【数学】湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期入学考试试题

a弗第2019—2020号中友为二%我人学考或数学得分: __________________ ：本试卷分第I型选择题》和第II卷（II：选择踊》两部分，共8页.时段：120分林.满分100分.| 第I卷一，选择题；本大题共15个小题,每小题3分,共45分.焉I. 2师在班级大）名学生中,依次抽取学号为5,10・15,20,25,30.3—5,: 50的学生进行作业检套.这种抽样方法是（）1 A.随机抽样B.分层抽样C.系统抽样 D.以上都不是；★2.若某几何体的三视图如图所示，则该儿㈤TK:豕何体杓最长校的校长为（）// I 1 \A.#B.府c.y5【）.263,% S.为等差数列《。

・）的前〃项和，储+1>5。

〈监十］（，£\・工的最大值是与13. S.的最小值是灰CS.的显比值是Sr 【）.，的臬小俏是S.L如图是某学校举行的运动会I,七传评委为照体操噢目打出的分故的茎川统计图•去掉一个疑许分和一个最低分后,所剩数据的平均效和方8 4 4 6 4 7弟分别为（> 9 3A.B4wl. 84 K 81,1.6C 85.1.6 D. 85• I★ 5.四面体P-ABC的三的对桎分别相等•且长度依次为2辰5.5•则该四而体的外接球的衣而枳为< >r>. 29RR 28x数学试电《长理版'第1页ui?g近1数学试题（K 师板）第2文《共8负）★ 6.若阳”一。

一。

一。

>‘ 一8上总存在点A •使得OA 则实数。

的 取值於幽是（）A.（—3 •一]）U （】，3） K （-3.3）C.[-l.l] LX [-3,-l]U[l,3]★n 在锐角:角形ABC 申，已知分别|）A,B.C 的对边，旦疆■2a/n 3,a = 4,则△4HC 面模的鼓大值为 《〉A .z./r a iTT csW "16" 8.若〃是两条异面宜线/上外的一点，则 （ >A.过点〃有fl 仅有-条汽线与/皿都平行B.过京产自且仅仃一条直线与/、m 都联AC.过点P 有且仅有一条宜线与l 、m 都相交 D,过点P 有n 仅有•条直线与八8都异面★9.巳知U 也改列SC 是公比不等于】的等比数列,且上叫一心。

长郡中学2019-2020学年度高二第一学期第一次模块检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分．1. 命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定是（ ） A. ()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+， B. ()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C. ()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D. ()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，【答案】C 【解析】 【分析】按规则写出存在性命题的否定即可.【详解】命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定为“()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，”， 故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2. 设x ∈R ，则“213x -≤”是“311x ≥+”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式213x -≤和311x ≥+，然后判断能否从213x -≤推出311x ≥+，再判断能否从311x ≥+推出213x -≤，最后根据定义选出正确答案.【详解】213321312,x x x -≤⇒-≤-≤⇒-≤≤332110012111x x x x x -≥⇒-≥⇒≤⇒-<≤+++，显然能从12x -<≤推出12x -≤≤，不能从12x -≤≤推出12x -<≤，也就是说能从311x ≥+推出213x -≤，但不能从213x -≤推出311x ≥+，所以213x -≤是311x ≥+的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，正确求解不等式的解集，根据定义进行判断是解题的关键. 3. 已知一组数据123,,,n x x x x ⋯，的平均数为5，方差为2，则数据131x +，231x +，…，31n x +的平均数x 与方差2s 三分别为（ ） A. 15x =，26s = B. 16x =，27s = C. 16x =，218s = D. 16x =，219s =【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数与方程的计算公式推导即可. 【详解】由题,()12315n x x x x n ++⋯+=,()()()22212155...52n x x x n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦. 故()()12312311313131313n n x x x x x x x x x n n n=+++++⋯++=++⋯++⎡⎤⎣⎦ ()12313135116n x x x x n =⨯++⋯++=⨯+=.即16x =.()()()222212131163116...3116n s x x x n ⎡⎤=+-++-+++-⎣⎦()()()2221219595...95n x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222121955...518n x x x n ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦.即218s =故选：C【点睛】不同主要考查了平均数与方差的公式运用,需要根据题意列出每个数值变化后对应的表达式,与原平均数与方差的关系推导可得.属于基础题.4. 为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据： 82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为 A. 217 B. 206 C. 245 D. 212【答案】B 【解析】 【分析】从第7行第4列开始向右依次读取3个数据，重复的去掉后可得.【详解】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206．选B. 【点睛】本题考查随机数表，属于基础题.5. 已知函数2()6f x x x =--，在区间[6,4]-内任取一点0x ，使0()0f x ≥的概率为（ ）A.13B.25C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】先求出0,0x x -则的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.【详解】由()0f x ≥得(3)(2)0x x -+，故3x ≥或2x -≤，由064x -≤≤，故062x -≤≤-或034x ≤≤，故使0,0x x -则的概率为411102P +==. 【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般. 6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立； 1224v =⨯+=，211,0i i =-=≥成立； 4219v =⨯+=，110,0i i =-=≥成立；92018v =⨯+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.7. 已知命题p ：若x y <，则22x y <；命题q ：若x y >，则x y -<-；在命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ⌝∧；④()p q ∨⌝中真命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②①【答案】C 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 的真假,再判断两个命题或且非的真假即可.【详解】对命题p ,当2,1x y =-=-时满足x y <,但22x y <不成立.故命题p 为假命题. 对命题q ,由不等式的性质可知命题q 为真命题.故①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ⌝∧为真命题；④()p q ∨⌝为假命题. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及命题的或且非的真假判定.属于基础题. 8. 