163二次根式的加减1

1631二次根式的加减1教案教学内容：二次根式的加减教学目标：1.理解二次根式的加减运算规则；2.学会正确进行二次根式的加减运算；3.能够灵活应用二次根式的加减运算解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和计算能力。

教学准备：1.黑板、粉笔、教具；2.教学课件和学生练习册；3.相关练习和实例。

教学过程：Step 1 引入新知识1.先通过一道思考题来引入本节课的内容：如何计算根号8加根号18减根号32？2.让学生先思考几分钟，然后请几名学生上黑板解答并解释思路。

3.引导学生通过观察、总结规律，明确二次根式加减的运算规则。

Step 2 探索二次根式加减的运算规律1.教师将两个二次根式写在黑板上，例如：根号8±根号182.引导学生观察根号8和根号18各自的简化形式，并写在黑板上。

3.让学生观察根号8和根号18的根数和基数，引导学生总结出二次根式加减的运算规律。

Step 3 练习巩固1.引导学生进行一些基础的二次根式加减练习，如根号8+根号18、根号27-根号12等。

2.让学生上黑板解答并解释思路，引导学生从简化形式、根数和基数等方面思考和解答问题。

Step 4 深化应用1.引入实际问题，如计算根号2+根号3+根号12-根号27，引导学生把问题转化为二次根式的加减运算。

2.让学生分析题目，列式计算并给出最简形式的答案。

Step 5 拓展拔高1.引导学生思考和讨论：如何计算根号5+2根号2-3根号3？2.学生思考并解答问题，教师进行点评和总结，帮助学生理解和掌握二次根式的加减运算规律。

Step 6 课堂小结1.对本节课内容进行小结，总结二次根式的加减运算规律；2.强调二次根式的加减运算要注意简化形式、根数和基数等方面。

Step 7 课后作业1.配置相应的课后作业，包括基础题和拔高题，巩固学生对二次根式的加减运算的理解和掌握。

教学反思：在本节课中，我通过问题引入和实例讲解相结合的方式，帮助学生理解和掌握二次根式的加减运算规律。

16.3 二次根式的加减（1）教学目标知识与技能能够正确进行简单的二次根式加减法的运算。

过程与方法1.通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较，体会类比思想。

2.通过二次根式加减法运算培养学生预算能力。

情感态度与价值观通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探究热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣。

