时两条直线的平行与垂直配套练习必修

2.1.3两条直线的平行与垂直一、选择题:1. 直线:l 60ax by ++=平行于直线3210x y -+=,且在x 上的截距为1,则a 、b 的值分别是 ( )A. 3和-2B. 6和-4C. -3和2D. -6和4 2. 过点(-1,3)且垂直于直线230x y -+=的直线方程为 ( )A.210x y +-=B.250x y +-=C. 250x y +-=D. 270x y -+= 3. 已知直线l 1和l 2的斜率分别是方程x 2-4x -1=0的两根, 则l 1与l 2的夹角为( ) A.6π B. 3π C. 2π D. 23π4. 若原点在直线l 上的射影是点P （－2，1），则直线l 的方程是( )A.x ＋2y ＝0B.x ＋2y －４＝0C.2x －y ＋5＝0D.2x ＋y ＋3＝0 5. 如图所示，已知M (1，0)、N (－1，0)，直线2x +y =b 与线段MN 相交，则b 的取值范围是( ) A ．［－2,2］ B ．［－1，1］ C ．［－21,21］ D ．［0，2］ 6. 若直线12:(1)2,:24160l x m y m l mx y ++=-++=m 的值是 ( )A. 1m =或2m =-B. 1m =C. 2m =-D. m 的值不存在 二、填空题:7．当a 的值为_____时，直线l 1：(a +1)x +y －a =0与直线l 2: ax +2(a +1)y －1=0互相垂直． 8. 把直线x+y －1=0沿y 轴正方向平移1个单位再关于原点对称后，所得直线的方程是 . 9. 对于直线l 上任一点（y x ,），点（y x y x 3,24++）也在l 上，则直线l 的方程是 .10. 与直线2x +3y +5=0平行，且在两坐标轴上截距绝对值之和为310的直线l 的方程为_ _. 二、解答题:11．已知两直线l 1：m x +8y +n=0, l 2：2x +m y -1=0 ,试确定m 、n 的值,使l 1∥l 2 ．12. 求与直线3x +4y +1=0平行且过点（1，2）的直线L 的方程.13. 已知△ABC 的顶点坐标为A (1，2)，B (－1，1），C （0，3），求BC 边上的高所在的直线方程.14. 已知直线斜率2，且与坐标轴围成的三角形的面积为1．求直线l 的方程．15. 求与直线3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为37的直线L 的方程.A BCDMBCDM A F 拓展创新——练能力16. 如图所示, 一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5m ,宽AB=3m ,其中一条小路定 为AC, 另一条小路过点D, 问如何在BC 上找到一点M, 使 得两条小路AC 与DM 相互垂直?17. 如图所示,一个五边形花园里需要铺一条笔直的小路,已知花园各边长分别为AB=1m,BC=5m, DC=3m, DE=3m,且∠B=∠C=∠D=900,问如何在DF 上找到一点M, 使得小路BM 与AF 相 互平行?18. 已知直线l 的方程为3x +4y -12＝0，求直线'l 的方程，使得：(1)'l 与l 平行，且过点(-1，3)； (2)'l 与l 垂直，且'l 与两轴围成的三角形面积为4.参考答案:1. 由已知可得23a b -=且61a-=,解得6,4a b =-=,故应选D. 2. ∵所求的直线过(-1,3)点,故可排除B, 又∵直线与直线230x y -+=垂直,∴所要求的直线的斜率为-2,故可排除C 、D ,故应选A.3. 设直线l 1和l 2的斜率分别为k 1、k 2 , ∵k 1k 2= -1 , ∴ l 1与l 2的夹角为2π,故应选C. 4. 由已知，得k OP ＝－21，再由l ⊥OP ，所以k OP ·k l ＝－1.∴k 1＝2. 又直线l 过点P （－2，1），所以l 方程为：y －1＝2（x ＋2）即2x －y ＋5＝0.故选C.5. 当直线过点M 时，b 的值最大为2．当直线过N 点时，b 的值最小为－2. 所以b ∈［－2,2］ , 故应选A .6. 当0m =时, 12:2,:4l x y l y +==-,两直线不平行;当0m ≠时,由题意得1122416m m m +-=≠,求得1m =(2m =-舍去),故应选B. 7. 由(a +1)a +2(a +1)=0得a 1=－1,a 2=－2, ∴当a =－1或a =－2时，l 1与l 2垂直．8. 把直线x+y －1=0沿y 轴正方向平移1个单位得直线y = -x +2 , 其关于原点对称的直线方程为y = x -2 ,即x+y+2=0.9. 设直线 方程为：0=++C By Ax ① , 点（y x 24+，y x 3+）在 上0)3()24(=++++C y x B y x A , ∴ 0)32()4(=++++C y B A x B A ② . ∵①②为同一条直线 , ∴当 0,10423A B CC A B A B A B C ≠===⇒==++时（舍）;当0,423A BC A B A B==++时 ∴ 0))(2(=-+B A B A .∴ 02=-y x 或0=+y x .10. 设与直线2x +3y +5=0平行的直线l 的方程为2x +3y +c 1=0,化为截距式得：3211c y c x -+-,由1110||||233c c -+-=得c 1=±4.故直线l 的方程为2x +3y －4=0或2x +3y +4=0. 11. 由820m m ⋅-⨯=,得4m =±. 由8(1)0,n m ⨯--⋅≠得2n ≠±, 即4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时l 1∥l 2 ．12. 解法一：设直线L 的斜率为k .∵L 与直线3x +4y +1=0平行，∴k = -43.又∵L 经过点（1，2）可得所求直线方程为y -2=-43(x -1),即3x +4y -11=0.解法二：设与直线 3x +4y +1=0平行的直线L 的方程为3x +4y +m =0， 将点(1,2)代入可解得m =-11. ∴所求直线方程为3x +4y -11=0. 13. 设BC 边上的高所在直线斜率为k ，则k ·k BC ＝－1，又k BC ＝)1(013---＝2，∴k ＝－21，∴由点斜式得：y －2＝－21（x －1）即：x －2y －5＝0.14. 设y =2x +b ，令x =0，得y =b ，y =0，得x =12- b ，则2111|()|1224S b b b ∆=⋅-==,解得2b =±, 所以直线l 的方程为y =2x +2或y =2x -2 .15. 解法一：设直线L 的方程为3x +4y +m =0. 令x =0，得y 轴上截距b =-4m ， 令y =0，得x 轴上截距a =-3m， ∴-3m +（-4m ）=37，解得m =-4. ∴所求直线L 的方程为3x +4y -4=0 . 解法二：设直线L 方程为,1=+bya x∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+.1,34,43,37b a ab b a 解得 ∴所求直线方程为3x +4y -4=0.16. 解法一:以点B 为原点,BC 、BA 所在直线分别为x 、y 轴 建立直角坐标系(如图2.1.3-9所示),由AD=5 ,AB=3, 可得C(5,0)、D(5,3)、A(0,3) . ∴直线AC 的方程为153x y+=,即35150x y +-=, 设过点D(5,3)与直线AC 垂直的直线方程为53x y t -=, 由25916t =-=, 即得过点D(5,3)与直线AC 垂直的直线方程为53160x y --=.令0y =,得163.25x ==, 即BM=3.2m 时, 两条小路AC 与DM 相互垂直. 解法二:以点B 为原点,BC 、BA 所在直线分别为x 、y 轴建立直角坐标系(如图 2.1.3-所示),,由AD=5 ,AB=3,可得C(5,0)、D(5,3)、A(0,3) ,设点M 的坐标为(,0x ) , ∵AC ⊥DM , ∴1AC DM k k ⋅=- , ∴30301055x --⋅=---,即 9165 3.255x =-==. 即BM=3.2m 时, 两条小路AC 与DM 相互垂直.17. 解法一:以点B 为原点,BC 、BA 所在直线分别为x 、y 轴 建立直角坐标系(如图2.1.3-所示),由AB=1,BC=5, DC=3,DE=3,且∠B=∠C=∠D=900,得A(0,1)、C(5,0)、D(5,3)、F(2,3) , ∴直线AF 的方程为120y x =+-,即10x y -+=,则过点B(0,0)与直线AF 平行的直线方程为0x y -=.令3y =,得3x =, 即DM=2m 时, 小路BM 与AF 相互平行.解法二: 以点B 为原点,BC 、BA 所在直线分别为x 、y 轴建立直角坐标系(如图 2.1.3-所示),由AB=1,BC=5, DC=3,DE=3,且∠B=∠C=∠D=900,得A(0,1)、C(5,0)、D(5,3)、F(2,3),设点M 的坐标为(,3x ) ,∵AF ∥BM , ∴AF BM k k = , ∴3130200x --=--,即 3x =.即DM=2m 时, 小路BM 与AF 相互平行.18. 本题可用点斜式求'l 的方程.但我们也可以据给定条件，利用相应的直线系方程求.(1)设'l 的方程为340x y m ++=,由点(-1，3)在'l 上知 31209m m -++=⇒-.∴ 直线'l 的方程为 3490x y +-= ; (2)设'l 的方程为 430x y λ-+=, 令y ＝0得4x λ=-，令x ＝0，得y ＝43λλ⋅. 于是由三角形面积14244S λλ=⋅-⋅=｜＝4，得296λλ=⇒=±∴ 直线'l 的方程是430x y -±.。