将八位数(8)135化为二进制数为（ ） A. ()21110101 B. ()21010101C. ()21011101D. ()21111001【答案】C 【解析】 【分析】进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将8进制数转化为十进制数，再由除K 取余法转化为二进制数，选出正确选项． 【详解】135（8）=1×82+3×81+5×80=93（10）． 利用“除2取余法”可得 93（10）=1011101（2）． 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．9. 从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A.15B.310C.25D.12【答案】B 【解析】【详解】从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C = 这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310故选B10. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知60,1A b ︒==，ABC ∆则ABC∆外接圆的直径为（ ）A.81B.C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得c ；利用余弦定理求得a ；根据正弦定理求得结果. 【详解】由题意得：113sin sin 60224ABC S bc A c ∆====4c = 由余弦定理得：2222cos 1168cos6013ab c bc A =+-=+-=a ∴=由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为：2sin sin 603a A ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.11. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A. 2B. 3C. 10D. 15【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得2400s=1010005s ∴=，选C. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．12. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，112n n n a S S ++=，则n S = A. 32n - B.132n - C. 21n - D. 121n -【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列中11n n n a S S ++=-，化简表达式，再同时除以1n n S S +即可得到等差数列；求出1nS 的通项公式后，再取倒数即可得到n S 的表达式．【详解】由已知得1112n n n n n a S S S S +++=-=，两边同时除以1n n S S +，得1112n nS S +-=-， 故数列1{}n S 是以1为首项，2-为公差的等差数列，则()112132n n n S =--=-，所以132n S n=-． 【点睛】本题考查了数列求和公式的综合应用，等差数列通项公式的用法，属于基础题．13. 《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误 根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误 根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C 错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确 故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.14. 在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++的值 A.1n n- B.1n n+ C.11n n -+ D.1n n + 【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111na a a +++的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-，所以1111(1)1==---n a n n n n所以231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=-，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15. 若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A.18B.35C.58D.78【答案】C 【解析】 【分析】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200A 表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008S S === 故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．16. 已知,x y 满足约束条件50503x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则36z x y =+的最大值为__________．【答案】57 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线36z x y =+，观察直线在x 轴的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值. 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线36z x y =+，当直线36z x y =+经过可行域的顶点()3,8A 时，该直线在x 轴上的截距取最大值，此时，z 取最大值，即max 336857z =⨯+⨯=，故答案为57.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时，找最优解求解，考查数形结合数学思想，属于中等题．17. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数,m n 作为P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率_________. 【答案】29【解析】基本事件总数为116636C C =，且每种结果出现的可能性都相等．记事件A 为“点(,)P m n 落在圆2216x y +=内”，则事件A 所包含的基本事件为(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)、、、、、、、，共8个，故82()369P A ==． 18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据如下表所示，由最小二乘法求得回归直线方程ˆ0.654yx =+．由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为__________．零件数x /个 10 2030 40 50 加工时间 62758189【答案】53 【解析】 【分析】根据回归直线方程经过样本中心点(),x y ,设所求数据的值为m ,再分别求解,x y 代入ˆ0.654yx =+求解即可.【详解】设所求数据的值为m ,则()11020304050305x =++++=,()()116275818930755y m m =++++=+. 故()0.1307563054m +=⨯+,解得53m =. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了回归直线方程经过样本中心点(),x y 的知识点,属于基础题. 19. 已知0m >，0n >，且2m n +=，则21n m n+的最小值为________. 【答案】52【解析】 【分析】由2m n +=，可得21221222n n m n n m m n m n m n ++=+=++，然后利用基本不等式可求出最小值. 【详解】因为2m n +=，所以2122n n m n m n m n ++=+211522222n m m n =++≥+=，当且仅当43m =，23n =时取等号.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.20. 如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ．得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为n S ，现给出有关数列{}n S 的四个命题： ①数列{}n S 是等比数列； ②数列{}n S 是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S >； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S <． 其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】先分析12,S S 、23,S S 、34,S S 的关系,再归纳出关于{}n S 的递推公式,进而累加求和求出{}n S 的通项公式进行分析即可. 【详解】由题,1S a =.图2中正六边形的边长为2a,所以 211422aS S S a =+⨯=+,图3中最小正六边形的边长为4a,所以 32244aa S S S =+⨯=+,图4中最小正六边形的边长为8a,所以 433482a aS S S =+⨯=+…由此类推, ()13,22n n n aS S n ---=≥,即{}n S 为递增数列,且不是等比数列,故①错误,②正确.又()()()112211...n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+1341212 (2122212)n n n a a a a a a a a ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++++=+- ()114152,2n a a a n n N +-⎛⎫=+-<≥∈ ⎪⎝⎭,又15S a a =<,所以存在最大的正数20195a =,使得对任意的正整数n ,都有2019n S <.故③错误,④正确. 故答案为：②④【点睛】本题主要考查了根据图形的变化规律,求解通项公式与累加求和的方法.需要根据题意先找出前几个图形间的关系,再推导出第n 的图形与第1n -的图形间的关系,从而得出递推公式进行求解.属于中档题.三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分．21. 某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查6件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg ）： 甲：13 15 13 8 14 21 乙：15 13 9 8 16 23 （1）画出样本数据的茎叶图；（2）分别计算甲、乙两组数据的方差并分析甲、乙两种产品的质量（精确到0.1）． 【答案】（1）见解析（2）214.7S ≈甲，224.7S ≈乙，甲产品质量好，较稳定． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图即可； （2）利用公式计算甲乙的平均数与方差即可．【详解】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图如图所示；（2）根据茎叶图得出，甲的平均数是81313141521146+++++=，乙的平均数是8913151623142+++++=；甲的方差是216s =甲[（﹣6）2+（﹣1）2+（﹣1）2+02+12+72]14.7≈． 乙的方差是216s =乙[（﹣6）2+（﹣5）2+（﹣1）2+12+22+92]≈24.7． 甲产品质量好，较稳定.【点睛】本题考查了画茎叶图与求平均数与方差的问题，是基础题目． 22. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos a C b =-. (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若6B π=，4b =，求BC 边上的中线AM 的长.【答案】（Ⅰ）π6A =； （Ⅱ）AM =【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理边化角，求得cos A 的值即可确定∠A 的大小； (Ⅱ)易知△ABC 为等腰三角形，利用余弦定理可得AM 的长. 【详解】（Ⅰ）因为cos a C b =，由正弦定理可得sin cos sin A C B C =-， 因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin 2A C C =， 因为sin 0C ≠，所以cos A =，π6A = ．（Ⅱ）由π6A B ==，则2π3C =，所以4BC AC ==，AB =2BM =， 由余弦定理可得2222cos 28AM BM AB BM AB B =+-⋅=，所以AM =【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理． 23. 在等比数列{}n a 中，3429,954a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a （2）3nn S n =⋅【解析】 【分析】（1）将已知条件化为1a 和q 后，联立解出1a 和q 后即可得到通项公式； （2）根据错位相减法可得结果.【详解】（1）因为3429,954a a a =+=，所以213119,954,a q a q a q ⎧=⎨+=⎩解得11,3.a q =⎧⎨=⎩故{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==. （2）由（1）可得1(21)3n n b n -=+⋅， 则22135373(21)3(21)3n n n S n n --=+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 2313335373(21)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②①-②得2312323232323(21)3n nn S n --=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-+⋅.所以13(13)232(21)313n n n S n ---=+⨯-+⨯-2n S -23n n =-⋅故3nn S n =⋅.【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了错位相减法求数列的和，属于中档题. 24. 每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：（1）请根据统计的最后三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100颗小麦种子的发芽率为n 颗，则记为%n 的发芽率，当发芽率为%n 时，平均每亩地的收益为10n 元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9C ︒，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑.【答案】（1）5572ˆyx =+（2）见解析（3）7950万元 【解析】 【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出11ˆ,,,ˆy bx a ，的值，最后求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）根据线回归方程，分别计算当8x =时，当10x =时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）当9x =时，根据线性回归方程计算出ˆy的值，然后计算出发芽率以及收益. 【详解】数据处理12x -；86y -. （1）此时：10x =，11y =，14301511302ˆb+-⨯⨯==+-⨯，11ˆˆ51012a yb x =-⋅=-⨯=， ∴586(12)2ˆ1yx -=-+，∴5572ˆy x =+. （2）当8x =时：ˆ77y=，797722-=≤符合，当10x =时：ˆ82y=，828112-=≤符合， 前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠.（3）当9x =时，ˆ79.5y=. 发芽率79.5%79.5%100n ==，∴79.5n =. 收益：79.51010⨯⨯（万亩）7950=（万元）. 种植小麦收益为7950万元.【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.25. 某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：若月薪落在区间()22x s x s -+，的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中x s 、分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？ （2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案： 方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的毎人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用． 问：哪一种收费方案最终总费用更少？ 【答案】（1）见解析；（2）35；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）6650x =，23650x s -=，经比较可知张茗属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取133000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意． 【详解】（1）x =3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，x -2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A ，第二组抽2人，记为B ，C ，第三组抽3人，记为D ，E ，F ，从这6人中抽2人共有15种：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）． 根据古典概型概率公式可得P=915=35． （3）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表可得：方案一：月薪在3000-4000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500； 月薪在4000-5000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000； 月薪在5000-6000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500； 月薪在6000-7000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000； 月薪在7000-8000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000； 月薪在8000-9000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500； 月薪在9000-10000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500； 共收取133000元．方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×（0.00020+0.00015+0.00005）=64000； 月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；共收取108000．故方案二最终总费用更少．【点睛】本题考查了频率分布直方图中平均数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都是【答案】C【解析】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为()A7B6C5D．2【答案】A【解析】根据三视图知该几何体是一个正四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出结论．【详解】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则AC 2=DC 2BE 2==，AC ⊥底面CDEB ，结合图形中的数据，求得BC 2=，在Rt ABC V 中，由勾股定理得2222AB AC BC (2)(2)2=+=+=，同理求得22AD (2)26=+=22222222AE AC CE AC CD DE (2)217=+=++=++=A ．【点睛】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征，属基础题．3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S【答案】C【解析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87aa-＜1＜0∴a7＜0，a8＞0数列的前7项为负，故数列{S n}中最小值是S7故选C．【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．4．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,4【答案】C【解析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．【详解】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为8484868487855++++=；方差为()()()()()2222218 8485848586858485878555⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案为C【点睛】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5．四面体P ABC-的三组对棱分别相等，且长度依次为5,13 5.则该四面体的外接球的表面积（）A．294πB．28πC．296D．29π【答案】D【解析】分析：先将四面体P ABC-补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.详解：因为将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，所以由22222225,13,5,x y z y x z +=+=+=得22216,4,9x y z ===因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为22229x y z ++=因此四面体的外接球的表面积为24π29πR =， 选D.点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”． 6．若圆上总存在点A ，使得，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】问题等价于圆和圆相交或相切，利用两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可. 【详解】 问题可转化为圆和圆相交或相切，两圆圆心距，由得，解得，即，故选D. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.7．在锐角三角形ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且32sin ,4b a B a ==，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．3B ．3C ．83D ．3【答案】B【解析】2sin a B =利用正弦定理将边化成角，得到sin A 的值，利用余弦定理，得到bc 的最大值，再由面积公式1sin 2S bc A =得到ABC V 面积的最大值. 【详解】在ABC V 中，由正弦定理得sin sin a bA B=2sin a B = 2sin sin B A B =，解得sin 2A =Q ABC V 为锐角三角形，则1cos 2A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,2216b c bc =+-22162bc b c bc ∴+=+≥，16bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立1sin 2ABC S bc A ∴=⋅=≤V 故选B 项. 【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题. 8．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 【答案】B【解析】解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B9．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=，若22()1f x x=+，则122019()()()f a f a f a +++=L （ ） A ．2018 B ．4036C ．2019D ．4038【答案】C【解析】∵正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=∴19lg 0a a ⋅=，即191a a ⋅=. ∵函数()221f x x=+ ∴222212222()()21111x f x f x x xx ++=+==+++ 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+ ∴1201922018201912()()()()()()22019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯ ∴2019T = 故选C.