高中数学2.1.3两条直线的平行与垂直(2)教案苏教版必修2

2．1.3 两条直线的平行与垂直如右图，在平面四边形ABCD中，由∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°可知AD∥BC.或因为∠B＝90°，可知AB⊥BC；可由∠A＝90°，得到AD⊥AB，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中，我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直．那么，在解析几何中，又如何证明或判断直线的这些关系呢？1．通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的斜率都存在，则它们的斜率相等．反之也成立，即：已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．特别地，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是90°，所以它们互相平行．2．当直线l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1∥l2，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都不存在或k1＝k2且b1≠b2.3．两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1，反之也成立，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1.4．两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0或k1k2＝－1．,一、两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，①两条直线平行的条件为：l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；②两条直线垂直的条件为：l1⊥l2⇔k1k2＝－1；③两条直线l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法．判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线．同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直．若两条直线的方程是一般式l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则常有以下判定方法：①l 1与l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且(B 1C 2－B 2C 1)2＋(A 2C 1－A 1C 2)2≠0或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)；②l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；③l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．基础巩固知识点一 两条直线平行1．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________．解析：kAB ＝4－m m ＋2，∵过AB 的直线与2x ＋y －1＝0平行，∴4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8. 答案：－82．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋5＝0平行，则k ＝________．解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或5，经检验k ＝3或5时，l 1∥l 2.答案：3或53．已知点A (3，1)、B (0，－1)、C (1，3)，则点D 满足什么条件时，可以使得AB ∥CD . 解析：设D (a ，b )，则kAB ＝1－（－1）3－0＝23，kCD ＝b －3a －1.∵AB ∥CD ，∴b －3a －1＝23.∴2a －3b ＋7＝0. ∴当点D 在直线2x －3y ＋7＝0上时，AB ∥CD .知识点二 两条直线垂直4．过点A (－1，0)和B (1，－1)的直线与过M (0，k )和N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0(k ≠0)两点的直线的位置关系是________．解析：kAB ＝－1－01＋1＝－12，kMN ＝0－k －k 2－0＝2， ∴kAB ·kMN ＝－12×2＝－1，即AB ⊥MN . 答案：垂直5．已知点A (2，2)、B (1，－2)，若点P 在坐标轴上，且∠APB 为直角，则这样的点P 有________个．解析：若点P 在y 轴上，则点P 只有一个；若点P 在x 轴上，则点P 有两个．故满足条件的点p 共有3个．答案：36．已知直线l 1经过点A (－2，0)和点B (1，3a )，直线l 2经过点M (0，－1)和点N (a ，－2a )，若l 1⊥l 2，试确定实数a 的值．解析：(1)当直线l 1、l 2的斜率都存在，即a ≠0时，直线l 1、l 2的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝1－2a a. ∵l 1⊥l 2，∴a ·1－2a a＝－1. ∴a ＝1.(2)当a ＝0时，k 1＝0，k 2不存在，此时l 1⊥l 2.综合(1)(2)知，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为1或0.知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用7．已知点A (－4，2)、B (6，－4)、C (12，6)、D (2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .解析：由题意得kAB ＝－35，kAD ＝53，kCD ＝－35，kAC ＝14，kBD ＝－4，∴kAB ＝kCD ，kAB ·kAD ＝－1，kAC ·kBD ＝－1.∴AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，①②④正确．又kAB ·kBD ≠－1，∴③错误．答案：①②④8．若已知直线l 1上的点满足ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2上的点满足x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0(a ≠0)，当a 为何值时：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解析：k 1＝－a 2，k 2＝－1a －1. (1)l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－a 2＝－1a －1， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1的方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，则l 1与l 2重合．∴a ＝－1.(2)l 1⊥l 2时，由k 1k 2＝－1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23. 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2.能力升级综合点一 平行与垂直的简单应用9．在直角坐标平面内有两个点A (4，2)、B (1，－2)，在x 轴上有点C ，使∠ACB ＝90°，则点C 的坐标是________．解析：设C (x 0，0)，由AC ⊥BC ，得0－2x 0－4·0＋2x 0－1＝－1，∴x 0＝0或x 0＝5. 答案：(0，0)或(5，0)10．若点A (1，2)在直线l 上的射影为B (－1，4)，则直线l 的方程是________． 解析：∵AB ⊥l ，kAB ＝4－2－1－1＝－1，∴kl ＝1.又l 过点B ，∴l ：y －4＝x ＋1，即直线l 的方程为x －y ＋5＝0.综合点二 平行与垂直的综合应用11．已知两点A (2，0)、B (3，4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．解析：由题意知，AB ⊥BC ，∴kAB ·kBC ＝－1，即4－03－2·4－y 3－0＝－1，解得y ＝194. 答案：19412．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k 为________．解析：若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l 1⊥l 2，而kl 1＝73－7＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k .而kl 1·kl 2＝－1，得k ＝3. 答案：3综合点三 平行直线系或垂直直线系问题13．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程．解析：∵l 1∥l 2，∴设l 2的方程为x ＋y －m ＝0.设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A 、D ，l 2与x 轴，y 轴分别交于点B 、C ，易得：A (1，0)、D (0，1)、B (m ，0)，C (0，m )．又l 2在l 1的上方，∴m ＞0.S 梯形＝S Rt △OBC －S Rt △OAD ，∴4＝12m ·m －12×1×1. ∴m 2＝9，m ＝3.故l 2的方程是x ＋y －3＝0.。