北师版高中数学选择性必修第一册课时作业(五)两条直线的平行与垂直[练基础]1．经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是() A．4B．1C．1或3D．1或42．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为()A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正确3．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直4．过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．2x＋y－2＝0C．x－2y＋1＝0D．x＋2y－1＝05．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形6．[多选题]已知直线l：x－2y－2＝0，则()A．直线x－2y－1＝0与直线l平行B．直线x－2y＋1＝0与直线l平行C．直线2x＋y－2＝0与直线l垂直D．直线x＋2y－1＝0与直线l垂直7．已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为________．8．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋3－4，若l1∥l2，则m的值为________．9．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________.10．已知△ABC的顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标．[提能力]11．[多选题]已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值可以为()A．0B．1C．2D．312．[多选题]已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，对于以下叙述，正确的为()A ．当m ＝－1或m ＝23时，l 1⊥l 2B ．当m ≠0且m ≠－5时，l 1与l 2相交C ．当m ＝0或m ＝5时，l 1∥l 2D ．存在m ∈R ，使得l 1与l 2重合13．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，其中l 1∥l 2，且k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，则k 1＋k 2＋k 3的值是________．14．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．15．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[培优生]16．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 是直角三角形，则m 的值为________．课时作业(五)参考答案与解析1．解析：由题意，知4－m m －（－2）＝1，解得m ＝1.故选B.答案：B2．解析：k 1＝3－60－3＝－3＋2，k 2＝0－22－6＝－12－3，∵k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选A.答案：A3．解析：设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则有k 1·k 2＝－1，从而直线l 1与l 2垂直．故选D.答案：D4．解析：由题得直线的斜率为－2，所以直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即：2x ＋y －2＝0.故选B.答案：B5．解析：如图所示，易知k AB ＝－1－12－（－1）＝－23，k AC ＝4－11－（－1）＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．故选C.答案：C 6．解析：因为直线l 的斜率为12，则A ，B ，C 正确，D 错误．故选ABC.答案：ABC7．解析：由题意知直线l 2的斜率为k ＝－1，所以倾斜角为135°.答案：135°8．解析：由题意得m 2＋3－4＝tan 60°＝3.解得m ＝±2.答案：±29．解析：因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝12，解得m ＝2.答案：210．解析：因为B (－1，－1)，C (2，1)，所以k BC ＝1＋12＋1＝23，边BC 上的高AD 的斜率k AD ＝－32.设D (x ，y )，由k AD ＝y －3x －1＝－32，及k BD ＝y ＋1x ＋1＝k BC ＝23，得x ＝2913，y ＝1513，则D (2913，1513).11．解析：当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ；当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD .故选AB.答案：AB12．解析：A 中，当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x ＋3y ＋2＝0，k 1＝1，k 2＝－1，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.当m ＝23时，l 1：3x ＋2y ＋18＝0，l 2：2x －3y －2＝0，k 1＝－32，k 2＝23，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2，所以A 正确；C 中，当m ＝5时，l 1：x ＋5y ＋6＝0，l 2：3x ＋15y ＋10＝0，k 1＝－15，k 2＝－315＝－15，∴k 1＝k 2，∴l 1∥l 2.当m ＝0时，l 1：x ＝－6，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.故C 正确，B 不正确．D 中，由C 得1m －2＝m 3m ≠62m 所以不存在m ∈R ，使l 1与l 2重合，D 不正确．故选AC.答案：AC13．解析：由k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，1＝－12，3＝21＝2，3＝－12．又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，所以k 1＋k 2＋k 3＝1或72.答案：1或7214．解析：∵两直线垂直，×25＝－1，∴m ＝10又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2再把(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12∴m －n ＋p ＝20.答案：2015．解析：(1)设点D 坐标为(a ，b )，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，＝b －4a －3，＝4－03－5，＝－1，＝6，所以D (－1，6).(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，所以▱ABCD 为菱形．16．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或3或±2。