重点在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．难点二次根式加减法的实际应用教学过程第一步：创设情境，引入新课.问题1 现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示吗？818+能否进一步计算？这是一种什么运算？能进一步计算，这种计算是两个二次根式的加法运算．第二步：探究新知：问题2. 怎样计算818+如果看不出 818+ 能否化简，我们不妨把问题简化，先看算式322- 能否化简．这里的两个二次根式有什么特征？ 被开方数相同，即为同类二次根式．你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？将同类二次根式用分配律合并．算式 818+与算式322- 有什么相同点与不同？请化简算式818+ ，并说出每一步化简的理由现在能解决本课开始时提出的问题了吗？能否把这种计算方法推广到一般？请计算 925a a - ，并说出计算依据．请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．步骤： “一化简、二判断、三合并”；依据： 二次根式的性质、分配律和整式加减法则；基本思想： 把二次根式加减问题转化为整式加减问题．第三步：初步应用巩固知识四. 综合应用深化提高五.课堂小结（1）二次根式的加减运算分哪几步进行？每一个步骤的依据是什么？（2）在二次根式的加减中，主要的想法是怎样的？（3）在二次根式加减中，有哪些地方容易出现错误？第六步：作业2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF ，GH 相交于点O ，则图中有平行四边形（ ）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个2．在反比例函数y 2019x =-图象上有三个点()()()112233A x y B x y C x y ，、，、，，若x 1<0<x 2<x 3，则下列结论正确的是( )A ．132y y y ＜＜B ．231y y y ＜＜C ．312y y y ＜＜D ．321y y y ＜＜3． (3分)如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )A ．210B ．41C ．52D ．514．关于x 的方程无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．55．在函数23y x =-中x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x >- C ．3x ≠ D ．3x ≠-6．如图，已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ；把正方形1111A B C D 边长按原法延长一倍得到正方形2222A B C D ；以此进行下去⋯，则正方形n n n n A B C D 的面积为( )A ．n (5)B ．n 5C ．n 15-D ．n 15+7．荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（ ）A ．本次抽样调查的样本容量是5000B ．扇形图中的m 为10%C ．样本中选择公共交通出行的有2500人D ．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人8．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）A ．2210x x ++=B ．220x x ++=C ．210x -=D ．2210x x --=9．下列说法中正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形10．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm ，则另一条直角边的长是（ ） A ．4cmB ．43 cmC ．6cmD ．63 cm二、填空题 11．如果43m n =，那么m n n -的值是___________． 12．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，将矩形折叠，使点B 与点D 重合，点A 的对应点为A '，折痕EF 的长为________.13．一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是2，方差为1，则3x 1，3x 2，…，3x n ，的方差是_____． 14．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 ． 15．若25a b b -=，则b a 等于______． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为_____．17．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．三、解答题18．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y （元）与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA ∥x 轴，AC 是射线．（1）当x ≥30，求y 与x 之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？19．（6分）已知：如图，在ABCD 中，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠的平分线交AD 于点F ，交BE 于点G .求证：AF DE =.20．（6分）一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中，甲，乙两组学生人数都为5人，成绩如下（单位：分）：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表： 平均数 众数 中位数甲 ______________ 8 8乙 ______________ 9 ______________ （2）已知甲组学生成绩的方差2=5s 甲，计算乙组学生成绩的方差，并说明哪组学生的成绩更稳定. 21．（6分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．（1）以x （单位：元）表示商品原价，y （单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y 关于x 的函数解析式；（2）在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象；（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？22．（8分）计算:(1)48÷3-12×12+24 ；(2)(-1)101+(π-3)0+-112⎛⎫ ⎪⎝⎭-2(1-2). 23．（8分）如图所示，在△ABC 中，点O 是AC 上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于F ．（1）请猜测OE 与OF 的大小关系，并说明你的理由；（2）点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？写出推理过程；（3）点O 运动到何处且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（写出结论即可）24．（10分）直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．25．（10分）解方程：（1）x2-3x+1=1；（2）x（x+3）-（2x+6）=1．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，又∵EF∥BC，GH∥AB，∴∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四边形有：□ ABCD，□ABHG，□CDGH，□BCFE，□ADFE，□AGOE，□BEOH，□OFCH，□OGDF ，共9个．即共有9个平行四边形．故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件找出图中的平行线段.2．B【解析】【分析】根据反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征解得即可.【详解】∵k=-2019<0，∴反比例函数y 2019x=-的图象在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵点()()()112233A x y B x y C x y ，、，、，在反比例函数y 2019x =-图象上，x 1<0<x 2<x 3， ∴y 1>0，y 2<0，y 3<0，∴y 2<y 3<y 1，故选B.【点睛】本题考查了反比例函数y=k x的性质，k>0时，图象在一、三象限，在各象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象在二、四象限，在各象限内，y 随x 的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键. 3．B【解析】【分析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n9行从左至右第5故选B【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．4．A【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣1=﹣2+2+m，解得：m=﹣1．故选A．5．C【解析】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.【详解】x-≠,根据题意得,30x≠.解得3故选C.【点睛】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.6．B【解析】【分析】根据三角形的面积公式，可知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．【详解】解：如图，已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，11AA D 的面积21212AB AB AB =⨯⨯==， 新正方形1111A B C D 的面积是4115⨯+=，从而正方形2222A B C D 的面积为5525⨯=，以此进行下去⋯，则正方形n n n n A B C D 的面积为5n ．