两条直线平行与垂直的判定素材〔1〕设置问题，归纳结论设两条直线与的斜率分别为与〔注：两条直线与的一般是指两条不重合的直线〕活动二：1、当时，与满足怎样的关系？给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演。

归纳：。

2、反之，当时，两条直线与有怎样的位置关系？学生通过思考，很快能利用三角函数知识得出直线。

归纳：结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即设计意图：〔1〕培养学生运用已有知识解决新问题的能力；〔2〕培养学生自主探究问题的习惯。

〔2〕应用举例：例1、A〔2，3〕，B〔－4，0〕P〔－3，2〕，Q〔－1，3〕，试判断直线AB与直线PQ的位置关系,并证明你的结论给学生约1分钟的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。

设计意图：⑴应用新知解决问题。

⑵体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练1：四边形ABCD的四个顶点分别为A〔-7，0〕、B〔2，－3〕、C〔5，6〕、D〔-4，9〕，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导在做完此题时，细心的学生会发现它可能还是一个正方形，如何判断呢？引出下一个探究的问题：斜率之间有何关系时两条直线垂直？设计意图：为了发现问题，提出问题。

也为下一环节做好铺垫。

2、两条直线垂直的判定：〔1〕设置问题，归纳结论活动三：1、当时，它们的斜率1与2有何关系？探究：1直线且的倾斜角为300，的倾斜角为12021，1与2的关系2直线且的倾斜角为600，的倾斜角为1500，1与2的关系由学生自主探究，得出猜测：任意两条直线垂直时。

提出问题：我们能否证明上述结论3该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生独立完成有困难，教师通过分析、讲解，完成证明过程。

归纳：2、反之，当时，直线与有怎样的位置关系？学生思考后得出与是垂直的。

11^ 9复习回顾1.利用两直线的斜率关系判断两直线的平行关系①斜率存在，IJ/gkf,且截距不等；②斜率都不存在.注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论.2.利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系Z x： A】兀+Bj+C]=O, Z2：A M+B2X+C2=0,贝"1〃<2 O 4^2—〃川2=0，且#0或3&2—32<7朮0・3・利用直线系解题已知片〃<2，且厶的方程为A兀+C\=0,则设仏的方程为A兀+C=0(C VQ ,情境问题能否利用两直线的斜率关系或直接利用直线的一般式方程来判断两直线的垂直关系呢？如何判断，又如何利用这一关系解题呢？数学建构两直线垂直.已知直线厶丄厶，①若人，的斜率均存在，设人：y=k l x+b l, /2：y=k-^c+b2 则k^k2=—l;②厶，乙中有一条直线斜率不存在, 则另一条斜率为0・例］.已知四点A(5, 3), 5(10, 6), C(3, -4), D(-6, 11). 求证：AB丄CD.变式练习：3⑴已知直线厶的斜率以=「直线仏经过点A®, -2), B(0, 0+1),且人丄匕求实数。

