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两直线垂直的判定
(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为
y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.
问题3 中心对称问题
(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,
(1)斜截式:直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为y=k2x+b2,则
A2x+B2y+C2=0,
则m∥n⇔A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1、B1C2≠B2C1, 两个 不等式至少有一个成立 ; C1、 直线m,n重合⇔ A1B2=A2B1且A1C2=A2.
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问题3
利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点
式求出直线方程.
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问题5
轴对称问题 (1)点(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的对称点(x2,y2)
可由
得出对称点坐标.
(2)直线关于直线对称
求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于l:Ax+By+C=0对称的直 线l2的方程的方法:转化为点关于直线对称.在l1上任取两点 P1和P2,求出P1,P2关于l的对称点,再用两点式求出l2的方程.
A.1
B. 2
C.3
D.4
【解析】②中斜率可能不存在,①③④⑤正确.
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2
已知点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角,
则点P的坐标是( A
).
B.(1,0) D.(1,0)或(-6,0)
0- 2 x -2
A.(1,0)或(6,0) C.(-6,0)
【解析】设 P(x,0),则
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1
已知两条不重合的直线l1、l2,有下列说法:
①若直线l1与l2的斜率相等,则l1∥l2;
②若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等; ③若直线l1、l2的斜率均不存在,则l1∥l2;
④若两直线的斜率不相等,则两直线不平行;
⑤如果直线l1、l2平行,且l1的斜率不存在,那么l2的斜率也不存 在. 其中正确的个数是( D ).
多少?当直线n旋转到与直线m垂直的时候,直线n的斜率是 多少?
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在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为 2x-y-3=0 ;问源自1当m⊥n时,直线n的方程为
问题2
x+2y+1=0 .
两直线平行的判定 m∥n⇔k1=k2且b1≠b2;直线m,n重合⇔k1=k2且b1=b2. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为
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【解析】(1)倾斜角为 90°的直线没有斜率;(2)直线的倾斜 角的取值范围是[0°,180°);(4)斜率的绝对值越大,其对应的直 线越靠近 y 轴;(6)倾斜角为 90°的直线没有斜率.
4
根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方 程: (1)过点 B(-3,0),且垂直于 x 轴; (2)在 y 轴上的截距为 3,且平行于 x 轴.
【解析】(1)x=-3,即 x+3=0. (2)y=3,即 y-3=0.
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直线方程的应用 (1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线方程; (2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2垂直的直线方程.
【解析】(1)由 y=2x+7 得 k1=2,因为所求直线与直线 y=2x+7 平行,所以 k=k1=2,所以所求直线方程为 y-1=2(x-1).
4- 1 3 5- 1 4
= ,所以 k=- ,且经过点 C,
3 4 3
4
故 AB 边上的高所在的直线方程为 y-3=- (x-2), 整理得 4x+3y-17=0.
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对称问题
光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x
反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在直线的方程.
·
0+2 x -5
=-1,∴x=1 或 x=6.
∴点 P 的坐标是(1,0)或(6,0).
3
下列命题正确的有 (3)(5)
.
(1)任何一条直线都有倾斜角,也有斜率;(2)平行于x轴的直线的
倾斜角是0°或180°;(3)直线的斜率范围是(-∞,+∞);(4)过原点的
直线,斜率越大越靠近x轴;(5)两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角 相等;(6)两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等.
(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不 存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为 x=-1.
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平面几何中的平行与垂直问题
已知A(1,1),B(5,4),C(2,3). (1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形. (2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.
【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB= ,kAC=2,kBD=
4 3 n -4 m -5 n -3 m -2
,kCD=
.
因为四边形 ABDC 是平行四边形,如图, 所以由 AB∥CD⇒ = 由 AC∥BD⇒2=
m -5 3 n -3 4 m -2 n -4
,①
,②
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(2)设 AB 边上的高所在的直线斜率为 k,则 k·kAB=-1, 因为 kAB=
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(1)求与直线y=-2x+10平行,且在x轴、y轴上的截距之和为 12的直线的方程. (2)求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程.
第4课时
两条直线的平行与垂直
同步书·数学(必修2-第二章)
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1.掌握直线与直线的位置关系.
2.能根据直线的方程判定两条直线平行或垂直,能利用
两条直线平行或垂直的关系求直线的方程. 3.会求关于已知直线对称的直线方程.
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如图,直线m的方程为2x-y+2=0,直线n绕着点P(1,-1) 旋转,当直线n旋转到与直线m平行的时候,直线n的斜率是
【解析】作出草图,如图所示.
设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A'点,D 点关于 y 轴的对称点为 D'点,则易得 A'(-2,-4),D'(1,6). 由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为
y -6 x -1 6+4 1+2
=
,即 10x-3y+8=0.