《两条直线平行与垂直的判定》基础训练一、选择题1.下列说法中正确的有（ ）①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若12//l l ，则12l l k k =；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个2.经过点()2,P m -和(),4Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）A.4B.1C.1或3D.1或43.[2017四川成都七中单元测试]若直线l 经过点()2,1a --和()2,1a --,且与经过点()2,1-斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值为（ ） 2A.33B.22C.33D.2-- 4.直线1l 的斜率为121a k a -=-，直线2l 的斜率为22123a k a -=-，若1l 与2l 互相垂直,则实数a 的值为（ ）A.1-B. 1或12- C.1± D.12- 5.过点()70,,7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 的直线1l 与过点()()2,1,3,1+k 的直线2l 和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数=k ( )A.3-B.3C.6-D.6二、填空题6.已知直线12,l l 的斜率12,k k 是关于k 的方程2230--=k k b 的两根，若12⊥l l ，则____=b ：若12//l l ，则____=b .三、解答题7.[2017吉林省实验中学段考]已知直线1l 经过点()()3,,2,3-A a B a ，直线2l 经过点()()3,,6,5A a B ，且12⊥l l ，求实数a 的值.8.[2017云南师大附属中学期末测试]已知四边形ABCD 的顶点为()()()()7,0,2,3,5,6,4,9---A B C D ，求证：四边形ABCD 为正方形.9.[2017湖南长沙一中课时作业]已知平行四边形ABCD 中()()()1,2,5,0,3,4A B C .(1)求点D 的坐标；(2)试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.参考答案一、选择题1.答案：A解析：若两条直线斜率相等，则两直线平行或重合，①错误;若12//l l ，则12=l l k k 或两直线的斜率都不存在,②错误;易知③正确;若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行或重合,④错误.故选A.2.答案：B解析：由题意，知()412-=--m m ，解得1=m . 3.答案：A解析：易知0=a 不符合题意.当0≠a 时，直线l 的斜率2122==----+k a a a，由1213⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭a ，得23=-a ，故选A. 4.答案：D 解析：由题意，得122211123--=⨯=---a a k k a a ，解得()112=-或舍去a . 5.答案：B解析：若1l 和2l 与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则12⊥l l .易知直线1l 的斜率171373==--k ，直线2l 的斜率21132+-==-k k k ，所以由121=-k k ，得3=k . 二、填空题6.答案：2；98-解析：若12⊥l l ，则121⋅=-k k ，即1,22-=-∴=b b ；若12//l l ，则()()2129,3420,.8=∴∆=--⨯-=∴=-k k b b 三、解答题7.答案：见解析解析：①当直线1l 的斜率不存在时,23-=a ，解得5=a .此时()()3,5,6,5A C ,直线2l 的斜率为0，满足12⊥l l .②当直线1l 的斜率存在时，直线1l 的斜率()133,235--==---a a k a a 直线2l 的斜率255,363--==-a a k 121235,1,0.53--⊥∴⋅=⋅=-∴=-a a l l k k a a 综上，实数a 的值为0或5.8.答案；见解析解析：证明：()()6390 3.3,//.1752AD BC k k AD BC ---====∴---- 又()301961,,//,273453---==-==-∴----AB CD k k AB CD ∴四边形ABCD 为平行四边形又131,,3⎛⎫⋅=-⨯=-∴⊥ ⎪⎝⎭AB AD k k AB AD ∴四边形ABCD 为矩形. ()60193,2,1,,57242AC BD BD AC k k k k AC BD -+====-∴⋅=-∴⊥----即矩形ABCD 的对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为正方形.9.答案：见解析解析：(1)设(),D a b ，则,,==AB CD AD BC k k k k即024513,240135--⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩baba解得1,6=-⎧⎨=⎩ab所以()1,6-D.⑵因为42601,1,3115--====----AC BDk k所以1⋅=-AC BDk k，所以⊥AC BD，故平行四边形ABCD为菱形.。