的值. 4(2)求过点A(0, -3),且与直线2x+j-5=0垂直的直线的方程.两直线垂直.③已知厶：A i x+B i y+C i =0, Z2： A2x+B2y+C2=0, 贝"i丄12^^2+8^2=0 ・注：设人Ax+Bj+C=0,与直线/垂直的直线可设为：Bx-Ay+n=Q(3)已知直线“与直线/： 3x+4j-12=0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6,求直线"的方程.例2.已知三角形的三个顶点分别为A(2, 4), B(l, —2), C( —2, 3), 求：AC边上的高BE所在直线的方程.例3・如图在路边安装路灯，路宽MN长为23米，灯杆长2・5米，且与灯柱成120。

两条直线的平行与垂直(1) 【学习导航】知识网络两条直线（斜率都存在）：1l ：11,y k x b =+2l ：22,y k x b =+学习要求1．掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，培养学生思维的严谨性和辨证性．【课堂互动】自学评价判定直线1l 与2l 平行的前提是：12l l 、是不重合的两条直线；如果1l 、2l 斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行；如果1l 、2l 斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们 平行 ．【精典范例】例1：已知直线方程1l ：,0742=+-y x 2l ：052=+-y x ，证明：1l //2l ．分析：在两条直线斜率都存在的情况下，若要证明两直线平行，即证斜率相等.【证明】把1l 和2l 的方程写成斜截式1l ：4721+=x y ，1l ：2521+=x y ， ∵21k k =，21b b ≠，∴1l //2l ．点评:(1)判定两直线平行的条件是直线的斜率和截矩，因此，要把方程化为斜截式；(2)判定两直线平行，首先判断斜率相等，若两直线斜率相等，则两直线可能平行也可能重合，还需再进一步判断截距不相等；如果两条直线斜率不存在，两条直线为12,x a x a ==，只需12a a ≠即可．(3)判定两直线重合，首先判断两条直线斜率相等，再判定截距相等．如果两条直线斜率都不存在，两直线12,x a x a ==，只需12a a =即可．例2：求证：顺次连结7(2,3),(5,),(2,3),(4,4)2A B C D ---四点所得的四边形是梯形．分析：判断一个四边形是梯形，不仅要判断一组对边平行，还要判断另一组对边不平行．【证明】∵7(3)12526AB k ---==--， 431426CD k -==---，∴AB CD k k =， 从而//AB CD ． 又∵73()132256BC k --==--， 3472(4)6DA k --==---，∴BC DA k k ≠， 从而直线BC 与DA 不平行，∴四边形ABCD 是梯形．点评：在判断哪组对边平行时，不妨先在坐标系中将各点画出，结合图形作判断，再进行证明．例3：（1）两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 平行或重合．（2）若直线1l ：013=++y ax 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相平行，则a 的值为3a =-．分析：（1）若两直线斜率不等，必定相交；若两直线斜率相等，则平行或重合；（2）在两直线斜率存在的前提下，若两直线平行，则斜率相等，可以此来求直线方程中的字母系数.【解】(2)①当1a ≠-时，122,31l l a k k a =-=-+ 21//l l Θ，∴12l l k k =，∴(1)60a a +-=，即062=-+a a ，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行，当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合，∴2=a 不符合，②当1a =-时，两直线不平行，∴3a =-．点评: 1．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；2．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法（注意：要对直线斜率不存在的情况进行讨论）．例4：求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线方程．分析：抓住题目中的有效信息，直线平行则斜率相等，然后结合点(2,3)A -，利用点斜式便能求出直线方程．【解】已知直线的斜率2k =-，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为2k =-，所以，所求直线的方程为：32(2)y x +=--，即210x y +-=．另解：设与直线250x y +-=平行的直线l 的方程为：20x y m ++=，l Θ过点(2,3)A -，∴22(3)10m ⨯+-⨯+=，解之得1m =-，所以，所求直线的方程为210x y +-=．点评:（1）一般地与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ，其中m待定；（2）把上题改为求与直线250x y +-=平行，且在两坐标轴上的截距之和为32的直线l 的方程．（210x y +-=） 追踪训练一1.若过两点(6,)P m 和(,3)Q m 的直线与直线250x y -+=平行，则m 的值为（ B ）()A 5 ()B 4 ()C 9 ()D 02. 直线0mx y n +-=和10x my ++=平行的条件是 （ D ）()A 1m = ()B 1m =±()C 11m n =⎧⎨≠-⎩ ()D 11m n =⎧⎨≠-⎩或11m n =-⎧⎨≠⎩3. 平行于直线38250x y -+=，且在y 轴上截距为2-的直线方程是38160x y --=．４. 若直线2(23)1y a a x =-+-与直线(7)4y a x =++平行，则a 的值为1-或4． 思维点拔：课本中是在两条直线的斜率都存在的前提下，得出两直线平行的等价条件的.在具体解题时，应注意考虑直线斜率不存在的情形(如例3(2)、追踪训练一第２题)．另外，在判定两直线平行时，还要注意出现两直线重合的情况．追踪训练二1．若直线mx+4y-1=0与直线x+my-3=0不平行,求实数m 的取值范围是2m ≠±．2．与直线3410x y ++=平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为3440x y +-=.3．求与直线3490x y ++=平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程．【解】∵直线3490x y ++=的斜率为34-，∴设所求直线方程为34y x b =-+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43b x =， 由题意，40,03b b >>，∴0b >， ∴142423b b ⨯⨯=，∴6b =， 故所求直线方程为364y x =-+，即34240x y ++=． 点评：直线方程为34y x b =-+可化为3440x y b +-=，令4m b =-，即可得340x y m ++=．因此，与3490x y ++=平行的直线也可设为340x y m ++=，但注意到两直线不重合，所以9m ≠．。