点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若()*,,,,m n p q m n p q N+=+∈，则mn p q aa a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=. 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且=，则B= ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理可得, 由已知可得,整理可得,,在中.故C 正确.【考点】1正弦定理;2余弦定理.11．过点2,0)引直线l 与曲线21y x =-A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥时，直线l 的斜率等于（ ）A ．33-B ．33C ．33±D ．3【答案】A【解析】分析：由题意得曲线21y x =-x 轴上方的部分，设过点2,0)的直线为0(2)y k x -=，即20kx y k --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r ，列出方程即可求解.详解：由y =221(0)x y y +=≥，所以曲线y =x 轴上方的部分，则过点0)的直线与曲线y =10k -<<，设直线的方程为0(y k x -=，即0kx y --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r，即2d ==，解得k =，又因为10k -<<，所以k =，故选A.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中把OA OB ⊥转化为圆心到直线的距离为2，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12．已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()(0)f x m m =≠有两个不同的实根34,x x ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m =( ) A ．12B ．12-CD． 【答案】D【解析】由题意可知：123,22x x ππ==，且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案． 【详解】由题意可知:123,22x x ππ==,且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧,若34,x x 分布在12,x x 的中间,则公差32233d πππ-==, 故34,x x 分别为56π､76π,此时可求得5cos 6m π==; 若34,x x 分布在12,x x 的两侧,则公差322d πππ=-=,故34,x x 分别为5,22ππ-,不合题意.故选D. 【点睛】本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．13．已知直线:10l x y --=，2:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则1l 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．10x y +-= D ．210x y +-=【答案】B【解析】画出l 和2l 的图像，确定两者的交点，结合直线1l 的斜率，确定正确选项. 【详解】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩解得l 和2l 的图像的交点为()1,0，由于l 的斜率为1，2l 的斜率为2，故1l 的斜率为正数，由此排除C,D 选项.结合1l 过()1,0，排除A 选项. 故选：B.【点睛】本小题主要考查直线关于直线对称的直线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．设平面点集{}221(,)|()()0,(,)|(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂所表示的平面图形的面积为 A ．34π B ．35πC ．47π D ．2π 【答案】D 【解析】【详解】由集合1(,)|()()0A x y y x y x ⎧⎫=--≥⎨⎬⎩⎭可得其表示的区域为010y x y x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩和010y x y x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩所对应的平面区域，集合{}22(,)|(1)(1)1B x y x y =-+-≤表示的区域为圆22(1)(1)1x y -+-=内和圆上的点对应的区域；作出对应图像，则I ，III 对应的区域，即为所求平面区域； 因为函数1y x=的图像，与圆22(1)(1)1x y -+-=均关于y x =对称， 所以I ，III 区域的面积恰好为圆的一半，故所求平面区域的面积为：2π. 故选：D.15．数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A ．470 B ．490C ．495D ．510【答案】A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得22πcos 3n n a n =，根据周期公式求出周期为3，从而可得结果.详解：首先对{}n a 进行化简得22πcosn n a n =，又由2πcos n 关于n 的取值表： 可得2πcos3n 的周期为3，则可得22222222230124528293630222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，设()()()222323153922kk k b k k -+-=-+=-，则()305912 (10104702)S =+++-⨯=，故选A ． 点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.二、填空题16．已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________．【答案】4【解析】∵a ，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，∴， 又∵点M （m ，n ）在直线l ：ax+by+2c=0上， ∴m 2+n 2表示直线l 上的点到原点距离的平方， ∴m 2+n 2的最小值为原点到直线l 距离的平方， 由点到直线的距离公式可得=2，∴m 2+n 2的最小值为d 2=4， 故答案为4.17．已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为．【答案】9．【解析】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2. 又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a －c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m aa m m c +=-+=-解得c ＝9.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为__________.【答案】34【解析】根据三棱柱的性质可知，11//C C A A ，异面直线AB 与1CC 所成的角就是1A AB ∠，连接1A B ，利用余弦定理即可求解．【详解】作出草图，如下：由三棱柱的性质可知，11//C C A A ，异面直线AB 与1CC 所成的角就是1A AB ∠， 连接1A B ，又三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，所以1A D BC ⊥， ∴三角形1A DB 是直角三角形，设1DB =，则12AB A A ==．又AD BC⊥11AD A D ∴==，所以1A B 在1A AB ∆中，由余弦定理可知：22211114423cos 22224A A AB A B A AB A A AB +-+-∠===⋅⨯⨯． 故答案为：34． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知0,0x y >>，且1x y +=，若19a x y ≤+恒成立，则实数a 的最大值为__________．