13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．3.1.2 两条直线平行与垂直的判定答案例1 (1)直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (1,2)，B (a －1,3)，l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－3B ．1 C.103 D.74例1.1(2)已知l 1经过点A (－3,3)，B (－8,6)，l 2经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－212，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－3，求证：l 1∥l 2. 【解析】 (1)直线l 2的斜率k 2＝3－2a －1－1＝1a －2，∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∴1a －2＝34，∴a ＝103.(2)证明：直线l 1的斜率为k 1＝6－3－8－－3＝－35，直线l 2的斜率为k 2＝6－－3－212－92＝－35，因为k 1＝k 2，且k AN ＝3－－3－3－92＝－45，所以l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2. 【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)．解析：(1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝tan60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 例2 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【解析】 (1)k 1＝3－－41－－3＝74，k 2＝1－－33－－4＝47，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．(2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.跟踪训练2 已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7) D ．(－6,0)或(7,0)解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C. 答案：C例3 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标． 【解析】 设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )， 因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1不合题意，舍去．所以第四个顶点D 的坐标为(2,3).跟踪训练3 已知A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状．解析：由题意，可得k AB ＝0－11－0＝－1，k CD ＝3－22－3＝－1，k BC ＝2－03－1＝1，k DA ＝3－12－0＝1，∵k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，∴AB ∥CD ，BC ∥DA ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 又∵k AB ·k BC ＝－1，∴直线AB 与BC 垂直，即∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 为矩形． [巩固提升] 一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2.答案：D2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3.答案：A3．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：因为两条直线平行，则a ＝2－a ，得a ＝1. 答案：B4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1aB ．a(4)当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4)答案：无（α=45°，D也可以）(1)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1经过点A (－1,6)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)．解析：(1)由题意知l 1的斜率不存在，且l 1不是y 轴，l 2的斜率也不存在，l 2恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，虽然k 1＝k 2，但是k EG ＝4－13－0＝1，即E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合．(3)直线l 1的斜率k 1＝2－61－－1＝－2，直线l 2的斜率k 2＝1－－12－－2＝12，k 1k 2＝－1，故l 1与l 2垂直．12．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解析：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得2m 2＋m －3＝0，解得m ＝－32或1.(2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1.经检验m ＝－1，m ＝34均符合题意．13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状． 解析：由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，因为k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．。

让学生学会学习两条直线的平行与垂直（2）分层训练1. 若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足 ( ) (A) 20a b += (B) 20a b -= (C) 20ab += (D) 20ab -=2.已知两点(2,0),(0,4)A B -，则与直线AB 垂直的直线方程可写成 ( )(A) 20x y m ++= (B) 20x y m -+= (C) 20x y m ++= (D) 20x y m -+= 3.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上．若2ACB π∠=，则这样的点C 有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 4. 原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则l 的方程为 （ ） (A) 20x y += (B) 240x y +-= (C) 250x y -+= (D) 230x y ++= 5. 已知直线420mx y +-=和250x y n -+=互相垂直，且垂足为(1,)p ，则m n p -+的值是 （ ） (A) 24 (B) 20 (C) 0 (D) 4- 6. 根据条件，判断直线1l 与2l 是否垂直： （１）1l 的倾斜角为45o，2l 的方程是1x y +=： ；（２）1l 经过点(1,0),(4,5)M N ，2l 过点(6,0),(1,3)R S --： .7.直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线':320l x y +-=垂直，则l 的方程是 ．8. 已知直线420Ax y +-=和直线20x y C -+=垂直且垂足的坐标为(1,)m ，则A = ， C = ，m = .9．求经过点(2,1)，且与直线2100x y +-=垂直的直线l 的方程．10.已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=,求以A 为端点的两边所在直线的方程.让学生学会学习拓展延伸11.已知直线1:(2)(3)50l a x a y +++-=和2:6(21)50l x a y +--=,求当a 为何值时12l l ⊥．12.若三角形的一个顶点是(2,3)A ,两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=,试求此三角形三边所在直线的方程.本节学习疑点：。