两条直线的平行与垂直(２)【学习导航】学习要求1．掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；2．理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．【课堂互动】 自学评价 （1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们 互相垂直 ，那么它们的斜率的乘积等于1-，反之，如果它们的斜率的乘积等于1-，那么它们 互相垂直 . （2）若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为 0 时，12l l ⊥.【精典范例】例1：（1）已知四点(5,3),A (10,6),(3,4),(6,11)B C D --，求证：AB CD ⊥． （2）已知直线1l 的斜率为134k =，直线2l 经过点2(3,2),(0,1)A a B a -+，且12l l ⊥，求实数a 的值． 【证明】（1）由斜率公式得：63311(4)5,1055633AB CD k k ---====----， 则1AB CD k k ⋅=-， ∴AB CD ⊥． （2）∵12l l ⊥，∴121k k ⋅=-， 即231(2)1403a a+--⨯=--， 解得1a =或3a =，∴当1a =或3a =时，12l l ⊥．点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.例2：已知三角形的三个顶点为(2,4),A (1,2),B -(2,3)C -，求BC 边上的高AD 所在的直线方程． 分析：由BC 和AD 垂直,求出AD 的斜率,利用直线的点斜式便可求出高AD 所在的直线方程． 【解】直线BC 的斜率为3(2)5213BC k --==---， ∵AD BC ⊥， ∴35AD k =， 根据点斜式，得到所求直线的方程为 34(2)5y x -=-， 即35140x y -+=. 点评：一般地，与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定．例3：在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ） 【解】记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯管为AB ，灯罩轴线与道路中线交于点C ．以灯柱底端O 为原点，灯柱OB 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．点B 的坐标为(0,)h ，点C 的坐标为(11.5,0)， ∵120OBA ∠=，∴直线BA 的倾斜角为30， 则点A 的坐标为（2.5cos30, 2.5sin30h +），即（ 1.25h +），CA BA ⊥ ∴1CA BA k k =-1tan 30=-=-，由直线的点斜式方程，得CA的方程为( 1.25)y h x -+=-， 灯罩轴线CA 过点(11.5,0)C ，∴( 1.25)h -+=-， 解得 14.92()h m ≈ 答：灯柱高h 约为14.92m ．点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系,构造数学模型是关键.追踪训练一1. 以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是 （B ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形２.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是 （ B ） （A ）相交不垂直 （B ）垂直 （C ）平行 （D ）重合 ３. 过原点作直线l 的垂线，若垂足为(2,3)-，则直线l 的方程是23130x y -+=． ４. 已知两直线0742:1=+-y x l ，2:250l x y +-=，求证：21l l ⊥． 【选修延伸】 例4：（课本第91页 习题 第12题）直线1l 和2l 的方程分别是1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，其中11,A B 不全为0，22,A B 也不全为0，试探究：（1）当12//l l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当12l l ⊥时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于1l 和2l 的斜率可能不存在，因此分类讨论．【解】（1）①当两直线方程中,x y 的系数有一个为0时，不妨设10B =，则必有10A ≠，此时直线1l 垂直于x 轴，其方程为110A x C +=，由12//l l 知2l 也垂直于x 轴，其方程可以为220A x C +=， 此时满足1221A B A B =；反之也成立．②当两直线方程中,x y 的系数均不为0时，直线1l 和2l 的斜率分别为11A B -，22A B -，由12//l l 得1212A A B B -=-， 即1221A B A B =．反之也成立．综合①②可知：当12//l l 时，1221A B A B =．（2）①当两直线方程中,x y 的系数有一个为0时，不妨设10B =，则必有10A ≠，此时直线1l 垂直于x 轴，其方程为110A x C +=，由12l l ⊥知，直线2l 平行于x 轴，故其方程为220B y C +=，满足，12120A A B B +=；反之也成立．②当两直线方程中,x y 的系数均不为0时，直线1l 和2l 的斜率分别为11A B -，22A B -， 由12l l ⊥知，1212()()1A A B B --=-，∴12120A A B B +=．反之也成立． 综合①②可知：当12l l ⊥时，12120A A B B +=． 点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在．另外，分类讨论的数学思想也得到了充分的体现． 思维点拔： 1．求直线方程时，与y kx b =+或0Ax By C ++=平行的直线可分别设为1y kx b =+或10Ax By C ++=（其中11,b C 为待定系数）；与y kx b =+或0Ax By C ++=垂直的直线可分别设为()110y x b k k =-+≠或10Bx Ay C -+=（其中11,b C 为待定系数）． 2．在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.追踪训练二1．若直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，则实数a 的值为11a =-或． 2．由四条直线：210x y +-=，210x y --=，2410x y ++=，4210x y -+=围成的四边形是 ( D )()A 等腰梯形()B 梯形 ()C 长方形()D 正方形3．过点(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程是250x y +-=．4．分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．答案:经过,A B 的直线分别是10x y +-=及2100x y +-=．。