故选：B ．【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，利用规律解决问题． 7．D【解析】【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．【详解】A 、本次抽样调查的样本容量是200040%=5000，正确； B 、扇形图中的m 为10%，正确；C 、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，正确；D 、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，错误，故选D ．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体等知识是解题的关键，另外注意学会分析图表．8．B【解析】【分析】通过计算方程根的判别式，满足0即可得到结论.【详解】解：A 、2=2411=0-⨯⨯，方程有两个相等的实数根，故本选项错误； B 、2=1421=-70-⨯⨯,方程没有实数根，故本选项正确； C 、2=04(1)=40-⨯-,方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；D 、2=(-2)41(1)=80-⨯⨯-,方程有两个不相等的实数根，故本选项错误； 故答案为B.【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．（1）当0，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当=0，方程有两个相等的两个实数根；（3）当0时，方程无实数根．9．D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.10．C【解析】如图，∵∠C=90°，∠B=30°，3，∴3cm，由勾股定理得：22AB AC-，故选C．二、填空题11．1 3【解析】【分析】由43mn=得到43m n=再代入所求的代数式进行计算.【详解】∵43 mn=，∴43m n=，∴4133n nm nn n--==，故答案为：13.【点睛】此题考查分式的求值计算，根据已知条件求出m与n的等量关系是解题的关键.12．413【解析】【分析】过点F作FH⊥AD于H，先利用矩形的性质及轴对称的性质证明DE=DF=BF，在Rt△DCF中通过勾股定理求出DF的长，再求出HE的长，再在Rt△HFE中利用勾股定理即可求出EF的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AD于H，∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∠C=90°，DC=AB=4，四边形DCFH为矩形，∴∠BFE=∠DEF，由折叠可知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF=BF，在Rt△DCF中设DF=x，则CF=BC-BF=6-x，∵DC2+CF2=DF2，∴42+（6-x）2=x2，解得，x=133，∴DE=DF=BF=133，∴CF=BC-BF=6-133=53，∵四边形DCFH为矩形，∴HF=CD=4，DH=CF=53，∴HE=DE-DH=1358 333-=，∴在Rt△HFE中，3EF===故答案为3【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是能够灵活运用矩形的性质及轴对称的性质．13．1【解析】【分析】根据x1，x2，x3，…x n的方差是1，可得出3x1，3x2，3x3，…，3x n的方差是1×32即可．【详解】∵数据：x1，x2，x3，…，x n的平均数是2，方差是1，∴数据3x1，3x2，3x3，…，3x n的方差是1×1=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了方差，若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．14．c＞1【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（-6）2-4c＜0，即36-4c＜0，解得：c＞1．故答案为c＞1．15．5 7【解析】【分析】依据比例的基本性质，即可得到5a=7b，进而得出ba=57.【详解】解：∵25a bb-=，∴5a-5b=2b，即5a=7b，∴ba=57，故答案为：5 7 .【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是利用比例的基本性质进行化简变形．16．1【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵点D，E分别是直角边BC，AC的中点，∴DE＝12AB＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．17．6【解析】【分析】先证明△AEB≌△FEB≌△DEF，从而可知S△ABE =13S△DAB，即可求得△ABE的面积．【详解】解：由折叠的性质可知：△AEB≌△FEB ∴∠EFB=∠EAB=90°∵ABCD为矩形∴DF=FB∴EF垂直平分DB∴ED=EB在△DEF和△BEF中DF=BF EF=EF ED=EB∴△DEF≌△BEF∴△AEB≌△FEB≌△DEF∴13666AEB FEB DEF ABCDS S S S∆∆∆====⨯=矩形．故答案为1．【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB≌△FEB≌△DEF是解题的关键．三、解答题18．（1）y=3x﹣30；（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；（3）5月份上网35个小时．【解析】【分析】（1）由图可知，当x≥30时，图象是一次函数图象，设函数关系式为y=kx+b，使用待定系数法求解即可；（2）根据题意，从图象上看，30小时以内的上网费用都是60元；（3）根据题意，因为60＜75＜90，当y=75时，代入（1）中的函数关系计算出x的值即可．【详解】（1）当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b，则3060 4090k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得330 kb=⎧⎨=-⎩，所以y=3x﹣30；（2）若小李4月份上网20小时，由图象可知，他应付60元的上网费；（3）把y=75代入，y=3x-30，解得x=35，∴若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是35小时．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数关系式，准确识图、熟练应用待定系数法是解题的关键．19．证明见解析.【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，同理可得：DF=CD，∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF ，∴AF=DE ．【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．20．（1）甲：平均数8；乙：平均数8，中位数9；（2）甲组学生的成绩比较稳定．【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；（2）根据方差的定义计算出乙的方差，再比较即可得．【详解】（1）甲的平均数：8878985， 乙的平均数：59710985， 乙的中位数：9；（2） 222222(58)(98)(78(108)(98)1655S -+-+-+-+=-=乙）. ∵22S S >乙甲，∴甲组学生的成绩比较稳定．【点睛】本题考查了求平均数，中位数与方差，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．21．（1）甲商场：y=0.8x ，乙商场：y=x （0≤x ≤200），y=0.7x+60（x ＞200）；（2）详见解析；（3）x ＜600时，甲商场购物更省钱，x=600时，甲、乙两商场购物更花钱相同，x ＞600时，乙商场购物更省钱．【解析】（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；（2）利用两点法作出函数图象即可；（3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据函数图象作出判断即可．【详解】解：（1）甲商场：y=0.8x，乙商场：y=x（0≤x≤200），y=0.7（x-200）+200=0.7x+60，即y=0.7x+60（x＞200）；（2）如图所示；（3）当0.8x=0.7x+60时，x=600，所以，x＜600时，甲商场购物更省钱，x=600时，甲、乙两商场购物更花钱相同，x＞600时，乙商场购物更省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数图象，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意乙商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．22．（1）46（2）32【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.根据乘方、0指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质化简后，再合并即可.【详解】44==(2)(-1)101+(π-3)0+-112⎛⎫ ⎪⎝⎭)11213-++-=【点睛】 本题考查的是二次根式的性质及实数的运算，掌握二次根式的性质及乘方、0指数幂、负整数指数幂是关键.23．（1）猜想：OE=OF ，理由见解析;（2）见解析;（3）见解析．【解析】【分析】（1）猜想：OE=OF ，由已知MN ∥BC ，CE 、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO ，可推出∠OEC=∠OCE ，∠OFC=∠OCF ，所以得EO=CO=FO ．（2）由（1）得出的EO=CO=FO ，点O 运动到AC 的中点时，则由EO=CO=FO=AO ，所以这时四边形AECF 是矩形．（3）由已知和（2）得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF 是正方形．【详解】（1）猜想：OE=OF ，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又∵CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO ，∴EO =FO ．