【课堂新坐标】高中数学人教版必修二练习：3.1.2两条直线平行与垂直的判定（含答案解析）学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是() A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，m－4－2－m＝－2，得m＝－8.【答案】 A3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为() A．－30°B．30°C．150°D．120°【解析】k AB＝4－13－0＝3，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C.【答案】 C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C5．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】∵k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14 . 又P 、Q 、S 、R 四点不共线，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS .故①②④正确．【答案】 C二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【导学号：09960101】【解析】由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1，所以m －34－－·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6. 【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，即y －2x －3＝－1，① y －1x ＝1，②联立①②解方程组得x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)．【答案】 (2,3)三、解答题8．(2016·泰安高一检测)已知A ?1，－a ＋13，B 0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a(a ≠2)．由－a 3×12－a ＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直． 9．已知在?ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断?ABCD 是否为菱形．【解】(1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，故?ABCD 为菱形．[自我挑战]10．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194C ．5D ．4【解析】由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B. 【答案】 B。

平行与垂直的练习题平行和垂直是几何中经常见到的概念。

在平面几何中，我们经常需要判断两条线的关系，确定它们是否平行或垂直。

本文将为您提供一些平行和垂直的练习题，以帮助您掌握这些概念。

1. 判断直线的关系给定两条直线L1和L2，判断它们之间的关系。

如果直线L1与L2平行，则在答案框中填写“平行”；如果直线L1与L2垂直，则填写“垂直”；如果两条直线既不平行也不垂直，则填写“既不平行也不垂直”。

示例题1:L1: y = 2x - 3L2: y = -0.5x + 2答案: 既不平行也不垂直示例题2:L1: 3x - 2y = 4L2: 6x - 4y = 8答案: 平行示例题3:L1: 2x + 3y = 5L2: 3x - 2y = 4答案: 垂直2. 求平行线的斜率给定直线L1的斜率为k，求与直线L1平行的直线L2的斜率。

示例题1:直线L1的斜率k = -1/3直线L2与直线L1平行答案: 直线L2的斜率k = -1/3示例题2:直线L1的斜率k = 2直线L2与直线L1平行答案: 直线L2的斜率k = 23. 求垂直线的斜率给定直线L1的斜率为k，求与直线L1垂直的直线L2的斜率。

示例题1:直线L1的斜率k = 3/4直线L2与直线L1垂直答案: 直线L2的斜率k = -4/3示例题2:直线L1的斜率k = -2直线L2与直线L1垂直答案: 直线L2的斜率k = 1/2通过以上练习题，我们可以更好地理解平行和垂直的概念，并熟练应用相关的定理和方法进行判断和计算。