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）从容说课两条直线的垂直是研究两条直线位置关系的又一重要形式.旧教材中通过向量来推导垂直，由于学生没有学过三角函数、向量，新教材通过特例来推导垂直的这一点只要让学生了解，不必深究.教学重点两条直线的垂直的判断.教学难点两条直线垂直的公式推导及分情况讨论.教具准备多媒体.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.掌握两条直线垂直的判断方法.2.理解两直线垂直条件的推导过程.二、过程与方法1.师生共同探究的方法.2.创设数学情境.三、情感态度与价值观代数化处理几何问题的方法及数学地思考问题的方法.教学过程导入新课师前面我们一起研究了在直角坐标系中如何判断两条直线平行的方法，判断两条直线平行的条件是什么？生l1、l2是不重合的两条直线.①如果l1、l2斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行；②如果l1、l2斜率都不存在，那么两直线都垂直于x轴，故它们平行．师对！判断两条直线平行的前提条件是：l1、l2是不重合的两条直线，另外要分直线的斜率存在和不存在来讨论.今天我们来研究如何判断两条直线垂直的方法.推进新课师两条直线垂直时，其倾斜角、斜率之间有什么关系呢？（同时在黑板上板图）我们看图：若l1⊥l2(l1,l2都不与x轴垂直)，如图，作PQ∥x轴，且PQ=1，过点Q作RS⊥PQ,分别交l1、l2于R、S，则k1=R Q,k2=-Q S.由Rt△PQ R∽Rt△S QP，故可得PQ2=R Q·Q S，从而1=-k1k2,即k 1k 2=-1.反过来，若k 1k 2=-1,可以证明l 1⊥l 2.因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于－1，即l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.师如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？ 生通过图形观察可以得到另一条直线的斜率为0.师逆命题成立吗？……（学生思考）逆命题是什么？生逆命题是如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，另一条直线斜率为0，那么这两条直线互相垂直.师是逆命题，对吗？生对！师于是我们就可以得到判断两条直线垂直的方法（同时板书）：两直线垂直的判定.判定两直线垂直时也要注意分情况讨论：（1）当两直线的斜率都存在时，两直线垂直可得它们的斜率乘积等于-1；反之，两直线斜率乘积等于-1也能得到它们相互垂直．（2）当两直线中的一条斜率不存在时，另一条直线斜率为0时两直线垂直；反之，如果两直线垂直，则另一条直线斜率一定不存在．【例1】（1）已知四点A(5,3)、B(10,6)、C(3,-4)、D(-6，11),求证：AB ⊥CD.(2)已知直线l 1的斜率k 1=43，直线l 2经过点A(3a ，－2)、B （0，a 2＋1），且l 1⊥l 2，求实数a 的值.（1）证明：由斜率公式，得k AB ＝5351036＝--，k CD =3536411-----＝）（. 则k AB ·k CD =-1，所以AB ⊥CD. （2）解：由l 1⊥l 2可知k 1k 2=-1，即aa 30)2(1432---+⋅=-1，解得a ＝1或3. 师直角坐标系中判断两条直线垂直的方法关键是看其斜率之积是否为－1.【例2】如右图，已知三角形的顶点为A(2,4)、B(1,-2)、C(-2,3),求BC 边上的高AD 所在的直线方程.师要求BC 边上的高AD 所在的直线方程，已经知道哪些因素？生经过点A.师还差一个什么因素？生直线上一点或其斜率.师能否求出另外一点？生不好求.师能否求出其斜率？生可以，因为AD 垂直于BC ，所以直线AD 斜率是直线BC 斜率的负倒数.师我们一起看解题过程.