【答案】16【解析】不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【详解】∵0,0x y >>，且1x y += ∴()1919x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭10910y x x y ++≥+=16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号．∵不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ． ∴a ∈（﹣∞，16]，即实数a 的最大值为16故答案为16．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．20．已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )b A B +-()sin c b C =-，则ABC △面积的最大值为__．【解析】【详解】由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒， 222244b c bc b c bc bc ∴+-=∴=+-≥1sin 32ABC S bc A ∆∴=≤三、解答题21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a ，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5 得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户， 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分【考点】频率分布直方图及分层抽样22．已知数列{}n a 为等差数列，0n a ≠，且满足231173232a a a +=，数列{}n b 满足120n n b b +-=，77b a =．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（I ）12n n b -=； （Ⅱ）(1)21n n S n =-•+.【解析】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得7a ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）1•2n n n c nb n -==，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【详解】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得764a =．数列{}n b 满足120n n b b +-=，可得：数列{}n b 是等比数列，公比为2．∵7764b a ==．∴61•264b =，解得11b =．∴12n n b -=．（Ⅱ）若1•2n n n c nb n -==，∴数列{}n c 的前n 项和()221122321?2?2n n n S n n --=+⨯+⨯++-+L ，()2312222321?2?2n n n S n n -=+⨯+⨯++-+L ， ∴21211222?2?221n n n n n S n n L ---=++++-=--， 可得()1?21n n S n =-+．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭r r ，记()f x m n =r r g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）3]2【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得()sin()26x f x π=+12+，由()1f x =可得1sin()262x π+=，根据二倍角公式可得cos()3x π+的值；（2）根据正弦定理消去(2)cos cos a c B b C -=中的边可得3B π=，所以23A C π=-，又02C <<π，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，根据三角函数值域的有界性即可求得(2)f A 的取值范围．【详解】（1）向量,1)4x m =r ，2(cos ,cos )44x x n =r ，记()f x m n =⋅r r ，则2()cos cos 4442x x x x f x =+=11cos 222x ++sin()26x π=+12+， 因为()1f x =，所以1sin()262x π+=，所以21cos()12sin ()3262x x ππ+=-+=． （2）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则23AC π+=，即23A C π=-，又02C <<π， 则62A ππ<<，得2363A πππ<+<， 所以3sin()126A π<+≤，又1(2)sin()62f A A π=++， 所以(2)f A 的取值范围313(,]22+． 【考点】三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.24．如图，已知正三棱柱ABC=A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．（1）当CF=1时，求证：EF ⊥A 1C ；（2）设二面角C ﹣AF ﹣E 的大小为θ，求tanθ的最小值．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）过E 作EN ⊥AC 于N ，连接EF ，NF ，AC 1，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面A 1C∴EN ⊥侧面A 1CNF 为EF 在侧面A 1C 内的射影在直角三角形CNF 中，CN=1则由，得NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C由三垂线定理可知EF ⊥A 1C（2）连接AF ，过N 作NM ⊥AF 与M ，连接ME由（1）可知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF∴∠EMN 是二面角C ﹣AF ﹣E 的平面角即∠EMN=θ设∠FAC=α则0°＜α≤45°，在直角三角形CNE 中，NE=，在直角三角形AMN 中，MN=3sinα 故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值， tanθ=，此时F 与C 1重合25．已知圆C ：x 2+y 2+x -6y +m =0与直线l ：x +2y -3=0．（1）若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；（2）若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．【答案】（1）37(8,)4（2）m ＝3 【解析】(1)将圆的方程配方， 得1()2x +2＋(y －3)2＝3744m -， 故有3744m -＞0，解得m ＜374. 将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得22230{60x y x y x y m +-=++-+= 消去y ，得x 2＋32x -⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋x －6×32x -＋m ＝0， 整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0， ①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m －27)＜0，解得m ＞8.∴m 的取值范围是37(8,)4. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP OQ ⋅u u u r u u u r ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ②由①及根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝4275m -， ③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1·y 2＝132x -·232x -＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1·x 2]，将③代入上式，得y1·y2＝125m+，④将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝4275m-＋125m+＝0，解得m＝3.代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.。