这些基本的几何概念在解决实际问题时起着重要的作用，帮助我们更好地理解和分析几何形状及其属性。

希望本文的练习题能够帮助您提升对平行和垂直的理解和运用能力。

在实际应用中，几何概念常常与其他数学概念相结合，为我们提供更多的思考和解决问题的方式。

祝您几何学习顺利，数学进步！。

两条直线的平行与垂直（1）1.下列说法中正确的是（3）（4）(1)若直线平行,则它们的斜率相等;(2)若两条直线的斜率相等,则它们平行;(3)若两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ,则由12//l l 得12k k =,由121k k =-g ,得 12l l ⊥;(4)无论a 取何值,两直线1:10l x ay ++=与2:10l ax y -+=一定垂直.2.下列直线中垂直的是（4)平行的是（3);(1) 230,320x y x y +=+=; (2)210x y +-=,1122y x =-+;(3)210,4230x y x y +-=+-=;(4)210,y -+=0y +=3.若直线210ax y +-=与210x y +-=垂直,则a =-14.过点()1,1-且与直线210x y --=平行的直线方程为 230x y -+=5.以()()()1,1,2,1,,3A B C m m --+为顶点的三角形是以角A 为直角的三角形,则m = 16.直线()260,230,2310m x ny mx ny x y -++=++=++=两两平行,则m = 4 n =37.直线2320,x y --=与直线()310mx n y +++=垂直,与直线210nx my ++=平行, 则m =3 n = -18.以()()()1,1,3,1,4,2A B C 为顶点的三角形中,边AB 上的高所在直线的方程为 x=4 9.过点()1,2M --作直线l 交直线210x y ++=于点N ,当MN 最短时, l 方程为 2x-y=0 10.已知直线12:10,:10l mx y l x my ++=+-=,当m 为何值时, 1212//,l l l l ⊥? 解:当m=0时,两直线为y=-1,x=1,互相垂直;当m ≠0, 121:1,:x l y mx l y m m=--=-+ 则()11m m ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭无解.则两直线不垂直; 11;1m m m -=--≠且时,m=1,两直线平行 综上所述: :当m=0时,两直线互相垂直; 当m=1,两直线平行11. ABC ∆中,点()()1,1,4,2A B ,点C 在直线50x y -+=上,又BC 边上的高所在直线的方程为5230x y --=.(1)求点C ;(2) ABC ∆是否为直角三角形?解(1)设()()50,,1,42245x y C x y C y x -+=⎧⎪---⎨=-⎪-⎩则解得(2)由212,,533BC AB AC k k k =-==-得任意两数的积不是-1,则其不是直角三角形12.已知直线()1:1102l a x y a a ⎛⎫-+++=≠-⎪⎝⎭和点()3,4A (1)求证: l 不过点A ;(2) 求证: l 必过一个定点B ,并求出B 坐标。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课时训练 新人教版必修2一、选择题1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为( )A ．0B ．－6C ．6D ．3【解析】 直线l 1的斜率k 1＝x －3－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x 3＝－1，∴x ＝6. 【答案】 C3．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则( )A ．α1－α2＝90°B ．α2－α1＝90°C ．|α1－α2|＝90°D ．α1＋α2＝180°【解析】 如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°.【答案】 C4．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为 ( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．以上都不正确【解析】 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝3－60－3＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直．故选A.【答案】 A5．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】 k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C二、填空题6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的序号是________．【解析】 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－35， k AC ＝14，k BD ＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .【答案】 ①④7．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．【解析】 由题意知，直线MN 的斜率存在， ∵MN ⊥l ，∴k MN ＝m －32－m ＝14，解得m ＝145. 【答案】1458．(2013·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．【解析】 设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC .∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ， ∴⎩⎨⎧ 3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得{ x ＝3，y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)．【答案】 (3，－6)三、解答题图3－1－59．如图3－1－5，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1，3)．(1)求OC 所在直线的斜率．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，求直线CD 的斜率．【解】 (1)∵点O (0,0)，C (1,3)，∴OC 所在直线的斜率k OC ＝3－01－0＝3. (2)在▱OABC 中，AB ∥OC ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ，∴k OC ·k CD ＝－1，k CD ＝－1k OC ＝－13. 故直线CD 的斜率为－13. 10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．【解】 OP 边所在直线的斜率k OP ＝t ，QR 边所在直线的斜率k QR ＝t ＋2－21－2t －－2t＝t ， OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t. PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝－1t ，∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 是平行四边形．又k QR ·k OR ＝t ×(－1t )＝－1，∴QR ⊥OR . ∴四边形OPQR 是矩形．11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．【解】 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图．由于直线AB 的斜率k AB ＝3，直线BC 的斜率k BC ＝0，则k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直．故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边．(1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD .∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在．从而有x ＝3.又∵直线AD 的斜率k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所求点D 的坐标为(3,3)，(2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝y －3x ，直线CD 的斜率k CD ＝y x －3，又由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.① 又∵AB ∥CD ，∴yx －3＝3. ②由①②可得⎩⎨⎧ x ＝185，y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或(185，95)．。

两条直线的平行与垂直（１）分层训练1. 有下列命题：①若12//l l ，则斜率相等；②若斜率相等，则12//l l ；③若12//l l ，则倾斜角相等；④若倾斜角相等，则12//l l ．其中，正确的命题有( )个．(A)０个 (B) １个(C)２个 (D) ３个2.(1999年全国理)直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则a =( )(A)－3 (B) －6 (C) 32 (D) 233.直线1:30l x ay ++=和直线2:l (2)a x -+30y a +=互相平行,则a 的值为 ( )(A)-1或3 (B)-3或1 (C)-1 (D)-34. 根据条件，判断直线1l 与2l 是否平行：（１）1l 的方程21y x =+，2l 经过点(1,2)A ，(4,8)B ：（２）1l 的斜率为12，2l 在x 轴、y 轴的截距分别是１，２： 5.两直线20()x y k k R -+=∈和51070x y -+=的位置关系是 .6. 当直线:(2)50l m x y n +-+-=与x 轴平行且与x 轴相距为5时, m = ,n = .7． 判断四边形ABCD 的形状，其中(1,1)A -，(2,3),(1,0),(2,2)B C D --．8. 当A 和C 取何值时,直线210Ax y --=和直线640x y C -+=互相平行?9.已知直线1:40l mx ny ++=和2:(1)0l m x y n -++=，1l 经过(1,1)--且12//l l ，求实数,m n 的值．10.求经过点(2,1)M -且与点(1,2),(3,0)A B -距离相等,又不与直线AB 相交的直线方程.拓展延伸11.求与直线3410x y ++=平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程．12.已知直线l 的方程为8610x y -+=,求与直线l 平行并且与两条坐标轴围成的三角形的面积为8的直线方程.本节学习疑点：第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-28．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．）10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则学生质疑教师释疑910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．）11．直线l 的方程为60x y +=12．22b -≤≤（数形结合）。