解：直线BC 的斜率k BC =3512)2(3-=----,因为AD ⊥BC,所以k AD =-531=BC k .根据点斜式，得到所求直线的方程是y －4＝53(x -2),即3x -5y +14=0. 【例3】在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ）师这是一道与几何有关的应用题，大家先思考一下，能否借助于我们初中学过的几何知识解决？（3分钟后）生如右图记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯杆为AB ，灯轴线与道路中线交于点C ，灯柱底端为O 点，灯柱OB.由已知可得到AB=2.5,OC=11.5,因为∠ABO ＝120°，所以∠ABD=∠OCD= 60°,先求出线段BD ，再求出DO ，最终可求得BO 的长.师说得对！我们还可以通过建立坐标系的方法来解决，如何建立坐标系呢？生以OC 为x 轴，OB 为y 轴.师说得还不够严谨，我们一起来观察.解：如右图，记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯杆为AB ，灯轴线与道路中线交于点C ，以灯柱底端O 点为原点，灯柱OB 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.点B 的坐标为（0，h ），点C 的坐标为（11.5，0），因为∠OBA ＝120°，所以中线BA 的倾斜角为30°，则点A 的坐标为（2.5·5c os30°，h+2.5·5sin30°），即（1.253,h+1.25）.因为CA ⊥BA ，所以k CA =-︒-=30tan 11BA k =-3. 由直线的点斜式方程，得CA 的方程是y -(h+1.25)=-3(x -1.253).因为灯罩轴线CA 过点C,代入上式，解得h ≈14.92(m).答：灯柱高约为14.92m.（投影）课堂练习1.已知两条直线l 1：2x -4y +7=0，l 2：2x +y -5=0．求证：l 1⊥l 2．证明：l 1的斜率k 1=21，l 2的斜率k 2=-2，∴k 1k 2=-1.∴l 1⊥l 2． 2.求过点A(2，1)，且与直线2x +y -10=0垂直的直线方程．解法一：已知直线的斜率k=-2．∵所求直线与已知直线垂直，∴所求直线的斜率k 1=21. 根据点斜式得所求直线的方程是y -1=21(x -2)，就是x -2y =0. 解法二：∵所求直线与已知直线垂直，∴可设所求直线方程是x -2y +m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x －2y =0．【例4】已知点A(0,2)、B(4,2)、C(6,2+23)、D(2,2+23)，求证：四边形ABCD 是菱形．分析：根据对角线互相垂直的四边形是菱形，只要证四边形ABCD 是平行四边形且对角线互相垂直．证明：∵k AB =0422--， k CD =26)322(322-+-+=0， k AD =3022322=--+， k BC =3462322=--+， ∴k AB =k CD ,k AD =k BC .∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形.又∵k AC =33062322=--+，k BD =3422322-=--+， ∴k AC ·5k BD =-1.∴对角线AC ⊥BD.∴四边形ABCD 是菱形．点评：待我们学习了“两点间的距离公式”后，本题还可以证明四边形ABCD 四条边长相等，从而得到菱形．课堂小结今天我们研究了两条直线垂直的判定，判定两直线垂直时要注意分情况讨论：（1）当两直线的斜率都存在时，两直线垂直可得它们的斜率乘积等于-1；反之，两直线斜率乘积等于-1，也能得到它们相互垂直．（2）当两直线中的一条斜率不存在时，另一条直线斜率为0时两直线垂直；反之，如果两直线垂直，其中一条直线斜率为0时，则另一条直线斜率一定不存在．同时还要注意与已知直线垂直的直线的设法．