（2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵当点O 运动到AC 的中点时，AO=CO ，又∵EO=FO，∴四边形AECF 是平行四边形，∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF ，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形． ∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则 ∠AOF=∠CO E=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF 是正方形．【点睛】此题考查的知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义，解题的关键是由已知得出EO=FO ，然后根据（1）的结论确定（2）（3）的条件．24．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【解析】【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为2，求出正方形ABCD 的面积为9； ②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出225AE BE +=（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可；②由①得出AE=BF=h 2+h 2=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴2222215AE BE ++=∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 2．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 2=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 3．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（4）x 4=32+x 2=32-；（2）x 4=-3，x 2=2． 【解析】试题分析：（4）直接利用公式法求出x 的值即可；（2）先把原方程进行因式分解，再求出x 的值即可．试题解析：（4）∵一元二次方程x 2-3x+4=4中，a=4，b=-3，c=4，∴△=b 2-4ac=（-3）2-4×4×4=3．∴==．即x 4=32+，x 2=32； （2）∵因式分解得 （x+3）（x-2）=4，∴x+3=4或x-2=4，解得 x 4=-3，x 2=2．考点：4．解一元二次方程-因式分解法；2．解一元二次方程-公式法．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如表是某公司员工月收入的资料．能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）A ．平均数和众数B ．平均数和中位数C ．中位数和众数D ．平均数和方差2．生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的蝶旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，请推断第n 个三角形的面积为（ ）A ．nB ．nC ．2nD ．n 3．如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（ ）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形4．如果y 11x x --，那么（﹣x ）y 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．05．下列各组长度的线段中，可以组成直角三角形的是（ ）A ．1,2,3B ．1,2,3C ．5,6,7D ．5,12,136．在学校举办的独唱比赛中，10位评委给小丽的平分情况如表所示：成绩（分）6 7 8 9 10 人数 3 2 3 1 1则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是7.5B ．中位数是8C ．众数是8D ．平均数是87．己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形8．某校对八年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为(单位：h)：4、4、3.5、5、5、4，这组数据的众数是( )A ．4B ．3.5C ．5D ．39．在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为10和35，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） A ．6 B ．7 C ．2 D ．2710．如果代数式1x x 有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0B ．x ≠1C ．x ＞1D ．x ≥0且 x ≠1 二、填空题11．如图，长方形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB 的中点与原点重合，，，直线与矩形ABCD 的边有公共点，则实数b 的取值范围是________．12．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝23，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为_____．13．已知反比例函数6yx=在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= .14．若关于x的分式方程2155ax x+=--有增根，则a的值为__________．15．一粒米的重量约为0.000036克，用科学记数法表示为_____克．16．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．17．如图，点A在反比例函数kyx=的图像上，AB⊥x轴，垂足为B，且4∆=AOBS，则k=_____ ．三、解答题18．()1计算：26546+①；22(32)63+-②． ()2海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：()()()(S p p a p b p c =---其中a ，b ，c 为三角形的三边长，2a b c p ++=，S 为三角形的面积).利用海伦公式求5a =，3b =，25c =时的三角形面积S ．19．（6分）已知，如图（1），a 、b 、c 是△ABC 的三边，且使得关于x 的方程（b+c ）x 2+2ax ﹣c+b ＝0有两个相等的实数根，同时使得关于x 的方程x 2+2ax+c 2＝0也有两个相等的实数根，D 为B 点关于AC 的对称点．（1）判断△ABC 与四边形ABCD 的形状并给出证明；（2）P 为AC 上一点，且PM ⊥PD ，PM 交BC 于M ，延长DP 交AB 于N ，赛赛猜想CD 、CM 、CP 三者之间的数量关系为CM+CD ＝2CP ，请你判断他的猜想是否正确，并给出证明；（3）已知如图（2），Q 为AB 上一点，连接CQ ，并将CQ 逆时针旋转90°至CG ，连接QG ，H 为GQ 的中点，连接HD ，试求出HD A Q．20．（6分）某商店第一次用6000元购进了练习本若干本，第二次又用6000元购进该款练习本，但这次每本进货的价格是第一次进货价格的1.2倍，购进数量比第一次少了1000本．（1）问：第一次每本的进货价是多少元？（2）若要求这两次购进的练习本按同一价格全部销售完毕后获利不低于4500元，问每本售价至少是多少元？21．（6分）（101318(3)()212π--++；（2）150(23)2⨯- 22．（8分）八（1）班数学老师将本班某次参加的数学竞赛成绩（得分取整数，满分100分）进行整理统计后，制成如下的频数直方图和扇形统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）在分数段70.5~80.5分的频数、频率分别是多少？（2）m 、n 、α的值分别是多少？23．（8分）如图，AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线，点O 是AC 中点，延长DO 到E ，使OE=OD ，连接AE ，CE ，求证：四边形ADCE 的是矩形．24．（10分）如图，在ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，且DE BC =，过点A 作AF CD ⊥于点F ，交DE 于点G ，连接G 、EF .（1）若BE EG =，求证：AE 平分BAF ∠；（2）若点E 是BC 边上的中点，求证：2AEF EFC ∠=∠25．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（AO <AB ）且AO 、AB 的长分别是一元二次方程x 2-3x +2=0的两个根，点C 在x 轴负半轴上，且AB ：AC =1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．C【解析】【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．【详解】该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，所以该公司员工月收入的中位数为3400元；由于在25名员工中在此数据及以上的有13人，所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；故选C ．【点睛】此题考查了众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．2．D【解析】【分析】根据勾股定理分别求出1OA 、2OA ⋯，根据三角形的面积公式分别求出第一个、第二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：第1个三角形的面积111122=⨯⨯=，由勾股定理得，1OA =则第2个三角形的面积112==2OA则第3个三角形的面积112== ⋯则第n 个三角形的面积， 故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．。