1.4两条直线平行与垂直同步练习北师大版选择性必修第一册第一章1.4两条直线的平行与垂直1.下列说法中,正确的有()①斜率均不存在的两条直线可能重合; ②若直线l1⊥l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1; ③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直; ④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1⊥l2. A.1个B.2个C.3个 D.4个2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系() A.平行B.重合C.相交 D.以上答案都不对3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为() A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0) 4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4__12平行,则a的值为() A.2 B.±2 C.2 D.±2 5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=. 6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为. 7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为. 8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线: (1)倾斜角为135°; (2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直; (3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行. 能力达标9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于() A.-4 B.-2 C.0 D.2 10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:__3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=() A.35 B.-35 C.23 D.-23 11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于() A.-3 B.3 C.-6 D.6 12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是() ①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A 点; ②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点; ③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5). A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是() A.0或3 B.-1或3 C.0或-1或3 D.0或-1 14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P 在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为. 15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为.16.已知直线l1:a__by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1). (2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数. 17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB. 解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb, 1.下列说法中,正确的有() ①斜率均不存在的两条直线可能重合; ②若直线l1⊥l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1; ③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直; ④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1⊥l2. A.1个B.2个C.3个D.4个答案C 解析斜率均不存在的两条直线可能平行,也可能重合,故①正确,两直线垂直,有两种情况:当两条直线都有斜率时,斜率乘积为-1;也可以一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,故②错误,③④正确. 2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系() A.平行B.重合C.相交D.以上答案都不对答案A 解析∵直线l1的斜率k1=12, 直线l2的斜率k2=12, ∴k1=k2. ∵两条直线在y轴上的截距分别为74和52,不相等, ∴l1与l2互相平行. 故选A. 3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为() A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0) 答案B 解析设l2与y轴交点为B(0,b). ∵直线l1过A(1,1),O(0,0), ∴kOA=1. ∵l1⊥l2,∴kOA·kAB=-1, 即kAB=b-10-1=-1, 解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2). 4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4__12平行,则a的值为() A.2 B.±2 C.2 D.±2 答案D 解析∵直线y=-12ax+52a与直线y=-a4__12平行,显然a≠0,∴-12a=-a4,52a≠-12,即a2-2=0,a≠-5.解得a=±2, 故选D. 5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=. 答案-98 解析由根与系数的关系可知k1+k2=32,k1·k2=-b2, ∵l1∥l2,∴k1=k2=34, 解得b=-2k1·k2=-98. 6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为. 答案0或5 解析当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时直线l2的斜率k2=0,则l1⊥l2,满足题意. 当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3. 由l1⊥l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5. 7.已知平行四边形ABCD 中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为. 答案(3,-6) 解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD且AD∥BC,∴kAB=kCD且kAD=kBC, ∴3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1__1,解得x=3,y=-6. 8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线: (1)倾斜角为135°; (2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直; (3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行. 解(1)由kAB=m-32m2=tan 135°=-1, 解得m=-32或m=1. (2)由题意kAB=m-32m2,且-7-20-3=3, 则m-32m2=-13,解得m=32或m=-3. (3)令m-32m2=9+3-4-2=-2, 解得m=34或m=-1. 能力达标9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于() A.-4 B.-2 C.0 D.2 答案B 解析∵直线l的斜率为-1,则直线l1的斜率为1, ∴kAB=2-(-1)3-a=1,∴a=0. 由l1∥l2,得-2b=1,得b=-2,所以a+b=-2. 故选 B. 10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:__3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=() A.35 B.-35 C.23 D.-23 答案A 解析∵l1⊥l2,∴sin α-3cos α=0,即tan α=3. ∴sin 2α=2sin αcos α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=610=35. 11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于() A.-3 B.3 C.-6 D.6 答案B 解析由题意知l1⊥l2,∴kl1·kl2=-1, 即-13k=-1,解得k=3. 12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是() ①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点; ②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点; ③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5). A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案D 解析由斜率公式,①中,直线l2的斜率也为2,故l1∥l2;②中,直线l1的斜率也为0,故l1∥l2;③两条直线的斜率均为12,且两直线没有公共点,故l1∥l2.故选D. 13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是() A.0或3 B.-1或3 C.0或-1或3 D.0或-1 答案D 解析∵两直线没有公共点,∴1×3a-a2(a-2)=0, ∴a=0或-1或3,经检验知a=3时两直线重合,a=0或a=-1时,两直线平行. 14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为. 答案(0,-6)或(0,7) 解析设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP.又kAP=y+52,kBP=y-6-6,kAP·kBP=-1,所以y+52·y-6-6=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7). 15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为. 答案(-4,-1)__y+3=0 解析设Q(a,b),则b-5a-2·(-1)=-1,a+22+b+52=1,解得a=-4,b=-1. 即点Q的坐标为(-4,-1),设与直线x+y-3=0垂直的直线方程为__y+c=0,将Q(-4,-1)代入上式,得c=3,所以直线方程为__y+3=0. 16.已知直线l1:a__by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1). (2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数. 解(1)∵l1过点M(-4,-1),∴-4a+b+4=0. ∵l1⊥l2,∴a×(1-a)+b=0. ∴a=1,b=0或a=4,b=12. (2)由题意可得两条直线不可能都经过原点, 当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0, 可知两条直线不平行. b≠0时两条直线分别化为y=abx+4b,y=(1-a)__b, ∴ab=1-a,4b=b, 解得b=2,a=23或b=-2,a=2. 17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB. 解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb, 由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-ac, 因为BE⊥AC,所以-pb-ac=-1, 即pa=-bc; 由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-pc,由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-ab, 则直线CF与AB的斜率之积为-pc-ab=pabc=-bcbc=-1, 所以CF⊥AB.。

