穷大，那么我们可以将它近似地看作一个无穷大，这样可以简化计算过程。

同样地，如果函数g(x)在x→a时可以无限接近0，那么我们可以将它近似地看作一个无穷小。

2.正无穷大与负无穷大之间的关系如果两个函数f(x)和g(x)满足lim[x→a]f(x) = +∞，lim[x→a]g(x) = -∞，那么它们之间的关系为：当x→a时，f(x)比g(x)大无穷小。

第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。

（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。

则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。

（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。

则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。

注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。

（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。

例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。

（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e n n n =+∞→)11(lim ）。

例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→ （3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。

函数极限存在的夹逼准则夹逼准则是微积分中用于判定函数极限是否存在的重要原理。

它是一种特殊的极限判定方法，可以帮助我们证明一些函数极限的存在性。

在本文中，我们将讨论夹逼准则的基本思想、严格证明及应用。

夹逼准则的基本思想是，通过将待求的函数夹在两个已知函数之间，且这两个已知函数的极限相等，从而可以推得待求函数的极限存在并等于这个共同的极限值。

简单来说，如果一个函数在一段区间上可以被两个已知函数"夹逼"，那么这个函数的极限也存在。

具体地说，夹逼准则可以形式化为以下定理：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间(a, b)上定义，且对于x在(a, b)内的任意值，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)成立。

如果lim[x→c]g(x) = lim[x→c]h(x) = L，则lim[x→c]f(x)也存在且等于L。

接下来，我们给出夹逼准则的严格证明。

证明：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，我们要证明如果lim[x→c]g(x) = lim[x→c]h(x) = L，则lim[x→c]f(x)也存在且等于L。

首先，我们给出函数f(x)、g(x)和h(x)的夹逼条件：对于x在(a,b)内的任意值，都有g(x)≤f(x)≤h(x)。

由于lim[x→c]g(x) = L，根据极限的定义，对于任意小的ε>0，存在δ1>0，使得当0 < ，x - c，< δ1时，有，g(x) - L，< ε。

同样地，由于lim[x→c]h(x) = L，根据极限的定义，对于任意小的ε>0，存在δ2>0，使得当0 < ，x - c，< δ2时，有，h(x) - L， < ε。

由于我们要证明的是lim[x→c]f(x)存在且等于L，那么我们可以先选择一个较小的δ = min(δ1, δ2)来保证要使用的x值满足上述条件。

接下来，我们取一个满足0<，x-c，<δ的x值。

高数夹逼准则高数夹逼准则是微积分中常用的一种重要方法，用于求解函数的极限值。

它是通过将待求函数与两个已知函数进行比较，利用已知函数的性质来确定待求函数的极限值。

夹逼准则的应用范围很广，可以用于证明数列的极限、函数的极限、无穷小量的性质等等。

一、数列的极限对于数列的极限，夹逼准则可以用来证明某个数列的极限存在，并求出极限值。

例如，对于数列an = sin(nπ/4)，我们希望求出该数列的极限。

这时可以利用夹逼准则，我们知道-1≤sin(nπ/4)≤1，而当n趋近于无穷大时，sin(nπ/4)的取值会在-1和1之间无限循环。

因此，根据夹逼准则，可以得出lim(n→∞) sin(nπ/4) = 0。

二、函数的极限对于函数的极限，夹逼准则同样可以发挥重要作用。

通过夹逼准则，我们可以确定函数在某个点的极限是否存在，并求出极限值。

例如，对于函数f(x) = x^2sin(1/x)，我们希望求出x趋近于0时f(x)的极限。

利用夹逼准则，我们可以构造两个函数g(x) = -x^2和h(x) = x^2，可以发现对于任意x，-x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。

当x趋近于0时，g(x)和h(x)的极限都是0，根据夹逼准则，可以得出lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0。

三、无穷小量的性质夹逼准则还可以用于证明无穷小量的性质。

例如，对于无穷小量x，我们希望证明x^2也是无穷小量。

可以利用夹逼准则，构造两个无穷小量a = 1/x和b = x，可以发现对于任意x，0 < a < b。

根据夹逼准则的定义，当a和b都趋近于0时，x^2也必然趋近于0，因此x^2也是无穷小量。

总结夹逼准则是微积分中一种重要的求解极限的方法，可以用于数列的极限、函数的极限和无穷小量的性质证明。

通过将待求对象与两个已知对象进行比较，利用已知对象的性质来确定待求对象的性质，从而求解极限值。

夹逼准则在数学证明和实际问题中都有广泛的应用，是学习微积分的基础内容之一。