16.3 二次根式的加减(1)课型: 新授课上课时间：课时： 1学习内容：二次根式的加减学习目标：1、理解和掌握二次根式加减的方法．2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．学习过程一、自主学习（一）、复习引入计算．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3== == == ==以上题目，是我们所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．（二）、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）22+32（2）28-38+58== ==（3）7+27+397（4）33-23+2== ==由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．32+8=32+22=52 33+27=33+33=63所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1）8+18（2）16x+64x==== ====例2．计算（1）348-913+312（ 2）（48+20）+（12-5）==== ===归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．二、巩固练习教材练习三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展1、例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293x x+y3xy）-（x1x-5xyx）的值．2、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．四、课堂检测（一）、选择题1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题1．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．三、综合提高题15 2.23680415-13544550.01）2．先化简，再求值．（yx33xyy-（xy36xy x=32，y=27．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列事件中必然事件有（）①当x是非负实数时，≥0；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月；④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A．代入法B．换元法C．数形结合D．分类讨论3．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )A．30°B．36°C．54°D．72°4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(3，0)，则点D的坐标为（）A．(1, 3) B．(1，13+C．(13) D．3135．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的∠BAD平分线交BC于点E，若AE=8，AB=5，则BF 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．86．下列图形都是由同样大小的▲按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个▲：第2个图形中一共有9个▲；第3个图形中一共有12个▲；…授此规律排列，则第2019个图形中▲的个数为（ ）A ．2022B ．4040C ．6058D ．60607．如图所示，过平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH,那么图中平行四边形AEMG 的面积1S 与平行四边形HCFM 的面积2S 的大小关系是（ ）A ．11S S =B ．11<S SC ．11>S SD ．112S S =8．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于两点EF ；②作直线EF 交BC 于点D 连接AD ．若AD ＝AC ，∠C ＝40°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．105°B ．110°C ．I15°D ．120°9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则以下AE 与CE 的数量关系正确的是（ ）A ．AE=2CEB ．AE=3CEC ．AE=32CED ．AE=2CE10．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ） A ．()()35x x +-B ．()()35x x -+C ．()()235x x +-D ．()()235x x -+二、填空题11．某校九年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班能参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：有一位同学根据上面表格得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．上述结论正确的是_______（填序号）．12．关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为__________． 13．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=__．14．已知正比例函数的图象经过点（﹣1，3），那么这个函数的解析式为_____．15．菱形ABCD 的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形ABCD 的面积为_____；周长为______．16．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是AD 边上一点，连接CE ，将CDE ∆沿CE 翻折，点D 的对应点是F ，连接AF ，当AEF ∆是直角三角形时，则DE 的值是________17．如图，直线23y kx =+与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将OAB 沿AB 翻折，使点O 落在点C 处，点D 是线段AB 的中点，射线OD 交线段AC 于点E ，若AED 为直角三角形，则k 的值为__________．三、解答题18．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．19．（6分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并根据统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）在这次调查中，样本容量为 ；（2）补全条形统计图；（3）“乘车”所对应的扇形圆心角为 °；（4）若该学校共有2000名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．20．（6分）四川汶川大地震牵动了三百多万滨州人民的心，全市广大中学生纷纷伸出了援助之手，为抗震救灾踊跃捐款。