高一必修二《两条直线的平行与垂直》练习题高一必修二《两条直线的平行与垂直》练习题【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高一必修二《两条直线的平行与垂直》练习题，希望能给大家带来帮助!当堂练习：1.下列命题中正确的是( )A.平行的两条直线的斜率一定相等B.平行的两条直线的倾斜角相等C.斜率相等的两直线一定平行D.两直线平行则它们在y 轴上截距不相等2.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为，则m,n的值分别为( )A.4和3B.-4和3C.-4和-3D.4和-33.直线:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,则在两坐标轴上的截距的和( )A.-1B.-2C.2D.64.两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是( )A. m=11 C.D.或5.如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a、b的值为( )A.a=, b=0 B.a=2, b=0 C.a=-, b=0 D. a=-, b=26.若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，则a等于( )A.-1或2B.-1C.2D.7.已知两点A(-2，0)，B(0，4)，则线段AB的垂直平分线方程是( )A.2x+y=0B.2x-y+4=0C.x+2y-3=0D.x-2y+5=08.原点在直线上的射影是P(-2，1)，则直线的方程为( )A.x+2y=0B.x+2y-4=0C.2x-y+5=0D.2x+y+3=09.两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是( )B.垂直C.相交但不垂直D.与m,n的取值有关10.方程x2-y2=1表示的图形是( )A.两条相交而不垂直的直线B.一个点C.两条垂直的直线D.两条平行直线11.已知直线ax-y+2a=0与直线(2a-1)x+ay+a=0互相垂直，则a 等于( )A.1B.0C.1或0D.1或-112.点(4，0)关于直线5x+4y+21=0对称的点是( )A.(-6，8)B.(-8，-6)C.(6，8)D.(-6，-8)13.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线对称的两点，则直线的方程为( )A.x+y=0B.x-y=0C.x+y-1=0D.x-y+1=014.过点M(3，-4)且与A(-1，3)、B(2，2)两点等距离的直线方程是__________________.15.若两直线ax+by+4=0与(a-1)x+y+b=0垂直相交于点(0, m)，则a+b+m的值是_____________________.16.若直线1：2x-5y+20=0和直线2：mx-2y-10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m 的值等于________.17.已知点P是直线上一点，若直线绕点P沿逆时针方向旋转角(00<<900)所得的直线方程是x-y-2=0, 若将它继续旋转900- ，所得的直线方程是2x+y-1=0, 则直线的方程是___________.18.平行于直线2x+5y-1=0的直线与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程.19.若直线ax+y+1=0和直线4x+2y+b=0关于点(2，-1)对称，求a、b的值.20.已知三点A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求经过点A并且与直线BC垂直的直线的方程.21.已知定点A(-1，3)，B(4，2)，在x轴上求点C，使ACBC.参考答案：经典例题：解：ACBH，直线AB的方程为y=3x-5 (1)ABCH，直线AC的方程为y=5x+33 (2)由(1)与(2)联立解得A点的坐标为(-19，-62).当堂练习：1.B;2.C;3.C;4.D;5.C;6.B;7.C;8.C;9.B; 10.C; 11.D; 12.D;13.D; 14. x+3y+9=0 或13x+5y-19=0; 15. 2或-1; 16. -5; 17.x-2y-3=0;18. 解：依题意，可设的方程为2x+5y+m=0, 它与x,y轴的交点分别为(-,0),(0,-),由已知条件得：m2=100,直线的方程为2x+5y10=0.19. 解：由4x+2y+b=0，即2x+y+=0, 两直线关于点对称，说明两直线平行，a=2.在2x+y+1=0上取点(0，-1)，这点关于(2，-1)的对称点为(4，-1)，又(4，-1)满足2x+y+=0, 得b= -14, 所以a=2, b= -14.20. 解:kBC==1,kl =-1,所求的直线方程为y= -(x-1),即x+y-1=0.21. 解：设C(x,0)为所求点，则kAC=, kBC=ACBC,kAC kBC=-1,即要练说，得练听。

两条直线的平行与垂直（2）分层训练1. 若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足( )(A) 20a b += (B) 20a b -=(C) 20ab += (D) 20ab -=2.已知两点(2,0),(0,4)A B -，则与直线AB 垂直的直线方程可写成 ( )(A) 20x y m ++= (B) 20x y m -+= (C) 20x y m ++= (D)20x y m -+=3.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上．若2ACB π∠=，则这样的点C 有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个4. 原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则l 的方程为 （ ）(A) 20x y += (B) 240x y +-=(C) 250x y -+= (D) 230x y ++=5. 已知直线420mx y +-=和250x y n -+=互相垂直，且垂足为(1,)p ，则m n p -+的值是 （ ）(A) 24 (B) 20 (C) 0 (D) 4-6. 根据条件，判断直线1l 与2l 是否垂直：（１）1l 的倾斜角为45，2l 的方程是1x y +=： ；（２）1l 经过点(1,0),(4,5)M N ，2l 过点(6,0),(1,3)R S --： .7.直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线':320l x y +-=垂直，则l 的方程是 ．8. 已知直线420Ax y +-=和直线20x y C -+=垂直且垂足的坐标为(1,)m ，则A = ， C = ，m = .9．求经过点(2,1)，且与直线2100x y +-=垂直的直线l 的方程．10.已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=,求以A 为端点的两边所在直线的方程.拓展延伸11.已知直线1:(2)(3)50l a x a y +++-=和2:6(21)50l x a y +--=,求当a 为何值时12l l ⊥．12.若三角形的一个顶点是(2,3)A ,两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=,试求此三角形三边所在直线的方程.本节学习疑点：第7课 两直线的平行与垂直（1）1．D 2．B 3．C4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或107．四边形ABCD 是平行四边形．8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y +=11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --=。