布置作业P 87习题2.1（2）第1题和第2题.板书设计2.1.3 两条直线的平行与垂直(2)例1 课堂小结例2 作业例3活动与探究【例题】（课本第88页习题第11题）直线l 1和l 2的方程分别是A 1x +B 1y +C 1=0和A 2x +B 2y +C 2=0，其中A 1、B 1不全为0，A 2、B 2也不全为0，试探究：（1）当l 1∥l 2时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当l 1⊥l 2时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于l 1和l 2的斜率可能不存在，因此要分类讨论．解：（1）①当两直线方程中x 、y 的系数有一个为0时，不妨设B 1=0，则必有A 1≠0，此时直线l 1垂直于x 轴，其方程为A 1x +C 1=0，由l 1∥l 2知l 2也垂直于x 轴，其方程可以为A 2x +C 2=0，此时满足A 1B 2=A 2B 1；反之也成立．②当两直线方程中x 、y 的系数均不为0时，直线l 1和l 2的斜率分别为-11B A 、-22B A ，由l 1∥l 2得-11B A =-22B A , 即A 1B 2=A 2B 1．反之也成立．综合①②可知当l 1∥l 2时，A 1B 2=A 2B 1．（2）①当两直线方程中x 、y 的系数有一个为0时，不妨设B 1=0，则必有A 1≠0，此时直线l 1垂直于x 轴，其方程为A 1x +C 1=0，由l 1⊥l 2知，直线l 2平行于x 轴，故其方程为B 2y +C 2=0，满足A 1A 2+B 1B 2=0；反之也成立．②当两直线方程中x 、y 的系数均不为0时，直线l 1和l 2的斜率分别为-11B A 、-22B A ， 由l 1⊥l 2知(-11B A )(-22B A )=-1，∴A1A2+B1B2=0．反之也成立．综合①②可知当l1⊥l2时，A1A2+B1B2=0．备课资料一、利用几何特征解题【例题】已知△ABC的一个定点是A(3,-1)，∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，求直线BC的方程．分析：利用角平分线的轴对称性质，求出A关于x＝0，y＝x的对称点，它们显然在直线BC上．解：A(3，－1)关于x＝0，y＝x的对称点分别是（－3，－1）和（－1，3），且这两点都在直线BC上，由两点式求得直线BC的方程为2x－y＋5＝0．二、备选练习或例题1.由四条直线:x+2y-1=0,2x-y-1=0,2x+4y+1=0,4x-2y+1=0围成的四边形是（）A.等腰梯形B.梯形C.长方形D.正方形2.已知三点A(0,0)、B(m,n)、C(-n,m)，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.已知点P(0,-1)，点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是（）A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,3)D.(-2,-1)4.过点A(1,0)且与过点B(-1,0)、C(1,2)的直线BC垂直的直线方程是_________．5.过点(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程是_________．6.若直线2x-3y-2=0与直线m x+(n+3)y+1=0垂直，且与直线2n x+m y+1=0平行，则m=_________，n=_________．7.过点M(-1,-2)作直线l交直线x+2y+1=0于点N，当线段MN最短时，求直线l的方程．8.分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．参考答案：1.D2.A3.C4.x+y-1=05.2x+y-5=06.-9 37.y=2x.8.经过A、B的直线分别是x+y-1=0及x+2y-10=0．。