二次根式的加减法则和定义
二次根式的加减法则是什么，二次根式的定义又是什么呢？需要了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“二次根式的加减法则和定义”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
二次根式的加减法
（1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。

(1)乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

(2)除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

定义
一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

柳城县民族中学八年级数学科导学案 NO：使用时间：编制：审核：审批：班级：小组：_ 姓名：评价：16．2 《二次根式的加减(1)》导学案【学习目标】 1、理解二次根式加减法法则．2、能进行二次根式的加减运算.【学习重点】二次根式的加减法法则【学习难点】二次根式加减运算与化简。

【预习案】1.自主学习课本第14-15页.2.计算．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3以上题目，是我们所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．我的疑问：【探究案】探究点一：二次根式的加减法法则1、用合并同类项的方法，计算下列各式．（1）（2）（3（4）2、由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以利用分配律进行合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．探究点二：二次根式的加减运算3、自主学习P13例1，例2仿照例题计算： （1（2（3）（ 4））+）归纳：二次根式相加减的步骤：第一步，第二步，思考：？可以合并吗与534、练一练 课本P13 练习1、2．5、下面我们利用二次根式的加减解决一些实际问题。

P13 3 如何求出环形的宽度d ？6、练一练P15页 第7题【当堂检测】1．计算=+-33218）=________________．2被开方数相同的二次根式）的是（ ）A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④3．下列各式：①17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个4.综合提高题:≈2.236）-）的值．（结果精确到0.01）【课堂小结反馈】。