两直线的位置关系一．知识梳理1．判定两条直线的位置关系1两条直线的平行①若1：＝1＋b1，2：＝2＋b2，则1∥2⇔且②当1，2都垂直于轴时，则1∥2⇔若1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0，则1∥2⇔________________2两条直线的相交垂直问题①若1：＝1＋b1，2：＝2＋b2，则1⊥2⇔②两条直线中，一条斜率不存在，则1⊥2⇔____________若1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0，则1⊥2⇔相交直线1：＝1＋b1，2：＝2＋b2相交的条件是直线1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0相交的条件是3两条直线的重合若1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0，则1与2重合⇔________________2．点到直线的距离点P0，0到直线A＋B＋C＝0A、B不同时为零的距离二．知识运用目标一：求直线方程1求经过两直线25020x y x y--=++=和的交点且与直线310x y+-=平行的直线方程。

2求经过两直线3210210x y x y+-=++=和5的交点且与直线3560x y-+=垂直的直线方程。

＋3＋1＝0上，P点到A1,3和B－1，－5的距离相等，求点P的坐标。

目标二：运用点到直线的距离1正方形中心为点(1,0),M-一条边所在直线方程为：350x y+-=，求其它三边所在直线方程。

2 矩形ABCD的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360,x y--=点(1,1)T-在AD边所在直线上，求直线BC的方程。

目标三：求参数的值1若经过点(3,),(2,0)a-的直线与经过点(3,4)-且斜率为12的直线垂直，求实数a的值。

2若三条直线280,4310210ax y x y x y++=+=-=和相交于一点，求实数a的值。

1：a－2＋3＋a＝0，2：a＋a－2－1＝1⊥2时，求a的值。

0,0，A4，－1两点到直线a＋a2＋6＝0的距离相等，求实数a的值。